河北省2020届高三数学下学期线上期中试题 理

高三数学下学期线上期中试题 理注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。

1．已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=．若A B =∅I ，则实数m =A ．2-B ．12-C ．12D ．22．设复数z 满足1i z z -=-（i 为虚数单位），z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则A. y x =-B. y x =C. ()()22111x y -+-= D. ()()22111x y +++= 3．已知两个单位向量12,e e ，若()1212-⊥e e e ，则12,e e 的夹角为A ．2π3 B ．π3 C ．π4 D ．π64．某学校拟从甲、乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为A. 35B. 12C. 25D. 3105．已知点(),P x y 满足不等式3205050x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，点(),Q x y 是函数2()1f x x =-的图像上任意一点，则两点P ，Q之间距离的最小值为 A ．5212- B ．131- C ．4 D ．5226．若()331231log e,2e ,a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．c b a >>7．若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2α=A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或798. 若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116π个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法正确的是A. ()g x 的图象关于12x π=-对称B. ()g x 在[]0π，上有2个零点C. ()g x 在区间5 36ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减D. ()g x 在 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘3再加1,如果它是偶数.则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入n 的值为10.则输出i 的值为 A.5 B.6 C.7 D.810．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I 为12PF F ∆的内心，且1122IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，若椭圆的离心率为e ，则λ=A.1e B.2eC.eD.2e 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 是C 上关于原点对称的两点，M 是C上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k „„，则2k 的取值范围为A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12．若函数()ln x f x a x e =-有极值点，则实数a 的取值范围是A ．(),e -+∞B ．()1,eC ．()1,+∞D ．()0,+∞第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。

13．已知函数f(x)=ae x+x +b ,若函数f (x )在(0,f (0))处的切线方程为y =2x +3,则ab 的值为______. 14．41(1)(12)xx++展开式中x 2的系数为______.15．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．16．平行四边形ABCD 中，ABD ∆是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将ABD ∆沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若A ，B ，C ，D 四点在同一球面上，则该球的表面积为______.三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）数列).13(21}{321-=++++nn n a a a a a Λ满足： （1）求}{n a 的通项公式； （2）若数列.T }{,3}{n 项和的前求满足：n b a b n b a n n nn =18．（本小题满分12分）如图，三棱锥 P - ABC 中，平面 PAB ⊥ 平面 ABC ， PA = PB ，∠APB = ∠ACB = 90，点 E , F 分别是棱 AB , PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心． （1）证明： GF / / 平面 PAC ；（2）若GF 与平面 ABC 所成的角为60，求二面角B -AP -C 的余弦值.19．（本小题满分12分）已知点P 到直线y ＝﹣3的距离比点P 到点A （0，1）的距离多2． （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q （0，2）的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）华北“一票通”景区旅游年卡，是由衡水市旅游局策划，由市某旅游公司推出的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北19家签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相组别 [0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)频数1039040018812（1（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布()245,15N .若该市总人口为450万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分.将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.附：若()2~,x Nμσ，则()0.6826p X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544p x μσμσ-<≤+=，(33)0.9973p μσμσ-≤+=21．（本小题满分12分）已知函数()ln xe f x x x x=--.（1）求()f x 的最大值；（2）若1()()1xf x x e bx x++-≥恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.河北武邑中学2019—2020学年高三年级下学期期中考试数学试题（理科）答案 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。

1．已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=．若A B =∅I ，则实数m =A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C ．【解析】因为A B =∅I ，所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行，所以12m =.故选C. 2．设复数z 满足1i z z -=-（i 为虚数单位），z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ）A. y x =-B. y x =C. ()()22111x y -+-=D. ()()22111x y +++= 【答案】B【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，∵1i z z -=-，∴1x yi x yi i +-=+-，即2222(1)(1)x y x y -+=+-，化简得y x =．故选：B.3．已知两个单位向量12,e e ，若()1212-⊥e e e ，则12,e e 的夹角为A ．2π3 B ．π3 C ．π4 D ．π6 【答案】B ．【解析】因为()1212-⊥e e e ，所以()12120-⋅=e e e ，所以11222=⋅e e e ， 所以12cos ,=e e 12，又因为[]12,0,∈πe e ，所以12,π3=e e ，故选B. 4．某学校拟从甲、乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为A. 35B. 12C. 25D. 310 【答案】D【解析】所求概率为C 13C 35＝310，故选D .A．521 2- B．131- C．4 D．522【答案】A【解析】如图所示，点P在平面区域内任一点P，点Q在半圆221(01)x y y+=≤≤上，过点O作直线的垂线，垂足为P，交半圆于Q，此时PQ取最小值，求得min52||12PQ=-.6．若)331231log e,2e,a b c-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A．a b c>> B．c a b>> C．a c b>> D．c b a>>【答案】B．【解析】)213032221a==>=，1311331e2eac-⎛⎫==>⎪⎭=⎝，所以1a c<<，33log e log31b=<=，故c a b>>.故选B.7．若tan3cos()2αα⎛⎫-=-π⎪⎝⎭π，则cos2α=A．1- B．79C．0或79D．1-或79【答案】D．【解析】由tan3cos()2αα⎛⎫-=-π⎪⎝⎭π得sin23coscos2αααπ⎛⎫-⎪⎝⎭=-π⎛⎫-⎪⎝⎭,所以cos3cossinααα=-,所以cos0α=或sin31α=-,故2cos22cos11αα=-=-或2cos21279sinαα=-=.故选D.8. 若函数()sin2f x x=的图象向右平移116π个单位得到的图象对应的函数为()g x，则下列说法正确的是（）A. ()g x的图象关于12xπ=-对称 B. ()g x在[]0π，上有2个零点C. ()g x在区间536ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D. ()g x在 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由题意1111()sin2()sin(2)sin(2)633g x x x xπππ=-=-=+，1()sin()12632g πππ-=-+=不是函数的最值，12x π=-不是对称轴，A 错；由()sin(2)03g x x π=+=，2()3x k k Z ππ+=∈，26k x ππ=-，其中5,36ππ是[0,]π上的零点，B 正确；由3222232k x k πππππ+≤+≤+得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，因此()g x 在7(,)312ππ是递减，在75(,)126ππ上递增，C 错； [,0]2x π∈-时，22[,]333x πππ+∈-，3()[1,]g x ∈-，D 错． 故选：B ．9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘3再加1,如果它是偶数.则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入n 的值为10.则输出i 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B 【解析】10．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I 为12PF F ∆的内心，且1122IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，若椭圆的离心率为e ，则λ=（ ）A.1e B.2eC.eD.2e 【答案】A【解析】设12PF F ∆内切圆的半径为r则1112IPF S r PF ∆=⋅，2212IPF S r PF ∆=⋅，121212IF F S r F F ∆=⋅. 1122IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-Q ，112211222r PF r F F r PF λ∴⋅=⋅-⋅整理得1212F F PF PF λ=+，∵P 为椭圆上的点，22c a λ∴⋅=，解得1eλ=. 故选：A11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 是C 上关于原点对称的两点，M 是C上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k „„，则2k 的取值范围为A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A ．【解析】∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，∴2a b =，则双曲线的方程为：22221(0)4x y b b b-=>,设()11,A x y ，()00,M x y ，则()11,B x y --,所以22112222002214,14x y b bx y b b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ()()()()()()()()1010101010102210101,44x x x x y y y y y y y y x x x x b b+-+-+-∴=∴=+-，即1214k k ⋅=，∵112k „„，∴211,84k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选A. 12．若函数()ln xf x a x e =-有极值点，则实数a 的取值范围是A ．(),e -+∞B ．()1,eC ．()1,+∞D ．()0,+∞ 【答案】D 【解析】第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。