04点和直线的投影

ZB <ZA a’ b’ z a” b” b’ YW X ax B a(b) YH H ay Y A O Z
V
a’ az W a” b”
XB =XA a(b)
YB =YA
x ax
o
重影点的投影
a’ (b’)
b”
a”
B A
b
a
S
A
C B
s’
s”
a’ a
b’
c’ c
a”(c”)
b”
s
b
直线的投影
直线的投影
Y
直线的位置
直 观 图
投 影 图
特 征
平行于 面 （水平线）
＝
反映 、实角,
平行于 面 （正平线）
＝
反映 、实角
平行于 面 （侧平线）
＝
反映 、实角
投影面的垂直线 投影特性 例：铅垂线
V
a’ A b’
Z a’’ W
a’
a’’
X
B
O b’’
b’
b’’
a(b) H 水平投影具有积聚性，ab 积聚成一点 正面和侧面投影平行于OZ轴并反映实 长 a’b’=a”b” =AB 对投影面倾角为 =90， = =0 Y
垂直相交的两直线的投影 a
b
A
B c X a a
C c
b H c b
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
例13 已知定点A及正平线CD。试过点A作直线与已知直 线CD 垂直相交。
例14 试过定点A作直线垂直于已知直线EF
例18：以AB为边作一正方形
d’ Z a’ a b’
中点N 等分对角线 AC⊥BD 对边平行且相等
求解点、线、面综合题的一般步骤
已知条件
(1)分析题意
欲求的结果 结果应满足的条件
(2)确定解题方法
直角三角形法 直角投影定理 ……
(3)投影作图
• 作业：P15 P16 • 思考：P14
例10 判断两线段DE、FG 是否平行。
DE、FG共面，故平行。
DE、FG不共面，故不平行。
交叉二直线的投影
AB与CD交叉
A D 3 4 B C d’ d a d a 3(4) b c 3(4)
a’
3’
c’
1’(2’)
4’ b’
2 1
b
c
AB与CD不相交 1和2,3和4是重影点
例11：直线AB与CD交叉，作一水平线与 AB、CD都相交。
一般位置直线的实长和倾角
y AB a’ x b a z o z b’’ a’’ x AB
b’
yw
AB
yh
例1:已知a’b’ ， AB=50，求ab
y a’ x
AB=50
b’
o b
实长
坐 标 差 投影长
y a y b
例2 已知线段AB 的投影，试定出属于AB 的点S 的投影， 使AS 的实长等于已知长度L
c’
a’
d’
b’ b
d
c a
例9：作直线EF垂直于W面，且与AB和CD 相交
a’ e’ c’ f’ d’
b’
c
(e) a(b)
f
d
平行直线的投影
b’
a’ d’ c’
a’
c’
e’
b’ a b c B
d’
d
f’ e
C
c
a
d AB // CD
A
b
D AB不平行于 CD b c d CD不平行于EF
f
a
c’
Z
AB的实长 b
d c
例15 已知水平线AB 及正平线CD，试过定点S 作它们的 公垂线
例16 试过点A作一直角三角形ABC。已知一条直角边BC 属于已知水平线MN，另一直角边为AB，且知 AB:BC=3:2 空间分析：
AB⊥MN
bc =BC
Y
Y
例17 已知菱形对角线AC的两面投影及b’,求该菱形的投影 空间分析：
中途返回请按“ESC”键
投影面平行线的 投影特性
例：正平线
V
a’
Z
A
b’
a’’ W
O b’’ a
实长
a’
a’’
X
B b


b’ b’’
H
b
a
正面投影反映实长 AB=a’b’ 水平投影ab平行于X轴 ab//OX 侧面投影a”b”平行于Z轴 a”b”//OZ 反映直线对H面的倾角角，直线对W 面的倾角，而=0
a(b)
直线的位置
直 观 图
投 影 图
特 征
积聚成一点 垂直于 面 （铅垂线）
⊥ ⊥ ＝
＝
积聚成一点 垂直于 面 （正垂线）
⊥ ⊥ ＝ ＝
积聚成一点 垂直于 面 （侧垂线）
⊥ ⊥ ＝ ＝
一般位置直线 投影特性
三个投影不反映实 长和倾角的大小
a’
a’’
V
a’
Z A
a’’


b’
X C B DO a E b H
1、直角三角形法的作图要领 用线段在某一投影面上的投 影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面 的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为 线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段对该投影面 的倾角。 2、直角三角形的四个要素 直角三角形的四个要素即：实 长、投影长、坐标差 及直线对投影面的 倾角 。已知四 要素中的任意两个，便可确定另外两个。 3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但 用哪个长度来作直角边不能搞错。
点 的 投 影
点在三投影体系中的投影
Z V
z
a’
W
a’ A a”
O
a”
YW
x
o
X
a
H
Y 点的投影证明了三等关系：
a
YH
长对正，高平齐，宽相等
点的坐标
Z
V
z
a’ A
az
W
a’ a”
x
a”
zA
ax
YA
zA
X
xA
o
YW
yA
ay
Y
H
a
YH
例1 已知A点的坐标（15,12,16)，求作 A点的三面投影图。
例6 已知线段AB 和点K 的投影，试判断点K 是否属于AB
两直线的相对位置
两直线在空间的相对位置有三 种情况：平行，相交，交叉(既不 平行也不相交)。
相交直线的投影
c’ a’ d’ c b e d a e e’ b’ B
E D
A b
C
c
a
d
AB与CD相交
交点E满足点的投影规律
例8：过C作直线CD平 行于H面，且与AB相交
b’’ a’’
a’ A
a’’
x ax
o
XA-XB
b
YA-YB
YW
X
a
H b
O
a Y
YH
例：B点在A点的左方10，下方20，前方15
a’
10 20
Z a’’
X
b’
a
15 10
b’’ O YW
b YH
例：B点在A点的右方10，下方20，后方10
a’
10 20 20
a’’
b’ b
10
b’’
10
a
10
重影点的投影和坐标

实长
例3 已知三角形ABC 的投影，试求其实形。
实形
BC实长
Y AB实长
Y
AC实长
直线上点的投影
b’
c’ a’ b” c” a” A b c
从属性
定比性
B C
b
a c
a
ac/cb = a’c’/c’b’ = a”c”/c”b”
定比定理
AC/CB = ac/cb
例4 已知线段AB 的投影图，试将AB 分成2:3两段，求 分点C 的投影。
c’ a’ e’ d’ 1’ 2’ f’ b’ c f 1 e 2 d b
a
例12：判别两根管子的可见性
CD在上
AB在下
AB在前 CD在后
判断下列两直线的相对位置
b’ a’ d’ a’(c’)
b’(d’) a’(c’)
b’ d’
c’
b(d) a(c)
c
a
d b
c b(d) a
a) 平行
c’ a’
W
b’
b’’
b’’
a
b
各种位置的直线投影示例 p’ p’’
a’ a
b’
c’
c
a’’(c’’)
b’’
AB是水平线 AC是侧垂线 BC是水平线 PB是侧平线 PA、PC是一般位置直线
p
b
一般位置直线的实长和倾角
V
a’ A
实长

b’
b’
x B a b H
a’ o
b
Yb-Ya
a
直角三角形法
求直线的实长及倾角 求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何 综合题时经常遇到的基本问题之一，而用直角三 角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。
a’ b’ a b a’’
b’’
• 只需将两点 的同面投影 连接起来， 就得到直线 的投影。
直线的倾角
a’ a’’
V
a’
Z A
a’’


b’
X C B DO a E b H
W
b’
b’’
b’’