投影法和点直线和平面的投影
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第2章 点、线、面的投影
4.特殊点的投影
投影面上的点
1个坐标为0。
坐标轴上的点
2个坐标为0。
例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。 a
Z
a
X
O
YW
a
YH
5.两点的相对位置
Z
Z a b a b b X
a b O
a
A
X b a B O
YW
b Y a
YH
两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或 坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在 前；Z坐标值大的点在上。
2.1 投影法概述
1. 投影法
投射线
A 空间点 S 投影中心
b
a
B
投影
投影面P
将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得 到物体影子的方法称为投影法。
2. 投影法的分类
投 影 法
中心投影法 正投影法：投射线汇交于投射中心的投影法。
（2）平行投影法
投射线相互平行的 投影法，称为平行 投影法。
正投影法
斜投影法
正投影的特点
1.实形性
2.积聚性
3.类似性
3.工程上常用的投影图
• 1.多面正投影图 • 2.轴测投影图 • 3.标高投影图 • 4.透视投影图
（1） 面多正投影
优点：能反映物体的实际形状和大小，度量 性好，作图简便、在工程中被广泛使用。缺 点：是直观性差。
C Ac a
k
d
a
d 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于 两直线。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且 交点属于两直线，则该两直线相交。
（3）交叉两直线
d
点、直线、平面的投影
3、三视图之间的度量关系 “长对正，高平齐，宽相等”
4、三视图与物体方位的关系
主视图——物体的左右和上下关系 左视图——物体的上下和前后关系 侧视图——物体的左右和前后关系
5、三视图的作图步骤 （1）作投影轴及450辅助线 （2）从主视图入手,按照“长对正、高平齐、宽相等”原则作三视图 （3）擦除投影轴、450辅助线及其它作图辅助线
正面V与水平面 H的交线——OX轴
侧面W与水平面 H的交线——OY轴
三条轴线交点为原点O
正面V与侧面W的交线——OZ轴
2、三视图的形成
三视图的组成：主视图（尽量反映物体的主要特征）、俯视图、左视图
三个视图均在一个平面上，三个视图的相对位置不能变动
画视图时，投影面的边框和投影轴不必画出
三个视图的名称不必标注
（4）检查无误后加粗轮廓
例题1：习题集P7 §2-2 点的投影
一、点的三面投影 点的三面投影均在一个平面上，均用小写字母来表示
二、点的三面投影与直角坐标的关系
V 、H、 W面相当于坐标面 投影轴OX 、 OY、 OZ相当于X 、 Y、 Z 轴 原点O相当于坐标原点O 第一分角内的点，其坐标植均为正 每一个投影均能反映点的两个坐标植 例题2：已知点A（20，10，20），求作其三面投影
（2）在另两个投影面上的投影与投影轴平行且反映实长（“实形 性”）；
3、一般位置直线的投影 一般位置直线：同时倾斜于三个投影面的直线 投影特点：（1）三个投影都倾斜于投影轴，且其与投影轴的夹角都不反映直线 对投影面的真实倾角；
（2）三面投影的长度都短于实长 ； （练习及总结） 例题6：已知水平线AB的端点A的投影，直线与V面夹角为300，AB长12mm且B在A 的右前方，求做直线AB的三面投影。 三、点与直线
点直线平面的投影及直线上的点及直线的相对位置关系平面上取点线
例2 判断图中两条直线是否平行。
c
a
d b
c b
da
c
分析：
a 对于特殊位置直线，
b d 只有两个同名投影互相
平行，空间直线不一定
平行。
求出侧面投影后可知：
如何判断？
AB与CD不平行。
方法：求出侧面投影
(2)两直线相交
V c
a
A a
b k
C d
B
KD
d
交点符合点 的投影规律
b c k
a
d
k c
投影特性
点直线平面的投影及直线上的点 及直线的相对位置关系平面上取
点线
2020/11/26
1
一、点的投影
点是形体最基本的元素，点的投影是线面体投影的基础。 1.点在一个投影面上的投影
P
a A
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
P
b
B3 B2 B1
2.点的正投影规律
点的第一条正投影规律
一点在两个投影面上的投影，在投影图上的连线，一 定垂直于该两投影面的交线，即垂直于投影轴。
在三投影面体系中，直线有三种位置： 投影面平行线 ——平行于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的直线。 投影面垂直线 ——垂直于某一个投影面的直线。 一般位置直线 ——对三个投影面都是倾斜的直线。 各种位置直线的投影，都应符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
一般位置平面
特殊位置平面
一般位置平面 与三个投影面都倾斜
1. 投影面垂直面
1. 投影面垂直面 正垂面、铅垂面、侧垂面
第二章 点直线和平面的投影
2、正平线—只平行于正面投影面的直线
Z b a b B
b
a
a
b
a
A
X
O
YW
a
b
a
b YH
投影特性： OX ; =AB ;ab<AB; 投影特性： 1． ab 1． a ba b OZ a b<AB 2． a’b’倾斜于投影轴；ab OX ; a b OZ 2． a b=AB 3． 正面投影反映、角的真实大小 3． 反映、角的真实大小
2.1.2 两点的相对位置
2.1.3 重影点的投影
2.2.2 点在三投影面体系中的投影
一、三投影面体系中点的投影
二、点的直角坐标与三面投影的关系
三、三投影面体系中点的投影规律
V面不动
V
二、 三投影面体系中点的投影
Z Z
a A ax
az
V
W
a
az
a
W
X
a
ax ayH
a
ayW
YW
X
a
H
ay
Y
第二章 点、直线和平面的投影
基本要求 §2-1 点的投影
§2-2 直线的投影
§2-3 平面的投影
基本要求
1. 掌握点、直线和平面的投影规律以及作图方法。
2.掌握各种位置直线和平面的投影特征，作图 方法以及在投影图上正确判断其空间位置。 3.掌握点、直线在平面上的投影作图运用。
2.1
点的投影
2.1.1 点在三投影面体系中的投影
X a b
O
YW
YH
[例题3] 已知点A在点B之右8毫米，之前5毫米，之上9 毫米，求点A的投影。
机械制图-点、直线、平面的投影
特殊位置点的应用
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
点、直线、平面的投影
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四、两直线相对位置
两直线的相对位置有 平行、 相交和交错（或称交叉、异面）。
平行直线的两面投影
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(一)两直线平行
对于两条一般位置直线，只要这两条直线的两面投影 彼此平行，则空间两直线就平行。
两条侧平线 但是对于两条侧平线，要判断它们在空间上是否平行， 侧面投影 还要看它们的侧面投影是否平行。
结论： 直角的两边不平行于投影面时，直角的投影不是直角。
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下图所示 如下图所示，构成直角的两边，AB倾斜于H面，BC平 行于H面，因BC⊥AB，BC⊥Bb，故BC⊥平面ABba，又因 为BC//bc，所以bc⊥平面ABba。加之ab∈平面ABba，所以 bc⊥ab，即∠abc=90°
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H
侧平面
投影特点： 1. W面投影反映实形。 2. V面和H面投影积聚成直线，且分别平行于OZ轴和OYH轴。
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三、平面内的线和点
由初等几何可知，直线和点在平面内的几何条件是： （1）如果一直线通过平面内的两点或通过平面内的一点 示例1 示例2 且平行于平面内的一直线，则此直线属于该平面。 （2）如果点位于平面内任一直线上，则该点属于该平面。示例
D 面ABC
面内定线的方法小结：
方法1：在平面内取两已知点连线。 方法2：过已知点做已知线的平行线。
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例2-10 如下图所示，点M属于三棱锥的一侧面△SAB，已知 △SAB的两投影及点M的H面投影，求：（1）点M的V面投影m ′ ； （2）在△SAB内过点M作一水平线。
Ⅰ
作图步骤：
b
(三)投影面垂直线
投影特性：
四、两直线相对位置
两直线的相对位置有 平行、 相交和交错（或称交叉、异面）。
平行直线的两面投影
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(一)两直线平行
对于两条一般位置直线，只要这两条直线的两面投影 彼此平行，则空间两直线就平行。
两条侧平线 但是对于两条侧平线，要判断它们在空间上是否平行， 侧面投影 还要看它们的侧面投影是否平行。
结论： 直角的两边不平行于投影面时，直角的投影不是直角。
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下图所示 如下图所示，构成直角的两边，AB倾斜于H面，BC平 行于H面，因BC⊥AB，BC⊥Bb，故BC⊥平面ABba，又因 为BC//bc，所以bc⊥平面ABba。加之ab∈平面ABba，所以 bc⊥ab，即∠abc=90°
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H
侧平面
投影特点： 1. W面投影反映实形。 2. V面和H面投影积聚成直线，且分别平行于OZ轴和OYH轴。
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三、平面内的线和点
由初等几何可知，直线和点在平面内的几何条件是： （1）如果一直线通过平面内的两点或通过平面内的一点 示例1 示例2 且平行于平面内的一直线，则此直线属于该平面。 （2）如果点位于平面内任一直线上，则该点属于该平面。示例
D 面ABC
面内定线的方法小结：
方法1：在平面内取两已知点连线。 方法2：过已知点做已知线的平行线。
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例2-10 如下图所示，点M属于三棱锥的一侧面△SAB，已知 △SAB的两投影及点M的H面投影，求：（1）点M的V面投影m ′ ； （2）在△SAB内过点M作一水平线。
Ⅰ
作图步骤：
b
(三)投影面垂直线
投影特性：
第3章 点、直线和平面的投影
《机械制图》课程授课教案第3章点、直线和平面的投影一、本章重点：1．点的坐标与投影，重影点；2．直线在三面投影体系中的投影特性；3．平面的投影特性，平面上的直线和点。
二、本章难点：1．求线段的实长及其对投影面的倾角；2．两直线的相对位置；3．直线上的点和平面上的线。
三、本章要求：掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。
直线上点的投影，平面上的直线和点的倾角。
四、教学手段多媒体教学、习题集作业五、本章内容：3．1 投影法的基本知识3.1.1 投影法概述有太阳光和灯光照射时，物体就会在地面或墙上有影子，这种用投影线通过物体，在给定投影平面图3.1 中心投影法图3.2 平行投1．中心投影法该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。
因此，中心投影法不械制图不采用这种投影法绘制。
但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，2．平行投影法投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。
平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。
另一种是斜投影，投影线正投影法，它是我们学习的重点。
3. 正投影法的基本特性⑴实形性当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图3.5(a)所示。
⑵积聚性当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图3.⑶类似性当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形不变,如多边形的投影仍为多边形,如图3.5(c)所示。
(a) (b)图3.5 正投影法的基本特性3.1.2 三视图的形成根据GB/T14692—1993《技术制图投影法》规定，用正投影法所绘制的物体的图形，称为视图。
1．三投影面体系图3.6 三投影面体系图3.7 三视三投影面体系由三个相互垂直的投影面组成。
点、直线和平面的投影
例2-1 已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，点B的正面投影b′和水平投 影b，如图2-11(a)所示，分别求其第三面投影。
图2-11 已知点的两面投影求第三投影
二、直线的投影
1.各种位置直线的投影特性
1）投影面平行线 投影面平行线与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。 （1）投影面平行线在其所平行的投影面上的投影，反映实长；它与投影轴 的夹角，分别反映直线对另外两个投影面的夹角。 （2）在另外两个投影面上的投影，分别平行于相应的投影轴。 2）投影面垂直线 投影面垂直线与一个投影面垂直，与另外两个投影面平行。 （1）投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成一点。 （2）在另外两个投影面上的投影，分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。 3）一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映 实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角 。 一般位置直线的投影特性是三个投影都是倾斜于投影轴的直线，其长度小 于实长。
（2）点的投影到投影轴的距离反映空间点到另一投影面的距离，即 a′aX=a″aYW=Aa，也即空间点A到H面的距离；aaX=a″aZ=Aa′，也即空间点 A到V面的距离；a′aZ=aaYH=Aa″，也即空间点A到W面的距离。
为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离， 即aaX＝a″aZ，可自O点作45°角平分线，aaYH、a″aYW的延长线必与这条 辅助线交于一点，如图2-10(c)所示。
工程制图
点、直线和平面的投影
一、点的投影
点是立体上最基本的几何元素，一般体现为棱线和棱线的交点，如图2-10(a) 所示的点A。
根据投影关系，主视图上的a′称为点A的正面投影；俯视图上的a称为点A的 水平投影；左视图上的a″称为点A的侧面投影，如图2-10(b)所示。