点、直线、平面的投影及直线上的点及直线的相对位置关系、平面上取点线

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道路工程识图与绘图模块4点、直线、平面的投影

图4-2 阳光照射下桥梁在地面上产生的影子
4.1.1 投影的概念、投影法的分类及正投影的特性
人们经过长期的实践，将这些现象加以抽象、分析研究和科学总结，从中找出影子和形体之间的关系，用以指导工程实践。这种用光线照射形体，在预先设置的平面上投影产生影像的方法称为投影法。光源称为投影中心，从光源射出的光线称为投影线，预设的平面称为投影面，形体在预设的平面上的投影称为形体在投影面上的投影。
道路工程识图与绘图
模块4 点、直线、平面的投影
4.1 投影的基础知识 4.2 点的投影知识 4.3 直线的投影知识 4.4 平面的投影知识
模块4 点、直线、平面的投影
知识目标
（1）了解点、直线、平面的基本投影规律和点的坐标。（2）理解点的坐标与三面投影的关系及直线和平面的空间位置。（3）掌握平面的投影及平面上的点和直线的投影。
【例4-1】
4.1.2 三面投影
图4-18 绘制三面投影图的方法、步骤 (a)已知形体(b)绘制三面投影体系(c)量取长、高，画正视图 (d)按“长对正”绘制俯视图(e) 按“高平齐”“宽相等”绘制左视图(f)检查加深，完成作图
4.1.2 三面投影
【分析】正面投影方向为直观图中正视所指方向［见图 4-18（a）］，形体的前后两面平行于V投影面，较能代表其与众不同的特征形状，因而画好投影轴、大致将三个图样位置划分好后，可以着手作图。
（2）由前向后投影，在V面上得到了形体的V面投影图。
（3）由左向右投影，在W面上得到了形体的W面投影图。
4.1.2 三面投影
三投影面体系是在三维立体空间建立的，为了使三面投影图能画在一张图纸上，还必须把三个投影面展开，使之平铺在同一平面上。三面投影的规定为：V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，使它们转至与V面同在一个平面上，如图4-13所示，这样就能够得到画在同一平面上的三面投影图。

机械制图-点、直线、平面的投影

特殊位置点的应用
在机械制图中，特殊位置点常用于确定物体的形状和大小，如交点、切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影与原直线平行或重合，且长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影与原直线垂直，且高度不变。
水平投影
直线在水平投影面上的投影与原直线平行，且长度不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行，且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交，且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直，且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达和交流设计思想的一种语言，而点、直线和平面的投影是机械制图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在机械制图中的投影原理和方法，帮助读者更好地理解和应用机械制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法，其中平行投影法又分为正投影法和斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投影点。

第四章点线面的投影 (1)

b′
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab，问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中（1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线上的三个点
c
直线及直线外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点，则称这两点为对该投影面的重影点。

《画法几何》第2章点、直线、平面的投影

相交（或交叉）成直角的两直线，只要其中有一条直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍反映直角
水平线
Ｂ
b a
ＡＣ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4）（
1
b
判断重影点重合投影的可见性时，要在其他投影中比较它们坐标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角（直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α

《机械制图》教案——第二章-2 点线面的投影

点、直线和平面的投影教学目的要求:1.点的投影及作图.2.各种位置直线的投影,及两直线的相对位置.3.直角三角形法求直线的实长和倾角,直角定理.4.各种位置平面的投影,平面上取点取线的作图.教学重点难点:1.各种位置直线的投影.2.各种位置平面的投影.3.平面上取点取线的作图.学时: 3§ 1点的投影1.1点的三面投影本节教学目标：点在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法。

重点：点在两投影面体系及三投影面体系中的投影，两点的相对位置及重影点的投影。

难点：重影点的投影。

引入：点是最基本的几何元素，以此来分析点在空间中的位置关系及规律。

1.1.1三面投影的规律点的三面投影：水平投影 a → H正面投影 a´→ V侧面投影 a″→ W点的三面投影规律：a′a ⊥ oxa′a″⊥ oza aх =a″az1.1.2点的投影与坐标的关系一、三投影面体系中点的投影A a = a′ax = a″ay = 高标（Z标）A a′= a ax = a″az = 纵标（Y标）A a″= a′az = aay = 横标（X标）V、H 投影反映XV、W 投影反映ZH、W 投影反映Y1.点在三投影面体系中的投影空间点 A的位置确定后，那么它的三面投影（ a、a′、 a″）投影就确定了，反之如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。

2.术语及规定习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示。

3.投影性质点的两投影的连线垂直于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离反映空间点到投影面的距离。

二、特殊位置点的投影1.其他分角内的点两投影面体系——四分角；三投影面体系——八分角。

2.其他情况投影面上的点的投影关系；投影轴上的点的投影关系1.2两点的相对位置和重影点1.2.1两点的相对位置根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。

XA<XB B点在A左方 YA>YB B点在A点后方 ZA>ZB B点在A点下方例：比较三棱锥四个顶点S、A、B、C的位置。

点、直线和平面的投影

例2-1 已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，点B的正面投影b′和水平投影b，如图2-11(a)所示，分别求其第三面投影。
图2-11 已知点的两面投影求第三投影
二、直线的投影
1.各种位置直线的投影特性
1）投影面平行线投影面平行线与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。（1）投影面平行线在其所平行的投影面上的投影，反映实长；它与投影轴的夹角，分别反映直线对另外两个投影面的夹角。（2）在另外两个投影面上的投影，分别平行于相应的投影轴。 2）投影面垂直线投影面垂直线与一个投影面垂直，与另外两个投影面平行。（1）投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成一点。（2）在另外两个投影面上的投影，分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。 3）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角。一般位置直线的投影特性是三个投影都是倾斜于投影轴的直线，其长度小于实长。
（2）点的投影到投影轴的距离反映空间点到另一投影面的距离，即 a′aX=a″aYW=Aa，也即空间点A到H面的距离；aaX=a″aZ=Aa′，也即空间点 A到V面的距离；a′aZ=aaYH=Aa″，也即空间点A到W面的距离。
为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aaX＝a″aZ，可自O点作45°角平分线，aaYH、a″aYW的延长线必与这条辅助线交于一点，如图2-10(c)所示。
工程制图
点、直线和平面的投影
一、点的投影
点是立体上最基本的几何元素，一般体现为棱线和棱线的交点，如图2-10(a) 所示的点A。
根据投影关系，主视图上的a′称为点A的正面投影；俯视图上的a称为点A的水平投影；左视图上的a″称为点A的侧面投影，如图2-10(b)所示。

点直线平面投影知识点

点直线平面投影知识点投影是几何学中的一个重要概念，它描述了一个物体在某个平面上的阴影或映像。

在几何学中，我们经常需要计算点、直线或平面在一个给定平面上的投影，以便更好地研究物体的形状和位置。

本文将介绍点、直线和平面在投影过程中的一些基本知识点。

1.点的投影点的投影是指一个点在一个给定平面上的映像。

当我们将一个点垂直投影到一个平面上时，投影点与原点和投影平面上的点构成的直线相垂直。

我们可以使用垂直投影的概念来计算点的投影坐标。

2.直线的投影直线的投影是指一个直线在一个给定平面上的映像。

当直线与投影平面垂直时，其投影为一条线段，两者之间的关系是平行的。

当直线与投影平面不垂直时，其投影为一个线段或线段的集合，我们可以使用投影法来计算直线的投影。

3.平面的投影平面的投影是指一个平面在一个给定平面上的映像。

我们可以使用平行投影或透视投影来计算平面的投影。

平行投影时，平面的投影与原平面平行，透视投影时，平面的投影会根据视点的位置而有所变化。

4.投影的性质投影的性质是指投影过程中的一些重要特点。

首先，投影不改变物体之间的相对位置关系，即在投影平面上两个点的距离与它们在原物体上的距离相等。

其次，正交投影保持直线的直线性质，即投影线段仍然是直线。

最后，平行投影保持平面的平面性质，即投影平面上的点仍然在同一个平面上。

综上所述，点、直线和平面的投影是几何学中的基本概念。

了解投影的计算方法和性质可以帮助我们更好地理解物体的形状和位置。

通过使用适当的数学方法和工具，我们可以计算出物体在给定平面上的投影，从而更好地分析和描述几何问题。

这些投影知识不仅在几何学中有重要应用，还在计算机图形学、建筑设计、工程制图等领域中发挥着重要作用。

2：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)

●
1(2 ) 3 4
●
两直线相交吗？投影特性（判别方法）：为什么？ ★ 同面投影可能相交，但
●
●
●
●
Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
例10：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。
d' a' c' b’ b1 c1
X
d
b c
O
a
例11 判断两直线的相对位置。

解法一：
z
c b
d a o YW
|yA-yB|
a
O

ab
b
AB
a
|yA-yB|
2013/7/14
15
求直线的实长及对侧面投影面的倾角角
b
B
a
b

b a
A a
|xA-xB|
2013/7/14 16
直角三角形法求线段实长及线段与投影面的倾角
即：直角三角形的组成:斜边－实长
直角边1－投影,直角边2－坐标差, 投影与实长的夹角－倾角。
与三个投影面都倾斜
各种位置直线的投影特性
投影面平行线——
水平线（平行于Ｈ面且…）
正平线（平行于Ｖ面且…）侧平线（平行于Ｗ面且…）
2013/7/14
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z b a B
实长

b
b
a
a
b
a
A
X
O
YW
正平线的投影特性： 1、正面投影反映直线段的实长。该投影与OX轴、OZ轴 a b b a 的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。（a b=AB， YH 反映、角的真实大小）； 2、在H面、W面上的投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且小于实长。（ab OX ; a b OZ）

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二、直线的投影
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线
投影面垂直线读图问题-举例
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
在三投影面体系中，直线有三种位置：投影面平行线 ——平行于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的直线。投影面垂直线 ——垂直于某一个投影面的直线。一般位置直线 ——对三个投影面都是倾斜的直线。各种位置直线的投影，都应符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
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a
●
O
ay ay
Y
不动
W
V a
●
向右翻
Z
转90°
aZ
A
Y
X
a X
●
●a
O
W
a●
aY
H
向下翻转
Y
90°
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点的投影与点的坐标的关系
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例1 已知点A的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
az ●a
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线铅垂线 ——垂直于水平面的直线称为水平线。正垂线——垂直于正面的直线称为正垂线。侧垂线 ——垂直于侧面的直线称为侧垂线。
正垂线的投影特点: 正面投影a'b'成为一个点，有积聚性；水平投影ab垂直于OX轴，且反映实长；侧面投影a"b"垂直于γ
正平线的投影特点: 正面投影a’b’为倾斜线段，且反映实长及夹角；水平投影ab平行于OX轴，小于实长；侧面投影a"b"平行于OZ轴，小于实长。
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线
投影面平行线读图问题-举例
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线铅垂线 ——垂直于水平面的直线称为铅垂线。正垂线——垂直于正面的直线称为正垂线。侧垂线 ——垂直于侧面的直线称为侧垂线。
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2.点的正投影规律
点的第一条正投影规律一点在两个投影面上的投影，在投影图上的连线，一
定垂直于该两投影面的交线，即垂直于投影轴。
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点的第二条正投影规律
空间一点到某一投影面的距离，等于该点在任意一个与该投影面垂直的投影面上的投影到其投影轴的距离。
直线对一个投影面的投影特性：
A●
M● B●
●
a(m)(b)
B
●
A●
●b a●
●B α A
●
●b a●
直线垂直于投影面直线平行于投影面
投影重合为一点投影反映线段实长
积聚性
ab=AB
直线倾斜于投影面投影比空间线段短
ab=ABcosα
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二、直线的投影
直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。
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重影点
A、C为H面的重影点
空间两点在某一投
a ●
●a
影面上的投影重合为一 c●
● c
点时，则称此两点为该
投影面的重影点。
●
a (c)
被挡住的投影加( )
A、C为哪个投
？影面的重影点
呢
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二、直线的投影
直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。
空间点A在哪里？
空间点A在OX轴
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上
点的直观图的做法
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两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
判断方法 ▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上
a●
b●
X
a●
●
b
Z ●a ● b
YW YH
B点在A点之前、之右、之下。
(3) 一般位置直线对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(3) 一般位置直线对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
一般位置直线的投影特性是：三个投影都是倾斜线段，且都小于实长。
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线水平线 ——平行于水平面的直线称为水平线。正平线——平行于正面的直线称为正平线。侧平线 ——平行于侧面的直线称为侧平线。
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线水平线 ——平行于水平面的直线称为水平线。正平线——平行于正面的直线称为正平线。侧平线 ——平行于侧面的直线称为侧平线。
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3. 点的三面投影
空间点A在三个投影面上的投影
V
a
点A的正面投影
a●
A
●
a
点A的水平投影 X
Z
● a OW
a 点A的侧面投影
a●
H Y
空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。
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投影面展开
V
a ●
X
ax
a● H
Z
az
第三章点、直线、平面基本内容:
一、点的投影二、直线的投影三、平面的投影四、两直线的相对位置关系
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一、点的投影
点是形体最基本的元素，点的投影是线面体投影的基础。 1.点在一个投影面上的投影
P
a A
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
P
b
B3 B2 B1
通过作45°线
使aaZ=aaX
aX
a●
解法二:
用圆规直接量
取aaZ=aaX
a●
aX
a●
aZ
a
●
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例2 已知点的两个投影，求第三投影。
Z
b● b
b
●
在哪里？
Z
a
●
在哪里？
X
O●
b
Y
X
a ●
a
O a ●
Y
空间点B在哪里？
空间点B在OZ轴
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