直线与平面、平面与平面的相对位置
高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件
1，2，3（1）（2）
21
补充练习金太：阳教育网
l 1、A为直线 l上的点，又点A不在平面
与 的公共点最多有 _______1个.
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内，则
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平
面，则可以作_____1_或___4_或___6个不同的平面 .
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金太阳教育网
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2
金实太阳教例育网引入
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观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
3
一.平面金太的阳教育概网 念：
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光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
文字语金言太阳：教育网 公理1.如果一条直线上两点品信质赖在来源自于专诚一业信 个平面内，那么这条直线在此平
面内（即这条直线上的所有的点
23
点、线金、太阳面教之育网间的位置关系及语言表达
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文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
α
A
α
α
A
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α＝φ 或 a∥α24
B A
B
CαA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。
直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2．直线 a 在平面 γ 外，则( A．a∥γ B．a 与 γ 至少有一个公共点 C．a∩γ＝A D．a 与 γ 至多有一个公共点
【答案】 D
)
(
3．直线 a∥直线 b，b⊂平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 ) A．a∥α B．a⊂α C．a∥α 或 a⊂α D．a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交
思考讨论 分别指出下列各图中直线与平面的关系，并总结它们的 特点，用符号表示出来．
提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点，符号表示 为：a⊂α； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，符号表示 为：a∩α＝A； (3)直线与平面平行——没有公共点，符号表示为：a∥α.
课前预习 1.直线与平面平行是指( ) A．直线与平面内的无数条直线都无公共点 B．直线上两点到平面的距离相等 C．直线与平面无公共点 D．直线不在平面内
【分析】 由题目可获取以下主要信息：本题主要考查 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本 题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空 间想象能力作出判断．
【解析】 由公理 4 知①正确；由直线与平面平行的位 置关系知⑤正确．从而选 A.其中②是错误的，因为平行于 同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异 面．③是错误的，因为当 a∥c，c∥α 时，可能 a∥α，也可能 a⊂α.对于④，α，β 可能平行，也可能相交． 【答案】 A
公共点情况 符号语言 ②有无数个 ③a⊂α 公共点 ⑤有且只有 ⑥a∩α＝ 一个公共点 A ⑧没有公共 ⑨a∥α 点
2.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 3．平面与平面的位置关系 位置 图形语言 公共点情况 符号语言 关系 两平 ②无数个， 面相 ① 构成一条直 ③α∩β＝a 交 线 两平 面平 ⑤无公共点 ⑥α∥β 行 ④
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
平面和直线的位置关系
平面和直线的位置关系
平面和直线是几何学中常见的基本图形，它们在空间中的位置关系有以下几种情况：
1. 直线在平面内：当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在这个平面内。
这种情况下，直线与平面有唯一的交点，也就是直线的一个端点与平面的一个点重合。
2. 直线与平面相交：当一条直线与一个平面有交点时，我们称这条直线与这个平面相交。
这种情况下，直线与平面有无限多个交点，交点的数量取决于直线与平面的相对位置。
3. 直线与平面平行：当一条直线与一个平面没有交点且与平面上任意一条直线的夹角为零时，我们称这条直线与这个平面平行。
这种情况下，直线与平面之间没有交点。
4. 直线与平面垂直：当一条直线与一个平面上的任意一条直线的夹角为90度时，我们称这条直线与这个平面垂直。
这种情况下，直线与平面有唯一的交点，交点位于直线与平面的垂线上。
总之，平面和直线的位置关系有多种情况，要根据具体的情况来判断它们之间的
关系。
在实际应用中，我们需要根据需要来选择适当的位置关系，以便更好地解决问题。
画法几何及机械制图课件：第章直线、平面的相对位置 (一)
画法几何及机械制图课件：第章直线、平面
的相对位置 (一)
本文将从以下三个方面详细介绍《画法几何及机械制图课件》第一章内容，主要包括直线、平面基本概念、相互位置关系和解题技巧。
一、基本概念
直线：有无数个点组成，是长度无限的线段。
通常用一字母标记，如AB。
平面：是用无数个点组成的，长度和宽度均无限的平面。
通常用大写字母表示，如平面α。
向量：它由长度和方向两部分组成，通常用小写字母加无箭头表示，如a。
二、相互位置关系
相交：两条直线或直线与平面相交于一点。
平行：两条直线不相交，在平面外平移但方向不变。
垂直：两条直线相交，在相交点处互相垂直。
相交于无穷远处：两条平行直线或直线与平面，因长度无限，永远不相交。
但可借助扩展线找到两条直线的交点，如图1-5。
三、解题技巧
绘图法：根据问题条件用图示，找到几何实体的相对位置。
假设法：缺少某个条件时，可以先“假设”该条件成立，然后根据已知条件推出结论，并且判断假设条件是否合理。
巧用扩展线：有些相互位置关系，可能在图中表现不出来，可以利用扩展线把直线或平面延长，找到相应点的位置。
综上所述，《画法几何及机械制图课件》第一章介绍了直线、平面的基本概念和相互位置关系，以及解决几何问题的技巧。
这些基础内容是后续学习几何和机械制图必须掌握的知识点，希望同学们能够认真学习和练习，掌握相关技能，为更深入的学习打下坚实的基础。
线与平面的关系知识点总结
线与平面的关系知识点总结1. 线与平面的位置关系线与平面的位置关系是指直线和平面之间的相对位置。
根据位置关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在平面内。
这时，直线的任意一点都在平面内，直线与平面重合。
（2）直线与平面相交当一条直线和一个平面相交于一点，但不在平面内时，我们称这条直线与平面相交。
这时，直线穿过平面，但不在平面内部。
（3）直线与平面平行当一条直线与一个平面相交，但与平面的交点无穷多，且直线与平面的方向相同时，我们称这条直线与平面平行。
这时，直线和平面永远不会相交。
（4）直线与平面垂直当一条直线与一个平面相交，且直线与平面的夹角为90°时，我们称这条直线与平面垂直。
这时，直线和平面的交点在平面内，直线和平面互相垂直。
2. 线与平面的相交关系线与平面的相交关系是指直线和平面之间的交点个数和位置关系。
根据相交关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面相交于一个点时，我们称这条直线与平面相交于一点。
这时，直线通过平面上的一个点。
（2）直线与平面相交于一条直线当一条直线与一个平面相交于一条直线时，我们称这条直线与平面相交于一条直线。
这时，直线穿过平面，但不在平面内部。
（3）直线与平面相交于多个点当一条直线与一个平面相交于多个点时，我们称这条直线与平面相交于多个点。
这时，直线穿过平面，且在平面上有多个交点。
3. 线与平面的垂直关系线与平面的垂直关系是指直线和平面之间的夹角关系。
当直线和平面互相垂直时，它们之间的夹角为90°，即直线与平面相互垂直。
根据垂直关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线与平面垂直当一条直线与一个平面相交，且直线与平面的夹角为90°时，我们称这条直线与平面垂直。
这时，直线和平面互相垂直。
（2）平面与平面垂直当两个平面的法向量互相垂直时，我们称这两个平面互相垂直。
直线与平面相交PPT课件
方法： 4. 两个一般位置平面相交（略）
1.求一平面与另一 平面的两直线 的交点（辅助 平面法）。
2.两交点的连线为 交线。
D
H
●A
M
●
B
N
●
●
C
E
F
.
16
作业：
P7： 4、5、6、8、9题
.
17
.
18
小结
重点掌握：
★ 点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直 线与平面的投影特性（积聚性）。
★ 点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。
一、直线上的点
⒈ 点的投影在直线的同面投影上。 ⒉ 点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。
⒊ 判断方法
① 直线为一般位置时 ② 直线为特殊位置时
c b
a
a
k●
b
cb
a k●
a
b
.
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二、两直线的相对位置
⒈ 平行
同名投影互相平行。
①
b
d
a
c
a
c
b
⑴ 平面为特殊位置
b
n
空间及投影分析
平面ABC是一铅垂面，
k
a
1(2) ●
●
m
m a
●2
●
●
1
b
k
其水平投影积聚成一条直
线，该直线与mn的交点即
c 为K点的水平投影。
作图
用线上
c ①求交点
取点法
②判别可见性
由水平投影可知，KN n 段在平面前，故正面投影
上kn为可见。
还可通过重影点判别可见性。
.
7
⑵ 直线为特殊位置