直线与平面平面与平面的相对位置分解

例1.判断直线MK与平面AB×CD是否垂直？
m'
答案：垂直
m
例2： 已知由平行两直线AB 和CD 给定的平面， 试判断直线MN 是否垂直于该平面。
垂直
不垂直
答案：不垂直
例3：给定平面△ABC，试过定点S 作平面的垂线。 SF 即为所求
2.平面与平面垂直
甲
定理：若甲平面
经过乙平面的一
乙
垂线，则甲乙两
DE
EF X
FD
再用一般位置 直线与一般位 置平面相交求 交点的方法求 两一般位置平 面的交线
判别可见性
三、垂直问题
包 括
直线与平面垂直 平面与平面垂直
1.直线与平面垂直
定理：若一直线 垂直于平面内的 两条相交直线， 则该直线与该平 面垂直。
依据该定理可解决两类问题：
1.判断直线与平面是否垂直？ 2.解决点、直线、平面之间的 定位和度量问题。
m′
●
c′
f′
① 求交线
② 判别可见性
对两平面重影范围边框线 的虚实做出判断
方法：
直观法
重影点可见性判别法
a
判断结果须符合的规律：
沿重影范围边框线走一圈，
bn ●
h(f) 符合两个虚实相反：
m●
●不同平面上相邻两段，虚实相反；
●同一平面上以交点作为分界的两段，
d(e)
c 虚实相反。
一平面为特殊位置平面
⑵
d′
h′
b′
n′ ●
e′
m′
●
c′
f′
a
bn ● d(e)
h(f) m●
c
⑶
b
f
m ●
d
a
k ●
n
●
e
c
f
b
m●
e
a
k n ● ●
c d
互交
⑶
f
a
b
m
●
d
k
●
e c
f
b
m●
a
●
k
d
e
c
互交
（4）
求两一般位置平面的交线
如何求交线?
用直线与平面 相交求交点的 方法求交线
先筛选
AB X BC X CA X
的两个端点就是一平面的边线
与对方平面的交点。
M
即判别两平面之间的相互遮挡关系。
例：求两平面的交线MN，并判别可见性。
⑴ a
b m(n) ● e
两平面均为特殊位置平面
f
① 求交线
c
② 判别可见性
d X
a
d
e
O
对两平面重影范围边框线 的虚实做出判断
n
●
c
方法：
直观法
例6：已知由平行两直线AB 和CD 给定的平面。试 过定点K 作一平面平行于已知平面。
两相交直线(GH X EF) 即为所求
二、相交问题
包 括
直线与平面相交
⒈ 直线与平面相交 平面与平面相交 直线与平面相交存在一个交点，该交点是 直线与平面之间的共有点。
要解决的问题：
●
●
① 求交点
② 判别可见性
1
方法： 直观法
重影点可见性判别法
直线为特殊位置
(3)
一般位置直线 一般位置平面 如何求交线？
求一般位置直线与一般位置平面之间交线的方法
——辅助平面法
P K
该法求作交点的步骤：
1.含已知直线DE 作辅助平面P；
2.求辅助平面P与已知平面
ABC 的交线MN ; 3.求交线MN与已知直线DE
的交点K .
n
●
c
a
d
m●
n
b
唯一解
2.平面与平面平行
定理：若甲平面内的两条相交直线 对应平行于乙平面内的两条相交直 线，则甲乙两平面平行。
依据该定理可解决两类问题：
1.判断两平面是否平行？
2.解决点、直线、平面之间的 定位和度量问题。
例4：试判断两已知平面ABC 和DEF 是否平行
答案：平行
例5：判别两平面是否平行。 答案：平行
即判别投影时直线被平面的遮挡情况。
例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴
b
k ●
a m
n
① 求交点
点属于 直线法
②判别可见性
c
方法：
m bk
a
●
c
直观法
重影点可见性判别法
n
平面为特殊位置
⑵
b m
k●
平面上取点法
c ① 求交点
a
●1(2)
n
② 判别可见性
b
m( k(n●)2)
c
●
a
●m
b
f
判断结果须符合的规律：
重影点可见性判别法
沿重影范围边框线走一圈，符合两个虚实相反： 不同平面上相邻两段，虚实相反； 同一平面上以交点作为分界的相邻两段，虚实相反。
例：求两平面的交线MN，并判别可见性。
⑴ a
d X
a d
b
m(n) ● e
f
c
O
e
n
●
c
●m
b
f
⑵
d′
h′
a′
b′ n′ ● e′
1.判断直线与平面是否平行？ 2.解决点、直线、平面之间的 定位和度量问题。
例1: 试判断已知直线AB 是否平行于平面CDE。
答案：不平行
例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
b
d
n
a 有多少解？
●m c
有无数解
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
b
正平线
d
a
c m
4.4直线与平面 平面与平面相对位置
主要内容：
1.平行问题 2.相交问题 3.垂直问题
直线与平面、平面与平面的相对位置包括： 平行、相交和垂直。
一、平行问题
包 括
直线与平面平行 平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行
定理：若平面外的一直线平行于平 面内的一条直线，则该直线与该平 面平行。
C D
依据该定理可解决两类问题：
为方便作图，应选择辅 助平面为垂直面！！
以铅垂面为辅助平面作图
1.含已知直线DE 作辅助 铅垂面P ;
2.求辅助铅垂面P 与已知平 面ABC 的交线MN ;
3.求交线MN 与已知 直线DE 的交点K .
判别可见性
⒉ 平面与平面相交
两平面相交存在一条交线。交线是两平面的共
有线；若相交两平面为有形有限大的平面，交线段
平面垂直。
依据该定理可解决两类问题：
1.判断直线与平面是否垂直？ 2.解决点、直线、平面之间的 定位和度量问题。
例4： 试判断△KMN 与相交两直线AB 和CD 所给
定的平面是否垂直?
正水平线
答案：不垂直
例5：过定点S 作平面垂直于平面△ABC.
S' S
两相交直线FS×SN 即为所求 是否唯一解？