第3章 点、直线和平面的投影
3第三章点直线和平面的投影剖析
侧垂线 AB为_______线
倾斜线 BC为_______线
水平线 CD为_______线
b YH
东北大学 工程图学教研室
三、直线上点的投影★★ P42
a c b
b
§3－2 直线的投影
a c
AC:CB=ac:cb=a'c':c'b'=a"c":c"b"
Z
a
a
c
c
a
b
c
X
O
b
a
c
b YH
b YW
1、点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上； 2、点分线段成定比，其空间比等于投影比。
Z a
§3－1 点的投影 a
X
ax
O
YW
a YH
a a OX ; a a OZ ; aax = a az
东北大学 工程图学教研室
3.1 点的投影（习题集14页） 3.1.1 已知下列各点的坐标，画出它们的三 面投影。
1. A（8，12，18）
Z
a
a"
X
O
YW
a YH
东北大学 工程图学教研室
3.1.4 已知下列各点的两个投影，求作它们 的第三投影。
PV
PW
PH
§3－3 平面的投影
Z
PV
X
O
PH
PW YW
迹线 —— 平面与投影面的交线
东北大学 工程图学教研室
YH 正面迹线 水平迹线 侧面迹线
平面对投影面的倾角、 、
二、各种位置平面的投影特性★★P50 表3-3，3-4
§3－3 平面的投影
投影面垂直面：垂直于一个、倾 斜于另两个投影面的平面
工程制图第3章 点、直线和平面的投影
β
SH
O
α
Y
H
YH
V
a
A
a
b c
B
b
H
水平面
a
b a W c
C
a
c
b c
b c
b a c
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
V b
正平面
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示 Z
SH
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b
第3章 点线面的投影
b a a b a
b
投影特性：
三个投影都为类似 形。即: 都不反映空间 线段的实长及与三个投 影面夹角的实大，且与 三根投影轴都倾斜。
三、直线上点的投影
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 为什么？ 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
投影特性：
例：判断两直线的相对位置
c
1 a d d 1
相交吗？
b
X
a
c 1d
b
1c
判断两直线重影点的可见性
a k● b a
●
k
b
a k●
b
因k 不在a b 上， 故点K不在AB上。
另一判断法 如何判断 ? ?
应用定比定理
例3 ：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k
b
●
解法二： （应用定比定理）
a
a k
● ●
●
k● b
怎么做?
b
b
k● a
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a
A a c k b
注意：交点 为两直线共 有！
B c b k d
C
d K D d
k
a b
H
c
a c k
d
b
投影特性：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 (反之 用于判断） 。
第三章点、直线及平面的投影详解
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
第3章-点线面投影
V面倾斜
a”b”与OYW夹角反映α实际大小，
编辑a版”pbp”t 与OZ夹角反映β实际大小。 22
投影面平行线的投影特性
名称 水平线(‖H面，对V、W面 正平线(‖V面，对H、W面 侧平线(‖W面，对H、V
b=AB；
1.正面投影a’b’=AB；
1.侧面投影a”b”=AB；
– 点的三面投影及其规律，两点的相对位置；
– 各种位置直线的投影特点，直角三角形法求直 线的实长，两直线的相对位置；
– 各种平面的表示法，各种位置平面的投影特点， 直线与平面、平面与平面的相对位置。
编辑版ppt
3
3.1 三面投影体系与物体的三视图
一、三投影面体系与物体的三视图 1.单面投影
空间形体1
水平投影ab‖ OX，侧面投影 a”b” ‖OZ，都不反映实长；
a’b’与OX夹角反映α实际大小，
a’b’与OZ夹角反映γ实际大小。
编辑版ppt
21
2.投影面平行线——侧平线
直线AB与哪个投影面 平行？
实长
侧面投影a”b”=AB；
平行于W面，对H、
水平投影ab‖ OYH，正面投影 a’b’ ‖OZ，都不反映实长；
性 大小。
实际大小。
A、B为基于H面的重影点。
编辑版ppt
不可见点一般 加括号表示
思考：基于V面、W面的重 影点的投影图。
15
3.3 直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线 连接，就得到直线的同名投影。
编辑版ppt
16
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
垂直于投影面； 直线平行于投影面； 直线倾斜于投影面；
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
第三章 点、直线、平面的投影
C b
O
|YA-YB| X
a b
ab
AB
a
|YA-YB|
|YA-YB|
ab
3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z
b b Z a
B
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直线实长
直线实长
直线实长
△Z
△Y
△X
α
水平投影长
β
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影
第三章 点、直线、平面的投影
3-1 点的投影
一、点的三面投影
二、点的投影与直角坐标的关系
三、点的投影规律
四、空间点的相对位置
一、点的三面投影
为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等； 水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用 相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面投影用相 应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。
b
d d c
b
a
d
A
b
a
例：判断图中两条直线是否平行。
①
a
a c c c d c b d a b a b b d c b d a c b d
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
②
a
d
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
a
X A a O bo b
土木工程制图第三章点直线和平面的投影
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
第三章 点、直线、平面的投影
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
V
Z a b ab B W O a Ha X O YW a b Z a(b)
A X
b YH
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下：
（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；
c'
c
例3：已知C点在直线AB上，求作C点的水平投影。
1、用等比分割作图 2、利用侧面投影作图
a" c" b"
c c
例4：根据投影图判断C点是否在直线AB上。
求解一般位置直线的实长及倾角
根据一般位置直线的投影求解其实长及 倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本 问题之一，也是工程实际中经常需要解决的 问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最 为简便、快捷。
一、直线投影的形成
连两 影 一 况 即个 ， 直 下 可点 只 线 仍 由 。的 需 ， 为 于 投作故直直 影出要线线 ，已获，的 再知得且投 将直直两影 它线线点一 们上的决般 相的投定情
V
a'
b'
B
X
A
O b a H
直线的分类
投影面垂直线 特殊位置直线
直 线
投影面平行线 一般位置直线
二、特殊位置直线
水平投影到OX轴的距 离等于侧面投影到OZ轴 的距离（宽相等）。
a
ay YH
可得出点的投影特性如下： （1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。
（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。
【例3-1】 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其 侧面投影a″ 解: 作图步骤如下
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《机械制图》课程授课教案第3章点、直线和平面的投影一、本章重点：1．点的坐标与投影，重影点；2．直线在三面投影体系中的投影特性；3．平面的投影特性，平面上的直线和点。
二、本章难点：1．求线段的实长及其对投影面的倾角；2．两直线的相对位置；3．直线上的点和平面上的线。
三、本章要求：掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。
直线上点的投影，平面上的直线和点的倾角。
四、教学手段多媒体教学、习题集作业五、本章内容：3．1 投影法的基本知识3.1.1 投影法概述有太阳光和灯光照射时，物体就会在地面或墙上有影子，这种用投影线通过物体，在给定投影平面图3.1 中心投影法图3.2 平行投1．中心投影法该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。
因此，中心投影法不械制图不采用这种投影法绘制。
但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，2．平行投影法投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。
平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。
另一种是斜投影，投影线正投影法，它是我们学习的重点。
3. 正投影法的基本特性⑴实形性当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图3.5(a)所示。
⑵积聚性当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图3.⑶类似性当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形不变,如多边形的投影仍为多边形,如图3.5(c)所示。
(a) (b)图3.5 正投影法的基本特性3.1.2 三视图的形成根据GB/T14692—1993《技术制图投影法》规定，用正投影法所绘制的物体的图形，称为视图。
1．三投影面体系图3.6 三投影面体系图3.7 三视三投影面体系由三个相互垂直的投影面组成。
其中V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平简称侧面。
在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为OX轴，H面与轴。
三根投影轴的交点为原点，记为O。
2．三视图的形成(a) (b)图3.8 三视图的形成如图3.7所示,将物体放在三投影面体系内,分别向三个投影面投射。
为了使所得的三个投影处于同向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，与V面处于同一平面上，如图3.8(a)所示。
这样便得图，H面上的视图称为俯视图，W面上的视图称为左视图,如图3.8(b)所示。
在画视图时，投影面位置不能变动，即俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边，三个视图的配置如图3.8(c)3．三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系是：主视图：反映物体的上、下、左、右四个方位，同时反映了其高度、长度；俯视图：反映物体的左、右、前、后四个方位，同时反映了其长度、宽度；左视图：反映物体的上、下、前、后四个方位，同时反映了其高度、宽度。
三视图之间的投影规律：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。
简言之：长图3.9 三视图之间的对应关系3.2 点的投影3.2.1 点的三面投影规律组成物体的基本元素是点、线、面。
图3.10（a）所示的三棱锥是由四个面、六条线、四个点组成点的投影规律。
点的投影规律如下：⒈点的V面投影与H面投影的连线垂直于OX轴，即a ＇a⊥ OX;⒉点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴，即a ＇a〃⊥ OZ;⒊点的H面投影到OX轴的距离等于其W面投影到OZ轴的距离，即aaX＝a〃aZ。
(a) (b)图3.10 点的三面投影规律3.2.2 点的三面投影与直角坐标的关系如图3.12（a）所示，点在空间的位置可由点到三个投影面的距离来确定。
如果将三个投影面作为点的坐标关系如下：(a) (b)图3.12 点的三面投影与直角坐标的关系⒈点到W面的距离为A a〃＝a＇a Z ＝aa y ＝O a X ＝X轴坐标；⒉点到V面的距离为A a＇＝aa X ＝a〃a Z ＝O a y ＝Y轴坐标；⒊点到H面的距离为A a＝a＇a X ＝a〃a y ＝O a Z ＝Z轴坐标。
例3.2 已知空间点B的坐标为：X＝15，Y＝20，Z＝25（单位为mm,）也可写成B(15,20,25)。
(a) (b)图3.13 已知点的坐标作投影图分析已知空间点的三个坐标，便可作出该点的两个投影，再求作另一投影。
作图⒈在OX轴上向左量取15，得b X，如图3.13（a）；⒉过b X 作OX轴的垂线，在此垂线上向下量取20得b;向上量取25得b＇，如图3.13（b）；⒊由b、b＇作出b〃，如图3.13（c）。
3.2.3 两点的相对位置两点间的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。
(a)图3.14 两点的相对位置根据两点的坐标，可判断空间两点间的相对位置。
两点中，X坐标值大的在左；Y坐标值大的在前点在B点之左；YA＞YB,A点在B点之前；ZB＞ZA,B点在A点之上。
属于同一条投射线上的点，在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点。
空间的这些点，称为重影点在标注时，将不可见的投影加括号，如C点在上，遮住了下面的A点，所以A点的水平投影(a)图3.15 重影点的投影3.3 直线的投影3.3.1 一般位置直线一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长，而且于投影轴的夹角也不反映空间直线对投影(a)图3.16 一般位置直线的投影3.3.2 投影面平行线直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时，称为投影面平行线。
正平线——平行于V面倾斜于H、W面；水平线——平行于H面倾斜于V、W面；侧平线——平行于W面倾斜于H、V面。
投影面平行线特性：平行于那个投影面，在那个投影面上的投影反映该直线的实长，而且投影与投面的夹角，而另外两个投影都是类似形，比实长要短。
它们的投影特性如表3.1所示。
3.3.3 投影面垂直线直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时，称为投影面垂直线。
正垂线——垂直于V面平行于H、W面；铅垂线——垂直于H面平行于V、W面；侧垂线——垂直于W面平行于V、H面。
投影面垂直线特性：垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点，而另外两个投影面投影特性如表3.1所示。
例3.3 分析正三棱锥各棱线相对于投影面的位置，如图3.17。
⑴棱线SB sb和s ＇b ＇分别平行于OYH和OZ，可确定SB为侧平线，侧面投影s〃b〃反映实⑵棱线AC 侧面投影a〃c〃重影，可判断AC为侧垂线，a ＇c＇＝ac ＝AC，如图3.17（b）。
⑶棱线SA 三个投影sa、s＇a ＇、s〃a〃对投影轴倾斜，所以必定是一般位置直线，如图3.(a) (b)图3.17 分析直线相对于投影面的位置3.3.4 直线上的点直线上点的投影具有从属关系。
⒈如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上。
反之，若点的各个投影都在直线的如图3.18（a）所示，若C点在直线AB上，则c在ab上，c＇在a＇b＇上，c〃在a〃b〃上。
如果已知直线AB上C点的一个投影c＇，可按图3.18（b）所示方法作出c和 c〃。
⒉从属于直线的点分割线段长度之比，在投影图上保持不变。
(a)图3.18 直线上点的投影如图3.18所示，点C将线段AB分为AC、CB两段，则AC∶CB＝ac∶cb＝a＇c＇∶c＇b＇＝a〃c〃例3.4已知侧平线AB的两投影a＇b＇和ab，以及AB上点C的V面投影c＇，求作H面投影c(a) (b)图3.19 求作侧平线上点C的水平投影分析由于直线AB是侧平线，因此由c＇不能直接作出c，但根据点在直线上的投影性质，c〃必定在a作图⑴作出AB的W面投影a〃b〃，同时求出C点的W面投影c〃。
⑵根据点的投影规律，由c＇、c〃求作c，如图3.19（c）所示。
3.4 平面的投影3.4.1 投影面平行面投影面平行面是指平行于一个投影面而与另外两个投影面垂直的平面。
它有三种：水平面(//H面的投影特性如表3.3所示。
投影面平行面的投影特性：1.平面在所平行的投影面上的投影表达实形；2.其余投影均为直线，有积聚性，且平行于相应的投影轴。
3.4.2 投影面垂直面投影面垂直面是指垂直于一个投影面而对另外两个投影面倾斜的平面。
按与其垂直的投影面的不同(^W)三种，它们的投影特性如表3.4所示。
投影面垂直面的投影特性：1.在所垂直的投影面上的投影，为倾斜于相应投影轴的直线，有积聚性，它和相应投影轴的夹角，2.平面多边形的其余投影均为类似形。
3.4.3 一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图3.20所示，△ABC与三个投影面都倾斜，所性。
例3.5分析正三棱锥各棱面与投影面的相对位置，如图3.21。
(a) (b)图3.22 分析正三棱锥各棱面与投影面的相对位置⑴底面ABC V面和W面投影分别积聚为平行于OX轴和OYW轴的直线段，可确定底面ABC是水平⑵棱面SAB 三个投影sab、s＇a＇b＇、s〃a〃b〃都没有积聚性，均为棱面SAB的类似形，可判定⑶棱面SAC 从W面投影中的重影点a〃 (c〃) 可知，棱面SAC的一边AC是侧垂线。
根据几何定则两平面互相垂直。
因此，可判定棱面SAC是侧垂面，W面投影积聚成一直线,如图3.21（c）3.4.4 平面内的点和线1.平面内的点点在平面内时，该点必在平面内的一已知直线上。
因此，在平面内找点时，一般要在平面内作辅助例3.6已知△ABC平面内点K的正面投影k¢，求水平投影k，如图3.22(a)。
作图过K点可作任意直线，一般为了作图简便，往往可过平面上已知点作直线，如图3.22(b)所AD的水平投影上，即求出K点的水平投影k。
(a)图3.22 求作一般位置平面上点的投影2.平面内的线直线在平面内的几何条件如下：⑴直线通过平面内的已知两点；⑵直线含平面内的已知点，又平行于平面内的一已知直线。
例3.7判断点D是否在△ABC确定的平面内，如图3.24所示。
分析如果点D在平面内，则与平面内的任意点的连线应满足直线在平面内的几何条件。
作图⑴连a¢d¢，交b¢c¢于l¢点。
⑵连a1并延长，不和d¢d交于d点，可见1不在AD的水平投影上，所以D不在平面内。
(a)图3.24 判断点D是否在平面内3.5 求直线的实长和平面的实形用换面解题时应遵循下列两原则:⒈选择新投影面时,应使几何元素处于有利于解题的位置；⒉新投影面必须垂直于原投影面体系中不被变换的投影面，并与它组成新投影面体系，必要时可连(a)图3.25 将一般位置直线变换成投影面平行线如图3.25,新投影面必须垂直于不变换的投影面，即V1⊥H，X1为新投影轴。