第2章 点、直线和平面的投影概论
第2章点直线和平面的投影PPT课件
第2章 点.直线和平面的投影
理
工
学
院
光
2.1 正投影法的基本知识
电
与 机
2.2 点的投影
电 工
2.3 直线的投影
程 系
2.4 平面的投影
2.5 变换投影面法
闽 南 理 工 学 院
光
电
与
机
电
整体
工
程
概述
系
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
Z
院 的坐标差来确定。
b'
光 电 与
左、右位置由X坐标差 确定。XA＞XB，点A在点B
a'
机 的左方；
电
X
工
前、后位置由Y坐标差
程 系
确定；YA＜YB，点A在点B
的后方；
a
a"
o
上、下位置由Z坐标差 确定。ZA＜ZB，点A在点B 的下方。
b YH
b" YW
2. 重影点
闽 南
当空间两点的某两个 V
Z
闽
2.1.1 投影的概述
南 理 工
投影法：投射线通过物体，向选定的面投射，并 在该面上得到图形的方法。
学
院 2.1.2 投影法的分类
光
电 1. 中心投影法：投射
与 机
线汇交与一点的投
电 影法。
工 程
2. 平行投影法：投射
系
线相互平行的投影
S
投射线
投影中心
投影面 B
C
A
投影对象
D
法。
b
c
第2章 点、直线、平面的投影
2.3.1 各种位置直线的投影特性
直线按与投影面的相对位置不同分为三类： 一般位置直线
不平行于任一投影面的直线。
投影面平行线
与一个投影面平行，与另二个投影面倾斜 特殊位置直线 的直线。
投影面垂直线
与一个投影面垂直，与另二个投影面平行 的直线。 直线与H面、V面、W面的倾角，分 别用α、β、γ表示
（1）一般位置直线
xB
B 点在A点的左、前、下方。
2、重影点的投影
若空间两点或多点位于垂直于某一投影面的 同一条投影线上时，则两点或多点在这个投影面 上的投影便互相重合，这两点或多点就称为该投 影面的重影点。
ZA-ZB
H面上的重影点 上者可见，下者不可见。 V面上的重影点 前者可见，后者不可见。 W面上的重影点 左者可见，右者不可见。
[例2-2] 已知点B距V、H、W三个投影面分别为 10、20、15，求B点的三面投影。
Yb Zb b’ Xb
作图步骤:
b”
① 找出与三个坐 标的对应值;
15
② 在投影图的三 个投影轴上截出 坐标值; ③ 推平行线画出 投影线;
④ 画点,并标出 相应的字母。
b
2.2.3 点的相对位置
1、两点的相对位置确定：空间两点的相对位置由
F
f
在该面上的投影 cd积聚为一个点。
在该面上的投影△def 积聚为一条直线。
2.1.3 正投影的基本特性
（3）类似性 直线段或平面图形倾斜于投影面时，直线段 的投影变短但仍然是直线，而平面图形的正投影 为比原形状小的类似形。 L
E F α f k K
M l m H
e
H
在该面上的投影长度 变短，ef=EFcosα。
现代工程制图基础教学课件第2章 点、直线、平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
2.2.2. 各种位置直线
正平线（只平行于Ｖ面）
投影面平行线
侧平线（只平行于Ｗ面） 水平线（只平行于Ｈ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
特殊位置直线
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
垂直于某一投影面，必
侧垂线（垂直于Ｗ面） 平行于另外两个投影面 铅垂线（垂直于Ｈ面）
第2章 点、直线、平面的投影
［例2-5］已知直线AB及点K的两面投影，判断点K是否 在直线AB上。
解法二： （应用定比定理）
a k ●
b
X
a ●k0 k● b
O
● b0
作图步骤：
1）过a(或b)任作一辅助直线；
2）在辅助线上截取ak0=a′k′， k0b0=k′b′ ;
3）连接bb0和kk0，由于bb0 和kk0不平行，即 ak∶kb≠a′k′∶k′b′ ，因此， 点K 不在直线AB上。
az ●a
O
Yw
通过作45°线使 aaz=aax
a●
YH
解
法
用圆规直接量取
二
aaz=aax
a● X ax
Z
az
a
●
O
Yw
a●
az
Z
●a
解
a●
YH
法
X ax
Yw
用圆规画弧
三
a●
使aaz=aax
YH
第2章 点、直线、平面的投影
3. 点的投影与坐标
点A的x坐标xA=OaX=Aa"=点A到W面的距离； 点A的y坐标yA=OaY=Aa' =点A到V面的距离； 点A的z坐标zA=OaZ=Aa=点A到H面的距离。
第二部分点直线和平面的投影PPT课件
•
2 、 a b OY ; a’ b’ OZ
•
3 、 a b = a’ b’ =AB
投影面垂直线投影特性：
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影，反映线段实长，且垂直
于相应的投影轴。
3、从属于投影面的直线
从属于V面的直线
从属于V投影面的铅垂线
从属于OX轴的直线
一般位置直线
az
a
●
§2-3 两点的相对位置
a'
b' X
B b
Z
b' A a" X O
b"
b
a
Y
两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
Z a'
O
a
YH
a"
b" YW
重影点：
空间两点在某 一投影面上的投影 重合为一点时，则 称此两点为该投影 面的重影点。
被挡住的投 影加( )
比 性 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
c
a
●
b
② a c●
在
不在
b
a
c
●
③ a
c ● b
a c●
b
ac
●
b
a
不在
●
c b
另一判断法?
应用定比定理
b
• 例2：已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=2 : 1 两段，求分点C的投影。 c’
AB
求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
AB
第2章 点、直线和平面的投影-1
ay
Y
a 向下翻
●
ay
Y
H
H
4、点的直角坐标与三面投影的关系
Z V a az
y
X ax
A
z a
x O
a W
ay Y
1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA
般因 不为 画平 出面 平是 面无 边限 框大 。的 ， 所 以 一
c0
b
dk0=d'k'
(不相交）
例7：判断两直线的相对位置（方法一）
c′
Z
b′
d″ a″
c″ b″
a′
d′
X
a d
o
YW
两 直 线 交 叉
c
b
YH
例8：判断两直线的相对位置(方法二） c′ 1′ b′
a′
d′
x
a d 1
o
两 直 线 交 叉
c =1′d′ =1′c′
b
例10：作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。
d′
e′
l′
f′
作kˊlˊ∥e ˊf ˊ
a′ (b′) (k′)
作kl∥ef
c′
b d k
l
e
f
c
a
3.3 空间平面的投影分析
一、平面的表示法
（1）用几何元素表示平面
1、投影面的平行线
凡平行于某一投影面，同时倾斜于另两个投影 面的直线统称为投影面的平行线。其中： 平行于正投影面（V面）的称为正平线；
平行于水平投影面（H面）的称为水平线；
平行于侧投影面（W面）的称为侧平线。
第二章点、直线、平面的投影
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32
二、点的三面投影 点的三面投影
Z Z
Z
X
X YW Y YH
X
O
YW
YH
立体图
展开图
投影图
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33
点在三面投影的投影规律： 点在三面投影的投影规律： 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ 1、点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ OZ轴 轴，即a’ a’’连线 ⊥OZ轴。 连线 点的侧面投影到OZ轴的距离， OZ轴的距离 2、点的侧面投影到OZ轴的距离，反映空间点 面的距离； 到W面的距离；
投影
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11
一、投影法的分类
1.中心投影法 1.中心投影法 投影线自投影中心S 出发，将空间△ 出发，将空间△ABC 投 射到投影面P上，所得 即为△ △abc 即为△ABC 的投 影。这种投影线自投影 中心出发的投影法称为 中心投影法， 中心投影法，所得投影 a 称为中心投影。 称为中心投影。 中心投影法主要用 于绘制产品或建筑物富 有真实感的立体图，也 有真实感的立体图， 称透视图。 称透视图。
由两点到一个投影面距离相等的两点 连线构成。该直线平行于某一投影面， 连线构成。该直线平行于某一投影面， 对另外两个投影面都倾斜。 对另外两个投影面都倾斜。
YW
Y
YH
• •
在直线所平行的投影面上，投影反映实长， 在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻 投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。 投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段， 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别 平行于直线平行的投影面所包含的两个投影轴。 平行于直线平行的投影面所包含的两个投影轴。
画法几何及机械制图 第二章 点、直线和平面的投影
a
定比作图方法
c
b
§2－2 直线的投影
例2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b Z
b
V
b
c a C B
X
A
O
a
X
a
a
O
a
c YW
a
c Hb
c b
YH
§2－2 直线的投影
例3. 在直线AB上取一点C, 使AC = L，求点C的两投影。
b c
a
L
b c
a
a
X
a
b
L
c
ZAB
O
b
c
ZAB
b0
L
c0
平面对 投影面的倾 角、、
二、各种位置平面的投影特性
§2－3 平面的投影
投影面垂直面： 垂直于一个、倾斜 于另两个投影面的 平面
V面—正垂面 H面—铅垂面 W面—侧垂面
特殊位 置平面
投影面平行面： 平行于一个、同时 垂直于另两个投影 面的平面
V面—正平面 H面—水平面 W面—侧平面
投影面倾斜面： 对三个投影面都倾 斜的平面
c b
X
b O c
YW
当两直线均为
b
一般位置直线时， c
若有两个同面投影 满足上述条件，则 空间两直线相交。
d
a
YH
§2－2 直线的投影
3. 交叉两直线
既不平行又不相交的两直线
b
1(2 )
d
c
a
Ⅱ
2 Ⅰd
c
b
a1
b d
1(2 )
c
X a
O
d
c
a
第二章 点直线和平面的投影.
2.1.3 直线的投影
2、直线对投影面的相对位置 b、一般位置直线的实长
一般位置直线的三个投影都短于实长，可用直角三角形法求得实长。
作三角形a'b'f'全
等于三角形ABC
b'f'=bc=BC=点A 与点B的Y坐标之 差
AB=实长
§2.1 点、直线和平面的投影
2.1.3 直线的投影
2、直线对投影面的相对位置 3) 投影面平行线：正平线、水平线、侧平线。
正立投影面 V
侧立投影面 Z
W
X
O
H
水平投影面
Y
§2.1 点、直线和平面的投影
2.1.2 点的投影
4、三面投影体系中点的投影
V a'
Z az A
a" W
X
ax
O
a
ay
H
Y
W面投影的形成：垂直于W面的投 射线，也就是平行于X轴的投射线， 经过点A到达W面与W面的交点为点 A的侧面投影；
a'' az＝点A到V面之距离 a'' aY ＝点A到H面之距离 a' az＝ a' ay点A到W面的距离
A a''平行于X轴： a''与点A的Y坐标 和Z坐标相等，说明侧面投影反映了 空间点的 Y坐标和Z坐标，同时我们 也可以由空间点的Y坐标和Z坐标确 定侧面投影。
V a'
Z az a" W
通常都将H面绕X轴旋转到与V面重 合的地方，将W面绕Z轴也旋转到与 V面重合的地方，因此点的三面投影
可以表示成这个形式：
§2.1 点、直线和平面的投影
2.1.3 直线的投影
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广东技术师范学院天河学院教案广东技术师范学院天河学院单元教案首页第2章点、直线和平面的投影一、本章重点：1．点的坐标与投影，重影点；2．直线在三面投影体系中的投影特性；3．平面的投影特性，平面上的直线和点。
二、本章难点：1．求线段的实长及其对投影面的倾角；2．两直线的相对位置；3．直线上的点和平面上的线。
三、本章要求：掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。
直线上点的投影，平面上的直线和点投影。
了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。
四、教学手段讲授法，演示法教学、习题集作业五、本章内容：2．1 投影法的基本知识2.1.1 投影法概述在日常生活中，我们经常看到物体在日光或灯光照射下，在地面或墙上产生影子，这种现象叫投射。
人们根据这种自然现象，经过科学的抽象提出了投影法。
将发自投射中心且通过物体上各点的直线称为投射线，投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。
投射线的方向称为投射方向，选定的平面称为投影面，投射所得到的图形称为投影。
图2.1 中心投影法图2.2 平行投影法1．中心投影法该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。
因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。
但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。
2．平行投影法投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。
平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。
平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。
另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。
在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。
3. 正投影法的基本特性⑴实形性当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图2.5(a)所示。
⑵积聚性当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图2.5(b)所示。
⑶类似性当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图2.5(c)所示。
另外，平行投影法还有这样的规律：（1）平行两直线的投影仍互相平行。
（2）属于直线的点，其投影仍属于直线的投影（3）点分线段之比，投射后保持不变。
(a) (b) (c)图2.5 正投影法的基本特性2.1.2 三视图的形成根据GB/T14692—1993《技术制图投影法》规定，用正投影法所绘制的物体的图形，称为视图。
1．三投影面体系图2.6 三投影面体系图2.7 三视图的形成过程三投影面体系由三个相互垂直的投影面组成。
其中V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。
在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线称OZ轴。
三根投影轴的交点为原点，记为O。
2．三视图的形成(a) (b) ( c)图2.8 三视图的形成如图2.7所示,将物体放在三投影面体系内,分别向三个投影面投射。
为了使所得的三个投影处于同一平面上，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，与V面处于同一平面上，如图2.8(a)所示。
这样便得到物体的三个视图。
V面上的视图称为主视图，H面上的视图称为俯视图，W面上的视图称为左视图,如图2.8(b)所示。
在画视图时，投影面的边框及投影轴不必画出，三个视图的相对位置不能变动，即俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边，三个视图的配置如图2.8(c)所示,不必标注三个视图的名称。
3．三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系是：主视图：反映物体的上、下、左、右四个方位，同时反映了其高度、长度；俯视图：反映物体的左、右、前、后四个方位，同时反映了其长度、宽度；左视图：反映物体的上、下、前、后四个方位，同时反映了其高度、宽度。
三视图之间的投影规律：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。
简言之：长对正；高平齐；宽相等。
图2.9 三视图之间的对应关系2.2 点的投影2.2.1 点的两面投影图的性质1. 一点的两面投影连线垂直于投影轴（aa'⊥OX），且aa'到点O的距离反映x坐标。
2. 一点的水平投影到OX轴的距离（aax）等于该点到V面的距离（Aa'），都反映其y 坐标（aax=Aa'=y）；其正面投影到OX轴的距离（a'ax）等于该点到H面的距离（Aa），都反映其z坐标（a'ax=Aa=z）。
2.2.1 点的三面投影规律组成物体的基本元素是点、线、面。
图2.10（a）所示的三棱锥是由四个面、六条线、四个点组成。
点是最基本的几何元素，下面分析锥顶A点的投影规律。
点的投影规律如下：⒈点的V面投影与H面投影的连线垂直于OX轴，即a ＇a⊥OX;⒉点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴，即a ＇a〃⊥OZ;⒊点的H面投影到OX轴的距离等于其W面投影到OZ轴的距离，即aaX＝a〃aZ。
(a) (b) (c)图2.10 点的三面投影规律2.2.2 点的三面投影与直角坐标的关系如图2.12（a）所示，点在空间的位置可由点到三个投影面的距离来确定。
如果将三个投影面作为坐标面，投影轴作为坐标轴，则点的投影与点的坐标关系如下：(a) (b)图2.12 点的三面投影与直角坐标的关系⒈点到W面的距离为A a〃＝a＇a Z＝aa y＝O a X＝X轴坐标；⒉点到V面的距离为A a＇＝aa X＝a〃a Z＝O a y＝Y轴坐标；⒊点到H面的距离为A a＝a＇a X＝a〃a y＝O a Z＝Z轴坐标。
例已知空间点B的坐标为：X＝15，Y＝20，Z＝25（单位为mm,）也可写成B(15,20,25)。
求作B点的三面投影。
(a) (b) (c)图2.13 已知点的坐标作投影图分析已知空间点的三个坐标，便可作出该点的两个投影，再求作另一投影。
作图⒈在OX轴上向左量取15，得b X，如图2.13（a）；⒉过b X作OX轴的垂线，在此垂线上向下量取20得b;向上量取25得b＇，如图2.13（b）；⒊由b、b＇作出b〃，如图2.13（c）。
2.2.3 两点的相对位置两点间的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。
(a) (b)图2.14 两点的相对位置根据两点的坐标，可判断空间两点间的相对位置。
两点中，X坐标值大的在左；Y坐标值大的在前；Z坐标值大的在上。
图2.14中，X A＞X B,A点在B点之左；Y A＞Y B,A点在B 点之前；Z B＞Z A,B点在A点之上。
属于同一条投射线上的点，在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点。
空间的这些点，称为该投影面的重影点。
重影点在标注时，将不可见的投影加括号，如C点在上，遮住了下面的A点，所以A 点的水平投影用（a）表示。
(a) (b)图2.15 重影点的投影2.2.4其他分角的点由于，投影平面是没有边际的，两投影面把空间分为四个部分，每部分称为分角。
分别以第一、二、三、四分角命名之，三个投影面将空间分成八个角，如图所示。
我国标准规定工程图样采用第一角画法。
作业：《机械制图习题集》P6——7广东技术师范学院天河学院单元教案首页2.3 直线的投影2.3.1 一般位置直线一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长，而且于投影轴的夹角也不反映空间直线对投影面的夹角。
(a) (b)图2.16 一般位置直线的投影2.3.2 投影面平行线直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时，称为投影面平行线。
正平线——平行于V面倾斜于H、W面；水平线——平行于H面倾斜于V、W面；侧平线——平行于W面倾斜于H、V面。
投影面平行线特性：平行于那个投影面，在那个投影面上的投影反映该直线的实长，而且投影与投影轴的夹角，也反映了该直线对另两个投影面的夹角，而另外两个投影都是类似形，比实长要短。
它们的投影特性如表2.1所示。
3.3.3 投影面垂直线直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时，称为投影面垂直线。
正垂线——垂直于V面平行于H、W面；铅垂线——垂直于H面平行于V、W面；侧垂线——垂直于W面平行于V、H面。
投影面垂直线特性：垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点，而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实长。
它们的投影特性如表2.2所示。
例分析正三棱锥各棱线相对于投影面的位置，如图2.17。
⑴棱线SB sb和s＇b＇分别平行于OY H和OZ，可确定SB为侧平线，侧面投影s〃b〃反映实长，如图2.17（a）。
⑵棱线AC侧面投影a〃c〃重影，可判断AC为侧垂线，a＇c＇＝ac ＝AC，如图2.17（b）。
⑶棱线SA 三个投影sa、s＇a＇、s〃a〃对投影轴倾斜，所以必定是一般位置直线，如图2.17（c）。
(a) (b) (c)图2.17 分析直线相对于投影面的位置2.3.4 直线上的点直线上点的投影具有从属关系。
⒈如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上。
反之，若点的各个投影都在直线的同面投影上，则点一定在该直线上。
如图2.18（a）所示，若C点在直线AB上，则c在ab上，c＇在a＇b＇上，c〃在a〃b〃上。
如果已知直线AB上C点的一个投影c＇，可按图3.18（b）所示方法作出c和c〃。
⒉从属于直线的点分割线段长度之比，在投影图上保持不变。
(a) (b)图2.18 直线上点的投影如图2.18所示，点C将线段AB分为AC、CB两段，则AC∶CB＝ac∶cb＝a＇c＇∶c＇b＇＝a〃c〃∶c〃b〃。
例已知侧平线AB的两投影a＇b＇和ab，以及AB上点C的V面投影c＇，求作H 面投影c，如图2.19（a）所示。
(a) (b) (c)图2.19 求作侧平线上点C的水平投影分析由于直线AB是侧平线，因此由c＇不能直接作出c，但根据点在直线上的投影性质，c〃必定在a〃b〃上, 如图2.19（b）所示。
作图⑴作出AB的W面投影a〃b〃，同时求出C点的W面投影c〃。
⑵根据点的投影规律，由c＇、c〃求作c，如图2.19（c）所示。
2.3.5一般位置直线的实长及倾角——直角三角形法一般位置直线的投影不反映实长及其对投影面的真实倾角。
为了求得其实长及其对投影面的真实倾角，现介绍一种图解方法——直角三角形法。
如图2.3-6 （ a ）所示，AB 为一般位置直线，图2.3-6（ b ）为利用一般位置直线AB 的水平投影a ′ b ′ 求实长及与其对H 面真实倾角α 的空间模型。