构造法
构造法在三角函数中应用
构造法在三角函数中应用构造法是一种通过构造图形、几何等方式解决问题的数学方法。
在三角函数中，构造法有着广泛的应用。
本文将探讨几个例子来展示构造法在三角函数中的应用。
例一：三平方恒等式三平方恒等式是指在直角三角形中，直角边的宽度与两个直角边的平方之和是相等的。
构造法可以用来解释三平方恒等式。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以利用构造法来证明a^2+b^2=c^2首先，我们假设有一个正方形，其中每边的长度都是c。
然后，在正方形的内部构造一个直角三角形，直角边的宽度为a，另一个直角边的宽度为b。
通过构造法，我们可以发现，直角三角形与正方形共同形成了一个更大的正方形。
这个新的正方形的边长为a+b，而其面积是c^2、另一方面，这个新的正方形也可看作是由四个直角三角形构成，它们与原始的直角三角形完全一样。
因此，新的正方形的面积可以用这四个直角三角形的面积之和来表示。
根据直角三角形的面积计算公式S=1/2*底*高，我们可以得到：c^2 = 4 * (1/2 * a * b) = 2ab另一方面，我们知道，新的正方形的边长为a+b。
因此，它的面积可以通过边长的平方来表示：c^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2将两个等式相等，我们可以得到a^2+b^2=c^2，即三平方恒等式。
例二：三角函数和单位圆在三角函数中，单位圆是非常重要的。
单位圆是一个半径为1的圆，在圆心处有一个角度为0的点，以及该点开始沿着圆周方向逆时针旋转的角度。
当我们沿着单位圆逆时针旋转一个角度时，对应的圆周的点的坐标可以通过三角函数来表示。
例如，当旋转角度为θ时，点的坐标为(c osθ, sinθ)。
这可以通过构造法来证明。
我们可以将单位圆与坐标轴相交的点相连，构造一个直角三角形。
假设旋转的角度为θ，θ所对应的直角三角形的两个直角边的宽度分别为cosθ和sinθ。
根据直角三角形的定义，我们可以通过cosθ和sinθ计算出旋转角度为θ时，对应的圆周的点的坐标。
高中数学6种构造函数法
高中数学6种构造函数法1、几何体构造法：几何体构造法是高中数学中常见的构造函数，即根据给定的条件，从原点出发，通过叠加若干条定义运算，利用实际工具画出题目要求构造的图形或者要求构造的几何体。
例如：根据给定的定义三角形ABC，在其外接圆上构造一个直角，使得构造出的四边形的一条边和三角形的一条边等长。
2、用线段构造法：用线段构造法是高中数学中常见的构造函数，是根据给定的条件，几何体和直线的位置，及题目要求的其他条件，按照一定的步骤和规律来画出要构造的几何体或其他东西。
例如：依据给定的线段AB，在其上端点A处构造一个半径等于原线段AB一半长度的圆，使得线段AB的端点A和圆的交点坐标相同；并在构造出的圆上构造一个到线段AB 端点B距离等于原线段AB一半长度的直线段。
3、从原点构造法：从原点构造法是高中数学中常见的构造函数，是指从某一原点出发，根据给定的情况，经过若干步的构造，建立若干定义关系，确定一个几何体的形状和大小，并与给定的几何体完全相同或满足给定条件的几何体。
例如：在原点构造一个半径等于原点O到给定点A的距离的圆，从这个圆上构造与 OA 相等的直线段，在这个直线段依次画上给定的点B、C。
4、标准图形构造法：标准图形构造法是在高中数学中学习的构造函数，即根据给定的它定义的图形和要求画出的图形之间的规律，采用实际的工具画出要求的图形。
例如：构造出与正方形相等的长方形(15cm×20cm)，方法为：在一根边长15cm的尺子上划分出4等分点，然后再在另一根尺子上划分出5等分点，将它们相互链接，即可构造出长方形。
5、参数方程构造法：参数方程构造法是高中数学中学习的构造函数，即根据给定的参数条件所决定的几何体的特征，可利用参数方程的技巧，根据参数条件用参数方程来求出构造出几何体的函数，并且利用函数求出相应的构造过程，或者利用参数方程既定的几何图形，求出给定点的位置。
例如：求出构造出半径为 2 的半圆的函数，可以用参数方程 x = 2cos t，其中x 为构造出的半圆的横坐标，t 为角度参数。
基础算法(构造法)
3125467 3126457 3127456 3142567 3145267
3125476 3125647 3126475 3126547 3127465 3127546 3142576 3142657 3145276 3145627
3125674 3126574 3127564 3142675 3145672
3125746 3126745 3127645 3142756
3125764 3126754 3127654 3142765
program li2_2_2; var a:string;n,i,j:integer;t:char; begin assign(input,'1.in');reset(input); assign(output,'1.out');rewrite(output); readln(a); writeln(a); n:=length(a); repeat i:=n-1; while (a[i]>a[i+1]) and (i>0) do dec(i); if i=0 then break; j:=n; while a[j]<a[i] do dec(j); t:=a[j];a[j]:=a[i];a[i]:=t; for j:=1 to (n-i) div 2 do begin t:=a[i+j];a[i+j]:=a[n+1-j];a[n+1-j]:=t; end; writeln(a); until false; end.
构造法
所谓构造法是指当一个问题有1个或多个解，而我 们找到了直接生成其中一个解的办法，或者找到了从 一免去搜索穷举产生解。
例：全排列n个不同对象共有n!种，按升序依次输出这n!种排列。例如，5个数字1， 2，3，4，5，共有120种，按12345，12354，12435，12453，……54321
浅议构造法在数学中的作用
浅议构造法在数学中的作用1. 引言1.1 构造法的定义构造法是数学中一种重要的解题方法，它是通过构造出具体的对象或者结构来解决问题的方法。
在数学中，构造法通常包括直接构造出所需对象、通过归纳法逐步构造出解、通过反证法推导出矛盾等方式。
构造法的基本思想是通过建立数学对象之间的关系，从而达到解决问题的目的。
通过构造法，我们可以更清晰地理解问题的本质，找到问题的解决方案。
构造法在数学中具有广泛的应用，涉及代数、几何、组合数学、数论、概率论等多个领域。
构造法的核心是通过建立有效的构造方法和技巧，解决一系列复杂的数学问题。
通过构造法，我们可以深入理解数学的内在规律，提高解决问题的效率和准确性。
构造法在数学领域中具有重要的地位和作用，对于推动数学的发展和教育具有积极的意义。
1.2 构造法在数学中的重要性构造法在数学中起着至关重要的作用。
它不仅是数学研究中常用的方法，也是数学教学中的重要内容。
构造法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，促进数学领域的发展。
构造法在数学中的重要性体现在它对解决问题的作用上。
通过构造法，我们可以借助具体的步骤和方法找到问题的解决方案，为数学理论的发展提供实际的指导。
构造法不仅可以用于证明定理和命题，还可以用于解决实际问题，推动数学领域的研究进展。
构造法在数学教育中的重要性也不可忽视。
通过教授构造法，可以帮助学生培养逻辑思维和创造性思维能力，提高他们解决问题的能力和数学素养。
构造法可以激发学生对数学的兴趣，让他们更好地理解和掌握数学知识，为将来深入研究数学打下坚实的基础。
2. 正文2.1 构造法在代数中的应用构造法在代数中的应用是一种重要的数学方法，通过构造法，我们可以更好地理解和解决代数问题。
在代数中，构造法常常被用于证明存在性和唯一性问题，以及构造出满足特定条件的对象。
一种常见的代数问题是求解某种结构的存在性问题，比如群、环、域等代数结构。
通过构造法，我们可以构造出满足特定条件的结构，从而证明其存在性。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
构造法求数列通项
构造法求数列通项
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”。
若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式。
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知f（n）是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与an，从而求出an的通项公式。
构造法求数列通项公式典型例题解析
构造法求数列通项公式典型例题解析构造法是一种求解数列通项公式的技巧，它可以在给定数列中发现出某些共同的特征，从而构建出数列的通项公式。
这种技巧的本质是人们通过观察数列的特点，并尝试推测通项的类型、公式和系数，从而找到数列的通项公式。
二、构造法的应用1.比数列的通项公式对于等比数列来说，它的通项公式的结构为：a_n = a_1 q^(n-1)其中a_1是数列的第一项，q是数列的公比。
为了求出等比数列的通项公式，我们可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项乘以某个常数，也就是公比q得到的，所以q可以用以下的公式表示：q = a_2/a_1接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。
2.差数列的通项公式对于等差数列来说，它的通项公式的结构为：a_n = a_1 + (n-1)d其中a_1是数列的第一项，d是数列的公差。
为了求出等差数列的通项公式，我们也可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项加上某个常数，也就是公差d得到的，所以d可以用以下的公式表示：d = a_2 - a_1接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。
三、构造法的优点1.以让我们省去求解数列通项公式的一系列步骤，使用构造法求解数列通项公式的过程简单易懂，用时也短。
2.造法可以使我们更加清晰地观察数列的特征，从而更快地找到数列的通项公式。
3.造法可以使我们在求解特定的数列时，能够更加得心应手地把握数列的变化规律。
四、典型例题解析1. 例题一已知一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...(1)该数列的通项公式解：由题意可知，该数列是等差数列，我们可以用构造法求解。
我们可以观察数列的前几项，a_1 = 2, a_2 = 5，根据d = a_2 - a_1原理，我们可以求出公差d = 3.因此，该数列的通项公式为：a_n = 2 + (n-1)3，即a_n = 2 + 3n - 32. 例题二已知一个等比数列：2, 6, 18, 54, ...(1)该数列的通项公式解：由题意可知，该数列是等比数列，我们可以用构造法求解。
用构造法求数列通项公式
用构造法求数列通项公式
一、构造法的原理
构造法是一种求解数列通项公式的方法，它依赖于对数列数据的分析，其基本原理是通过分析数列前几项的关系，推出数列的规律，从而确定数
列的通项公式。
二、构造法的步骤
1、根据给定的数列，找出相邻两项的关系；
2、根据求出的关系，确定该数列的类型，即数列的递推公式；
3、根据确定的递推公式，从第一项开始，逐步求出数列中的其它项；
4、推出数列的规律，并将其表示为数列的通项公式；
5、利用确定的通项公式，验证数列中的其它项。
三、构造法的应用
1、举例：
给出一个数列：1，2，4，8，16，32
(1)根据给定的数列，找出相邻两项的关系：
由数列可以看出，数列中相邻两项的关系是：an = 2 * an-1
(2)根据求出的关系，确定该数列的类型，即数列的递推公式：
an = 2 * an-1
递推公式：an+1 = 2 * an
(3)根据确定的递推公式，从第一项开始，逐步求出数列中的其它项：
a1=1
a2=2*a1=2
a3=2*a2=4
a4=2*a3=8
a5=2*a4=16
a6=2*a5=32
(4)推出数列的规律，并将其表示为数列的通项公式：
由所求得的数列可以看出，数列中每一项都是前一项的2倍，因此可
得数列的通项公式为：an=2^(n-1)。
(5)利用确定的通项公式。
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浅谈数学解题中的构造法
摘要：数学解题的过程就是一个不断把“未知”转化为“已知”的一个过程，这里的转化是解题的关键。
“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。
构造法是非常其富有技巧性和创造性的一种解题思想与方法，体现了数学解题里面的发现、类比、化归的思想，并且渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。
运用构造法解数学题可从中激发学生的发散思维，使学生的思维和解题能力得到培养，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益。
关键词：构造法数学解题联想分析创造思想构造
正文：
“构造法”指的是为解决数学问题时要先构造一种数学形式（比如几何图形、代数式、方程等等），以此来寻求问题中的某种内在联系，使问题变得简单明了，从而起到了化简、转化和桥梁的作用，进而找到解决问题的思路、方法。
这种数学思想与方法重在“构造”、深刻分析、正确思维和丰富联想，它体现了数学中发现、类比、化归等思想，渗透着猜想、试验、探索、概括等重要方法，是一种富有创造性的解题思想与方法。
在历史上就有不少著名的数学家，如高斯、欧拉、欧几里得、拉格朗日等人，他们都曾经用“构造法”成功地解决过数学史上的难题。
数学是一门创造性的艺术学科，蕴含着丰富的艺术美，而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。
近些年来，构造法以及其应用又逐渐为数学教育界所瞩目的焦点，在数学竞赛中有着一定的地位。
构造法需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。
下面我们简单的举例分析数学解题中的构造法的应用。
一、构造函数,理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。
很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。
例如：已知 a,b,c∈（0，1），求证： a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)＜1 。
分析：此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。
分析证明：构造函数 f(a)=(b+c-1)a+(bc-b-c+1) ∵b,c ∈(0,1), ∴f(0)=bc-b-c+1=(b-1)(c-1)＞0 f(1)=(b+c-1)+(bc-b-c+1)=bc＞0 而 f(a)是一次函数，其图象是直线，∴由 a∈(0,1)恒有 f(a) ＞0 即(b+c-1)a+(bc-b-c+1) ＞0 整理可得 a(1-b)+b(1-c)+c(1-a) ＜1。
二、构造方程方程是解数学题的一个重要工具，许多数学问题，根据其数量关系，在已知和未知之间搭上桥梁，构造出方程，使解答简洁、合理。
例如：设 a > b > c 且 a + b +c = 1 , a + b + c = 1 , 求 a + b 的范围。
解：由a + b + c = 1 得 a + b = 1 ? c (1) 2 2 2 将(1)的两边平方并将 a+ b + c = 1 代入得ab = c xc 2 2 2 2 (2) 由(1)(2)可知， a, b 是方程 x + (c x 1) x + (c x c) = 0 的两个不等的实根 2 2 于是 x = (c x 1) 2 x 4(c 2 x c) = x3c 2 + 2c + 1 > 0 解得: x 1
1 < c < 1 即: x < 1 x (a + b) < 1 3 3 ∴1 < a + b < 4 3 三、构造代数式代数式是数学的重要组成要素之一，有许多性质值得我们去发现和应用。
例如：证明：对于同样的整数 x 和 y，表达式 2x+3y 和 9x+5y 能同时被 17 整除。
（首届 IMO 试题）分析：构造代数式 9（2x+3y）-2(9x+5y)，其值等于 17y，能被 17 整除，结合
2 与 9 均与 17 互素，结论易证解：因为 9（2x+3y）-2(9x+5y)=17y 所以 9（2x+3y）-2(9x+5y)能被 17 整除又 2 和 9 与 17 互素则 2x+3y 和 9x+5y 能同时被 17 整除四、构造几何图形（体）构造几何图形（如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论。
构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形。
这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形。
还有许多的构造法，在这里我们就不一一列举了。
下面我们来谈一下构造法思想的培养。
培养联想、类比思维能力，是用构造法解题成败的关键，联想思维是创造思维的翅膀，牛顿看到苹果掉地，发现万有引力定理；爱因斯坦想象与光速赛跑，发现广义相对论；哥尼斯堡由七桥问题联想到一笔画问题为图论的创立奠定了基础。
这类运用联想思维成功的例子举不胜举，运用构造法解题的关键环节在于构造与题目有关的数学模型，这里的构造离不开联想思维，她在其中起着桥梁和纽带的作用，联想思维是发散思维和思维迁移的一种表现形式，它常与类比思维结合形成联想、类比思维。
这是创新思维最重要的、不可缺少的思维形式。
构造法解题过程中由题目的特征挖掘隐含条件，由一种形式联想到另一种形式，通过类比找到这种新形势对问题解决的可行性，从而达到构造的目的。
教师一定要重视对学生这种思维能力的培养。
构造法体现了数学发现的思维特点，“构造” 不是“胡思乱想” 不是凭空，“臆造” ，而是要以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观察为先导，以分析为武器，通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。
最后还应指出，构造法并非是上述题型的唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的几种，对于同一道题既能有几种构造法，也可以用其它方法来解，应注意在学习研究的过程中注意对学生创新性思维的培养，使学生体会知识间的内在联系和互相转化，能创造性的构造解决问题的有力条件，巧妙地解决问题，从而获得学习的愉悦感和成功的体验。