直线和平面的投影

a
●
1
3(4 )
d
★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影，
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
用其可帮助判断两直线 的空间位置。
a
34
⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面
上的投影仍为直角。
证明：
B
C A
b
a
c
H
b
c
a
设 直角边BC//H面 因 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以 BC⊥ABba平面
aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
a
38
二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
6
空间点A在三个投影面上的投影
a 点A的正面投影 V a●
a 点A的水平投影
A
●
X
a 点A的侧面投影
a●
Z
● a oW
H Y
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
a
7
投影面展开
V a
●
Z
az
W a
●
不动 V a
●
X
ax
a● H
O
ay ay
Y
Y X ax 向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
A●
B
●
M●
A●
a● b●
●B
α A●
B●
●
a≡b≡m
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
●b a●
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
●b a●
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
a
14
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线
侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面
因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
.b
a
c
直线在H面上的
投影互相垂直
a
35
反之，若一角的投影为直角，而且空间被投影的角 至少有一边平行于该投影面，则空间角必是直角。
例：过C点作直线与AB垂直相交。
a . d
c●
AB为正平线, 正 面投影反映直角。
b
c●
a
其具体长度为： ab=ABcosα ,a’b’=ABcosβ,a’’b’’=ABcosγ
a
18
一般位置直线与倾角
V
b′ Ｂ
b″
a′
βγ
a′
α
WX
Ａ b
a″
a
H
a
ab=ABcosα
a′b′=ABcosβ
a″b″=ABcosγ
a
z
b′
b″
a″ Yw b
YH
三个投影都缩 短，且都倾斜 于相应的投影轴
19
ba
b
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
投 影 特 性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面倾角的实大。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影
轴。
a
16
⑵ 投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a
c(d) d c ●
e f e(f) ●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
a
17
⑶ 一般位置直线
b
b
投影特性：
a
三个投影都缩短。即:
a
都不反映空间线段的实长及
与三个投影面夹角的实大，
a
且与三根投影轴都倾斜。
b
（1）ab, a’b’, a’’b’’对于三个投影轴既不平行也 （2） ab, a’b’, a’’b’不’垂都直较空间线段AB缩短了。
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
a
45
⒈ 投影面垂直面
类为似什么性？
是什么位置 的平面？ a
b
b
类似性
c c a
P
● b B1 B2 ● B3 ●
●
解决办法？ 采用多面投影。
a
5
二、点的三面投影
投影面
◆正面投影面（简称正 V
面或V面）
◆水平投影面（简称水
平面或H面）
X
◆侧面投影面（简称侧
面或W面）
投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
a
Z
o
W
H
Y
三个投影面 互相垂直
直相
直角（正）投影法
于平投 投行射 影且线 面倾互
斜相
投影特性
斜角投影法
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
a
4
2·2 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点 A● ● a A在P面上的投影。
点在一个投影面上
的投影不能确定点的空 间位置。
O
PYW YW
PH
YH PYH
平面与投影面的交线，叫做平面的迹线。
a
43
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
ห้องสมุดไป่ตู้
倾斜
投 影特性
实形性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
积聚性
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线 ★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
类似性
a
44
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
课本P36
a
11
五、两点的相对位置
两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
判断方法：
a● b●
X
a●
Z ●a ● b YW
▲ x 坐标大的在左
●
b
YH
▲ y 坐标大的在前
▲ z 坐标大的在上 B点在A点之前、
之右、之下。
a
12
六、重影点：
A、C为H面的重影点
a
空间两点在某一投影 ●
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a●
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
a
10
三 点的坐标与投影之间的关系
V
a ●
Z
x az
x a
●
Z az
a
●
yz
z z
A
X ax
●
y
a●
H
●a
W O
ay
X ax
a
●
x
O
ay
YW
ay
y
Y
YH
四 投影面和投影轴上的点
A
V d
B c
C
D
空间两直线平行，
则其各同名投影必相互 平行，反之亦然。
a
空间两直线之比
c b
d H 等于其同名投影之比
a
29
例1：判断图中两条直线是否平行。
① b
a c
a
c
d
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
bd
AB//CD
a
30
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
●a
面上的投影重合为一点 c●
●c
时，则称此两点为该投
影面的重影点。
●
a (c)
A、C为哪个投
被挡住的投
影面的重影点 呢？
影加( )
a
13
2·3 直线的投影
两点确定一条直线，将两 a● b 点的同名投影用直线连接， ●
●a ●b
就得到直线的同名投影。
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。反之亦然。
a
32
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
a
d
k c●
b
先作正面投影
a
33
⒊ 两直线交叉
a c
1(2
)
3 ●
●
●4
c 2
●
d
两直为投线什影相么特交？性吗？：
b ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间
b 一个点的投影规律。
●
画透视图
中心投影法
画斜轴测图
投影方法
斜角投影法
平行投影法 直角投影法（正投影法）
画工程图样 及正轴测图
a
2
投射中心 物体
投影面
中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变，投影大 小也改变
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的
相对距离对投影的大小有影响。
度量性较差
a
3
平行投影法
于平投 投行射 影且线 面垂互
d
ba
36
小结
重点掌握：
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。
★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。
★定比定理。 ★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
a
37
一、点的投影规律
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
a ●
X ax a●
Z
az a ●
O
Y
ay
ay
Y
② aax= aaz=y=A到V面的距离
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
a
15
⑴ 投影面平行线
水平线
正平线
a b a b 实长 a
a
b α γ
b
侧平线
a
a 实长
β
b
α b
a β γ
b
实长
a
c
a
d b
c b
c a
对于特殊位置直线，
只有两个同名投影互相
b d 平行，空间直线不一定
平行。
da
求出侧面投影后可知：
如何判断？
求出侧面投影 AB与CD不平行。
a
31
⒉ 两直线相交
V c
b
k
a A a
C d
B
KD
d
交点是两直 线的共有点
b c k
a
d
k c
b
Ha
d
判别方法：
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必
c
●
c
●
a●
a●
a●
c
●
d
●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
● c
● c
不在同一 直线及
直线上的 线外一
三个点 点
● b ●b
a●
●
d
●c
两平行直 线
c
●
a●
● b ●b
a● ●c
两相交 直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
平面 图形
a
42
迹线表示法
Z
PZ
PV
X
O
PX
PH
PW
X PX
PY
Y
Z
PZ
PV
PW
a
② a
c●
b
c
b
a
ac b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
a
27
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
a
k● b
●k b 因k不在a b上，
a
故点K不在AB上。
k●
b
另一判断法? 应用定比定理
a
28
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：
平行、相交、交叉。
⒈ 两直线平行
投影特性：
b a
判别方法：
◆ 若点在直线上, 则 V
b
点的投影必在直线的同
c
B
名投影上。并将线段的 a
C
同名投影分割成与空间
相同的比例。即：
A
b
AC/CB=ac/cb= ac / cb a c
H
◆若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。
定比定理
a
26
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
b
c
a
39
三、直线上的点
⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影
成定比——定比定理。
四、两直线的相对位置
⒈ 平行 同名投影互相平行。
⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点，
且符合空间一个点的投影规律。
⒊ 交叉（异面）
同名投影可能相交，但“交点”不符合空
间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一
α角——水平投影——z坐标差——线段实长 β角——正面投影—— y坐标差——线段实长 γ角——侧面投影——x坐标差——线段实长
2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知 道其中二个就可以求其它二个
3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响 解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错
a
25
三、直线与点的相对位置
●a
O
W
ay
Y
a
8
a ●
X ax
Z az
a
●
O
Y
ay
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
Y
a●
ay
点的投影规律:
H Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
a
9
例：已知点的两个投影，求第三投影。
A
b
a
AB
b
|YA-YB|
a
X
ab
b
AB
a
|YA-YB|
a
22
对Ｗ面倾角与实长
a
X
Z
b
B b
a
X
O
b
A
a
a
Y
a
|XA-XB|
a
Z
b
a
O b
YH
b YW
23
例：求线段CD的实长及β角
Yd -Yc
c′
c′ β
实长
d′
d′
c c
d
实长
d
a
24
直角三角形法要点
1、角度、投影、坐标差和投影之间的对应关系
第 二 章 点、直线和平面的投影
2-1 投影的基本知识 2-2 点的投影 2-3 直线的投影 2-4 平面的投影 2-5 直线与平面及两平面的相对位置 2-6 换面法
要求：掌握点的三面投影规律，掌握直线、平面的 投影特性，会利用直线与平面及两平面的相对位置
的投影特性解决有关问题。掌握换面法
a
1
2·1 投影的基本知识
积聚性
βc
b
γ
a
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面
与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
a
46
⒉ 投影面平行面
积聚性
a b
积聚性
c a c b
a
实形性
c
水平面
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
二、三角形法：一般位置直线的实长求法
YB-YA
b′
ZB-ZA ZB-ZA
b
V
A0
a′
a
A
β
B
α B0
a α
bH
实长
b
a
20
对Ｈ面倾角和实长
a
X
b
B
|zA-zB|
a
X O
C
A
b
a
a
AB
ab
|zA-zB|
a
b
AB
|zA-zB|
ab
b
AB
|zA-zB |
21
对Ｖ面倾角与实长
b
B
a
X
|YA-YB|
O C
对重影点的投影。
a
40
五、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 直角定理 反映直角。
a
41
2.4 平面的投影
一、平面的表示法