高考数学总复习直线和平面的位置关系练习题

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2023版高考数学一轮总复习8-2空间点线面的位置关系习题

8.2 空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基考点一点、线、面的位置关系1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )A.一定同时成立B.至多一个成立C.至少一个成立D.可能同时不成立答案 C3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )A.6对B.9对C.12对D.15对答案 C5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案 D6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m⊥n,m⊥α,则n∥αD.若m⊥α,n∥α,则m⊥n答案 D7.(2021河南洛阳二模,12)在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( )A.EF⊥BB1B.EF⊥BDC.EF与CD为异面直线D.EF与A1C1为异面直线答案 D8.(2021东北三省四市联考,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°.则在此长方体的表面上从A1到C的路径中,最短路径的长度为.答案4√29.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案√2π2考点二异面直线所成的角1.(2022届新疆克拉玛依检测三,4)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为√2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的纸的长与宽之比仍约为√2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸大小,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C2.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点,CA=CB=CC1,则AE1与BD1所成角的余弦值为( )A.√1515B.√3015C.√1510D.√3010答案 D3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案 C4.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4√3.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为( )A.√1414B.√2114C.√144D.4√3535答案 D5.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AA⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为( )A.√24B.√22C.√63D.√33答案 B综合篇知能转换考法一点、线、面位置关系的判定及应用1.(2021河南九师联盟1月联考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD的中心,E 为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),Q为线段AE的中点.现有以下结论:①PE与QC是异面直线;②过A、P、E三点的正方体的截面与正方体表面的交线围成的图形是等腰梯形;③平面APE⊥平面BDD1B1;④PE∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.②④D.①③答案 B2.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B3.(2020吉林4月联考,11)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M、N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为( )A.2√213B.4√213C.2√73D.4√73答案 A4.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.②④答案 B5.(2022届成都期中,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,有下列结论:;①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为√52;②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为√6+√22③若P在以CD为直径的球面上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√3.4其中正确结论的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案 B6.(2022届山西长治第二中学月考,15)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列5个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是.答案①④⑤7.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为3√3;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④考法二异面直线所成角的求解方法1.(2022届黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )A.13B.√74C.34D.√32答案 C2.(2020湖北重点高中联考,8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=√2,则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C3.(2021全国乙,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6答案 D4.(2021全国重点中学领航高考冲刺卷(九),9)已知SA,SB,SC是圆锥SO的三条母线,如图为圆锥SO的正视图,点S,A,B,C在圆锥SO的正视图中分别对应点S',A',B',C',其中C'为A'B'的中点,若D为母线SB的中点,则异面直线SC与OD所成角的余弦值为( )A.√34B.√23C.34D.23答案 C5.(20215·3原创题)沿正三角形ABC的中线AD翻折,使点B与点C间的距离等于中线AD的长,若三棱锥A-BCD的体积为2,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案14。

高考数学一轮总复习课时规范练34空间点直线平面之间的位置关系北师大版

课时规范练34空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线2.如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1与AA1的中点，则下列判断正确的是()A.直线AC与BF是相交直线B.直线C1E与AC互相平行C.直线C1E与BF是异面直线D.直线DB与AC互相垂直3.(2020浙江，6)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱B1C1的中点，则平面AD1E截该正方体所得的截面面积为()A.4√2B.2√2C.4D.926.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的是()7.已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是.8.如图，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是.9.如图，点A在平面α外，△BCD在平面α内，E，F，G，H分别是线段BC，AB，AD，DC的中点.(1)求证:E，F，G，H四点在同一平面上;(2)若AC=6，BD=8，异面直线AC与BD所成角为60°，求EG的长.综合提升组10.如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论不正确的是()A.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1四点共面C.C1，O，C，M四点共面D.D，B1，O，M四点共面11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M 为线段AP的中点，则下列说法中不正确的是()A.CM与PN是异面直线B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BB1D1DD.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有条.13.(2021湖南长沙一中月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点，F为棱AA1的中点，且CE=2C1E，AB=2，AA1=3，BC=4，则平面BEF截该长方体所得截面为边形，截面与侧面ADD1A1，侧面CDD1C1的交线长度之和为.14.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC ∥AD ，且BC=12AD ，BE ∥AF 且BE=12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形. (2)C ，D ，E ，F 四点是否共面?为什么? (3)证明:直线FE ，AB ，DC 相交于一点.创新应用组15.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K 为棱A1B1的中点，则截面面积为，若截面把正方体分成体积之比为2∶1的两部分，则A1K=.KB1课时规范练34空间点、直线、平面之间的位置关系1.C解析:由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线.若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.故选C.2.D解析:由题知，AC⊂平面ABCD，BF与平面ABCD交于点B，B∉AC，所以直线AC与BF是异面直线，故A错误;AC⊂平面ACC1A1，EC1与平面ACC1A1交于点C1，C1∉AC，所以直线C1E与AC是异面直线，故B错误;根据正方体性质EF∥AD1∥BC1，所以E，F，B，C1四点共面，所以直线C1E与BF不是异面直线，故C错误;正方体各个表面均为正方形，所以直线DB与AC互相垂直，故D正确.故选D.3.B解析:由条件可知，当m，n，l在同一平面内时，三条直线不一定两两相交，有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来，当空间中不过同一点的三条直线m，n，l两两相交时，如图，三个不同的交点确定一个平面，则m，n，l在同一平面内，所以“m，n，l”共面是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件.故选B.4.B解析:对于A，通过常见的正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错误;对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，故B正确;对于C，如三棱柱中的三条侧棱平行，但不共面，故C错误;对于D，如三棱锥的三条侧棱共点，但不共面，故D错误.故选B.5.D解析:由题意可得，如图所示，因为E，F分别是B1C1，BB1的中点，所以BC1∥EF，在正方体中，AD1∥BC1，所以AD1∥EF，所以A，D1，E，F在同一平面内，所以平面AD1E截该正方体所得的截面为平面AD1EF.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以EF=√2，AD 1=2√2，等腰梯形的高为√2，所以四边形AD 1EF 的面积S=(√2+2√2)×√22=92，故选D .6.C 解析:对于A ，连接PR ，QS ，得PR ，QS 与正方体的(竖立的)棱平行且相等，因此四边形PQSR 是平行四边形，故PQ ，RS 共面;对于B ，RS 与正方体的面对角线AB 平行，PQ 与CD 平行，又AB ∥CD ，故PQ ∥RS ，则PQ ，RS 共面;对于C ，RS ⊂平面PRS ，P ∈平面PRS ，P ∉RS ，Q ∉平面PRS ，所以QP 与RS 是异面直线，故PQ 与RS 不共面;对于D ，设QP 与BA 延长线交于点C 1，SR 与BA 延长线交于点C 2，P ，Q 是正方体棱的中点，所以EP=EQ.又∠C 1AP=∠QEP=90°，所以∠EPQ=∠EQP=45°，所以∠C 1PA=∠EPQ=45°，从而∠AC 1P=45°，所以AC 1=AP.同理AC 2=AR ，所以AC 1=AP=AR=AC 2，即C 1，C 2重合，所以PQ ，RS 相交，即PQ ，RS 共面.故选C . 7.平行或异面解析:如图，由于ABCD 是梯形，AB ∥CD ，所以AB 与CD 无公共点，又CD ⊄平面α，所以CD 与平面α无公共点.当m ∥AB 时，则m ∥DC ;当m 与AB 相交时，则m 与DC 异面.8.直线CD 解析:由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β.因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上. 又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上，所以平面ABC ∩平面β=CD.9.(1)证明因为E ，F ，G ，H 分别是线段BC ，AB ，AD ，DC 的中点.故FG ∥BD ，且FG=12BD ，同理EH ∥BD ，且EH=12BD ，故FG ∥EH ，且FG=EH.故四边形EFGH 为平行四边形.故E ，F ，G ，H 四点在同一平面上.(2)解由(1)知四边形EFGH 为平行四边形，且FG=12BD=4，FE=12AC=3.又异面直线AC 与BD 所成角为60°，故∠GFE=60°或120°.当∠GFE=60°时，EG 2=FE 2+FG 2-2FE ·FG cos60°=25-12=13. 此时EG=√13;当∠GFE=120°时，EG 2=FE 2+FG 2-2FE ·FG cos120°=25+12=37. 此时EG=√37，所以EG 的长为√13或√37.10.D 解析:平面AA 1C ∩平面AB 1D 1=AO ， ∵直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ， ∴M ∈AO ，即A ，O ，M 三点共线; 根据A ，O ，M 三点共线，知A 1A ∩AO=A ， ∴M ，O ，A 1，A 四点共面; 同理，M ，O ，C 1，C 四点共面;由图知，OM ，B 1D 是异面直线，故O ，M ，B 1，D 四点不共面. 故选D .11.A 解析:由题知，点C ，N ，A 共线，即CN ，PM 交于点A ，所以A ，N ，C ，P ，M 共面，因此CM ，PN 共面，故A 错误;记∠PAC=θ，则PN 2=AP 2+AN 2-2AP ·AN cos θ=AP 2+14AC 2-AP ·AC cos θ，CM 2=AC 2+AM 2-2AC ·AM cos θ=AC 2+14AP 2-AP ·AC cos θ，又AP<AC ，CM 2-PN 2=34(AC 2-AP 2)>0，CM 2>PN 2，即CM>PN ，故B 正确;在正方体中，AN ⊥BD ，BB 1⊥平面ABCD ，则BB 1⊥AN ，BB 1∩BD=B ，可得AN ⊥平面BB 1D 1D ，AN ⊂平面PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面BB 1D 1D ，故C 正确;过P ，A ，C 三点的正方体的截面与C 1D 1相交于点Q ，则AC ∥PQ ，且PQ<AC ，因此一定是等腰梯形，故D 正确，故选A .12.无数解析:(方法1)在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点.如图所示.(方法2)在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α.因为CD 与平面α不平行，所以CD 与平面α相交，设CD 与平面α交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线.由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交. 13.五10+9√56解析:如图，设平面BEF 与棱C 1D 1，A 1D 1分别交于G ，H ，则截面为五边形BEGHF.易知BF ∥EG ，BE ∥FH ，则∠ABF=∠EGC 1，∠CBE=∠A 1HF ， ∴C 1EC1G=AFAB =322,A 1F A 1H=CE CB =24，而C 1E=1，A 1F=32， ∴C 1G=43，A 1H=3.则FH=√9+94=3√52，GE=√169+1=53，故交线长度之和为FH+GE=3√52+53=10+9√56.14.(1)证明因为G ，H 分别为FA ，FD 的中点，AD.所以GH∥AD，且GH=12AD，又BC∥AD，且BC=12故GH∥BC，且GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形.(2)解C，D，E，F四点共面.理由如下:AF，G是FA的中点可知，由BE∥AF且BE=12BE∥GF且BE=GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF BG.由(1)知BG CH，所以EF∥CH，所以四边形ECHF为平行四边形，所以EC∥FH，故EC，FH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，E，F四点共面.(3)证明由(2)可知，EC∥DF.所以四边形ECDF为梯形.所以FE，DC交于一点.设FE∩DC=M.因为M∈FE，FE⊂平面ABEF，所以M∈平面ABEF.同理M∈平面ABCD.又平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以点M在AB的延长线上，所以直线FE，AB，DC交于一点.15.98√5-12解析:(1)取B 1C 1的中点M ，连接KM ，MC ，∵KM ∥A 1C 1，而A 1C 1∥AC ， ∴KM ∥AC ，∴A ，C ，M ，K 四点共面，且AK=MC. ∴四边形ACMK 是等腰梯形，如图，KM=√22，AC=√2，AK=√12+(12) 2=√52，AH=√2-√222=√24， ∴KH=√AK 2-AH 2=√(√52)2-(√24)2=3√24， ∴S 四边形ACMK =12×√22+√2×3√24=98.(2)设B 1K=x ，取B 1C 1上的点M ，使B 1K=B 1M=x ，连接KM ，MC ，∵KM ∥A 1C 1，A 1C 1∥AC ，∴KM ∥AC ，∴A ，C ，M ，K 四点共面，∵V B 1MK -BCA =13V A 1B 1CD 1-ABCD =13，∴V B 1MK -BCA =13×12+12x 2+√12×12x 2×1=13，即x 2+x-1=0. ∵x>0， ∴解得x=-1+√52.即B 1K=-1+√52，则A 1K=1--1+√52=3−√52，故A 1KKB 1=3−√52-1+√52=√5-12.。

2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3

直线与平面垂直的性质基础巩固一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．不确定[答案] C2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1C1，则有( )A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B与l异面D．B1B与l相交[答案] B[解析] 因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B．3．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[答案] C4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC 所在平面，那么( )A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PA≠PC[答案] C5．(2015·杭州高二检测)如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α、β所成的角相等[答案] D6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案] A[解析] ∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C．又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C．又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C．故选A．二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________.[答案] 4[解析] 如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.8．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC 垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号)．(1)直线DE∥平面ABC；(2)直线DE⊥平面VBC；(3)DE⊥VB；(4)DE⊥AB．[答案] (1)(2)(3)三、解答题9．(2013·陕西)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2.证明：A1C⊥平面BB1D1D．[分析] 先把线面垂直转化为线线垂直，再通过计算得出另一组线线垂直，最后可以得到线面垂直．[证明] ∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．10．如右图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD．[证明] (1)取CD的中点E，连接EM、EN，则CD⊥EM，且EN∥PD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥DC，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.因此，MN ⊥CD ，而CD ∥AB ，故MN ⊥AB ．(2)在Rt △PAD 中有PA ＝AD ，取PD 的中点K ，连接AK ，KN ，则KN 綊12DC 綊AM ，且AK ⊥PD ．∴四边形AMNK 为平行四边形，从而MN ∥AK. 因此MN ⊥PD ．由(1)知MN ⊥DC ，又PD∩DC＝D ， ∴MN ⊥平面PCD ．能力提升一、选择题1．(2015·深圳高一检测)直线l 垂直于梯形ABCD 的两腰AB 和CD ，直线m 垂直于AD 和BC ，则l 与m 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定[答案] D[解析] ∵AD ∥BC ，∴梯形ABCD 确定一个平面α. ∵l ⊥AB ，l ⊥CD ，AB 和CD 相交． ∴l ⊥α.由于AD ∥BC ，m ⊥AD ，m ⊥BC ，则m ⊥α或m ∥α或m ⊂α或m 与α相交，则l ∥m 或l 与m 异面或l 与m 相交．2．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内不一定存在直线与m 平行，必存在直线与m 垂直 D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 [答案] C3．下列命题正确的是( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α.A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②④[答案] A[解析] 由性质定理可得(1)(2)正确．4．(2015·河北衡水中学六模)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°[答案] D[解析] A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，利用排除法选D．二、填空题5．三棱锥P－ABC中，O是P在底面内的射影．①若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的________心；②若P到△ABC三条边的距离相等，则O是△ABC的________心；③若PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心．[答案] ①外②内③外6．△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________.[答案] 3 cm[解析] 如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC 的重心为G ，连接CG 并延长交AB 于中点E ，又设E 、G 在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝12(A′A＋B′B)＝52，CC′＝4，CG GE ＝21，在直角梯形EE′C′C 中，可求得GG′＝3.三、解答题7．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C∩BC 1＝E.求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[答案] (1)详见解析；(2)详见解析．[分析] (1)由三棱锥性质知侧面BB 1C 1C 为平面四边形，因此点E 为B 1C 的中点，从而由三角形中位线性质得DE ∥AC ，再由线面平行判定定理得DE ∥平面AA 1C 1C ．(2)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中BC ＝CC 1，所以侧面BB 1C 1C 为正方形，因此BC 1⊥B 1C ，又AC ⊥BC ，AC ⊥CC 1(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直判定定理得AC ⊥平面BB 1C 1C ，从而AC ⊥BC 1，再由线面垂直判定定理得BC 1⊥平面AB 1C ，进而可得BC 1⊥AB 1.[解析] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC ．又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C ．(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1. 又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1， BC ⊂平面BCC 1B 1，BC∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1，又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AC ．因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C ．因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC ．又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.8．(2015·浙江模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC 的值．[解析] (1)证明：设点O 为AC ，BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 垂直平分线段AC ．所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC ．又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD ．又PA∩AC＝A ，所以BD ⊥平面APC ．(2)连接OG.由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面PAC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AO ＝CO ，所以∠ABO ＝12∠ABC ＝60°，所以AO ＝OC ＝AB·sin60°＝ 3.在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2. 在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG. 在Rt △PAC 中，PC ＝32＋232＝15.所以GC ＝AC·OC PC ＝2155.从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.。

新高考总复习数学第七章第2节空间点、直线、平面之间的位置关系

多维层次练37[A级基础巩固]1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD 平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：A3．(2019·邯郸调研)如图所示，在三棱锥S-ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能解析：连接SG 1并延长交AB 与M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN (图略)．由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，所以在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ，所以G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，所以MN ∥BC ，因此可得G 1G 2∥BC ，即直线G 1G 2与BC 的位置关系是平行．答案：B4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对解析：如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1，CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．答案：B5．(2020·湛江调研)三棱锥A-BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.13B.24C.33D.23解析：连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，因为M 是AD 的中点，所以MO ∥AN ，所以∠BMO (或其补角)是异面直线BM 与AN 所成的角，设三棱锥A-BCD 的所有棱长为2，则AN ＝BM ＝DN ＝22－12＝3，则MO ＝12AN ＝32＝NO ＝12DN ，则BO ＝BN 2＋NO 2＝1＋34＝72，在△BMO 中，由余弦定理得cos ∠BMO ＝BM 2＋MO 2－BO 22·BM ·MO ＝3＋34－742×3×32＝23，所以异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 答案：D6．(2019·珠海模拟)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，P 为边AB 的中点，现将△DAP 绕直线DP 翻转至△DA ′P 处，若M 为线段A ′C 的中点，则异面直线BM 与PA ′所成角的正切值为( )A.12B ．2 C.14 D ．4解析：取A ′D 的中点N ，连接PN ，MN ，因为M 是A ′C 的中点，所以MN ∥CD ，且MN ＝12CD ，因为四边形ABCD 是矩形，P 是AB 的中点，所以PB ∥CD ，且PB ＝12CD ，所以MN ∥PB ，且MN ＝PB ，所以四边形PBMN 为平行四边形，所以MB ∥PN ，所以∠A ′PN (或其补角)是异面直线BM 与PA ′所成的角．在Rt △A ′PN 中，tan ∠A ′PN ＝A ′N A ′P ＝12，所以异面直线BM 与PA ′所成角的正切值为12.故选A. 答案：A7．(2020·惠州质检)设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P 、Q 分别在棱AD 、CD 上，若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z >0)，则下列结论中正确的是________(填序号)．①EF∥平面DPQ；②三棱锥P-EFQ的体积与y的变化有关，与x，z的变化无关；③异面直线EQ和AD1所成角的大小与x，y，z的变化无关．解析：在①中，平面DPQ外一直线EF平行于平面DPQ内直线DQ，所以EF∥平面DPQ，故①正确．在②中，由点Q到EF的距离等于22，而EF＝1，故S△EFQ的值为定值，而随着点P在AD上运动，点P到平面EFQ的距离为变量，从而使得三棱锥P-EFQ的体积跟着变化，所以三棱锥P-EFQ的体积与x，y大小无关，与z大小有关，故②错误．在③中，由线面垂直的判定定理得AD1⊥平面A1DCB1，而直线EQ在平面A1DCB1内运动，不论EQ怎样运动，总有EQ与AD1互相垂直，即异面直线EQ和AD1所成角为90°，与x，y，z的变化无关，故③正确．答案：①③8.(2020·南京期末)如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝3AB.记异面直线AB1与BD所成的角为θ，则cos θ的值为________．解析：因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝3AB，连接AD1，B1D1，所以BD∥B1D1，所以∠AB1D1是异面直线AB1与BD所成的角(或所成角的补角)．设AA1＝3AB ＝3，所以AD1＝AB1＝1＋3＝2，B1D1＝ 2.记异面直线AB1与BD所成的角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋2－42×2×2＝24. 答案：249．已知正六棱锥S-ABCDEF 的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为________．解析：设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接SO ，CO ，BO ，则由正六边形的性质知OC ∥DE ，SO ⊥平面ABCDEF ，所以∠SCO 为异面直线SC 与DE 所成角．又易知△BOC 为等边三角形，所以SO＝BC ＝CO ＝1，所以△SOC 为等腰直角三角形，所以∠SCO ＝π4.答案：π410．(2020·石家庄调研)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明：如图所示，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形．又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.故D1，H，O三点共线．[B级能力提升]11．(2019·临汾模拟)如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α，设α∩平面ABC＝l，若l∥A1C1，则这3个点可以是()A．B，C，A1B．B1，C1，A C．A1，B1，C D．A1，B，C1解析：过点B作BD∥AC，则BD∥A1C1，连接A1B，C1D，CD，如图所示，则平面α可以为平面A1BDC1，则α∩平面ABC＝BD＝l，且l∥A1C1，所以这3个点可以是A1、C1、B.故选D.答案：D12．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E-ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析：因为AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因为B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，则V E-ABC＝16V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．答案：①②③13.如图所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O-ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．解：(1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O-ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83. (2)如图所示，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE .又M 为OA 中点，所以ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，因为(2)2＋(3)2＝(5)2，所以△DEM 为直角三角形，所以tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63. 所以异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63. [C 级素养升华]14.下图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④素养培育数学建模——构造平面研究直线相交问题(自主阅读)把立体几何问题转化为平面几何问题是求解立体几何题目的一种重要的思想方法．下面举例说明，如何根据确定平面的条件，构造平面研究直线相交问题．[典例1](一题多解)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．解析：法一如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案：无数[典例2](一题多解)设l是直线，α，β是两个不同的平面，() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：法一设α∩β＝a，若直线l∥α，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l.又因为l⊥β.所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．法二借助于长方体模型解决本题：对于A，如图①，α与β可相交；对于B，如图②，不论β在何位置，都有α⊥β；对于C，如图③，l可与β平行或l⊂β；对于D，如图④，l⊥β或l⊂β或l∥β.答案：B。

高考数学一轮复习全套课时作业7-2空间点线面的位置关系

题组层级快练7.2空间点线面的位置关系一、单项选择题1．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是()A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α2．下列各图是正方体和正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()3．将下面的平面图形(图中每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是()A ．①②B ．②④C ．①④D ．①③4．空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为()A ．1B ．4C ．7D ．85.如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.456．(2020·江西景德镇模拟)将图①中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是()A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直7．(2020·广西钦州质检)在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，AD ＝6，BC ＝4，EF ＝2，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为()A.34B.56C.910D.11128.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是()A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行9．(2021·吉林长春模拟)已知直线a 和平面α，β有如下关系：①α⊥β；②α∥β；③a ⊥β；④a ∥α.则下列命题为真命题的是()A ．①③⇒④B ．①④⇒③C ．③④⇒①D ．②③⇒④10．(2021·福建三明质检)已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，PA ＝2，E 为BC 的中点，则异面直线AE 与PD 所成的角为()A.π6B.π4C.π3D ．π11．(2021·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是()A.0，π2B.0，π2C.0，π3D.0，π312．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，PA ＝23，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是()A.18B.16C.14D.13二、多项选择题13．(2021·山东烟台二模)已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，则()A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β14.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确是()A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 不共面15．(2021·广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个结论，其中正确的是()A ．AF ⊥GCB ．BD 与GC 为异面直线且夹角为60°C ．BD ∥MND ．BG 与平面ABCD 所成的角为45°16.(2021·江西莲塘一中、临川二中联考)如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当CQ ＝1时，S 的面积为________．17.如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？7.2空间点线面的位置关系参考答案1．答案D解析b 与α相交或b ⊂α或b ∥α都可以．2．答案D解析在A 中，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在B 中，P ，Q ，R ，S 四点共面，如图所示，证明如下：取BC 中点N ，可证PS ，NR 交于直线B 1C 1上一点E ，∴P ，N ，R ，S 四点共面，设为α.可证PS ∥QN ，∴P ，Q ，N ，S 四点共面，设为β.∵α，β都经过P ，N ，S 三点，∴α与β重合，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在C 中，易证PQ ∥SR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在D 中，∵QR ⊂平面ABC ，PS ∩平面ABC ＝P 且P ∉QR ，∴直线PS 与QR 为异面直线．∴P ，Q ，R ，S 四点不共面．3．答案C解析图②翻折后点N 与点Q 重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行．故选C.4．答案C解析当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图．当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个．5.答案D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角(或其补角)．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.6．答案C解析在题图①中，AD ⊥BC ，故在题图②中，AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，又因为BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，D 不在BC 上，所以AD ⊥BC ，且AD 与BC 异面，故选C.7．答案D解析本题考查异面直线所成角的余弦值．取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，EG ∥AD ，则∠EGF 为异面直线AD 与BC 所成的角(或补角)．因为FG ＝12BC ＝2，EG ＝12AD ＝3，所以cos ∠EGF ＝4＋9－22×2×3＝1112，故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为1112.8.答案D解析如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，所以MN 与CC 1垂直，故A 正确；因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ，所以MN 与AC 垂直，故B 正确；因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．9．答案C解析本题考查空间中有关线面位置关系的命题真假的判断．由①③可知，a ∥α或a ⊂α，A 错误；由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错误；过直线a 作平面γ，使得γ∩α＝b ，∵a ∥α，∴a ∥b.∵a ⊥β，∴b ⊥β.∵b ⊂α，∴α⊥β，C 正确；由②③可知，a ⊥α，D 错误．10．答案C解析本题考查异面直线所成角的大小．分别取AD ，PA 的中点F ，G ，连接CF ，AC ，FG ，CG.∵四边形ABCD 为矩形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∴AF 綊EC ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴CF ∥AE.∵F ，G 分别为AD ，PA 的中点，∴FG ∥PD.∴异面直线PD 与AE 所成角即为∠CFG(或其补角)．∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC.∴CG ＝AG 2＋AC 2＝1＋1＋4＝ 6.又CF ＝1＋1＝2，FG ＝1＋1＝2，∴cos ∠CFG ＝CF 2＋FG 2－CG 22CF ·FG ＝2＋2－62×2×2＝－12，∴∠CFG ＝2π3，即异面直线AE 与PD 所成的角为π3，故选C.11．答案D解析当点P 与点D 1重合时，CP ∥BA 1，所成角为0；当点P 与A 点重合时，CA ∥A 1C 1，连接BC 1，△A 1BC 1为正三角形，所成角为π3，又由于异面直线所成角为，π2，所以选D.12．答案A解析分别取PA ，PB ，BC 的中点E ，F ，G ，连接EF ，EG ，FG ，GA ，PG ，如图所示，由PB ＝PC ＝AB＝AC ＝BC ＝4可得PG ＝AG ＝32BC ＝23，所以EG ⊥PA ，在△GPA 中，PG ＝AG ＝PA ＝23，可得EG ＝3，由中位线的性质可得EF ∥AB 且EF ＝12AB ＝2，FG ∥PC 且FG ＝12PC ＝2，所以∠GFE 或其补角即为异面直线PC 与AB 所成角，在△GFE 中，cos ∠GFE ＝GF 2＋EF 2－GE 22GF ·EF ＝4＋4－92×2×2＝－18，所以异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为18.故选A.13．答案BC解析本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m 和n 平行、相交或异面，故A 错误；若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，由线面、面面垂直的性质可知m ⊥n ，故B 正确；若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，又n ⊥β，所以α∥β，故C 正确；若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β或m ⊂β，故D 错误．故选BC.14.答案AD解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．又BB1与平面AB1D1仅有B1一个交点，所以B与B1，O，M不共面．15．答案AB解析将平面展开图还原成正方体，如图所示．对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；对于B，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD 与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故B正确；对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；对于D，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故D错误．综上可得A、B正确．16.答案62解析当CQ＝1时，Q与C1重合．如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，PF＝2，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APC1F，∴其面积为12AC1·PF＝12×3×2＝62.17.答案(1)略(2)共面，证明略解析(1)证明：∵G，H分别为FA，FD的中点，∴GH綊12AD.又∵BC綊12AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是FA的中点，得BE綊GF.所以EF綊BG.由(1)知，BG綊CH，所以EF綊CH.所以EC∥FH.所以C，D，F，E四点共面．。

2014高考数学一轮复习单元练习--点、直线、平面之间的位置关系

2014高考数学一轮复习单元练习--点、直线、平面之间的位置关系I 卷一、选择题1．设有直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是（）A ．若n m n m //,//,//则ααB ．若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂C ．若βαβα⊥⊂⊥m m 则,,D ．若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥【答案】D2．高为2的四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )A ．102B ．2＋32C ．32D ． 2 【答案】A3．若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（）A ．过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行B ．过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行C ．过A 在平面α内可作两条直线与l 平行D ．与A 的位置有关【答案】B4．若三个不同的平面α、β、γ满足α⊥γ，β⊥γ，则它们之间的位置关系是（）A ． α∥βB ． α⊥βC ． α∥β或α⊥βD ．α∥β或α与β相交【答案】D5．已知三条直线a,b,c 和平面β，则下列推论中正确的是（） A ．若a//b,b β⊂,则a //β B ．//αβ，b//β，则a//bC ．若a ,b //,a,b ββ⊂共面，则a //bD ．a c,b c ⊥⊥，则a//b【答案】C6．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 ( ）A ．充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B7．已知直线l 与平面α成30°角，则在α内 ( ）A ．没有直线与l 垂直B ．至少有一条直线与l 平行C ．一定有无数条直线与l 异面D ．有且只有一条直线与l 共面【答案】C8．已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面,αβ，有下列命题①若//,//,//,//l m l m αβαβ且则 ②,,//,//l m l m αβαβ⊥⊥若且则③若,,//,//,//m n m n ααββαβ⊂⊂则 ④若,,,,m n n m αβαββα⊥=⊂⊥⊥ 则n其中真命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ． 1【答案】C9．已知α、β是两上不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若,,m m αβαβ⊥⊂⊥则；②若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ③如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，那么n 与α相交； ④若,//,,,m n m n n αβαβ=⊄⊄ 且则////n n αβ且。

高考数学大一轮复习配套课时训练：第七篇立体几何第3节空间点、直线、平面的位置关系(含答案)

第3节空间点、直线、平面的位置关系课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( A )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件解析:两直线异面⇒两直线没有公共点,反之不然,所以“两直线异面”是“这两直线没有公共点”的充分不必要条件,故选A.2.有以下命题:①若平面α与平面β相交,则它们只有有限个公共点;②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;③经过两条相交直线有且只有一个平面;④两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.其中,真命题的个数是( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:将四个命题一一验证知,只有①不正确,故选B.3.以下四个命题中,正确命题的个数是( B )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则A、B、C、D、E共面;③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①中,假设存在三点共线,则这四点必共面,与题设矛盾,故①正确;②中,若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E有可能不共面,故②错误;③中,如图所示正方体的棱中,a、b共面,a、c共面,而b、c异面,故③错误;④中,空间四边形的四条线段不共面,故④错误,故选B.4.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( D )(A)平行(B)异面(C)相交(D)平行、异面或相交解析:经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现,故选D.5.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( C )(A)直线AC(B)直线AB(C)直线CD(D)直线BC解析:∵D∈l,l⊂β,∴D∈β,又∵D∈AB,AB⊂平面ABC,∴D∈平面ABC,即D在平面ABC与平面β的交线上,又∵C∈平面ABC,C∈β,∴C在平面β与平面ABC的交线上.从而有平面ABC∩平面β=CD.故选C.6.已知A、B是两个不同的点,m、n是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,则①m⊂α,A∈m⇒A∈α;②m∩n=A,A∈α,B∈m⇒B ∈α;③m⊂α,n⊂β,m∥n⇒α∥β;④m⊂α,m⊥β⇒α⊥β.其中真命题为( C )(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④解析:根据平面的性质,可知①正确,②中不能确定B∈α,③中α与β可能平行、也可能相交,④中根据面面垂直判定定理可知正确,故①④为真命题.故选C.7.(2013唐山统考)四棱锥P ABCD的所有侧棱长都为,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角的余弦值为( B )(A) (B)(C)(D)解析: 如图在四棱锥P ABCD中,CD与PA所成的角即是AB与PA所成的角,即∠PAB,取AB中点M,连接PM.在Rt△PAM中,PA=,AM=1,所以cos∠PAB==.故选B.二、填空题8.下列命题中不正确的是.(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线;②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.解析:没有公共点的两直线平行或异面,故①错;如果与两异面直线中一条交于一点,则两直线相交,故命题②错;命题③:若c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c、b不可能平行,③正确;命题④正确,若c与两异面直线a,b都相交,由公理2可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面.答案:①②9.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中使三条直线共面的充分条件有.解析:易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②错;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故③错;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.答案:①④10.下列如图所示的是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是.(填上图形的序号)解析: 图①中,由于PS∥QR,所以P、Q、R、S四点共面;图②中,如图,容易知道,PMQNRS为六边形,所以图②中四点共面;图③中,易证PQ RS,所以图③中四点共面;图④中,Q点所在棱与平面PRS平行,因此四点不共面.综上可知,四点共面的图形有①②③.答案:①②③11. 如图所示,在三棱锥A BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需AC⊥BD.答案:AC=BD AC⊥BD三、解答题12. 如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC的延长线交于点K,求证:M、N、K三点共线. 证明:∵M∈PQ,直线PQ⊂平面PQR,M∈BC,直线BC⊂平面BCD,∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上.又如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以M、N、K三点共线.13.点A是△BCD所在平面外的一点,E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.(2)解:如图所示,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD,FG∥AC,所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角. 又由FG∥AC,AC⊥BD,AC=BD知△EGF为等腰直角三角形,则∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.B组14.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD 的中点,则异面直线AE与BC所成角的正切值为( A )(A) (B)(C)2 (D)解析:如图所示正方形ABCD及折叠后图形,取BD中点O,连接OE、AO,则OE∥BC,则∠AEO就是异面直线BC与AE所成的角(或其补角), 设正方形边长为2,则OE=1,AO=,由平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,AO⊥DB,知AO⊥平面BDC,则AO⊥EO.在Rt△AOE中,tan∠AEO==.故选A.15. 如图所示,ABCD A1B1C1D1是长方体,AA1=a,∠BAB1=∠B1A1C1=30°,则AB与A1C1所成的角为,AA1与B1C所成的角为.解析:∵AB∥A1B1,∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角,∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1,∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角,由已知条件可以得出BB1=a,AB1=A1C1=2a,AB=a,∴B1C1=BC=a,∴四边形BB1C1C是正方形,∴∠BB1C=45°.答案:30°45°16. 如图所示 ,在四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF、GH、BD交于一点.证明:连接GE,FH.因为E、G分别为BC、AB的中点,所以GE∥AC,且GE=AC,又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,且FH=AC.所以FH∥GE,且GE≠FH.所以E、F、H、G四点共面,且四边形EFHG是一个梯形.设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两个平面的交线上.因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条, 所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF、GH、BD交于一点.。

2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》(含解析)

2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β②若m//α，m//β，则α//β③若m//α，n//α，则m//n④若m⊥α.n⊥α，则m//n上述命题中，所有真命题的序号是()A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④2.（5分）直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，下列命题正确的是：A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l至多与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交3.（5分）已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是()A. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥βB. 若m//α，α∩β=n，，则m//nC. 若m//n，m⊥α，则n⊥αD. 若m⊥α，m⊥β，则α//β4.（5分）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n①m//n，m//α⇒n//α①α//β，m//n，m⊥α，⇒m⊥β其中正确命题的序号是()A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（5分）已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α//β的是()①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α．A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①6.（5分）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 不相交7.（5分）若α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题错误的是()A. 若m⊂α，l∩α=A，且A∉m，则l与m不共面B. 若m，l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥αC. 若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l//β，m//β，则α//βD. 若l//α，m//β，α//β，则l//m8.（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β=n，直线l⊂α，直线m⊂β，则下列说法正确的个数是()①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l//n，则l//β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α．A. 0B. 1C. 2D. 39.（5分）已知a，b为两条不同直线，α、β为两个不同平面.下列命题中正确的是()A. 若a//α，b//α，则a与b共面B. 若a⊥α，α//β，则a⊥βC. 若a⊥α，α⊥β，则a//βD. 若α//b，β//b，则α//β10.（5分）若直线l平行于平面α，则()A. α内所有直线与l平行B. 在α内不存在直线与l垂直C. α内存在唯一的直线与l平行D. α内存在无数条直线与l成60°角11.（5分）在空间中，设l是一条直线，α，β是两个不同的平面．下列结论正确的是()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l⊥α，l⊥β，则α//βC. 若l//α，α//β，则l//βD. 若l//α，α⊥β，则l⊥β12.（5分）直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）设l，m，n是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l与m异面，m//n，则l与n异面；②若l//α，α//β，则l//β；③若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m；④若m//α，m//n，则n//α．其中正确命题的序号有 ______ .(请将你认为正确命题的序号都填上)14.（5分）作直线a、b和平面α，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 ______组(请填写个数).A组：“a//b”和“a⊥b”；B组：“a、b为异面直线”和“a⊥b”；C组：“a//α或a⊂α”和“a与α相交”．15.（5分）已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m//α且n//α，则m//n；②若m⊥β且m⊥n，则n//β；③若m⊥α且m//β，则α⊥β；④若n⊂α且m不垂直于α，则m不垂直于n.其中正确命题的序号为______．16.（5分）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．17.（5分）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=1AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC2与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP//平面BEF；(2)求证：GH//平面PAD.19.（12分）用符号语表示图中点、直线、平面的位置关系.20.（12分）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长(II)PC和NC的长(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)21.（12分）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点．判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由．22.（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF。

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2010高考数学总复习直线和平面的位置关系练习题
一、选择题：
1．已知直线的位置关系是与则若与平面a l a l l l ,,//,//,,=⋂βαβαβα （）
A ．异面
B ．相交
C ．平行
D ．不确定
2．过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（）
A ．只有一个
B ．至多有两个
C ．不一定有
D ．有无数个
3．如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为
21θθ和，则
（）
A ．1sin sin 22
12
≥+θθ B ．1sin sin 22
12
≤+θθ
C ．1sin sin 22
12
>+θθ
D ．1sin sin 22
12
<+θθ
4．设E 、F 、G 分别是四面体的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截
面平行的棱有（）
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
5．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l （）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．垂直
6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P
逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小
（）
A ．变大
B ．变小
C ．不变
D ．有时变大有时变小
7．设a ,b 是平面α外的任意两条线段，则“a ，b 的长相等”是a ,b 在平面α内的射影长相等”
的
（）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
8．设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平
面APB 所成角的余弦值是（）
A ．
2
1
B ．
23 C ．
3
3 D ．
3
6 9．已知△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一点P 到此三角形
三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是（）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
10．已知a ,b ,c ,d 是四条不重合的直线，其中c 为a 在平面α上的射影，d 为b 在平面α上的
射影，则
（）
A ．a ∥d ⇒a ∥b
B ．a ⊥b ⇒c ⊥d
C ．a ∥b ⇒c ∥d
D ．c ⊥d ⇒a ⊥b
二、填空题
11．平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到α的距离分别是7，9，13。

则这个三角形
的重心到α的距离为 .
12．已知矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD 。

若在BC 上有且仅有一个点Q ，
满足PQ ⊥QD ，则a 的值为 .
13．空间一个角的两边分别垂直于另一角的两边是这两个角相等或互补的条件. 14．在正方体AC 1中，过顶点A 及另两个顶点且与该正方体的12条棱所在直线成相等的角
的平面是（将所有可能结果都填上）.
三、解答题
15．已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD.(12分)
16．设P 、Q 是单位正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心。

如图：（1）证明：PQ ∥平面AA 1B 1B ；（2）求线段PQ 的长。

17．如图，已知.,,,,AB a a B EB A EA l ⊥⊂⊥⊥=⋂αβαβα于于求证a ∥l
18．如图，ABCD 为正方形，过A 作线段SA ⊥面ABCD ，又过A 作与SC 垂直的平面交
SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影。

19．在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。

求证：A1O⊥平面GBD
20．如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n（n>m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点。

（1）求证：AB⊥MN；
（2）求证：MN的长是定值
参考答案
一、选择题1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．C 9．A 10．C 二、填空题11．3
29 12．2 13．既非充分又非必要 14．平面AD 1B 1或平面ACD 1。

三、解答题（本题考查证明线线垂直、线面垂直的基本方法） 15．证明：
,:.(//,//,2
1
,//.2
1
,//,,,)1(或直接用三垂线定理
注平面平面面平面为平行四边形
四边形又则连中点为又中点取AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE NE PC N E PD ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥∴∴∴===
.
,,//,,45)2(PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA 平面又则为等腰直角三角形时当⊥∴=⋂⊥∴⊥∆=∠ 16．（本题考查证明线面平行的方法）
.2
221:2
2:)2(//,2
1
,//,,,,,://,////2
1
,//,21,//,,,,,:)1(1212111111111
1111111111111111111a AB PQ a N A M A MN PQ B B AA PQ B B AA AB B B AA PQ AB PQ AB PQ B D AD Q P D AB AB AD B
B AA PQ B B AA PQ B B AA MN MN
PQ PQNM ND MP ND MP D A NQ D A NQ AD MP AD MP MP NQ MN N M B A AA ==
=
+==∴⊂⊄∴∆∴⊄⊂∴∴=∴==
方法二方法一面面面且的中点分别是显然中在连结证法二面面面为平行四边形四边形且连结的中点取证法一
评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。

本题证法较多。

17．证明：
.
//,,,l a EAB a AB a EA
a EA a EAB
l EB l EA l l EB EA ∴⊥∴⊥⊥∴⊥⊂⊥⇒⎭⎬⎫
⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥平面又又平面 ααβαβα
18．证明：.
,.,,,上的射影在是点用理可证上的射影在为即平面又平面平面又平面平面SD A H SB A E SB AE SBC
AE C SC BC AE SC AHKE
SC AE
BC SAB BC A AB SA BC AB BC
SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊥∴=⋂⊥∴⊥⊥∴⊥∴=⋂⊥⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥
19．证明：
GBD
O A OG BD OG
O A G A OG O A a a a G C C A G A a a a CG OC OG a a a AO A A O A O
A BD AO A O A AD A BD BD AC BD A A 平面又又面平面⊥=⋂⊥∴=+∴=+=+==+=+==+=+=⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥112
12212
22212
11212
222222
2222121111110
4
9)2()2(4
3
)2()22(23)22(
20．证明：
)(2
1)2()2(
90,)2(),1()2(,)1(,.
)2(//,,)1(22
22222
2222222222222定值两式相加中在中在平面平面平面同理又则连结中点取m n BQ PA NH MH MN MHN b a m n BQ PA m PB AB PB PA PBA Rt PB n PB PQ BQ PBQ Rt PB b PAB b a b AB b MN AB MNH AB MNH AB MH AB HN AB b AB b HN HN H PB -=+=+=∴=∠∴⊥-=+-=-=∆-=-=∆⊥∴⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥。