(整理)常见数学思想方法应用举例
常见数学思想方法应用举例
常见数学思想方法应用举例1.归纳法：归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，通常应用于证明一些性质在所有情况下成立。
例如，我们可以使用归纳法来证明1+2+3+...+n的总和公式为n(n+1)/2、首先，当n=1时，左侧为1，右侧为1(1+1)/2，成立。
接下来，假设对于一些k成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2、那么当n=k+1时，左侧为1+2+3+...+k+(k+1)，右侧为(k+1)((k+1)+1)/2、我们可以将左侧拆分为k(k+1)/2+(k+1)，然后代入归纳假设得到右侧，因此可以推断1+2+3+...+n=n(n+1)/2对于所有自然数n成立。
2.递推法：递推法是一种逐步推进的思想方法，在每一步中根据前一步的结果得到下一步的结论。
递推法常常应用于数列和数列的性质推导。
例如，斐波那契数列就是一个典型的应用递推法得到的数列。
斐波那契数列的定义是：第一个和第二个数都是1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
即，F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3）。
通过递推法，我们可以计算任意给定项的斐波那契数列。
3.反证法：反证法是一种通过假设命题的否定形式为真，再通过推导推出与已知事实矛盾的结论，从而推断原命题为真的思想方法。
例如，我们想要证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p和q是互质的。
如果我们将这个假设代入p^2/q^2=2，可以得到p^2=2q^2、这意味着p的平方是一个偶数，因此p也是一个偶数（偶数的平方是偶数）。
我们可以将p表示为2k，其中k是一个整数，那么我们得到(2k)^2=2q^2，即4k^2=2q^2，化简为2k^2=q^2、这表明q的平方也是偶数，进一步可以推断q也是偶数。
但这与p和q是互质的假设相矛盾，因此根号2不可能是有理数，即它是无理数。
4.数学归纳法：数学归纳法是一种证明自然数性质的方法，适用于证明具有递推性质的命题。
初中数学思想方法举例
初中数学思想方法举例数学思想方法是指在解决数学问题时所采用的思维方式和方法。
以下是初中阶段常见的数学思想方法的举例：1.抽象思维方法：根据具体问题提取出关键信息，将问题进行抽象，转化为数学语言。
例如，在解决几何题时，可以将实际图形抽象成坐标系中的几何图形，通过数学方法求解。
2.归纳思维方法：通过观察问题的特征规律，从具体情况中总结并推广出一般性的结论。
例如，在解决数列问题时，可以通过观察数列的前几项，推断出数列的通项公式。
3.反证法：假设问题的逆否命题成立，通过推理论证能推出矛盾的结论，从而得出问题的真正解答。
例如，在证明一个数是质数时，可以假设该数是合数，通过反证法排除其他可能性，证明该数是质数。
4.分类讨论法：将问题按照不同情况分类进行详细讨论，找出每种情况的解决方法，并通过分析问题的条件进行选择。
例如，在解决“甲，乙，丙三个人一起干活，甲乙两人干活是的速度比丙高1/3”的问题时，可以将丙的速度设为1，讨论其他情况下的解法。
5.数学建模：将实际问题转化为数学问题，并利用数学知识进行建模和求解。
例如，在解决一些城市出租车调度问题时，可以将车辆和乘客抽象为数学模型，并利用最优化算法来计算最佳的调度方案。
6. 迭代逼近法：通过不断逼近数值的方法来求解方程或函数的解，直至满足预设条件。
例如，在求解方程x^2 = 2的正根时，可以通过迭代公式xn+1 = (xn + 2/xn)/2来不断逼近根的值。
7. 反函数法：通过求解问题的反函数，可以将原问题转化为已知的问题求解。
例如，在解决函数y = ax + b的问题时，可以考虑函数的反函数来转化为已知的问题。
8.数量关系方法：通过数学关系式或图形关系来求解问题。
例如，在解决平行线与交叉线之间的角度关系时，可以利用平行线之间的对应角相等的性质来求解。
9.图形变换方法：通过对图形进行平移、旋转、翻折等变换操作，观察变换后图形的性质和关系，并利用这些性质求解问题。
常用的小学数学思想方法及举例5
常用的小学数学思想方法及举例1、举例说明“一一对应思想”在小学数学中是如何体现的？对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。
例如让学生数数时，拨一个珠子数一个数，这就是一一对应的思想。
一个珠子就对应一个数。
2、举例说明“数形结合思想”在小学数学中是如何体现的？数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。
另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。
在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。
例如在学生学习10个十是100，10个百是1000时，让学生看课件把10个小正方体放成一排，摆10排，变成一个面，是100，再放10个这样的面就是1000了，变成一个大正方体。
这里就充分反映了数形结合的思想。
3、举例说明“假设思想”在小学数学中是如何体现的？假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
例如：四（2）班学生在校办工厂糊纸盒，原计划糊制1200个，实际每时糊的纸盒是原计划的1.2倍，结果提前4时完成任务，问原计划糊纸盒几时？分析与解假设没有提前，而是按原计划时间劳动，则糊成的纸盒是（1200×1.2=）1440（个），比原计划多做（1440-1200=）240（个），因为多糊的240个是在4时内做成的，因此实际每时糊纸盒（240÷4=）60（个），原计划每时糊（60÷1.2=）50（个）。
4、举例说明“比较思想”在小学数学中是如何体现的？比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
基本数学思想的应用
基本数学思想的应用数学思想是数学基础知识，基本技能的本质体现，是形成数学能力，数学意思的桥梁，是灵活应用数学知识，技能的灵魂。
因此，在中考数学中能取得好成绩的关机是正确的运用数学思想方法。
1、整体的思想整体思想是将问题堪称一个完整的整体，吧注意力和着眼点放在问题的整体结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向和策略。
例：已知代数式6y 2y 32++的值为8，那么代数式1y y 232++的值为2、分类的思想分类思想是按周一定的标准，把研究对象分成为数不多的举个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整体为零，各个击破的转化策略。
例：某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张8K 大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。
印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印刷费无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系如下表： 印数a （千册） 2≤a<5 5≤a<10 彩色 （元/张） 2.2 2 黑白 （元/张） 0.70.6（1）印制这批纪念册的制版费为：（2）若印制2千册，则共需多少费用？（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60000元，求印数的取值范围。
（精确到0.01千册）例：如图所示，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4,0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D。
（1）求直线l的解析式。
（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，⊙O2第一次与⊙O1相切时，直线l恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度。
（3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结A O2,FG，那么FG﹒A O2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果不变化，求其变化范围。
数学思想方法介绍
◆数学方法具有三个基本特征：
（1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：
（1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
二. 中学数学中常用的数学方法
一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、
函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。
☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人
文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲
学理论体系---解决客观世界的现实问题）。
3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、×
带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
3. 归纳法（逻辑学中的方法）
与数学归纳法（数学中的一般方法）
☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22 +1, Fermat素数：3，5， 17，257，65537)； 2)Goldbach猜想（1742年）。
《数学思想与数学文化》
数学思想方法介绍
内 容
一.前言
二.中学数学中常用的数学方法
三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法
小学数学思想方法
小学数学思想方法数学思想方法是解决数学问题的灵魂和精髓，是数学创造活动的基本方法。
学习数学思想方法有利于增强小学生的数学观念和数学意识，有利于小学生建立数学体系，丰富数学知识，这对其未来的生活和工作都有着深远的影响。
小学数学思想方法的重要性在于，它能够帮助学生理解和掌握数学知识的本质，促进学生的思维能力和解决问题的能力。
数学思想方法是一种普遍存在于现实生活中的思想方法，它不仅能够帮助学生解决数学问题，还能够帮助学生解决实际问题。
抽象概括法。
这种方法是通过对具体事例的分析和比较，概括出一般规律，然后用字母、符号等来表示，从而抽象出一般规律。
归纳法。
这种方法是通过观察和研究一系列具体事实，发现其中的共同规律，然后归纳总结出一般规律。
化归法。
这种方法是将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题，将实际问题转化为数学问题。
类比法。
这种方法是通过比较两个或多个事物的相似之处，推断它们在其他方面也可能相似。
演绎法。
这种方法是从一般规律出发，通过推理证明特殊情况下的结论是否正确。
在小学数学教学中，应该注重数学思想方法的培养，通过具体的问题和实践来引导学生掌握数学思想方法。
例如，在讲解加法交换律时，可以通过举例和归纳法来引导学生发现加法交换律的规律；在讲解平行四边形的面积时，可以通过化归法和演绎法来引导学生推导出平行四边形面积的计算公式；在讲解三角形的内角和时，可以通过类比法和归纳法来引导学生发现三角形内角和的规律。
注重实例的积累和总结。
教师应该引导学生多观察、多思考、多实践，发现生活中的数学问题，并尝试用所学知识去解决。
同时，教师也应该注重课堂上的实例积累和总结，帮助学生更好地掌握数学知识。
注重思维能力和创新能力的培养。
教师应该引导学生多角度思考问题，发现问题的本质和规律，同时注重培养学生的创新能力和实践能力。
注重数学语言的使用。
教师应该引导学生正确使用数学语言来表达自己的想法和思路，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
(完整版)数学思想方法在中学教学中的应用
数学思想方法在中学教学中的应用数学与统计学院张春月全日制普通高级中学数学教学大纲中规定:“高中数学的基础知识主要是高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。
”义务教育数学新大纲指出:“初中数学的基础知识主要是代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。
”把数学知识中的数学思想和方法纳入基础知识范畴,这充分体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。
这不仅是加强数学素养培养的一项举措,也是数学基础教育现代化进程的必然要求。
一、中学数学思想方法的主要内容中学数学中的基本数学思想如下。
两大“基石”思想:符号化与变元表示思想(换元思想、方程思想、参数思想) 与集合思想(分类思想、交集思想、补集思想) 。
两大“支柱”思想:对应思想(函数思想、变换思想、递归思想、数形结合思想) 与公理化与结构思想(公理化思想、结构思想、极限思想) 。
两大“主梁”思想:系统与统计思想(整体思想、分解组合思想、运动变化思想、最优化思想;随机思想、统计调查思想、假设检验思想、量化思想) 与化归与辩证思想(纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想, 对立统一、互变、一分为二思想) 。
中学数学中的基本数学方法如下。
五种科学认识方法:观察与实验,比较与分类,归纳与类比,想象、直觉与顿悟。
四种推理方法:综合法与分析法,完全归纳法与数学归纳法,演绎法,反证法与同一法。
三种求解方法:数学模型法,关系映射反演方法,构造法。
二、提高数学思想方法教学的意识性对数学思想方法教学缺乏意识性是一个较普遍的问题。
主要表现在:制定教学目的时,对具体知识、技能训练的教学要求比较明确,而忽视数学思想方法的教学要求;教学时,往往注重知识的结论,而削弱知识形成过程中思想方法的训练;知识应用时,又偏重于就题论题,忽视数学思想方法的揭示与提炼;小结复习时,只注意知识的系统整理,忽视思想方法的归纳提高等等,致使数学教学停留在较低的层次上。
小学常用数学思想及其教学举例
小学常用数学思想及其教学举例我们的教学实践表明，小学数学教育的现代化，不光是内容的现代化，更是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是数学教育现代化的关键。
现结合我的工作经验，谈谈小学数学中常用的数学思想方法，不当之处敬请斧正。
一、转化思想把新的知识或未解决的问题，通过转变归结为一类较易求解的问题，以求得到解决。
将认知中的“顺应”转变为“同化”。
这就是转化的思想。
举例：五上《多边形的面积》二、化繁为简思想化繁为简，就是把复杂的问题简单化，再把得到的结论应用于复杂的问题。
举例①：六上《植树问题》三数学建模思想所谓数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量间的相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。
如自然数“1”是“1个人”、“一件玩具”等抽象的结果，是反映这些事物共性的一个数学模型；方程是刻画现实世界数量关系的数学模型等。
而建立数学模型的过程就是“数学建模”。
四、数形结合思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。
所谓“数无形，少直观；形无数，难入微”（华罗庚语）。
其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维和形象思维结合起来。
举例：六上第八单元五、对应思想对应指的是一个系统中的某一项在性质、作用、位置上跟另一系统中的某一项相当。
对应思想可以理解为在两个集合的元素之间构建联系的一种思想方法。
举例：二上《表内乘法》（）×8=8（）×8=16（）×8=24（）×8=（）（）×8=（）（）×8=（）┇┇六、极限思想事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。
举例：六上《圆的面积计算》。
在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发无限逼近的极限思想。
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常见数学思想方法应用举例所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识.所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映.数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为.运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想.其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割.它们既相辅相成，又相互蕴含.因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法.比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。
在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用.初中阶段《数学大纲》要求我们了解的常用的基本数学思想有：整体思想与分类的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想，抽样统计思想等.《数学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。
要求“理解”或“会应用”的方法有：建模法、待定系数法、消元法、降次法、代入法、加减法、因式分解法、配方法、公式法、换元法、图象法(也称坐标法)以及平行移动法、翻折法等. 1、 整体思想整体思想是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.往往能起到化繁为简，化难为易的效果.它在解方程的过程中往往以换元法的形式出现.例1、整体通分法计算112+--x x x解：原式1111)1)(1(1122--=----+=--+=x x x x x x x x x 评注：本题若把1,+x 单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把分母为1的整式看作一个整体进行通分，运算较为简便.例2、整体代入法：（绵阳市05）已知实数a 满足0822=-+a a ，求34121311222+++-⨯-+-+a a a a a a a 的值。
解：化简得原式2)1(2+=a ，由0822=-+a a 得9)1(2=+a ，∴ 原式92=.评注：本题通过整体变形代入，起到降次化简的显著效果.例3、换元法(温州市05)用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时设x 2＋x ＝y ，则原方程可变形为（ ）A 、y 2＋y －6＝0B 、y 2－y －6＝0C 、y 2－y ＋6＝0D 、y 2＋y ＋6＝0 解：选A例4、平移法(泸州05改编)如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下的耕地面积为551m 2，试求道路的宽x = m地合并为一个整体，而面积却没有改变，得方程551)30(20=--x x ）（得=x 2、分类思想分类思考的方法是一种重要的数学思想，同时也是一种解题策略。
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，按照一定的标准，把有关问题转化为几个部分或几种情况，从而使问题明朗化，然后逐个加以解决，最后予以总结得出结论的思想方法.例5、定义分类（潍坊市05）已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）．A 、5cmB 、11cmC 、3cmD 、5cm 或11cm解：选D （按定义分内切与外切两种）.例6、位置分类(资阳市05)若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b (a >b )，则此圆的半径为A 、 2a b + B 、 2a b - C 、 2a b +或2a b - D 、 a +b 或a -b （ ）解析：需考虑点P 在圆内与圆外两中情况，选C.例7、系数分类：（淄博市04改编）若关于x 的0122=-+x kx 有实数根，则k 的取值范围是 （Ａ）k ＞－1 （Ｂ）k ≥－1 （Ｃ）k ＞－1且k ≠0 （Ｄ）k ≥－1且k ≠0 解：分系数00≠=k k 与两种情况讨论，选B .例8、运算法则分类（衢州市04改编）根据下图所示的程 序计算函数值，若输出的γ值为2，则输入的χ值为（ ） A 、－2 B 、0 C 、2、－2 D 、2、－2、0 解：选A 。
例9、取值分类：(日照05改编)已知a 、b 满足122=-a a ，122=-b b ，则abb a +值等于 . 解：（1）当b a =时，值为2；当b a ≠时，b a ,是0122=--x x 的两异根，值为6-. 3、方程思想方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，是研究数量关系的重要工具.我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得解的思想方法称为方程思想.方程思想在实际问题、代数和几何中都有着广泛的应用.1） 用方程思想解实际问题 例10、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%),则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?解析：根据题意得70(100-10x).x%=168,x 2-10x+24=0,解得 x 1=6, x 2=4, 当x 2=4时,100-10×4=60>50,不符合题意,舍去, x 1=6时,100-10×6=40<50, ∴税率应确定为6%.评注：数学应贴近生活，关注生活，在近年中考中越来越得到重视，应用题不失为一个很好的载体. 2）用方程思想解有关函数题基本类型有：通过列方程或方程组求待定系数，进而求出函数解析式；研究函数图象的交点，解决函数图象与坐标轴交点等有关问题.例11、（镇江市05）已知反比例函数xky =的图像与一次函数y kx b =+的图像相交于点（2，1）. 求：（1）k b ，的值；（2）两函数图像的另一个交点的坐标.第9题图解：（1）把点（2，1）代入xky =得2=k ，把2=k 和点（2，1）代入y kx b =+得3-=b . ∴2=k ，3-=b .（2）当2=k ，3-=b 时反比例函数为,2xy =一次函数32-=x y 联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==322x y xy 322-=∴x x 得⎩⎨⎧==1211y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=42122y x ∴另一个交点为)4,21(--. 3）用方程思想解证几何题所谓用方程思想解证几何题，就是充分挖掘题设和结论中隐含的数量关系，借助图形的直观性质，寻求已知量与未知量之间的等量关系，借以建立方程或方程组，然后应用方程的理论和解方程的方法，求得几何题的解决.例12、(杭州市05)已知AC 切⊙O 于A ，CB 顺次交于⊙O 于D ，B 点，AC=6，BD=5，连接AD ，AB 。
（1） 证明△CAD ∽△CBA ； （2） 求线段DC 的长。
解：（1）略；（2）Θ△CAD ∽△CBA ∴BCACAC CD =∴BC CD AC ⋅=2 即：66)5(⨯=+⋅CD CD 解得4=CD ，9-=CD （不合题意）. 4、化归思想所谓化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将陌生的或不易解决的问题，转化为我们熟悉的，或已经解决的、容易解决的问题，从而最终把数学问题解决的思想方法.例13、未知向已知转化（日照市04）方程组{322=-+-=x y mx y 只有一个实数解，则实数m 的值是 . 解：0,21,61--（转化为一元一次方程或一元二次方程考虑有解） 例14、复杂向简单转化(武汉市05)如图，中，，AC ＝2，AB ＝4，分别以AC 、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 .分析:图中阴影部分是一个不规则的图形,其结构较为复杂.解这类题时,我们可把不规则图形的面积转化为简单、规则图形的面积和或差来处理. 解:ABC S S S S ∆-+=小半圆大半圆阴影=322-π例15、（特殊化与一般化）（绵阳市2005年） 如图15①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图15②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，第14题图BOD 第12题图那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图15③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，为使S 1、S 2、S 3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .分析:特殊化和一般化是我们数学解题的常用方法,而由特殊情况得出更为普遍和一般的结论,或由普遍和一般的结论得出特殊情况,这也是我们数学发现的重要策略和常用方法.解：设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则c 2=a 2+b 2. (1) S 1=S 2+S 3 .（2）S 1=S 2+S 3 .证明如下：显然，S 1=243c ，S 2=243a， S 3=243b ， ∴S 2+S 3=()12224343S c b a ==+ . (也可用三角形相似证明)(3) 当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3 . 证明如下：∵ 所作三个三角形相似， ∴2212c a S S =,2213cb S S = 321222132,1S S S cb a S S S +=∴=+=+∴.(4) 分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则S 1＝S 2＋S 3 .5、数形结合思想所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
例16、(日照05)近年来市政府不断加大对城市绿化的经济投入，使全市绿地面积不断增加．从2002年底到2004年底城市绿地面积变化如图所示，那么绿地面积的年平均增长率是__________．解析：设绿地面积的年平均增长率是为x ，则可得363)1(3002=+x ，解得1.2,1.021-==x x （不合题意，舍去），故绿地面积的年平均增长率是10%.评注：数形结合是近年中考的热点，正确的读（识）图是本题的关键.注意：平均增长率并不是两年增长率的平均值.若原来的基数为a ，平均增长率为x ，则增长一次后达到)1(x a +，增长二次后达到2)1(x a +…增长n 次后达到n x a )1(+；若改为平均减少的百分率为x ，则减少一次后为)1(x a -，减少二次后为2)1(x a -…减少n 次后为nx a )1(-.7、抽样统计思想用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差是一种抽样统计思想，这种思想是可靠的、科学的，在节约人力、物力、财力的同时，也提高了工作效率。