配套K12高中数学第2讲参数方程单元检测北师大版选修4_4
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(答案解析)(2)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD2．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（ ） AB．2CD．23．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )ABCD4．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是（ ）A ．3BC．D5．已知M 为曲线3sin :cos x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，设O 为原点，则OM 的最大值是 A ．1 B ．2 C ．3D ．46．点M的直角坐标是()1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ （t 为参数）和22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08．直线22{x ty t=+=-（t 为参数）被曲线4cos p θ=所截的弦长为( )A ．4B ．855C ．1655D ．89．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈ 10．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．160 11．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．在平面直角坐标系中，参数方程2211x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数）表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一条线段D ．一条射线二、填空题13．在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.14．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ24⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．15．曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），M 是曲线C 上的动点，若曲线T极坐标方程2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为__________．16．直线1413x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.17．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．18．已知(,)P x y 是椭圆22143x y+=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．19．与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为_____．20．已知直线l 的参数方程为：2,{14x t y t==+（为参数），圆C 的极坐标方程为22ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为______.三、解答题21．已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ .22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数).将曲线C 上的点按坐标变换2x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设A 点的极坐标为3,22π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲C '极坐标方程；（2）若过点A 且倾斜角为60︒的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，求||||AM AN ⋅的值. 23．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.24．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为：222242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），两曲线相较于M ，N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若()2,4P --，求PM PN +的值.25．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）， 以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 3⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ （1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P Q ，两点，M (2，0)，求MP MQ +的值.26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为162x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上的一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===， 即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3．A解析：A 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以所以e故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=4．D解析：D 【分析】设椭圆221164x y+=上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线20x y+=的距离公式，计算可得答案．【详解】设椭圆221164x y+=上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线20x y+=的距离=，maxd==D．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．5．D解析：D【解析】从曲线C的参数方程中消去θ，则有()2231x y-+=，故曲线C为圆，而3OC=，故OM的最大值为3314r+=+=，选D．6．B解析：B【解析】3π7π2,tan(π,)26ρθθθ===∈⇒=，故选：B．点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cosxρθ=及sinyρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos,sin,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.7．D解析：D【解析】在12x tty⎧=+⎪⎨⎪=⎩中，原方程化为2(22)y x x=≥≤-或①方程22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩的普通方程为224x y +=将①式中的代入得0x =， 显然不满足①式，所以曲线C 1与C 2的交点个数为0． 故选D ． 8．A解析：A 【解析】由直线的参数方程可得，直线的普通方程为220x y +-=，又由24cos 4cos ρθρρθ=⇒=，可得2240x y x +-=表示以(2,0)为圆心， 半径为2的圆，此时圆心在直线220x y +-=上，所以截得的弦长为4，故选A. 考点：参数方程与普通方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程的互化.9．D解析：D 【解析】试题分析：2cos212sin θθ=-,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-,代入22sin x θ=+可得22yx =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.10．C解析：C【解析】本题考查直线的斜率，倾斜角的概念，诱导公式以及消参技能. 〖思路分析〗设法从参数方程中消去参数t ，再借助直线斜率的定义求解. 〖解答〗由320{20x tsin y tcos =+=-得 320{20x tsin y tcos -==-，消去参数t 得cos20cot203sin20y x =-=-- 因为20tan70tan110cot -=-=即有tan1103yx =- 所以此直线的倾斜角为110 故选择C〖评注〗消去参数t ，得到斜率的表达式cot203yx =--并不难，大多数同学都能做到；把cot20-转化为tan70-进而转化为tan110，是本题的难点.11．A解析：A 【解析】试题分析：把各个点的坐标代入圆的方程进行检验，因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上；故答案选．考点：圆的极坐标方程．12．D解析：D 【分析】参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，1,1x y ≤≥，故表示的曲线是射线. 【详解】将参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，其中1,1x y ≤≥，又点(1,1)在直线上，故表示的曲线是以(1,1)为起点的一条射线 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，但互化时一定要注意消去参数，得到的普通方程中x, y 的范围，本题中20t ≥，所以消去参数得到的方程为一条射线，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由消去θ得（x+1）2+（y ﹣1）2＝4得曲线C 的轨迹是以C （﹣11）为圆心2为半径的圆再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值【详解】由消去θ得（x+1）2+（y ﹣1）2＝4∴曲线C 的轨解析：【分析】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值． 【详解】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短，∴|AB |＝=故答案为： 【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．14．【解析】【分析】求出抛物线直角坐标方程为直线的直角坐标方程为由此能求出点F 到直线l 的距离【详解】抛物线参数方程为为参数焦点为F 抛物线直角坐标方程为直线l 的极坐标方程为直线的直角坐标方程为点F 到直线l【解析】 【分析】求出抛物线直角坐标方程为24y x =，()1,0F ，直线的直角坐标方程为10x y -+=，由此能求出点F 到直线l 的距离． 【详解】抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，∴抛物线直角坐标方程为2y 4x =，()F 1,0，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ρθθ⎫∴-=⎪⎪⎝⎭∴直线的直角坐标方程为x y 10-+=， ∴点F 到直线l 的距离为：d ==【点睛】本题考查点到直线的距离的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．2【解析】分析：先把曲线的极坐标方程化成直角方程再算出动点到直线的距离最后利用三角函数的知识求最大值详解：曲线的直角方程为曲线上的动点到直线的距离为故填点睛：一般地曲线是椭圆则椭圆上的动点的坐标可用解析：2+【解析】分析：先把曲线T 的极坐标方程化成直角方程，再算出动点到直线的距离，最后利用三角函数的知识求最大值．详解：曲线T 的直角方程为220x y +=，曲线C 上的动点P 到直线T 的距离为204cos 2sin 20d αα-+-==()2sin αϕ=+，max 2d =+，故填2+点睛：一般地，曲线C 是椭圆()222210x y a b a b+=>> ，则椭圆上的动点P 的坐标可用参数θ表示成()cos ,sin P a b θθ，这样就把距离的最值问题转化为三角函数的最值问题．16．【解析】直线的参数方程为为参数）消去参数得则直线的斜率为故答案为 解析：34-【解析】直线l 的参数方程为14(13x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数）∴消去参数t 得()3114y x -=--，则直线l 的斜率为34-，故答案为34-.17．【解析】直线的普通方程为曲线的普通方程∴【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程22(1)(2)4x y -+-=∴AB ==18．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为 解析：7【解析】P x y （，）是椭圆22143x y +=＝1上的一个动点， 设 23x cos y sin ，，θθ== 237x y cos sin sin θθθϕ∴+=+=+（）， ∴最大值为7.19．y=2x2（x≥0）【解析】试题分析：消参数可得y=2x2由得x≥0解：由可得y=2x2由得x≥0故答案为y=2x2（x≥0）考点：参数方程化成普通方程解析：y=2x 2（x≥0）． 【解析】试题分析：消参数可得y=2x 2，由得x≥0． 解：由可得y=2x 2，由得x≥0．故答案为y=2x 2（x≥0）． 考点：参数方程化成普通方程．20．相交【分析】先化参数方程极坐标方程再根据圆心到直线距离与半径大小关系进行判断【详解】则化为普通方程为直线圆心到直线的距离为所以直线与圆的位置关系为相交【点睛】本题考查参数方程化普通方程极坐标方程化直解析：相交 【分析】先化参数方程、极坐标方程，再根据圆心到直线距离与半径大小关系进行判断. 【详解】222sin ,ρρθ=则化为普通方程为(2222x y +=，直线:210l x y -+=，圆心到直线的距离为2121255d -+-==<l 与圆的位置关系为相交. 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题21．（1）l 3230x y --=，曲线C 的直角坐标方程为221x y -=． （2）210AB =2PQ =． 【分析】（1）消去参数t 得直线的普通方程，利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的标准参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义求弦长． 【详解】（1）由2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t得2)y x =-，所以l0y --=，222222cos2(cos sin )(cos )(sin )1ρθρθθρθρθ=-=-＝，所以曲线C 的直角坐标方程为221x y -=．（2）直线l的标准参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=得2460t t --=，2(4)4(6)400∆=--⨯-=>， 124t t +=，126t t =-，12,t t 异号，所以12AB t t =-===设Q 对应的参数是0t ，则12022t t t +==，所以02PQ t ==． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，掌握直线参数方程中参数的几何意义是解题关键． 22．（1）1ρ=；（2）5||||4AM AN ⋅=. 【分析】（1）把曲线C 的参数方程化为普通方程，然后利用变换得出C '的普通方程，再化为极坐标方程；（2）把A 点极坐标化为直角坐标，写出直线l 的标准参数方程，代入曲线C '的直角坐标方程中，求出12t t 即可． 【详解】（1）曲线C 的普通方程为2212x y +=，由2x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩，得到x y y ''⎧=⎪⎨=⎪⎩代入曲线C 的普通方程得到()()221x y ''+= C '的极坐极方程为1ρ=（2）点A 的直角坐标为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，直线l的参数方程为1232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22:1C x y +='中，可得2450t ++=5||||4AM AN ⋅=． 【点睛】结论点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，（1）公式cos sin x y ρθρθ==可实现极坐标方程与直角坐标方程的互化；（2）直线的标准参数方程中参数具有几何意义：过000(,)P x y 的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则0t P P =．从0P向上的点对应0t >，向下的点对应参数0t <．23．（1）2(2x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数）. （2）11,(3,4). 【解析】试题分析：（1）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到圆C 的直角坐标方程，从而可得圆C 的一个参数方程；（2）由（1）可设点(2,2)P ϕϕ，借助辅助角公式即可得2x y +，从而可得2x y +的最大值及点P 的直角坐标. 试题(1)因为24(cos sin )3ρρθθ=+-，所以22+4430x y x y --+=，即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的直角坐标方程，所以圆C的一个参数方程为2(2x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由(1)可知点P的坐标可设为(2,2)ϕϕ，则224x y ϕϕ+=+++65sin()6ϕϕϕα=++=++其中cos αα==，当2x y +取最大值时，sin()1ϕα+=，2,2k k Z πϕαπ+=+∈，此时cos cos()sin 2πϕαα=-==，sin sin()cos 25πϕαα=-==，所以2x y +的最大值为11，此时点P 的直角坐标为()3,4.24．（Ⅰ）24y x =；20x y --=；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）根据cos x ρθ=、sin y ρθ=，求得曲线C 的直角坐标方程，用代入法消去直线l 参数方程中的参数t 得到其普通方程；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得到2480t -+=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，利用韦达定理以及12PM PN t t +=+，计算即可求得结果. 【详解】（Ⅰ）根据cos x ρθ=、sin y ρθ=， 求得曲线C 的直角坐标方程为24y x =，用代入法消去参数求得直线l 的普通方程20x y --=．（Ⅱ）直线l的参数方程为：224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入24y x =，得到2480t -+=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=1248t t ⋅=，∴12PM PN t t +=+= 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程与参数方程的应用，属于基础题型. 25．（1）C ：221259x y +=，l0y +-=；（2【分析】（1）根据参数方程消去参数ϕ得到椭圆方程，利用极坐标公式化简得到答案. （2）将直线l 的参数方程代入椭圆方程，得到1212697t t t t +==-，，计算得到答案. 【详解】（1）曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，22223443cos sin cos sin 12595555x y ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故曲线C 的普通方程为221259x y +=.∵sin 3⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ∴cos sin 0θρθ+-=，∴直线l0y +-=.（2）设直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1212697t t t t +==-，. ∵点M (2，0)在直线l 上， ∴127MP MQ t t +=-==. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力. 26．（1）220x y +-=（2）()6,0 【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可求得结果；（2）利用点P 的参数坐标，结合（1）中所求，求得PC 关于t 的函数，根据函数的最值，即可容易求得结果. 【详解】（1）由ρθ=知2sin ρθ=所以22x y +=， 所以C 的直角坐标方程为220x y +-=.（2）由（1）知C 的标准方程为(2212x y +-=，即圆心(0,C ，设P点坐标为162t ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，则PC == 所以当0t =时，PC 有最小值，此时P 点坐标为()6,0. 【点睛】本题考查极坐标和直角方程之间的转化，以及利用直线的参数方程，求得点距的最值，属中档题.。
北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测题(含答案解析)
一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（ ）A ．1B C D ．22．已知直线:60l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．2+3．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）A ．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--4．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E =2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]5．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（）A B ．C D ．±6．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ）A ．(3,4)B ．2⎛ ⎝C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 7．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．578．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A．⎡⎢⎣⎦B．1,1⎡+⎢⎣⎦C．1,1⎡+⎢⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) ABCD10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC（sin θ+cos θ）=rD（sin θ+cos θ）=-r11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ （t 为参数）和22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈二、填空题13．在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.14．若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________；15．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4πρθ-=直线l被曲线C 截得的线段长为_______ 16．直线1{2x t y t =-=-（t 为参数）与曲线3{2x cos y sin θθ==（θ为参数）的交点个数是_______．17．已知曲线C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为(2,)A π，4(2,)3B π．设M 为曲线C 上的动点，过点M 作一条与直线AB 夹角为30︒的直线l 交直线AB 于点N ，则MN 的最大值是_________．18．P 是直线l ：40x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，PQ 的最小值是______.19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．20．无论k 取任何实数，直线2y kx =+与椭圆()2 θx cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数恒有交点，则实数m 的取值范围是_____。
北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x tl y t =+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（ ）ABCD2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC∆的面积最大时，tan α=( )A．3B．2CD ．73．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无数个4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0B ．()1,π-C ．()1,πD ．()1,2π6．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A ．⎡⎢⎣⎦B ．1,1⎡+⎢⎣⎦C ．1,1⎡+⎢⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=化为直角坐标方程后为( )A ．()2239x y +-=B ．()2239x y ++= C ．()2239x y ++= D ．()2239x y -+=8．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．214C ．2D ．229．直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．过圆心D ．相交不过圆心10．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线251:515x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（ ）A ．2B 63+C 31D 10 11．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和直线:x tl y t b=⎧⎨=+⎩（t 为参数，b 为实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ） A 2B ．2-C ．0D ．2±12．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A 到直线sin()66πρθ+=的距离的最大值是（ ）A ．62B 6C 362D ．26二、填空题13．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 14．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.15．直线122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为_________.16．若实数x 、y 满足2214xy +=，则()()121x y ++的取值范围是_________.17．已知(,)P x y 是椭圆22143x y+=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________. 19．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______．20．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆2212x y +=两个不同的动点，且满足1122x y x y ⋅+⋅=2212x x +的值是_____． 三、解答题21．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）， 以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 3⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ （1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P Q ，两点，M (2，0)，求MP MQ +的值.23．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值. 24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B 【分析】将直线84:1x tly t=+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.【详解】84:1x tly t=+⎧⎨=-⎩可得：4120x y+-=根据点到直线距离公式，可得C上的点到直线l的距离为=≤=【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题. 2．D解析：D【分析】先将直线直线l与曲线C转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC∆的面积最大，即要ACB∠为直角，从而求解出tanα．【详解】解：因为曲线C的方程为4cos02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边同时乘以ρ，可得24cosρρθ=，所以曲线C 的普通方程为22(2)4(02)x y y-+=，曲线C是以(2,0)C为圆心，2为半径的上半个圆.因为直线l的参数方程为1cossinx ty tαα=-+⎧⎨=⎩，（t为参数），所以直线l的普通方程为tan tan0x yαα-+=，因为1sin2sin2ABCS CA CB ACB ACB∆，所以当ACB∠为直角时ABC∆的面积最大，此时C到直线l的距离2ABd===，因为直线l 与x 轴交于()1,0D -， 所以3CD =，于是7DE =， 所以214tan 77α==， 故选D ． 【点睛】本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想．3．B解析：B 【分析】首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系, 圆心到直线的距离为224222d -+==,进行判断．【详解】∵直线l 的参数方程为(4x tt y t=⎧⎨=+⎩ 为参数．所以它的普通方程为：40x y -+=， ∵曲线C 的极坐标方程为42sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴()42sin 4sin cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，两边同乘ρ，得2244x y x y +=+，所以直角坐标方程为()()22228x y -+-=，所以圆C 它的半径为22，圆心为()2,2，圆心到直线的距离为224222d -+==，所以直线l 和曲线C 的公共点有1个． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.4．D解析：D 【解析】 分析：化参数方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）为普通方程，将四个点代入验证即可.详解：方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数得到212,y x =-将四个点代入验证只有D满足方程. 故选D.点睛：本题考查参数分析与普通方程的互化，属基础题5．C解析：C 【解析】分析：在极坐标系中，ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）． 详解：∵ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）．，∴()M 1,0关于极点的对称点为()1,π． 故选：C ．点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．6．C解析：C 【解析】分析：由题意得曲线C 是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子111y x y x x +--=+，1y x-的形式可以联想成在单位圆上动点P 与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵21x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩即21x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩22211x y ∴-+-=（）（），其中[12]y ∈， 由题意作出图形，111y x y x x+--=+， 令11y k x-=+，则k 可看作圆22211x y ∴-+-=（）（），上的动点P 到点01C （，）的连线的斜率而相切时的斜率， 由于此时直线与圆相切，在直角三角形ACB 中，303ACB k ∠=︒⇒=，由图形知，k 的取值范围是[0．则1y x x +-的取值范围是1,1⎡+⎢⎣⎦．故选C ．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．7．A解析：A 【解析】6sin ρθ=22226(3)9x y y x y ⇒+=⇒+-= ，选A. 8．D解析：D 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d =，直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =. 9．A解析：A 【解析】试题分析：即3x-4y-36="0;"即，由圆心到直线的距离，所以，直线与圆相离，选A 。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）A．B．CD2．已知直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（ ） A ．1BCD ．23．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（ ） ABCD4．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（）A．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--5．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心6．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．57．4sin 4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（ ） A ．相切B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心8．已知直线l的参数方程为2112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B．3)-C．(D．3(,9．已知椭圆()222210,x y a b M a b+=>>为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点则线段1MF 的中点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．线段10．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．160 11．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线12．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和直线:x tl y t b =⎧⎨=+⎩（t 为参数，b 为实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ） AB．C ．0D．二、填空题13．已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，l 与圆224x y +=相交与两点,A B ，则点P 到,A B 两点的距离之积为____.14．已知曲线C 参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l方程为：0x y -+=，将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线1C ，则曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值为______.15．直线415{315x ty t =+=--（t为参数）被曲线4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截得的弦长为 .16．已知椭圆22:1,3x C y +=过C 上一点(P 第一象限)的直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,.A B 若1PA =，则PB 的值为___________.17．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程是1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0θπ≤≤），直线l 的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若曲线C 与直线l 有交点，则a 的取值范围是_______. 18．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________． 19．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.20．已知曲线Γ的参数方程为32221{1t x t t y t =-+=+（t 为参数），则以下曲线Γ的说法中： ①关于原点对称；②在直线1y =下方；③关于y 轴对称；④是封闭图形，正确的有______．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－2，曲线C 3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，02π，），圆C的参数方程222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点()0,2M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B两点，若11||||4MA MB +=，求sin α的值. 24．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=． （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）过动点20000()(),P x y y x <且平行于l 的直线交曲线C 于,A B 两点，若2PA PB ⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离．25．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的方程，()222cos4sin 4ρθθ+=，过点(2,1)的直线l的参数方程为2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||AB 的值.26．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，(t 是参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若12,C C 交于,A B 两点，P 点坐标为()2,2--，求11PA PB+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m 的值，将直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得2220t t --=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案； 【详解】解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，则其标准方程为221124x y +=，其左焦点为(22,0)-，直线l 过点(22,0)-，其参数方程为22(2x m t ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则22m =-将直线l 的参数方程2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=， 则12||||||2FA FB t t ==． 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．3．C解析：C 【分析】设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin )Q θθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==，当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==故选：C. 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.4．B解析：B 【分析】 将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213x y +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213xy +=设x α=，sin y α=，可得1sin 1sin )12sin()1213x y πααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.5．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线2241x y +=化为极坐标方程，设12(,),(,)2A B πρθρθ+，可将2211OAOB+表示为θ的函数，可得答案. 【详解】解：将曲线2241x y +=化为极坐标方程得：2222cos 4sin 1ρθρθ+=，可得2221cos 4sin ρθθ=+，由OA OB ⊥，可设12(,),(,)2A B πρθρθ+,可得2211OAOB+=221211+ρρ=2222cos 4sin +cos +4sin +22ππθθθθ++（）（）=5， 故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.7．D解析：D 【解析】分析：先应用cos ?x y sin ρθρθ==，44sin πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，轨迹为圆，再化简1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为直线10x y +-=，利用圆心到直线的距离公式，求出距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系)4sin cos 4sin πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=即()()22112x y -+-=，圆心为()11，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程为直线10x y +-==<故直线与圆相交且不过圆心 故选D点睛：本题主要考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程，还考查了直线与圆的位置关系，属于基础题。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(含答案解析)(2)
一、选择题1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（ ） A ．6B ．5C ．8D ．73．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 4．已知点()1,2A -，()2,0B ，P为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C．1,3⎡+⎣D．1,3⎡-+⎣5．已知12,F F 椭圆22184x y +=的左右焦点,Q ，P 是椭圆上的动点,则1PQ PF ⋅的最大值为( )A ．4B ．92C ．5D．46．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) AB ．22CD ．47．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A．)61B．)61C ．125D ．2458．已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B．3)-C．(D．3(,9．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是（ ）A ．3BC．D10．圆C 的极坐标方程为ρ2cos θ=，则圆心C 极坐标为 ( ) A ．()2,0 B ．()1,πC ．()1,0D ．()2,π11．曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上12．A ，B 分别在曲线1C ：cos 4sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）和2C ：1ρ=上，则AB 最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题13．已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，l 与圆224x y +=相交与两点,A B ，则点P 到,A B 两点的距离之积为____.14．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________15．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为2cos 4s 0()in ρθθρ≥＝，直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||||AF BF 的值为________．16．若直线y x b =+与曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，且1212,328t t t t a +==+有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_________．17．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为1{x y αα=+=（α为参数），则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 ．18．已知(,)P x y 是椭圆22143x y+=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．19．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2{4x ty t=-+=-+（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若,,PM MN PN 成等比数列，则a 的值为________．20．直线3,423x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），点C 在椭圆2214x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线l 的最大距离为______.三、解答题21．已知曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），点P 是曲线C 上的动点.（1）求曲线C 的普通方程；（2）已知点Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点，若P Q 、之间的距离PQ最小值为m 的值.22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，02π，），圆C的参数方程222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x t y αα=⎧⎨=⎩，（0,t α>为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线lsin()34πθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN 的面积．25．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为6cos 1sin x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 是圆C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最小值．26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】本题首先可以求出曲线C 的直角坐标方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据韦达定理得出12t t +以及12t t 的值，再然后根据PM 、MN 、PN 成等比数列得出21212t t t t -=，最后将12t t +以及12t t 的值带入21212t t t t -=中，通过计算即可得出结果. 【详解】 因为曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>所以曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l的参数方程2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程得：()2116402t t a -++=， 设交点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ，则()122t t +=，()122164t t a =+， 因为PM 、MN 、PN 成等比数列，所以21212t t t t -=，即212125t t t t =+，()()2410164a =+，解得1a =或4a =-（舍取），故满足条件的1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.2．A解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】 由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=，可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．11D ．222．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC ∆的面积最大时，tan α=( )A ．23B ．142C ．73D ．1473．过椭圆C ：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定4．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个6．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．)621B ．()621C ．125D ．2457．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0B ．()1,π-C ．()1,πD ．()1,2π8．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) ABCD9．直线1sin 702cos70x t y t ⎧=+⎨=+⎩（t 为参数）的倾斜角为( )A ．70B ．20C ．160D ．11010．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( ) A．⎡⎢⎣⎦ B ．0tan 60x = C．D ．:::2x r r q q q e αα==11．点M的直角坐标是()1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．52,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ （t 为参数）和22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．14．直线1{2x t y t =-=-（t 为参数）与曲线3{2x cos y sin θθ==（θ为参数）的交点个数是_______．15．已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q为直线:0l x y +=-上的动点，则PQ 的最小值为________．16．已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是________.17．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()2211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，则2x y +的最小值为________.18．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．19．实数x ，y 满足223412x y +=，则23x +的最大值______． 20．若直线{1232(x ty t t =+=+为参数)与直线41x ky +=垂直，则常数k =______三、解答题21．将圆224x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得曲线C ． （1）求出C 的参数方程;（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设P 是曲线C 上的一个动点，求点P 到直线:2320l x y +-=距离的最小值．22．已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0232π，），圆C 的参数方程2232x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系． 24．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的长度为25，求直线l 的普通方程．25．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为6cos 1sin x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 204πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 是圆C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最小值．26．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22．考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．2．D解析：D 【分析】先将直线直线l 与曲线C 转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC ∆的面积最大，即要ACB ∠为直角，从而求解出tan α． 【详解】解：因为曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 两边同时乘以ρ，可得24cos ρρθ=，所以曲线C 的普通方程为22(2)4(02)x y y -+=， 曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的上半个圆. 因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），所以直线l 的普通方程为tan tan 0x y αα-+=，因为1sin 2sin 2ABCS CA CB ACB ACB ∆， 所以当ACB ∠为直角时ABC ∆的面积最大，此时C 到直线l 的距离22222AB CA CB d +=== ，因为直线l 与x 轴交于()1,0D -， 所以3CD =，于是7DE =所以214tan 7α==， 故选D ． 【点睛】本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想．3．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=()212121212124t t t t t t t t t t +--===⋅⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(答案解析)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（ ） A ．6B ．5C ．8D ．73．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）A ．31,31⎡⎤---⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1-- 4．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．5．直线122x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B 910C 92D 1256．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．57．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．)621B ．()621C ．125D ．2458．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x +-的取值范围是（ ） A ．30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．31,13⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ） A ．27B ．60C ．72D ．3010．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（ ）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦D ．21y x =+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦11．直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．过圆心D ．相交不过圆心 12．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．160二、填空题13．若曲线22sin sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),与直线y a =有两个公共点则实数a 的取值范围是__________.14．在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，设为曲线上一动点，则的取值范围为_____________15．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.16．直线122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为_________.17．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5,4x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），圆C 的参数方程是cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 与圆C 交于两个不同的点A 、B ，当点P 在圆C 上运动时，PAB ∆面积的最大值为__________.19．已知曲线C ：2x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，与直线l ：1324x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，交于A B ，两点，则AB =___________．20．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______． 三、解答题21．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ . 22．将圆224x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得曲线C ． （1）求出C 的参数方程;（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设P 是曲线C 上的一个动点，求点P到直线:20l x y +-=距离的最小值． 23．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.24．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l的参数方程为：2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），两曲线相较于M ，N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若()2,4P --，求PM PN +的值. 25．在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为4x ty kt=-⎧⎨=⎩，(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1yx k，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线1C . 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线3l的方程为:sin()4πρθ-=（1）求曲线1C 的普通方程；（2）设点A 在3l 上，点B 在1C 上，若直线AB 与3l 的夹角为4π，求AB 的最大值. 26．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）． （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的极坐标方程；（2）已知点()1,0M ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB -的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===， 即C 上的点到直线1的距离的最小值为3． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=， 可得圆心(2,1)C ，半径为=5r，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3． B解析：B 【分析】 将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213x y +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y +=设3cos x α=，sin y α=， 可得313cos sin 12(cos sin )12sin()12213x y πααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.4．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测(有答案解析)(1)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） A ．13B ．135+C ．3D ．133+2．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ） A ．22B ．23C ．11D ．223．过椭圆C ：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定4．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B ．32,222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 5．参数方程21,11x ty t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）所表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0B ．()1,π-C ．()1,πD ．()1,2π8．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A ．30,3⎡⎢⎣⎦B ．31,12⎡+⎢⎣⎦C ．31,13⎡+⎢⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A．4BC．2D10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ （t 为参数）和22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．011．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） AB．CD．12．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ）A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0二、填空题13．已知点()4,4P -,曲线C :8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),若Q 是曲线C 上的动点,则线段PQ 的中点M 到直线l :322x ty t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)距离的最小值为______.14．已知直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 15．P 是直线l ：40x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，PQ 的最小值是______.16．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨ ⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.17．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．18．已知曲线C ：2x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，与直线l ：1324x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，交于A B ，两点，则AB =___________．19．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.20．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为_____________三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 2tan (0)a a ρθθ=>．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设(1,0)P ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求实数a 的值．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．23．已知直线11cos ,:sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数），圆2cos ,:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标.(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为,A P 为OA 的中点.当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？24．已知直线l的参数方程为1222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在平面直角坐标系xOy 中，()1,2P ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与曲线M 交于A ，B 两点. （1）求曲线M 的直角坐标方程； （2）求PA PB ⋅的值.25．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎪⎝⎭．（1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN 的面积．26．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=+ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22．考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．3．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=()212121212124t t t t t t t t t t +--===⋅⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.5．D解析：D 【分析】消参化简整理得221x y +=，即得方程对应的曲线. 【详解】 将1t x =代入211y t t=-，化简整理得221x y +=，同时x 不为零，且x ，y 的符号一致， 故选D. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．B解析：B 【分析】首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系, 圆心到直线的距离为224222d -+==,进行判断．【详解】∵直线l 的参数方程为(4x tt y t=⎧⎨=+⎩ 为参数．所以它的普通方程为：40x y -+=，∵曲线C 的极坐标方程为2sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()2sin 4sin cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，两边同乘ρ，得2244x y x y +=+，所以直角坐标方程为()()22228x y -+-=，所以圆C 它的半径为22 ，圆心为()2,2，圆心到直线的距离为224222d -+== ，所以直线l 和曲线C 的公共点有1个． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.7．C解析：C 【解析】分析：在极坐标系中，ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）． 详解：∵ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）．，∴()M 1,0关于极点的对称点为()1,π． 故选：C ．点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．8．C解析：C 【解析】分析：由题意得曲线C 是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子111y x y x x +--=+，1y x -的形式可以联想成在单位圆上动点P 与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵21x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩即21x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩ 22211x y ∴-+-=（）（），其中[12]y ∈， 由题意作出图形，111y x y x x+--=+，令11y k x-=+，则k 可看作圆22211x y ∴-+-=（）（），上的动点P 到点01C （，）的连线的斜率而相切时的斜率， 由于此时直线与圆相切，在直角三角形ACB中，30ACB k ∠=︒⇒=， 由图形知，k 的取值范围是[03，．则1y x x +-的取值范围是1,1⎡⎢⎣⎦．故选C ．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．9．A解析：A 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=10．D解析：D 【解析】在12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 中， 原方程化为2(22)y x x =≥≤-或① 方程22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩的普通方程为224x y +=将①式中的代入得0x =， 显然不满足①式，所以曲线C 1与C 2的交点个数为0． 故选D ．11．D解析：D 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d =，直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =. 12．B解析：B 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】先求出的中点的坐标化简直线的方程为普通方程再利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离进而求出最小值【详解】由题意可知曲线:(为参数)是曲线上的动点设又点则线段的中点为直线:(t 为参数)的普【分析】先求出PQ 的中点M 的坐标,化简直线l 的方程为普通方程,再利用点到直线的距离公式表示出点M 到直线l 的距离,进而求出最小值. 【详解】由题意可知曲线C :8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),Q 是曲线C 上的动点,设(8cos ,3sin )Q θθ(02)θπ≤<,又点()4,4P -,则线段PQ 的中点M 为3(24cos ,2sin )2θθ-++,直线l :322x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)的普通方程为:270x y --=,则点M 到直线l 的距离为d ==,令3cos 5α=,则4sin 5α可化简为d =,当sin()1θα-=-时取到最小值,所以点M 到直线l .故答案为: 5【点睛】本题较为综合,要求点到直线距离的最小值,除运用点到直线的距离公式外还考查了参数方程与普通方程的互化,在求最值时运用辅助角公式进行化简,在计算过程中不要出错.14．【解析】将直线的参数方程化为普通方程是：将圆的参数方程化为普通方程是：∴圆心到直线的距离解析：2【解析】将直线的参数方程化为普通方程是：10x y -+=，将圆的参数方程化为普通方程是：22(2)1x y -+=，∴圆心(2,0)到直线10x y -+=的距离2d == 15．【分析】设则到的距离最小利用点到直线的距离公式计算再结合三角函数的性质可求最小值【详解】设则当时取得最小当时取得最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点之间的距离最值问题用参数设点求距离是解决问题的关【分析】设),sin Qθθ，则Q 到l 的距离最小，利用点到直线的距离公式计算PQ ，再结合三角函数的性质可求最小值. 【详解】设),sin Qθθ，则当PQ l ⊥时，取得最小，2sin 43cos sin 43=22PQ θθθ，当sin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，PQ .【点睛】本题考查动点之间的距离最值问题，用参数设点求距离是解决问题的关键，属于中档题.16．【分析】先计算出交点的坐标设出点的参数形式利用向量的数量积运算将其表示为关于的函数再求函数的最大值即可【详解】因为曲线与直线交于点故令又因为解得故可得则点的坐标为设点则其中又因为故则故故答案为：【点2【分析】 先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可.【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得60y sin =︒=Q 的坐标为1,2⎛ ⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,2OP OQ cos sin cos θθθθ⎛⋅=⋅=+ ⎝⎭()2θϕ=+，其中0,32tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan 4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()2maxOP OQ⋅=.故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.17．【分析】将参数方程变形为两式平方再相减可得出曲线的普通方程【详解】将参数方程变形为两等式平方得上述两个等式相减得因此所求普通方程为故答案为：【点睛】本题考查参数方程化为普通方程在消参中常用平方消元法解析：22221 x ya b-=【分析】将参数方程变形为112112xta tytb t⎧⎛⎫=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为112112xta tytb t⎧⎛⎫=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得2222222211241124xta tytb t⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+-⎪⎪⎝⎭⎩，上述两个等式相减得22221x ya b-=，因此，所求普通方程为22221x ya b-=，故答案为：22221 x ya b-=.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.18．【解析】曲线C：(t为参数)的普通方程为表示圆心为半径的圆直线：(t为参数)的普通方程为∴圆心到直线的距离为∴答案：【解析】曲线C：2x cosy sinθθ=+⎧⎨=⎩(t为参数)的普通方程为22(2)1x y-+=，表示圆心为(2,0)，半径1r=的圆．直线l：1324x ty t=+⎧⎨=-⎩(t为参数)的普通方程为43100x y+-=．∴圆心(2,0)到直线l 的距离为2242102543d ⨯-==+， ∴2222221221()55AB r d =-=-=． 答案：221519．【解析】圆C1的方程为的直角坐标方程为：(x−2)2+(y−2)2=8圆心C1(22)半径圆C2的参数方程为参数）的普通方程为：(x+1)2+(y+1)2=a2圆心距两圆外切时∴正数 解析：2【解析】圆C 1的方程为42cos()4πρθ=-的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −2)2=8，圆心C 1(2,2),半径122r =， 圆C 2的参数方程1(1x acos y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数）的普通方程为：(x +1)2+(y +1)2=a 2.圆心距1232C C =，两圆外切时,12122232C C r r a =+=+=， ∴正数a = 2。
(北师大版)北京市高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（ ）A ．1BCD ．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x tl y t=+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（ ） ABCD4．已知22451x y +=，则2x 的最大值是（ ） AB ．1C ．3D ．95．已知12,F F 椭圆22184x y +=的左右焦点,Q ，P 是椭圆上的动点,则1PQ PF ⋅的最大值为( )A ．4B ．92C ．5D．46．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（ ）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C．(D．(0,7．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125BCD8．点M的直角坐标是()1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭9．直线22{x ty t=+=-（t 为参数）被曲线4cos p θ=所截的弦长为( )A ．4B ．855 C ．1655 D ．8 10．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（ ）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦D ．21y x =+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦11．曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上12．椭圆221169x y +=上的点到直线34132x y +=上的点的最近距离是（ ）A ．0B ．25C ．52D ．241325- 二、填空题13．已知曲线C 参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 方程为：250x y -+=，将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线1C ，则曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值为______.14．在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.15．曲线:C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）上的任意一点P 到直线:4l x y +=的最短距离为______.16．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．17．已知变量，则的最小值为__.18．直线被圆所截得的弦长为 ．19．变量,x y满足x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），则代数式22y x ++的最小值是__________．20．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______． 三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩，（t 为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.22．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程为42x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为413cos 4k k k k ρπθ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.（1）当1k =时，求直线l 和C 的普通方程；（2）当2k =时，试判断直线l 和C 有无交点若有，求出交点的坐标；若无，说明理由.23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 24．极坐标系中椭圆C 的方程为2222cos 2sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为(),P x y，求x 的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦AB ，CD 交于点Q ，且直线AB 与CD 的倾斜角互补，求证：QA QB QC QD ⋅=⋅．25．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 的轨迹及其直角坐标方程．26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】消掉参数t ，得出直线1l 的普通方程，再由两平行线的距离公式求解即可. 【详解】∵1:32l y x =-，234l x =+，∴d ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，求两平行线间的距离，属于中档题.2．C解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.3．B解析：B 【分析】 将直线84:1x tl y t=+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】84:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩可得：4120x y +-=根据点到直线距离公式，可得C 上的点到直线l 的距离为=≤=【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.4．A解析：A 【分析】设1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值. 【详解】22451x y +=，则设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即10x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 5．B解析：B 【分析】利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点(),2P sin αα，利用平面向量的数量积公式求得1PQ PF ⋅的表达式为244sin αα--,然后根据二次函数的性质求解最值即可. 【详解】椭圆22184x y +=左、右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，设()(,2,P sin Q αα，()()1222cos ,22,2,2PQ sin PF sin αααα=--=---， ()()1222,2PQ PF sin sin αααα⋅=-⋅---2248cos 4sin ααα=-+-+22944sin 424sin ααα⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当sin α=1PQ PF ⋅的最大值为92，故选B. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、参数方程的应用,三角函数结合配方法求解最值,考查转化思想以及计算能力.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.6．B解析：B 【解析】分析：将参数方程化为普通方程，判断出焦点在y 轴上，利用222c a b =-即可得结果. 详解：椭圆的参数方程为3cos (5x y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数），∴椭圆的标准方程是221925+=x y ，∴椭圆的焦点在y 轴上，且2225,9a b ==， 22216c a b ∴=-=，4c ∴=，∴椭圆的两个焦点坐标是()0,4±，故选B.点睛：本题主要考查椭圆的参数方程以及椭圆的简单性质，属于中档题. 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程.7．B解析：B 【解析】试题分析：由直线的参数方程21{(1x t t y t =-=+为参数)，可得直线的普通方程为230x y -+=，则圆229x y +=的圆心到直线的距离为d ==，所以所求弦长是l ==，故选B.考点：直线与圆的位置关系及圆的弦长公式.8．B解析：B 【解析】3π7π2,tan (π,)26ρθθθ===∈⇒=，故选：B ．点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.9．A解析：A 【解析】由直线的参数方程可得，直线的普通方程为220x y +-=，又由24cos 4cos ρθρρθ=⇒=，可得2240x y x +-=表示以(2,0)为圆心， 半径为2的圆，此时圆心在直线220x y +-=上，所以截得的弦长为4，故选A. 考点：参数方程与普通方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程的互化.10．C解析：C 【解析】由sin cos x αα=-可有2sin 2,24x πα⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，又因为2sin cos y αα=，所以21x y =-，即21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦，故选择C.11．B解析：B 【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.12．B解析：B 【分析】利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点的坐标()4cos ,3sin P θθ，再由点到直线距离公式得到122sin 1324d πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=. 【详解】因为椭圆方程221169x y +=，所以椭圆的参数方程为：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，设P 为椭圆上任意一点，设()4cos ,3sin P θθ， 则P 点到直线34132x y +=的距离12cos 12sin 132d θθ+-==当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 有最小值，即min d = 故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，点到直线距离的最值，考查了学生的计算能力，属于一般题.二、填空题13．【分析】根据坐标变换求出曲线的直角坐标方程后利用其参数方程设点根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得【详解】解：曲线消去参数后得到将曲线的横坐标缩短为原来的再向左平移1个单位得到曲线即设上的点解析：2【分析】根据坐标变换求出曲线1C 的直角坐标方程后，利用其参数方程设点，根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得． 【详解】解：曲线22cos 2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ 消去参数θ后得到22(2)4x y -+=，将曲线C 的横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线221:44C x y +=，即2214y x +=，设1C 上的点(cos ,2sin )P αα，则P点到直线0x y -+=的距离d=≥=，【点睛】本题主要考查参数方程化成普通方程，考查图象变换，属于中档题．14．【分析】由消去θ得（x+1）2+（y ﹣1）2＝4得曲线C 的轨迹是以C （﹣11）为圆心2为半径的圆再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值【详解】由消去θ得（x+1）2+（y ﹣1）2＝4∴曲线C 的轨解析：【分析】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值． 【详解】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4， ∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短， ∴|AB |＝=故答案为： 【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．15．【分析】求得曲线的普通方程求得圆心到直线的距离为进而可求得曲线上点到直线的最短距离得到答案【详解】由题意曲线为参数）化为普通方程得表示圆心为半径为则圆心到直线的距离为所以圆上点到直线的最短距离为【点解析：1【分析】求得曲线的普通方程221x y +=，求得圆心到直线4x y +=的距离为d ，进而可求得曲线上点到直线l 的最短距离，得到答案． 【详解】由题意，曲线:C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数），化为普通方程得22:1C x y +=， 表示圆心为(0,0)C ，半径为1r =，则圆心到直线:4l x y +=的距离为d ==所以圆上点到直线l 的最短距离为1． 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．16．【解析】分析：设x=y=2则3+2sin （+）利用正弦型函数的图象与性质求最值即可详解：设x=y=2则x+y==3+2sin （+）∴sin （+）=1时x+y 的最大值为故答案为点睛：本题重点考查了圆的解析：【解析】分析：设x=32cos α-+，y=2sin α，则x y +=-3+22sin （α+4π），利用正弦型函数的图象与性质求最值即可.详解：设x=32cos α-+，y=2sin α，则 x+y=32cos α2?sin α-++=-3+22sin （α+4π）， ∴sin （α+4π）=1时，x+y 的最大值为22-3． 故答案为22-3．点睛：本题重点考查了圆的参数方程的应用，把一次型mx ny +函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.17．9【解析】设本题即求的最小值由于点A 在直线：上点B 在圆：上由数形结合可知由圆心向直线作垂线的最小值就是夹在直线与圆间的部分圆心到直线的距离所以最小值为9解析：9 【解析】设(,52),(2cos ,2sin )A a a B θθ- ，本题即求2AB 的最小值，由于点A 在直线l ：520x y --= 上，点B 在圆C ： 224x y += 上，由数形结合可知，由圆心(0,0)O 向直线l 作垂线，AB 的最小值就是夹在直线与圆间的部分，圆心到直线的距离5252d == ，min 523AB =-= ，所以2AB 最小值为9. 18．【解析】试题分析：由题意得直线与圆的普通方程分别为与则弦心距则弦长为考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化直线与圆的位置关系的判定与应用其中解析：．【解析】试题分析：由题意，得直线与圆的普通方程分别为与，则弦心距，则弦长为．考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系的判定与应用，其中把曲线的参数方程化为普通方程和牢记直线与圆的弦长公式是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及推理、运算能力，属于基础题，本题的解答中，先把直线与圆的参数化为普通方程与，利用直线与圆的弦长公式，即可求解．19．【解析】（为参数）化为直角坐标方程为为四分之一椭圆如图所以的最小值是解析：23【解析】21x t y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）化为直角坐标方程为221(0,0)4y x x y +=≥≥ ，为四分之一椭圆，如图，所以22y x ++的最小值是022123PA k +==+20．【分析】先消去参数得到曲线的普通方程再利用直角坐标与极坐标的互化公式得到直线的直角坐标方程利用点到直线的距离公式结合图象即可求解【详解】将曲线的参数方程为化为直角坐标方程可得曲线表示圆心在原点半径为 解析：12b ≤<【分析】先消去参数θ得到曲线的普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式，得到直线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，结合图象，即可求解. 【详解】将曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[]0,πθ∈，化为直角坐标方程，可得221x y +=，曲线1C 表示圆心在原点，半径为1的上半圆，（如图所示） 曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-，即sin cos b ρθρθ-=，可得曲线2C 的直角坐标方程为0x y b -+=，由圆心到直线的距离得：12b d ==，解得2b =±，结合图象，可得实数b 的取值范围是12b ≤<.故答案为：12b ≤<.【点睛】本题主要考查了极坐标和直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题21．（1）40x y +-=，(1)(1)2x y -+-=２２（2）２２【解析】分析：（1）消去t 得直线方程为40x y +-=，极坐标化为直角坐标可得曲线C 的直角坐标方程为：()()112x y -+-=２２；（2）设曲线C 上的点为()112P cos sin αα+２，，由点到直线距离公式可得22sin d πα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=４２，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为22 详解：（1）由31x ty t =-⎧⎨=+⎩，消去t 得：40x y +-=，曲线C 的直角坐标方程为：()()112x y -+-=２２；（2）设曲线C 上的点为()112P cos sin αα+２，， 则点P 到直线l 的距离为221124sin cos sin d ２４２２πααα⎛⎫+- ⎪+++-⎝⎭==， 当1sin ４πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =22即曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为点睛：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程转化为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．（1）0x -=，330x y --=；（2）无交点，理由见解析. 【分析】 （1）由公式cos sin x y ρωρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，消去参数可化参数方法为普通方程；（2）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，由直线方程与C 的直角坐标方程联立方程组，根据方程组的解确定有无交点． 【详解】（1）当1k =时，44223cos 4ρρθθπθ⎛⎫=⇒-= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，即433022x y x y -=⇒--=，由42x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）消去t并整理得：0x -=. （2）当2k =时，222222443sin 413sin 13cos 2ρρρθπθθ==⇒+=+⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 得：22224414x x y y +=⇒+=，:04l x y x +-=⇒=+，代入2244x y +=，得：271800x -+=，(2471800-⨯⨯<，所以，直线l 和C 无交点. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，考查曲线的交点问题，用曲线的方程联立方程组，方程组解的情况确定曲线交点情况是基本方法． 23．（1）1y =++()2211x y ++=；（2）min 12d =，112⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）将参数方程、极坐标方程直接用转化公式化为普通方程.（2）将圆上动点用参数方程表达出来，再代入点到直线的距离公式，化简求最值. 【详解】（1）直线l 的参数方程消去参数t得普通方程为：1y =++ 由2cos 0ρθ+=得：22cos ρρθ=-，222x y x ∴+=-，∴圆C 的普通方程为()2211x y ++=；（2）在圆C 上任取一点()[)()1cos ,sin 0,2P θθθπ-+∈，则P 到直线l 的距离为d ==当6πθ=时，min12d=，此时112P ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程化为普通方程，圆上的动点到直线距离的最值问题.24．（Ⅰ）[]22-,；（Ⅱ）证明见解析 【分析】（Ⅰ）将椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程,即可设xθ=,y θ=,则x θθ=,进而求解；（Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α,直线CD 的倾斜角为πα-,()00,Q x y ,将直线AB 的参数方程代入椭圆的直角坐标方程中,由韦达定理可得12t t ,设A 、B 对应参数分别为1t 、2t ,则12QA QB t t ⋅=,同理可求得QC QD ⋅,即可得证.【详解】(Ⅰ)由已知，2222cos 2sin 2ρθρθ+=，即2222x y +=，所以该椭圆的直角坐标方程为2212x y +=,设x θ=,y θ,所以2sin 4x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以x 的取值范围是[]22-,（Ⅱ）证明:设直线AB 的倾斜角为α,直线CD 的倾斜角为πα-,()00,Q x y则直线AB 的参数方程为00cos sin x x t x y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,代入2222x y +=得()()2200cos 2sin 20x t y t αα+++-=,即()()()222220000cos 2sin 2cos 4sin 220t x y t x y αααα+++++-=,设A 、B 对应参数分别为1t 、2t ,则2200122222cos 2sin x y QA QB t t αα+-⋅==+, 同理()()2222000022222222cos 2sin cos 2sin x y x y QC QD παπααα+-+-⋅==-+-+, 所以QA QB QC QD ⋅=⋅ 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查参数方程的几何意义的应用,考查运算能力.25．（1）直线l 的直角坐标方程为y x =，曲线C 的直角坐标方程为2212xy +=．（2）点M 的轨迹是椭圆2226x y+=夹在平行直线y x =±【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设点0(M x ，0)y 以及平行于直线l 的直线参数方程，直线l 与曲线C 联立方程组，通过8||||3MA MB =，即可求点M 轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围． 【详解】 解：（1）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，∴直线l 的倾斜角为4π，且经过原点，故直线的直角坐标方程为y x =，曲线C 的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）， ∴曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=．（2）设点0(M x ，0)y 及过点M的直线为010:2x x l y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由直线1l 与曲线C相交可得：222000032202t x y +++-=，8||||3MA MB =， 2200228332x y +-∴=，即：220026x y +=，∴点M 轨迹的直角坐标方程2226x y +=，表示一椭圆．取y x m =+代入22x得：2234220x mx m ++-=由0∆解得33m故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x = 【点睛】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点，属于中档题．26．（10y -+，22430x y x +-+=.（2）1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据直线l 的参数方程为3,2t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，即可求得的l 的普通方程，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即可求得答案；（2）C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】（1）直线l 的参数方程为3,2t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），消去参数t∴l0y -+=.曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.（2）C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1∴圆心C 到l 的距离为|022d +==，∴点P 到l 的距离的取值范围是1⎤-+⎥⎣⎦. 【点睛】本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．72．已知22451x y +=，则2x 的最大值是（ ）A B ．1C ．3D ．93．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E =2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]4．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( )A ．1B ．1-C 1D ．1-5．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ）A ．(3,4)B ．⎝C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭6．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．57．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（ ）A ．2+BC ．4+D ．8．已知M 为曲线3sin :cos x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，设O 为原点，则OM 的最大值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．0tan 60x = C ．(2,22⎤⎦D ．:::2x r r q q q e αα==10．直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．过圆心D ．相交不过圆心11．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线251:515x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（ ）A ．2B 63+C 31D 10 12．已知x ，y 为实数，且满足3x 2＋2y 2≤6，则2x ＋y 的最大值为（ ） A ．6 B 6C ．11D 11二、填空题13．已知直线参数方程为355435x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，直线与圆5ρ=交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐标________.14．已知变量，则的最小值为__.15．直线被圆所截得的弦长为 ．16．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________．17．已知圆22:1O x y +=和点()2,0A -，若定点()(),02B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有MB MA λ=，则λ= _____ .18．设P 、Q 分别为直线1,82x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t R ∈）和曲线15,:25x C y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，R θ∈）上的点，则PQ 的取值范围是______．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，动点P 在抛物线上，动点Q 在圆3cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）上，则PF PQ +的最小值为__________．20．曲线,1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0ρρθ-=的直角坐标方程分别为_____，_____，两条曲线的交点个数为_____个. 三、解答题21．已知圆C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，直线l 的参数方程为22212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆C 截得的线段AB 的长.22．已知在极坐标系中曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C 的参数方程为：13232x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点(3,0)A ．（1）求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 相交于,P Q 两点，求||||⋅AP AQ 的值．23．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作倾斜角为45的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值． 24．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，（α为参数），直线l的参数方程为1122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求MP MQ +的值．25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=， 可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值. 【详解】22451x y +=，则设1cos 2sin 5x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 3．A解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,55E c ⎛-- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.4．C解析：C 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭,故选：C 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值5．D解析：D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.6．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线2241x y +=化为极坐标方程，设12(,),(,)2A B πρθρθ+，可将2211OAOB+表示为θ的函数，可得答案. 【详解】解：将曲线2241x y +=化为极坐标方程得：2222cos 4sin 1ρθρθ+=，可得2221cos 4sin ρθθ=+，由OA OB ⊥，可设12(,),(,)2A B πρθρθ+,可得2211OAOB+=221211+ρρ=2222cos 4sin +cos +4sin +22ππθθθθ++（）（）=5， 故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.7．A解析：A 【分析】首先求出曲线T 的直角坐标系方程，设点(4cos ,sin )M αα，求出点M 到直线T 的距离，利用三角函数即可求出点M 到直线T 的距离的最大值． 【详解】由曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，可得曲线T 的直角坐标方程为2200x y +-=，由于点M 为曲线C 的一个动点，故设点(4cos ,sin )M αα， 则点M 到直线T 的距离：2sin()d αϕ===+-所以当sin()1αϕ+=-时，距离最大max 2d =+，点M 到直线T的距离的最大值为2+故答案选A 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的相关知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．8．D解析：D 【解析】从曲线C 的参数方程中消去θ，则有()2231x y -+=，故曲线C 为圆，而3OC =，故OM 的最大值为3314r +=+=，选D ． 9．D解析：D 【解析】 直线21x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的普通方程为10x y +-= ，点P 到直线距离为ππ2sin()332sin()2cos sin 144222θθθθ+--+-++-== ，因为[),2θππ∈，所以π2sin()[1,)42θ+∈- 因此取值范围是322,12⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦，选D. 10．A解析：A 【解析】试题分析：即3x-4y-36="0;"即，由圆心到直线的距离，所以，直线与圆相离，选A 。
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第二章参数方程(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线4,5xy⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t为参数)上与点P(4,5)的点的坐标是( )．A．(－4,5) B．(3,6)C．(3,6)或(5,4) D．(－4,5)或(0,1)2．设r＞0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r与圆cos,sinx ry rϕϕ=⎧⎨=⎩(φ是参数)的位置关系是( )．A．相交 B．相切C．相离 D．视r的大小而定3．已知直线l的参数方程为1,222xy⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)，则直线l的斜率为( )．A．1 B．－1 C．4．直线12,2x ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )．A．125B．5C5．当t∈R时，参数方程2228,444txttyt-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(t为参数)表示的图形是( )．A．双曲线B．椭圆(除去下顶点) C．抛物线D．圆6．双曲线tan,2cosxyθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩的渐近线方程为( )．A．y＝±x B．1 =2 y x±C．y＝±2x D．y＝±3x7．半径为2的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )．A．π B．2πC．12π D．14π8．已知圆的渐开线3cos sin 3sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=(+)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)，则渐开线对应的基圆的面积为( )．A ．πB ．3πC ．4πD ．9π9．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋πsin()4θ+＝0(θ为参数)．那么圆心的轨迹是( )．A ．椭圆B ．椭圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．参数方程22sin ,1cos2x y θθ⎧=+⎨=-+⎩(θ为参数)化成普通方程是( )．A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2,3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．设直线l 1的参数方程为1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________．12．已知椭圆C ：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)经过点1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭，则m ＝__________，离心率e ＝__________.13．在平面直角坐标系中，已知圆C ：5cos 1,5sin 2x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)和直线l ：46,32x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)，则圆C 的普通方程为__________，直线l 与圆C 位置关系为__________．14．椭圆5cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数)的长轴长为________．15．已知圆C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)已知参数方程1sin ,1cos x t t y t t θθ⎧=(+)⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩(t ≠0)．(1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示曲线是什么？(2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示曲线是什么？ 17．(15分)(2010·课标全国卷，理23)已知直线C 1：1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，圆C2：cos,sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(1)当π3α=时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．参考答案1．答案：C=3t⇒±，将t代入原方程，得3,6xy=⎧⎨=⎩或5,4,xy=⎧⎨=⎩所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4)．2．答案：B 易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．3．答案：B 直线l可化为31cosπ,432sinπ,4x ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴斜率k＝3tanπ4＝－1.4．答案：B 由122x ty t=+⎧⎨=+⎩12xy⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩把直线方程代入x2＋y2＝9得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9，即5t2＋8t－4＝0，∴|t1－t2|125.12t-.5．答案：B 原方程可化为2284814txtyt-⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩①②①除以②，得1xy+＝－t.③将③代入②得24x＋y2＝1(y≠－1)，表示的图形是椭圆(除去下顶点)．6．答案：C 将参数方程化为普通方程为24y－x2＝1.故渐近线方程为y＝±2x.7．答案：C 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为22sin,22cosxyϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，把y＝0代入可得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝2φ－2sin φ＝4kπ.根据选项可知选C.8．答案：D9．答案：D圆心坐标为sin2π,24θθ⎛⎫-(+)⎪⎝⎭，设圆心为(x ，y )．则sin2,2π4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩(θ为参数)．化为普通方程为24y ＝1＋2x ，即y 2＝8x ＋4.又∵sin2=2x θ11,22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴y 2＝8x ＋114()22x -≤≤，表示抛物线的一部分．10．答案：D ∵x ＝2＋sin 2θ＝5cos222θ-，cos 2 θ＝y ＋1，∴51=22y x +-，即2x ＋y －4＝0.又∵0≤sin 2θ≤1，∴x ∈[2,3]．故选D. 11．答案：5将直线l 1的参数方程化成普通方程为y ＝3x －2，又l 2：y ＝3x ＋4，故l 1∥l 2，在l 1上取一点(0，－2)，其到l 2：3x －y ＋4＝0的距离就是l 1与l 2的距离，即5d . 12．答案：椭圆的参数方程化为普通方程为x 2＋24y ＝1.把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得m 2＋144＝1，得=m ±又∵a ＝2，b ＝1，c∴==2c e a . 13．答案：(x ＋1)2＋(y －2)2＝25 相交 圆C 的参数方程化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25.l 的普通方程为：3x ＋4y －10＝0.圆心到直线的距离()31421051555d ⨯-+⨯-===<.故圆和直线相交．14．答案：10 原方程消去参数θ，得普通方程为22=1259x y +，它是焦点在x 轴上的椭圆，故长轴长为10.15．答案：(－1,1)，(1,1) ρsin θ＝1⇒y ＝1，圆方程为x 2＋(y －1)2＝1，联立，得到所求交点为(－1,1)，(1,1)．16．答案：分析：(1)以θ为参数，进行转化，注意符号． (2)以t 为参数，进行讨论．解：(1)当t ≠±1时，2222111x y t t t t+=(+)(-).表示中心在原点，长轴长为12|+|t t ，短轴长为12||t t-，焦点在x 轴上的椭圆． 当t ＝±1时，y ＝0，x ＝±2sin θ∈[－2,2]，它表示x 轴上[－2,2]上的线段．(2)当π2k θ≠(k ∈Z )时，2222=14sin 4cos x y θθ-是双曲线． 当θ＝k π(k ∈Z )时，x ＝0，表示y 轴． 当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝0，∴1=x t t ⎛⎫±+ ⎪⎝⎭，表示x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左和向右的两条射线．17．答案：解：(1)当π3α=时，C 1的普通方程为1)y x －．C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组221,1,y x x y ⎧=-)⎪⎨+=⎪⎩解得C 1与C 2的交点为(1,0)，1,22⎛- ⎝⎭. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.过原点O 作C 1的垂线，则垂线的方程为x cos α＋y sin α＝0. 由sin cos sin =0cos sin =0x y x y ααααα--⎧⎨+⎩，得2=sin =sin cos .x y ααα⎧⎨-⎩， 故点A 的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，点P 的坐标为211sin sin cos 22ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故当α变化时，点P 的轨迹的参数方程为21=sin ,21=sin cos 2x y ααα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(α为参数)． 由x ＝12sin 2α，得x ＝121cos211=cos 2244αα-⋅-.∴14cos 2α＝14－x .由1sin cos 2y αα-＝， 得y ＝14-sin 2α.∴2211+=416x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.即点P 的轨迹的普通方程为2211()+=416x y -.故点P 的轨迹是圆心为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，半径为14的圆．。