2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考(五)数学试卷

2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考（五）数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{x ∈Z |x ≤0}，B ＝{}x |－1≤x ≤6，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤0} B ．{x |x ≤6} C ．{0,1,2,3,4,5,6} D ．{0，－1}答案 D解析 A ＝{x ∈Z |x ≤0}，B ＝{x |－1≤x ≤6}，则A ∩B ＝{0，－1}． 2．若双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的实轴长为2，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2x 答案 A解析 双曲线的实轴长为2，得a ＝1，又b ＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 3．设α是空间中的一个平面，l ，m ，n 是三条不同的直线． ①若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α； ②若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α； ③若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则n ∥l ；④若m ⊂α，n ⊥α，l ⊥n ，则l ∥m . 则上述命题中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．③④D ．②③ 答案 D解析 对于①，当m ，n 相交时，才能得到l ⊥α，①错误；对于②，由l ∥m ，m ∥n 得l ∥n ，又因为l ⊥α，所以n ⊥α，②正确；对于③，因为m ⊥α，n ⊥α，所以m ∥n ，又因为l ∥m ，所以n ∥l ，③正确；对于④，直线l 与m 可能相交、平行或互为异面直线，④错误．综上所述，正确命题的序号为②③.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于直线x ＝π2对称，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D解析 因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期是π， 所以2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将该函数的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象所对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π3， 由此函数图象关于直线x ＝π2对称，得2×π2＋φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z ， 取k ＝0，得φ＝－π6，满足|φ|<π2，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 5．函数f (x )＝3x 34|x |－4的图象大致为( )答案 A解析 由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠±1}且满足f (－x )＝3(－x )34|－x |－4＝－3x 34|x |－4＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D 项；又由当x ∈(0,1)时，函数f (x )的值小于0，排除B 项，故选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 3>S 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，S 3>S 2⇔a 3>0⇔a 1q 2>0⇔a 1>0，故选C.7．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n (n ∈N *)个黑球．现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一个球，设摸得白球个数为X ，若D (X )＝1，则E (X )等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 设摸取一次摸得白球的概率为p ，则易得X ～B (4，p )，D (X )＝4p (1－p )＝1，解得p ＝12，则E (X )＝4×12＝2.8．将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球，放入编号为1,2，…，7的七个盒子中，每一个盒子至多放2个球，则不同的放法有( ) A ．98种 B ．196种 C ．252种 D ．336种 答案 D解析 3个球放入编号为1,2，…，7的七个盒子中，每个盒子至多放2个球，应采用排除法，每个球放入盒子的放法各有7种，共73种，排除3个球放在同一个盒中的7种放法，则共有73－7＝336(种)放法．9．已知向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝2，则|2a ＋b |＋|b |的最大值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．4＋2 2 D ．8 答案 B解析 记a ＋b ＝m ，则|a |＝|m |＝2，|2a ＋b |＋|b |＝|a ＋m |＋|m －a |≤2(|a ＋m |2＋|m －a |2)＝2m 2＋a 2＝42，当且仅当|a ＋m |＝|m －a |，即a ·(a ＋b )＝0，a ·b ＝－4时，取等号，则所求的最大值为4 2.10．已知偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝ax 2－bx ＋c ，a ，b ，c ∈N *.若函数f (x )在[－100，100]上有400个零点，则a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ．5 B ．8 C ．11 D ．12 答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )，得f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是以2为周期的周期函数，函数f (x )在[－100,100]上有400个零点等价于函数f (x )在[0,1]上有两个不同的零点，又因为a ，b ，c ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝c >0，f (1)＝a －b ＋c >0，0<－－b2a<1，(－b )2－4ac >0，即⎩⎪⎨⎪⎧c >0，a －b ＋c >0，b －2a <0，b 2－4ac >0，所以要使a ＋b ＋c 取得最小值，不妨取c ＝1，则不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1>0，b －2a <0，b 2－4a >0，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(不含边界)所示，由图易得区域内横纵坐标之和最小的整数点为(5,5)，此时a ＝b ＝5，所以a ＋b ＋c 的最小值为11.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．复数z ＝(3＋4i)2的虚部为________，z 的共轭复数z ＝________. 答案 24 －7－24i解析 ∵z ＝(3＋4i)2＝32＋2×3×4i ＋(4i)2＝－7＋24i ，∴虚部为24，共轭复数z ＝－7－24i. 12．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则2x＋y的最大值为________，y ＋1x －2的取值范围为________．答案 8 ⎣⎡⎦⎤－3，－12 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z 表示的是斜率为－1，在y 轴上的截距为z 的直线，当直线在y 轴上的截距最大时，z 最大，即直线过点C 时，z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z max ＝3,2x ＋y 的最大值为23＝8.y ＋1x －2表示的是可行域内的点(x ，y )与点(2，－1)连线的斜率，设D (2，－1)，k AD ＝－12，k CD ＝3－1＝－3，因此y ＋1x －2的取值范围⎣⎡⎦⎤－3，－12.13．某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为________；其外接球的体积为________．答案 4323π 解析 由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥O －ABCD ，且AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AO ＝3，四边形ABCD 是矩形，OA ⊥平面ABCD ， 所以该多面体最长的棱长为OC ＝OA 2＋AD 2＋CD 2＝3＋4＋9＝4，该几何体外接球的半径为2，其体积V ＝43π×23＝323π.14．已知⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝________；二项展开式中含x 3的系数为________． 答案 6 －540解析 ⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 展开式中所有二项式系数和为64，∴2n ＝64，解得n ＝6；∴⎝⎛⎭⎫3x 2－1x 6展开式的通项公式为 T k ＋1＝C k 6·(3x 2)6－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·36－k ·C k 6·x 12－3k，令12－3k ＝3，解得k ＝3，∴二项式展开式中含x 3项的系数为(－1)3×33×C 36＝－540.15．已知实数a ≥12，b ≥12，且a 2－a ＝b －b 2，则M ＝b 2a ＋a 2b 的最大值是________．答案322＋1 解析 由a 2－a ＝b －b 2化简得，⎝⎛⎭⎫a －122＋⎝⎛⎭⎫b －122＝12，又实数a ≥12，b ≥12，图形为14圆，如图：由a 2－a ＝b －b 2，可得a 2＝a ＋b －b 2，b 2＝a ＋b －a 2，则M ＝b 2a ＋a 2b ＝a ＋b －a 2a ＋a ＋b －b 2b ＝1＋b a －a ＋1＋a b －b ＝b a ＋ab－a －b ＋2，由几何意义得，b a ∈[2－1,1＋2]，则ab ∈[2－1，1＋2]，则当过点A 或点B 时，a ＋b 取最小值，可得M max ＝2－1＋1＋2－⎝⎛⎭⎫12＋12＋22＋2＝322＋1，所以M ＝b 2a ＋a 2b 的最大值是322＋1.16.如图，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个顶点A (a,0)，B (0，b )，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆M 于D ，C (不同于顶点)，若|BC |＝3|AD |，则椭圆M 的离心率e ＝________.答案63解析 直线AB 的斜率为－b a ，故直线BC ，AD 的斜率都为a b ，所以直线BC 的方程为y ＝abx＋b ，直线AD 的方程为y ＝ab()x －a .将直线BC 的方程代入椭圆方程，求得C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3b 2a 4＋b 4，b 5－a 4b a 4＋b 4，将直线AD 的方程代入椭圆方程，求得D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－ab 4a 4＋b 4，－2a 2b 3a 4＋b 4，由于|BC |＝3|AD |，即BC →＝3AD →，也即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3b 2a 4＋b 4，－2a 4b a 4＋b 4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ab 4a 4＋b 4，－2a 2b 3a 4＋b 4，即－2a 3b 2a 4＋b 4＝－6ab 4a 4＋b 4，化简得b 2a 2＝13.故离心率为e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝63.17．已知f (x )＝2x 2＋2x ＋b 是定义在[－1,0]上的函数， 若f (f (x ))≤0在定义域上恒成立，而且存在实数x 0满足：f (f (x 0))＝x 0且f (x 0)≠x 0，则实数b 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，－38 解析 因为f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝b －12， f (x )max ＝f (0)＝f (－1)＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤b －12≤0，－1≤b ≤0，得b ∈⎣⎡⎦⎤－12，0时满足 f (f (x ))≤0；设f (x 0)＝y 0，则f (y 0)＝x 0且y 0≠x 0，所以函数f (x )＝2x 2＋2x ＋b 图象上存在两点关于直线y ＝x 对称， 令l ：y ＝－x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，y ＝2x 2＋2x ＋b ，得2x 2＋3x ＋b －m ＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)为直线与抛物线的交点，线段MN 的中点为E (x E ，y E )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8(b －m )>0，x 1＋x 2＝－32， 所以E ⎝⎛⎭⎫－34，34＋m ，而E 在y ＝x 上， 所以m ＝－32，从而2x 2＋3x ＋b ＋32＝0在[－1,0]上有两个不相等的实数根，令h (x )＝2x 2＋3x ＋b ＋32，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8⎝⎛⎭⎫b ＋32>0，h (－1)＝b ＋12≥0，h (0)＝32＋b ≥0，－1<－34<0，得b ∈⎣⎡⎭⎫－12，－38. 三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝cos x ()3sin x －cos x ＋12.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，求实数c 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝sin π2＝1. (2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. 由不等式c <f (x )<c ＋2恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c <－12，c ＋2>1，解得 －1<c <－12.所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12. 19．(15分)如图，四边形ABEF 是正方形，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝12CD .(1)若平面ABEF ⊥平面ABCD ，求证：DB ⊥平面EBC ； (2)若DF ⊥BC ，求直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值．(1)证明 ∵四边形ABEF 是正方形，∴EB ⊥AB .又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴EB ⊥平面ABCD ，可得EB ⊥BD . 又∵AD ＝AB ＝BC ＝12CD ，不妨设AB ＝BC ＝AD ＝1，DC ＝2， 可求BD ＝3，可得BD ⊥BC ， ∵EB ∩BC ＝B ，EB ，BC ⊂平面EBC ， ∴DB ⊥平面EBC .(2)解 方法一 过点F 作FH ⊥平面ABCD ，连接AH 交CD 于点G ，过点H 作HI ⊥AD 交AD 于点I ，连接FI ，作HO ⊥FI 交FI 于点O ，∵FH ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥BC ， 又∵DF ⊥BC ，且FH ∩DF ＝F ，FH ，DF ⊂平面FDH ， ∴BC ⊥平面FDH ，又DH ⊂平面FDH ，∴BC ⊥DH ，即H 在BD 上，又∵FH ⊥AB ，F A ⊥AB ，且FH ∩F A ＝F ，FH ，F A ⊂平面F AH ，∴AB ⊥平面F AH ， 又AH ⊂平面F AH ，∴AB ⊥AH .又∵AD ⊥FH ，AD ⊥HI ，FH ∩HI ＝H ，FH ，HI ⊂平面FHI ，∴AD ⊥平面FHI ， 又∵AD ⊂平面F AD ，∴平面FHI ⊥平面F AD ， ∴H 到平面AFD 的距离为HO ，由(1)知DG ＝12，HG ＝HI ＝36，HO ＝69，又∵DB ＝3DH ，∴B 到平面AFD 的距离为63， 设直线BD 与平面ADF 所成角为θ，则sin θ＝23， 方法二 设AD ＝AB ＝BC ＝1，以A 为坐标原点，AB 为y 轴建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D⎝⎛⎭⎫32，－12，0， 设F (x ，y ，z )，由题意得⎩⎨⎧F A ＝1，FB ＝2，DF →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，x 2＋(y －1)2＋z 2＝2，⎝⎛⎭⎫x －32，y ＋12，z ·⎝⎛⎭⎫32，12，0＝0，解得x ＝33，y ＝0，z ＝63，即F ⎝⎛⎭⎫33，0，63. 设平面ADF 的法向量为m ＝(r ，s ，t )， 又AD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0，AF →＝⎝⎛⎭⎫33，0，63，∴⎩⎪⎨⎪⎧AD →·m ＝0，AF →·m ＝0，即⎩⎨⎧32r －12s ＝0，33r ＋63t ＝0，令r ＝2，则s ＝6，t ＝－1，即m ＝(2，6，－1)． 设直线BD 与平面ADF 所成角为θ，且BD →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，则sin θ＝|cos 〈m ，BD →〉|＝|m ·BD →||m ||BD →|＝23，∴直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值为23. 20．(15分)已知数列{a n }是等差数列，满足a 2＝6，S 4＝28，数列{b n }满足：b 1＝1，1b 1＋12b 2＋…＋1nb n ＝1b n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a n 和b n ；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为S n ，求S n .解 (1)设数列{a n }的首项和公差分别为a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝6，4a 1＋6d ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，∴a n ＝2n ＋2，n ∈N *.1b 1＋12b 2＋…＋1nb n ＝1b n ＋1－1，① 1b 1＋12b 2＋…＋1(n －1)b n －1＝1b n－1(n ≥2)，② ①－②得1nb n ＝1b n ＋1－1b n ，b n ＋1b n ＝n n ＋1(n ≥2)，当n ＝1时，1b 1＝1b 2－1，b 2＝12，当n ≥2时，b n＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1·b 1＝1n .当n ＝1时，b 1＝1符合上式，所以b n ＝1n ，n ∈N *.(2)b n a n ＝1n 2n ＋2＝1(2n ＋2)n ＝12·1(n ＋1)n＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2n ＋2.21.(15分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点是F (1,0)，直线l 1：y ＝k 1x ，l 2：y ＝k 2x 分别与抛物线C 相交于点A 和点B ，过A ，B 的直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相切．(1)求直线AB 的方程(含k 1，k 2)；(2)若线段OA 与圆O 交于点M ，线段OB 与圆O 交于点N ，求S △MON 的取值范围．解 (1)焦点是F (1,0)，可得p 2＝1，即p ＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 抛物线方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k 1x ，可得A ⎝⎛⎭⎫4k 21，4k 1，同理可得B ⎝⎛⎭⎫4k 22，4k 2， 若AB 的斜率存在，可得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k 1k 2k 1＋k 2， AB 的方程为y －4k 1＝k 1k 2k 1＋k 2⎝⎛⎭⎫x －4k 21， 化为k 1k 2x －(k 1＋k 2)y ＋4＝0，若AB 的斜率不存在，也满足上面的方程，则直线AB 的方程为k 1k 2x －(k 1＋k 2)y ＋4＝0.(2)过A ，B 的直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，可得d ＝4()k 1k 22＋()k 1＋k 22＝r ＝2，化简为(k 1k 2)2＋(k 1＋k 2)2＝4，即有－2≤k 1k 2<0，cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22 ＝1＋k 1k 2(k 1k 2)2＋k 21＋k 22＋1，由(k 1k 2)2＋(k 1＋k 2)2＝4，可得cos ∠AOB ＝1＋k 1k 25－2k 1k 2，sin 2∠MON ＝－(k 1k 2)2－4k 1k 2＋45－2k 1k 2， 设t ＝5－2k 1k 2∈(5,9]，则S 2△MON ＝4sin 2∠MON ＝4·－(k 1k 2)2－4k 1k 2＋45－2k 1k 2＝4·－(5－t )24－2(5－t )＋4t ＝－t 2＋18t －49t＝18－⎝⎛⎭⎫t ＋49t ≤18－249＝4， 当t ＝7时取等号，即k 1k 2＝－1∈[－2,0)，所以(S △MON )max ＝2，又S 2△MON >18－⎝⎛⎭⎫5＋495＝165，即S △MON >455， 即有S △MON 的取值范围为⎝⎛⎦⎤455，2.22．(15分)已知函数f (x )＝k e x ()x －1－12x 2，k ∈R . (1)当k ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若函数f (x )有两个零点，求k 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为R ，当k ＝－1时，f (x )＝－e x (x －1)－12x 2， f ′(x )＝－e x x －x ＝－x (e x ＋1)．当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在x ＝0时取到最大值，最大值为f (0)＝1.(2)f ′(x )＝k e x x －x ＝x (k e x －1)，当k ＜0时，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又因为f (0)＝－k ＞0，f (1)＝－12＜0， f (2k －1)＝k e 2k －1(2k －2)－12(2k －1)2＜k (2k －2)－12(2k －1)2＝－12＜0，所以f (x )有两个零点； 当k ＝0时，f (x )＝－12x 2，所以此时f (x )只有一个零点； 当k ＝1时，f ′(x )＝e x x －x ＝x (e x －1)≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增，f (x )不存在两个零点； 当k >0且k ≠1时，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝ln 1k， 当0＜k ＜1时，ln 1k＝－ln k ＞0，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，－ln k )上单调递减，在(－ln k ，＋∞)上单调递增，且f (0)＝－k ＜0，f (x )不存在两个零点；当k ＞1时，ln 1k＝－ln k ＜0，f (x )在(－∞，－ln k )上单调递增，在(－ln k ,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且f ()－ln k ＝－(ln k ＋1)2＋12＜0，f (x )不存在两个零点． 综上，当f (x )有两个零点时，k 的取值范围是(－∞，0)．。