八年级数学下册 综合滚动练习 直角三角形的相关性质与判定课件 (新版)湘教版
八年级数学下册1.1直角三角形的性质和判定(一)教学课件(新版)湘教版
• １．直角三角形的两个锐角互余． ２．有两个角互余的三角形是直角三角形． ３．等腰直角三角形的两个锐角都是４５ ゜
A
任意画一个直角三角形，作出斜
边上的中线，并利用圆规比较中
线与斜边的一半的长短，你发现
了什么？再画几个直角三角形试
一试，你的发现相同吗？
C
D B
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
A
DD′
1
2
C
B
∴ BD′＝CD′
而 AD′＝CD′
同一法
∴ AD′＝BD′＝CD′＝
1
AB 2
∴ 点D′是AB的中点，即CD′是AB边上的中线
∵ CD是AB边上的中线
∴ CD与CD′形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知：在Rt△ABC中，ACB=90°，CD是
证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知：在Rt△ABC中，ACB=90°，CD是
斜边AB上的中线。
求证：CD= 1 AB
2
方 法 一
证明：过点C作射线CD′交AB于点D′, 使∠1＝∠A。则有AD′＝CD′.
：
∵ ∠1＋∠2＝90° ∠A＋∠B＝90°
∴ ∠2＝∠B (等角的余角相等)
• 讨论：等腰直角三角形的两个锐角各是多少度呢？
等腰直角三角形的两个锐角都是４５ ゜
定理1：直角三角形的两个锐角互余。
练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么 另一个锐角度数 38°
（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，
那么∠A= 60°，∠B= 30°。
练习2 如图，在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上 的高，那么，
湘教版初中数学八年级下册4.综合滚动练习：直角三角形的相关性质与判定
湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！综合滚动练习：直角三角形的相关性质与判定时间：45分钟 分数：100分 得分：________一、选择题(每小题4分，共32分)1．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为( ) A ．45° B ．55° C ．65° D ．50°2．(常德澧县期中)下列各组线段能构成直角三角形的一组是( ) A ．30，40，50 B ．7，12，13 C ．5，9，12 D ．3，4，63．如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论错误的是( ) A ．∠A ＝∠2B ．∠1和∠B 都是∠A 的余角C ．∠1＝∠2D ．图中有3个直角三角形第3题图 第4题图4．如图，BE ＝CF ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，要根据“HL”证明Rt △ABE ≌△Rt △DCF ，则还需要添加一个条件是( )A ．AE ＝DFB ．∠A ＝∠DC ．∠B ＝∠CD ．AB ＝DC5．已知直角三角形的一个锐角为60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是( ) A. B ．3 C.＋2 D. 5233＋326．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为( )A.B. C. D. 2353454553557．(杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n (m ＜n )，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则( )A ．m 2＋2mn ＋n 2＝0B ．m 2－2mn ＋n 2＝0C ．m 2＋2mn －n 2＝0D ．m 2－2mn －n 2＝08．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于【易错102】( )A ．10B ．8C ．6或10D ．8或10二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为斜边AB 的中点，AB ＝10cm ，则CD 的长为________cm.第9题图 第10题图10．如图，AC ⊥BC 于点C ，DE ⊥BE 于点E ，BC 平分∠ABE ，∠BDE ＝58°.则∠A ＝________°.11．如图，在东西走向的铁路上有A ，B 两站，在A ，B 的正北方向分别有C ，D 两个蔬菜基地，其中C 到A 站的距离为24千米，D 到B 站的距离为12千米．在铁路AB 上有一个蔬菜加工厂E ，蔬菜基地C ，D 到E 的距离相等，且AC ＝BE ，则E 站距A 站________千米．第11题图 第12题图 第14题图12．如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B ，C 重合，折痕为DE .若AC ＝6cm ，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则△ADC 的周长是________cm.13．若△ABC 是直角三角形，两直角边都是6，在三角形斜边上有一点P ，到两直角边的距离相等，则这个距离等于________．14．(烟台中考)如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC ，连接OC ，以O 为圆心，OC 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 对应的实数为________．三、解答题(共44分)15．(10分)(湘潭市期末)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝4，AC ＝3，DC ＝. 95(1)求BD 的长；(2)判断△ABC 的形状．16．(10分)如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 是AC 上一点，E 在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．17．(12分)一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量出了这个零件各边尺寸(单位：cm)，那么这个零件符合要求吗？求出这个零件的面积．18．(12分)如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时．(1)求对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离；(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间．参考答案与解析1．B 2.A 3.C 4.D5．D 解析：一个锐角为60°，则另一个锐角为30°，所以30°锐角所对的直角边为12，故60°锐角所对的直角边为，所以直角三角形的周长是.故选D. 323＋326．C7．C 解析：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝m ，BC ＝n ，过点A 的射线AD 交BC 于点D ，且将△ABC 分成两个等腰三角形：△ACD 和△ADB ，则CD ＝AC ＝m ，AD ＝DB ＝n －m .在Rt △ACD 中，由勾股定理，得m 2＋m 2＝(n －m )2，即m 2＋2mn －n 2＝0.故选C.8．C 解析：如图①所示，在Rt △ABD 中，BD ＝＝＝8，在AB 2－AD 2102－62Rt △ACD 中，CD ＝＝＝2，∴BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10.如图②所AC 2－AD 2（210）2－62示，同理求出BD ＝8，CD ＝2，∴BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.故选C.9．5 10.58 11.12 12.18 13.3 14.715．解：(1)∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ADC 中，由勾股定理得AD ＝＝＝.(3分)在Rt △ADB 中，由勾股定理得BD ＝＝AC 2－CD 232－(95)2 125AB 2－AD 2＝.(5分) 42－(125)2 165(2)∵BC ＝BD ＋DC ＝5，且AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形．(10分)16．解：猜想：BF ⊥AE .(2分)理由如下：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＝∠BCD ＝90°.又∵BC ＝AC ，BD ＝AE ，∴△BDC ≌△AEC (HL)，(6分)∴∠CBD ＝∠CAE .(7分)又∵∠CAE ＋∠E ＝90°，∴∠EBF ＋∠E ＝90°，∴∠BFE ＝90°，即BF ⊥AE .(10分)17．解：∵AD ＝4cm ，AB ＝3cm ，BD ＝5cm ，DC ＝13cm ，BC ＝12cm ，∴AB 2＋AD 2＝BD 2，BD 2＋BC 2＝DC 2，∴△ABD ，△BDC 是直角三角形，(6分)∴∠A ＝90°，∠DBC ＝90°，∴这个零件符合要求．(8分)∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝3×4÷2＋5×12÷2＝6＋30＝36(cm 2)．故这个零件的面积是36cm 2.(12分)18．解：(1)如图，过点A 作AD ⊥ON 于点D ，∵∠NOM ＝30°，AO ＝80米，∴AD ＝40米，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离为40米．(4分)(2)如图，以50米为半径画圆，分别交ON 于B ，C 两点．在Rt △ABD 中，AB ＝50米，AD ＝40米，由勾股定理得BD ＝＝＝30(米)．在Rt △ACD 中，同AB 2－AD 2502－402理可得CD ＝30米．故BC ＝BD ＋CD ＝60米．(8分)∵重型运输卡车的速度为18千米/时，即＝5(米/秒)，∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷5＝12(秒)．(11分) 180003600答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．(12分)相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
1.1+第1课时+直角三角形的性质与判定+课件+++2023-2024学年湘教版八年级数学下册
预习导学
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 阅读课本本课时“探究”至“例1”前的所有内容,回答下列问 题.
1.如果△ABC不是直角三角形,那么中线CD=1AB
合作探究
证明:如图,连接DE. ∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°. 在Rt△ADB中,AE=EB, ∴DE=1AB=AE.
2
∵CD=AE,∴DE=DC. ∵DG⊥CE,∴CG=EG.
合作探究
方法归纳交流 涉及直角三角形与斜边的中点时,我们一般 会联想到“ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”, 并由此会联系到等腰三角形、三角形的面积等知识去解决实际 问题.
答下列问题. 1.直角三角形中最大的角是 90° . 2.直角三角形中有 2 个锐角;两个锐角的和为 90° . 归纳总结 直角三角形两锐角 互余 .
预习导学
(1)已知在Rt△ABC中,如果∠C=90°,∠A=40°,那么∠B= __5_0 °. (2)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,如果∠A∶∠B=1∶2,那么∠B= __6_0_ °.
合作探究
2.有两个角互余的三角形是直角三角形 如图,在△ABC中,∠B=90°-∠C,过点A作AE∥BC,过点C作 CF∥AB,AE与CF相交于点D. (1)依题意,补全图形. (2)求证:△ACD是直角三角形.
合作探究
解:(1)补全图形如下:
合作探究
(2)(证法不唯一)证明:∵∠B=90°-∠C, ∴∠B+∠C=90°, ∴∠BAC=90°. ∵AB∥CF, ∴∠ACD=90°, ∴△ACD是直角三角形.
新版湘教版八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ
∴ AB2 = c2.
∴ AB= c.
图1-20
在△ABC和△ABC 中， ∵ BC = BC = a，AC = AC = b，
AB = AB= c， ∴ △ABC≌△ ABC. ∴ ∠C =∠C= 90°. ∴ △ABC是直角三角形.
先构造满足某些条件的 图形，再根据所求证的图
形与所构造图形之间的关系，
在Rt△ ABC中，AC= 4 m，BC = 1 m， 故 AB 42 12 15 3.87（m）.
因此 AA = 3.87 - 3.71 = 0.16（m）.
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m，而不是向上 移动0.5 m.
例2 （“引葭赴岸” 问题） “今有方池一丈，葭生其 中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深， 葭长各几何？” 意思是：有一个边长为10 尺的 正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水 部分为1 尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉 向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问：水深 与芦苇长分别为多少？
解 因为6x>90，所以x >15. 又6x<180，所以x<30. 故选B.
图1-18
练习
1. 如图，一艘渔船以30 海里/时 的速度由西向东追赶 鱼群. 在A 处测得小岛C 在船的北偏东60°方向；40 min 后，渔船行至B 处，此时测得小岛C 在船的北偏 东30°方向. 已知以小岛C 为中心，周围10 海里以内 有暗礁，问：这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触 礁的危险？
图1-21
在Rt△ADC中，DC2 = AC2 - AD2 ， ∴b，c组成的三角形是不是直角三角形. （1） a = 8，b = 15，c = 17； （2） a = 10，b = 24，c = 25； （3） a = 4，b = 5， c = 41 .
八年级数学下册1.1直角三角形的性质和判定(I)教学课件(新版)湘教版
B
三、及时巩固 二 新知导学
如图，在△ABC中，∠ACB=90 °，CD⊥AB 25° 于D，∠A =25°，则∠DCB= .
四、探究新知 二 新知导学
探究：直角三角形斜边上的中线与斜边之间
有什么关系呢？
四、探究新知 二 新知导学
如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD为
AB边上的中线，求证：CD =
1 AB . 2
五、例题分析 二 新知导学
例1：如图，已知CDபைடு நூலகம்△ABC的AB边上的中线，
且CD 1 AB ，求证：△ABC是直角三角形.
2
1 2
六、学以致用 二 新知导学
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上
的中点，CD=5 ，则AB=
.
2、如图，BE，CF 是△ABC的两条高，D为BC的中点，
一、温故知新
问题1：什么是直角三角形？
有一个角为90° 一般三角形 直角三角形
有一个角为90°的三角形是直角三角形.
二、新知导学 二 新知导学
问题2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A与∠B有什么关系，为什么? A
证明： 在Rt△ABC中 ∵∠C=90°， ∠A +∠B+∠C=180°， ∴∠A +∠B=90°.
C
B
直角三角形的两个锐角互余.
二、新知导学 二 新知导学
定 理： 逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形 .
如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°， 求证：△ABC是直角三角形. 这个命题的逆 A 命题是什么？ 证明： 在△ABC中， ∵∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°， ∴∠C=90° ∴△ABC是直角三角形. C 直角三角形的两个锐角互余. 命题：
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 课件 2024-2025学年湘教版八年级数学下册
【思维切入】ED⊥AB→∠ADE=90°,直角三角形的性质→
∠1+∠A=90°,∠1=∠2→∠2+∠A=90°→△ABC是直角三角形.
【自主解答】△ABC是直角三角形,理由如下:
∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠1=∠2,
∴∠A+∠2=90°,
∴△ABC是直角三角形.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=62°,AE平分∠BAC.
(1)求∠BAE的度数;
(2)若AD⊥BC于点D,∠ADF=74°,
证明:△ADF是直角三角形.
【解析】略
重点3
利用直角三角形的性质求线段之间的关系
【典例3】如图所示,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB上的中线,G是CE的
1
则AD与BC的数量关系是BC=2AD或AD= BC.
2
直角三角形的这个性质与等腰三角形的“三线合一”常结合在一起考查组成综合
性题目.
【触类旁通】
如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF交CD
于点M,连接AM.
1
(1)求证:EF= AC;
2
(2)若EF⊥AC,求证:AM+DM=CB.
中点,AB=2CD,求证:DG⊥CE.
【自主解答】略
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,
75°
∠BAE=15°,则∠CDE的大小为________.
5+2思维赋能
【模型溯源】
湘教版八年级下册1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)课件(共28张PPT)
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
分析 思路
(1)直接利用三角形内角和定理求∠BAC的度数 (2)由角的关系转化为边的关系, 再利用勾股定理求AD
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
解： (1)∠BAC=180°-60°-45°=75°. (2)∵AD⊥BC, ∴△ADC是直角三角形. ∵∠C=45°, ∴∠DAC=45°, ∴AD=DC. 在Rt△ADC中, AD2 +DC2 =AC2 . ∵AC=2, ∴2AD2 =4, ∴AD2 =2, ∴AD= .
第1章 直角三角形
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1章 直角三角形
1.2 直角三角形的性质和判定 (Ⅱ)
考场对接
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
考场对接
题型一 利用勾股定理求边长
例题1 如图1-2-7所 示, 在△ABC中, AD⊥BC, 垂 足为D, ∠B=60°, ∠C=45°. (1)求∠BAC的度数； (2)若AC=2, 求AD的长.
相关定理求线段(角)的长度(大 小)即可.
谢 谢 观 看！
题型二 利用勾股定理证明某些线段的数量关系
例题2 如图1 - 2 - 10所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AM为BC边上 的中线, MN⊥AB, 垂足为 N. 试说明：AN2 -BN2 =AC2 .
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
解： ∵MN⊥AB, ∴AN2 +MN2 =AM2 , BN2 +MN2 =MB2 , ∴AN2 -BN2 =AM2 -MB2 . ∵AM为BC边上的中线, ∴MB=MC, ∴AN2 -BN2 =AMC2 , ∴AN2 -BN2 =AC2 .
八年级数学下册 1_2 直角三角形的性质和判定(II)第1课时 勾股定理课件 (新版)湘教版
同理E，I，F在一条直线上；F,J,G在一条直线上，G，K，
D在一条直线上.
因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为（1 a+b），
它的面积为（a+b）².
2
又正方形的DEFG的面积为c2+4· ab，
∴（a+b）²=c2+4· ab.
1
即a2+2ab+b2=c2+2ab，
2
∴a2+b2=c2.
S3 S2
S1
的面由积图，可再知减，去S4个1=小32，正S方2=形4的2,为面了积求，S得3，S我3=可52以. 先算出红色区域内大正方形 ∵32+42=52. ∴S1+S2=S3.
在上图中，S1+S2=S3， BC2+AC2=AB2，
那么是否对所有的直角三角形，都 有两
直角边的平方和等于斜边的平方呢？
关系，在直角三角形中，若已知直角三 角形
的任意两条边长，我们可以根据勾股定 理，
求出第三边的长.
例题
如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，
பைடு நூலகம்
BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长
吗？
解 在△ABC中，
∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC,
∴BD=
1 2
BC=5.
在Rt△ADB中，
由勾股定理得，AD2+BD2=AB2，
A D A 2 B B 2 D 1 2 3 5 21 8 8 1 . 2
故AD的长为12cm.
练习 1.在△ABC中, ∠C=90°，a=6,b=8,
则c=＿1＿0 ＿＿