万变不离其宗：2017高中数学课本典例改编之必修二、三：专题六 概率 Word版含解析
万变不离其宗：2017高中数学课本典例改编之必修二、三：专题六概率含解析
fL一、题之源：课本基础知识1.概率与频率(1)在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件/是否出现，称。
次试验中事件A出现的次数心事件/出现的频数,称事件刃出现的比例W)=斜事件刃出现的频率.(2)对于给定的随机事件瓦由于事件』发生的频率£(』)随着试验次数的增加稳定于概率R』)，因此可以用频率£(』)来估计概率P(A).2.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件3一定发生，这时称事件方包含事件』(或称事件A包含于事件3)旧/(或』相等关系若阻』且』2R那么称事件A与事件方相等A=B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件3发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)/%（或』+0交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件方发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)/W(或幽互斥事件若』。
方为不可能事件，那么称事件4与事件3互斥对立事件若为不可能事件,AUB为必然事件,那么称事件A与事件3互为对立事件』W=0且』UB=Q 3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：OWPQ4)W1.(2)必然事件的概率：尸(4)=1.(3)不可能事件的概率：0/)=0.(4)概率的加法公式如果事件a与事件方互斥，则=夕(/)•(5)对立事件的概率若事件A与事件去互为对立事件，则AU8为必然事件.PC4UB)=1,尸(力=1—R③.4.基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的.(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件).5.古典概型(1)特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性.②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性.(2)概率公式：p(.』包含的基本事件的个数尸一基本事件的总数.6.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.7.几何概型的概率公式_构成事件』的区域长度(面积或体积){试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)k二、题之本：思想方法技巧1.概率与频率的关系(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的.(2)概率是一个确定数,是客观存在的，与试验次数无关.(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值.2.互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念①互斥事件是两个不可能同时发生的事件；②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生.(2)利用集合的观点来判断设事件A与方所含的结果组成的集合分别是A,B,①事件A与3互斥，即集合②事件/与3对立,即集合AnB=0,且AUB=/(全集)，也即/=：沾或3=3；③对互斥事件/与3的和A+B,可理解为集合，UB.3.求复杂的互斥事件的概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式R0)=1一夕(力,即运用逆向思维的方法(正难则反)求解,应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便. 4.古典概型是概率论中最简单而又直观的模型，在概率论的发展初期曾是主要研究对象，许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”).要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性.5.求古典概型的概率(1)对于事件A的概率的计算，关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三，事件4是什么，它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件0中的基本事件数，利用公式KA)=?求出事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.(3)如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算/n,n,再运用公式尸®)=£求概率.(4)较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法有：①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；②采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由夕(0)=1一夕(力求事件A的概率.6.几何概型是古典概型的补充和推广，它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素，每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G内随机而取的点的位置来确定；而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求，两种概率模型是高度统一的.7.高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下四个命题角度：(1)与线段长度有关的几何概型；(2)与时间有关的几何概型；(3)与不等式有关的几何概型；(4)与距离有关的几何概型.8.解决几何概型问题，注意把握好以下几点：(1)能正确区分古典概型与几何概型.例1：在区间上任意取一个整数X,则X不大于3的概率为.例2：在区间上任意取一个实数x,则x不大于3的概率为.4例1的基本事件总数为有限个11,不大于3的基本事件有4个，此为古典概型,故所求概率为例2的基本事件总数为无限个,属于几何概型，所求概率为讦.(2)准确分清几何概型中的测度.例1：在等腰RtA^C中，/C=90°，在直角边网上任取一点必求ACAM<^°的概率.例2：在等腰234网中，/。
万变不离其宗高中数学课本典型试题改编系列之选修2-1原卷版缺答案.doc
2016版人教A版选修2-1课本例题习题改编1. 原题(选修2・1第八页习题"A组第2题)改编写出命题“/二戸+疋匕处尺)，则ci = b =『的逆否命题.2. 原题(选修2・1第三十页复习参考题A组第5题)改编已知函数/(X)=X2-2^+5(1) 是否存在实数加，使不等式/(%)>0对于任意xwR恒成立，并说明理由.(2) 若存在一个实数兀，使不等式m-/(x0)> 0成立，求实数加的取值范围。
3. 原题(选修2・1第四一页例2)如图，在圆x2 + y2 = 4 ±任取一点P,过点P作X轴的垂线段PD, D为垂足.当点P在圆上运动吋，线段PD的中点M的轨迹是什么？改编2设点P是圆X2 + /=4上的任一点，定点D的坐标为(& 0).当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程.改编2设点P是圆兀？ + 4上的任一点，定点D的坐标为(& 0),若点M满足PM=2MD・当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程.4.原题(选修2・1第四^一页例3)改编1已知点A、B的坐标分别是A (0, -1), B (0,1),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积是・t, te (0, 1].求M的轨迹方程，并说明曲线的类型.改编2已知点A、B的坐标分别是(0,・1)、(0,1)，直线相交于点P,且它们的斜率之积为一2・求点P轨迹C的方程.2 2改编3设椭圆|? + * = 1(。
>5〉0)的左、右顶点分别为A f B,点P在椭圆上且异于A, B两点，0为坐标原点.若直线PA 与PB 的斜率之积为-上，则椭圆的离心率为 ________ ・2兀2 v 2改编4椭圆c ：才+十=啲左、右顶点分别为人,血，点p 在c 上且直线理斜率的 取值范围是[-2,-1],那么直线马斜率的取值范围是（）A. "1 3' —,—B. '3 3' —,—C. ■ ■ 1,1D. 〔2 4] _8 4J 2 L4改编5已知椭圆C:才+十=1上一点P （l,初过点P 的直线以与椭圆C 分别交于3A 、B （不同于P ）且它们的斜率件◎满足k 止二・才，则直线如？过定点 _________ ・改编6如图，若P 为椭圆兰+21 = 1的右顶点，直线PA 、PB 交直线x = 3于E,F 两点, 4 2直线/i.直线h 与椭圆C 的另一个交点为P,与直线x=4的交点为Q,过Q 点作直线PB 的垂线b 求证：直线厶恒过一定点.=1交于A 、B 两点，过A 点作斜率为k 的则的最小值为 ___________X 2 v 25.原题（选修2・1第四十二页练习第3题）已知经过椭圆-4-^- = 1的右焦点坊作垂直 于x 轴的直线AB,交椭圆于4 B 两点，人是椭圆的左焦点.（1）求\AF.B 的周长；（2） 如果AB 不垂直于x 轴，的周长有变化吗？为什么？2改编（2006年全国卷II ）：已知AABC 的顶点3、C 在椭圆—+/ =1±,顶点&是椭圆的一 3 个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则\ABC 的周长是A. 2^3B. 6C. 4^3D. 12 6 •原题（选修24第四十七页例7）改编 在直线/：兀+），-4二0上任取一点M,过点M且以双曲线/—I = 1的焦点为焦点作椭圆.（1）M 点在何处时，所求椭 3圆长轴最短；（2）求长轴最短吋的椭圆方程.7.原题（选修2・1第四十八页练习第4题）改编 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程.&原题（选修2・1第四十九页习题2.2A 组第八题）改编 己知椭圆与双曲线2%2-2/=1 共焦点，且过（、/^, 0） （1）求椭圆的标准方程.（2）求斜率为2的一组平行眩y*o Q的屮点轨迹方程.9. 原题（选修24第四十九页习题2.2A组第1题）如果点M（x, y）在运动过程中，总满足关系式+ （y + 3）2 + J兀2 + （y 一3）2二10,点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.改编方稈一2屁 + 9 + “ + 2真x + 9=10的解是x= __________________ •2 210. 原题（选修2・1第四十九页习题2.2A组第6题）改编已知椭圆的方程为—+ ^- = 1,4 3若点P是椭圆上第二象限内的一点，且ZPF\F? =120°,求APF{F2的面积.2 2 11. 原题（选修2・1第六十一页习题2.3A组第一题）改编占、尺是双曲线壬-工=11 16 20的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点耳的距离等于9,则点P到焦点笃的距离等于—12. 原题（选修2-1第六十二页习题乙3B组第四题）改编经过点A （2, 1）作直线L交双2曲线丄=1于片，鬥两点，求线段片/的中点P的轨迹方程.13. 原题（选修2・1第七十二页练习题3）改编过动点M（G, 0）且斜率为1的直线/与抛物线y2 =2px（p>0）交于不同的两点&、B,试确定实数a的取值范围，使\AB\<2p.14. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A组第六题）改编直线I与抛物线/=2x相交于A、B两点，0为抛物线的顶点，若OA丄OB.则直线I过定点 ________ .15. 原题（选修2・1第八十页复习参考题A组第4题）改编已知x2sina-y2 cosa = 1（0 <a<7r）表示焦点在y轴上的椭圆，求a的取值范围.16. 原题（选修2・1第八十一页复习参考题B组第一题）改编已知F］、F2分别为椭圆2 2—+ = 1的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F】、F2是一个直角三角形的三个顶点，16 9求APF,F2的面积.17. 原题（选修2・1第八十一页复习参考题B组第3题）改编过抛物线r =2px（p >0）的焦点F的直线与抛物线相交于A,3两点，自A,B向准线作垂线，垂足分别为州，每，求证：=90\18. 原题（选修2・1第八十七页例题）改编己知0、A、〃三点共线，且OP = tnOA + JZOBI 4（肌、n G /?且〃加> 0）,则一+ —的最小值为_______ •m n。
万变不离其宗：2017高中数学课本典例改编之必修二、三：专题五 统计 含解析
一、题之源：课本基础知识1．简单随机抽样[1]定义：一般地,设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本[n ≤N ],且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等,就称这样的抽样方法为简单随机抽样．[2]常用方法：抽签法和随机数法．2．系统抽样[1]步骤：①先将总体的N 个个体编号；②根据样本容量n ,当N n 是整数时,取分段间隔k ＝N n；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l [l ≤k ]；④按照一定的规则抽取样本．[2]适用范围：适用于总体中的个体数较多时．3．分层抽样[1]定义：在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．[2]适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．4.三种抽样方法的比较5．统计图表的含义[1]频率分布表①含义：把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．②频率分布表的画法步骤：第一步：求极差,决定组数和组距,组距＝极差组数； 第二步：分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间；第三步：登记频数,计算频率,列出频率分布表．[2]频率分布直方图：能够反映样本的频率分布规律的直方图．[3]频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来,就得到频率分布折线图．[4]总体密度曲线：如果将样本容量取得足够大,分组的组距足够小,则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线,即总体密度曲线．[5]茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎[高位]和叶[低位]两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．6．样本的数字特征[1]众数：一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数．[2]中位数：把n 个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．[3]平均数：把a 1＋a 2＋…＋a n n称为a 1,a 2,…,a n 这n 个数的平均数． [4]标准差与方差：设一组数据x 1,x 2,x 3,…,x n 的平均数为x ,则这组数据的标准差和方差分别是s ＝1n[（x 1－x ）2＋（x 2－x ）2＋…＋（x n －x ）2] s 2＝1n 7．变量间的相关关系[1]常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系,另一类是相关关系；与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系．[2]从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为正相关,点分布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为负相关．8．两个变量的线性相关[1]从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线．[2]回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^,其中b ^＝错误!,错误!＝错误!－错误!错误!．[3]通过求Q ＝i ＝1∑n[y i －bx i －a ]2的最小值而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法．[4]相关系数：当r >0时,表明两个变量正相关；当r <0时,表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系,通常|r |大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性．9．独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ,它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2},其样本频数列联表[称为2×2列联表]为：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）[其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量]．二、题之本：思想方法技巧1.简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础,是一种等概率的抽样,它的特点是：[1]它要求总体个数较少；[2]它是从总体中逐个抽取的；[3]它是一种不放回抽样.2.系统抽样又称等距抽样,号码序列一旦确定,样本即确定好了.但要注意,如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性,那么样本的代表性是不可靠的,甚至会导致明显的偏向.3.分层抽样一般在总体是由差异明显的几个部分组成时使用.4.抽样方法经常交叉使用,比如系统抽样中均匀分段后的第一段,可采用简单随机抽样；分层抽样中,若每层中个体数量仍很大时,则可辅之以系统抽样等.5.简单随机抽样是一种不放回抽样,所取的样本没有被重复抽取的情况．分层抽样,分层时不要求均分,但抽样时,要按各层中个体总数的比例在各层中抽取个体．以上两种抽样都是一种等概率抽样（即抽样方法的公平性）．这种等概率抽样包含有两层含义,其一、每次从总体中抽取一个个体时,各个个体被抽取的概率是相等的．其二、在整个抽样过程中,各个个体被抽取到的概率相等．6.用样本估计总体是统计的基本思想,而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确,直方图比较直观.7.频率分布表中的频数之和等于样本容量,各组中的频率之和等于1；注意频率分布直方图的纵轴[小矩形的高]一般是频率/组距[而不是频率],横轴一般是数据的大小,小矩形的面积表示频率,在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频率,所以,所有小长方形的面积的和等于1.8.众数,中位数,平均数[1]在频率分布直方图中估计众数：直方图中最高的矩形的中点.[2]在频率分布直方图中估计中位数:中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估计中位数的值.[3]在频率分布直方图中估计平均数:平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.9.对众数,中位数,平均数估计总体数字特征的认识（1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值,比较容易计算,但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息.（2）中位数不受少数几个极端值的影响, 容易计算,它仅利用了数据排在中间的数据的信息. （3）样本平均数与每个样本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数,众数都不具有的性质,也正因为这个原因,与众数,中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.（4）如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之, 说明数据中存在许多较小的极端值.（5）使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心,从而产生一些误导作用.10.茎叶图的优点是原有信息不会抹掉,能够展示数据分布情况,但当样本数据较多或数据位数较多时,茎叶图就显得不太方便了.11.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大；标准差、方差越小,数据的离散程度越小.因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差都是测量样本数据离散程度的工具,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.12.在研究两个变量之间是否存在某种关系时,必须从散点图入手．对于散点图,可以做出如下判断：[1]如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．[2]如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系．[3]如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系．13.分析两个变量相关关系的常用方法：[1]利用散点图进行判断；[2]利用相关系数r进行判断．14.注意：[1]回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有实际意义,否则无意义．[2]根据回归方程进行的估计仅是一个预测值,而不是真实发生的值．[3]用最小二乘法求回归方程,关键在于正确求出系数aˆ,bˆ,由于aˆ,bˆ的计算量较大,计算时应仔细小心．15样本中心点(),x y一定在回归直线上.三、题之变：课本典例改编1. 原题（必修3第62页的“如何得到敏感性问题的诚实反应”）改编为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在该校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题：（１）你的学号是奇数吗？（２）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是”,因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实地作了回答.结果被调查的800人（学号从1至800）中有240人回答了“是”.由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是 .2. 原题（必修3第72页）改编 为了了解某市居民的用水量,通过抽样获得了100位居民的月均用水量.第八题图是调查结果的频率直方图.（1）估计该样本的平均数和中位数；（2）若以该样本数据的频率作为总体的概率,从该市（人数很多）任选3人,求用水量超过3吨的人数的期望值.【解析】（1）平均数为+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯25.254.075.144.025.130.075.016.025.008.0( 98.15.0)75.308.025.312.075.228.0=⨯⨯+⨯+⨯.因为（0.08+0.16+0.30+0.44）×0.5=0.49,所以中位数为.5410954.049.05.02=-+2. 原题（必修3第73页的探究“数据有时会被利用”）改编 2011年春节刚过,为留住本地人才,有一家公司在火车站等处张贴招聘启示,“我们公司的收入水平很高”,“去年,在50名员工中,最高年收入达到了100万,他们年收入的平均数是3．5万.”如果你希望获得年薪2．5万元.[1]你判断自己是否能够成为此公司的一名高收入者？[2]如果招聘员继续告诉你,“员工收入的变化范围是从0．5万到100万”,这个信息是否足以使你作出自己受聘的决定？为什么？[3]如果招聘员继续给你提供了如下信息,员工收入的中间50%[即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的]的变化范围是1万到3万,你又能否用这条信息来作出是否受聘的决定？[4]你能估计出收入的中位数是多少吗？为什么平均值比估计出的中位数高很多？【解析】（1）不能.因为平均收入和最高收入相差太多,说明高收入的职工只能占极少数.现在已经知道至少有一个人的收入为100万元,那么其他员工的收入之和为75万元,每人平均只有1.53万元,如果再有几个收入特别高者,那么初进公司的员工收入将会更低.[2]不能.要看中位数是多少.[3]能,可以确定有75%错误！未指定书签。
万变不离其宗2016版高中数学课本典型试题改编系列之必修3(原卷版)
万变不离其宗———2016版高中数学课本典型试题改编系列之必修31.原题（必修3第13页例6）改编 已知程序框图如图1所示，则该程序框图的功能是（ ）A.求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1错误！未指定书签。
的前10项和()*Nn ∈错误！未指定书签。
B.求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21错误！未指定书签。
的前10项和()*N n ∈错误！未指定书签。
C.求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1错误！未指定书签。
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的前11项和()*N n ∈错误！未指定书签。
2.原题（必修3第15页思考）改编 在图2程序中所有的输出结果之和为 .3.原题（必修3第19页图1.1-20）改编如图3，输出结果为.4. 原题（必修3第20页习题1.1B组第二题）改编1某高中男子体育小组的50m的跑步成绩（单位：s）如下表：若图4中的程序用来表示输出达标的成绩，且输出结果为6.4,6.5，则达标成绩x的最大值为.（结果保留一位小数）.改编2某高中男子体育小组的50m的跑步成绩（单位：s）如下表：若图5中的程序用来表示输出达标的成绩，则从该小组中任取两名同学的成绩，至少有一名达标的概率为.5. 原题（必修3第33页习题1.2B组第四题）改编在图6的程序框中，将输出的a的值分别记为a1，a2，a3…，若t=3，则数列{}n a的通项公式为.6. 原题（必修3第50页复习参考题A组第三题）某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用：不超过50kg按0.53元/kg收费，超过50kg的部分按0.85元/kg收费.相应收费系统的流程图如右图所示，则①处应填（ ）A.x y 85.0=错误！未指定书签。
B.()85.05053.050⨯-+⨯=x y 错误！未指定书签。
C.x y 53.0=错误！未指定书签。
D.x y 85.053.050+⨯=7. 原题（必修3第62页的“如何得到敏感性问题的诚实反应”）改编 为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（１）你的学号是奇数吗？（２）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的800人（学号从1至800）中有240人回答了“是”.由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是8. 原题（必修3第72页）改编 为了了解某市居民的用水量，通过抽样获得了100位居民的月均用水量.第八题图是调查结果的频率直方图.（1）估计该样本的平均数和中位数；（2）若以该样本数据的频率作为总体的概率，从该市（人数很多）任选3人，求用水量超过3吨的人数的期望值.9. 原题（必修3第73页的探究“数据有时会被利用”）改编 2011年春节刚过，为留住本地人才，有一家公司在火车站等处张贴招聘启示，“我们公司的收入水平很高”，“去年，在50名员工中，最高年收入达到了100万，他们年收入的平均数是3．5万.”如果你希望获得年薪2．5万元.(1)你判断自己是否能够成为此公司的一名高收入者？(2)如果招聘员继续告诉你，“员工收入的变化范围是从0．5万到100万”，这个信息是否足以使你作出自己受聘的决定？为什么？(3)如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的中间50%(即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的)的变化范围是1万到3万，你又能否用这条信息来作出是否受聘的决定？(4)你能估计出收入的中位数是多少吗？为什么平均值比估计出的中位数高很多？10. 原题（必修3第79页练习第2题）改编 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用n x 表示编号为n ()6,...,2,1=n 错误！未指定书签。
万变不离其宗：2017高中数学课本典例改编之选修2-1、2-2、2-3：专题三 导数及其应用 Word版含解析
专题三导数及其应用一、题之源：课本基础知识1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则(1)f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 5.函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数． f ′(x )≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．6．函数的极值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． 7．函数的最值(1)在闭区间a ，b ]上连续的函数f (x )在a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．8．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 8．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛ab f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．9．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．二、题之本：思想方法技巧1．弄清“函数在一点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在一点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )；(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． 2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)通常有以下两种方法 (1)利用导数的定义：即求lim →∆xf （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．正确区分“曲线在某点处的切线”与“过某点的曲线的切线”的含义，前者的“某点”即切点，后者的“某点”是否为切点则须检验．4．求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．如果切点未知，要先求出切点坐标．5.注意曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．6．导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．7．用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．8．理清导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．注意：由函数f(x)在区间a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．9．极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值．10．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点处和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．11. 根据函数单调性确定参数范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．12. 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．13. 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 14.利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题． 15.构造函数证明不等式的方法：(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数f (x )，使原不等式成为形如f (a )>f (b )的形式．(2)对形如f (x )>g (x )的不等式，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )．(3)对于(或可化为)f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可选x 1(或x 2)为主元，构造函数f (x ，x 2)(或f (x 1，x ))．16.利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 17.利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下： ①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义求定积分：当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．如：定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4.18.用定积分求平面图形面积的四个步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．三、题之变：课本典例改编1.原题（选修2-2第十一页习题1.1B 组第一题）改编 在高台跳水中，t s 时运动员相对水面的高度(单位：m ）是105.69.4)(2++-=t t t h 则t=2 s 时的速度是_______. 【答案】13.1(/)m s -.【解析】5.68.9)(+-='t t h 由导数的概念知：t=2 s时的速度为)/(1.135.628.9)2(s m h -=+⨯-='2.原题（选修2-2第十九页习题1.2B组第一题）改编记21sin 23sin ,23cos ,21cos -===c B A ，则A,B,C 的大小关系是（ ）A ．A B C >>B ．AC B >> C ． B A C >> D. C B A >>【答案】B.3.原题（选修2-2第二十九页练习第一题）改编 如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数（ ）A. 13(,)x xB. 24(,)x xC.46(,)x xD.56(,)x x 【答案】B.【解析】函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B.4.原题（选修2-2第三十二页习题 1.3B 组第1题（4））改编 1 设02x π<<，记sin ln sin ,sin ,x a x b x c e === 试比较a,b,c 的大小关系为（ ）A a b c <<B b a c <<C c b a <<D b c a << 【答案】A.【解析】1.先证明不等式ln x x x e << (x>0);设()ln ,0f x x x x =->, 因为1()1,f x x '=-所以，当01x <<时，1()10,f x x'=->()f x 单调递增，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时1()10,f x x'=-<()f x 单调递减，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当x=1时，显然ln11<，因此ln x x <; 2.设(),0xg x x e x =->,()1xg x e '=- 当0()0x g x '><时()(0,+g x ∴∞在）单调递减 ∴()(0)0g x g <=,即x x e <;综上：有ln xx x e <<，x>0成立;02x π<<,∴0sin 1x << ,∴ sin ln sin sin xx x e<< ,故选A.改编2 证明：()x x x ≤+≤+-1ln 111，1x >- 【解析】（1）构造函数()x x x f -+=1ln )(，11)(-=-='xx f )1(->x ，当,0=x ()00='f ，得下表,1->∴x 总有,0)0()(=≤f x f (),01ln ≤-+∴x x ().1ln x x ≤+∴另解1111)(+-=-+='x xx x f )1(->x ，当,0=x ()00='f ， 当01<<-x ，())(,0x f x f >'单调递增，,0)0()(,01=<<<-∴f x f x ……① 当0>x ，())(,0x f x f <'单调递减，,0)0()(,0=<>∴f x f x ………………② 当,0=x ()00=f…………………………………………………………③综合①②③得：当1->x 时，,0)(≤x f (),01ln ≤-+∴x x ().1ln x x ≤+∴ （2）构造函数,111)1ln()(-+++=x x x g ()()2211111)(+=+-+='x x x x x g ， 当,0=x ()00='g ，当,01<<-x ())(,0x g x g <'单调递减； 当,0>x ())(,0x g x g >'单调递增；)(,0x g x =∴极小值=[]0)0()(min ===g x g ，,1->∴x 总有∴=≥,0)0()(g x g ,0111)1ln(≥-+++x x 即：)1ln(111x x +≤+-. 综上（1）（2）不等式()x x x ≤+≤+-1ln 111成立. 5.原题（选修2-2第三十七页习题1.4A 组第1题）改编 用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_________.【解析】设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=230(m)35.441218＜＜x x xh .故长方体的体积为).230)((m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-= 从而2()181818(1).V x x x x x '=-=-令0(X)V ='，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，(X)V '＞0；当1＜x ＜32时，(X)V '＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值. 从而最大体积V ＝3（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m3. 6.原题（选修2-2第四十五页练习第二题）改编 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v(t)=-t 2+4,（30≤≤t t ）（t 的单位：h, v 的单位：km/h ）则这辆车行驶的最大位移是______km【解析】当汽车行驶位移最大时，v(t)=0.又v(t)=-t 2+4=0且30≤≤t ,则t=2316431-)4(203202max =+=+-=∴⎰）（t t dt t s ，故填316. 7.原题（选修2-2第五十页习题1.5A 组第四题）改编 =--⎰11-21dx x ex）（________【答案】22e 2π--.8.原题（选修2-2第五十三页例2）改编 曲线)x 0sin π≤≤=（x y 与直线y=21围成的封闭图形的面积为（ ）A ．3 B.3-2 C.3-2πD.3-3π【答案】D. 【解析】由21sin =x 与)x 0π≤≤（得566x ππ=或，所以曲线)x 0sin π≤≤=（x y 与直线y=21围成的封闭图形的面积3cos )665(21sin s 656656πππππππ--=-⨯-=⎰xxdx =333)6cos (65cosππππ-=---- 故选D.9.原题（选修2-2第五十六页例1）改编1由曲线1y =，22y x x =-+所围成图形的面积为____________. 【答案】143π-. 【解析】联立{22112x y xx y --=+-= 得焦点坐标（0,0），（1,1）,∴112(2)(1s xx dx dx =-+-⎰⎰1232112(2)()33x x dx x x -+=-+=⎰1100(11dx x =-=-⎰⎰⎰而⎰表示单位圆221x y +=在第一象限内的部分∴⎰=4π ∴2113443s ππ=-+=-,故填143π-.改编2 计算：（1）dx xx x ⎰+2sin cos 2cos π；（2）dx x ⎰-2024改编3 求将抛物线x y =2和直线1=x 围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.【解析】利用定积分的定义解题，应当画出草图.先求出抛物线x y =2和直线1=x 交点坐标（1，1），（1，-1） 利用定积分的定义易得：==⎰dx y V 201π=⎰xdx π0120122ππ=x 改编4 在曲线()02≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为121，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.。
万变不离其宗高中数学课本典型试题改编系列之必修1(解析版)
A．1, 2,3
B． 2, 3
C．1, 2
D．2
1
【答案】D.
【解析】集合 Q x R | x2 x 6 0 3, 2，故选 D .
3.原题（必修 1 第十二页习题 1.1B 组第一题）已知集合 A={1，2}，集合 B 满足 A∪B={1，2}，则这样的
集合 B 有
个.
改编 1 已知集合 A、B 满足 A∪B={1，2}，则满足条件的集合 A、B 有多少对？请一一写出来．
【答案】有 9 对；可以是：∅，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；
{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，∅．
【解析】∵A∪B={1，2}，∴集合 A，B 可以是：∅，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；
{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，∅．则满足条件的集合 A、B 有 9 对.
改编 2 已知集合 A 有 n 个元素，则集合 A 的子集个数有
个，真子集个数有 个.
【答案】 2n ； 2n 1.
1
【解析】子集个数有 2n 个，真子集个数有 2n 1个
改编 3 满足条件1, 2 A 1, 2,3 的所有集合 A 的个数是 个.
8. 原题 （必修 1 第二 十五 页习 题 1.2B 组 第二题 ）画 出定 义域 为 x 3 x 8,且x 5 ， 值域 为 y 1 y 2, y 0 的一个函数的图像，（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）如果
平面直角坐标系中点 P（x,y）的坐标满足 3 x 8 ， 1 y 2 ，那么其中哪些点不能在图像上？
万变不离其宗：2017高中数学课本典例改编之选修2-1、2-2、2-3：专题二 圆锥曲线与方程 Word版含解析
专题二 圆锥曲线与方程一、题之源：课本基础知识1．椭圆的概念在平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数： (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质3平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离之差的绝对值为常数2a (0＜2a ＜2c )，则点P 的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0： (1)当a ＜c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，P点不存在．4．双曲线的标准方程和几何性质5．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．6．抛物线的标准方程和几何性质7．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 8．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点二、题之本：思想方法技巧9．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．10．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.二、题之本：思想方法技巧1.在运用椭圆的定义时，要注意“|F 1F 2|＜2a ”这个条件，若|F 1F 2|＝2a ，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F 1F 2|＞2a ，则轨迹不存在.2.椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定.3.求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值.4.充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中.5.直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定.通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定.6.直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决.设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一.7.椭圆中几个常用的结论：(1)焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝||PF 1，r 2＝||PF 2.①x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； ②y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； ③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).(2)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；②S ＝b 2tan θ2＝c ||y 0，当||y 0＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b2a.(4)AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|；②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.以上常用结论在教材的例题与习题中都有体现.8..对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点.9..双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”.10.定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在.11.在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上.12.在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大.13.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.14.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线. 15.双曲线的几个常用结论：(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段叫做双曲线的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，则①x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若点P 在右支上，则r 1＝ex 0＋a ，r 2＝ex 0－a ；若点P 在左支上，则r 1＝－ex 0－a ，r 2＝－ex 0＋a.②y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若点P 在上支上，则r 1＝ey 0＋a ，r 2＝ey 0－a ；若点P 在下支上，则r 1＝－ey 0－a ，r 2＝－ey 0＋a.16.抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握. 17.求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法.若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny (m ≠0，n ≠0).若m ＞0，开口向右；若m ＜0，开口向左.m 有两解时，则抛物线的标准方程有两个.对n ＞0与n ＜0，有类似的讨论.18.抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化. 19.抛物线的几个常用结论(1)焦半径：抛物线上的点P (x 0，y 0)与焦点F 之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r ＝||PF .①y 2＝2px (p ＞0)，r ＝x 0＋p2；②y 2＝－2px (p ＞0)，r ＝－x 0＋p2；③x 2＝2py (p ＞0)，r ＝y 0＋p2；④x 2＝－2py (p ＞0)，r ＝－y 0＋p2.(2)焦点弦：若AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，||AB ＝l.则：①x 1x 2＝p 24；②y1y2＝－p2；③弦长l＝x1＋x2＋p，因x1＋x2≥2x1x2＝p，故当x1＝x2时，l取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂直于x轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径).20.对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.21.在给定的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程或动弦中点M(x，y)轨迹时，一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B两点在曲线上，得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0及x1＋x2＝2m(或2x)，y1＋y2＝2n(或2y)，从而求出斜率k AB＝y1－y2x1－x2，最后由点斜式写出直线AB的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x，y之间的关系，整体消去x1，x2，y1，y2，得到点M(x，y)的轨迹方程.22.对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线、点共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或方程组.为简化运算应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直线或曲线过定点的知识加以解决.以“求直线l：y＝kx＋2k＋1(k为参数)是否过定点？”为例，有以下常用方法：①待定系数法：假设直线l过点(c1，c2)，则y－c2＝k(x－c1)，即y＝kx－c1k＋c2，通过与已知直线方程比较得c1＝－2，c2＝1.所以直线l过定点(－2，1).②赋值法：令k＝0，得l1：y＝1；令k＝1，得l2：y＝x＋3，求出l1与l2的交点(－2，1)，将交点坐标代入直线系得1＝－2k＋2k＋1恒成立，所以直线l过定点(－2，1).赋值法由两步构成，第一步：通过给参数赋值，求出可能的定点坐标；第二步：验证其是否恒满足直线方程.③参数集项法：对直线l的方程中的参数集项得y＝k(x＋2)＋1，令k的系数为0，得x＝－2，y＝1，k的取值是任意的，但l的方程对点(－2，1)恒成立，所以直线l过定点(－2，1).若方程中含有双参数，应考虑两个参数之间的关系.23.给出曲线上的点到直线的最短(长)距离或求动点到直线的最短(长)距离时，可归纳为求函数的最值问题，也可借助于图形的性质(如三角形的公理、对称性等)求解.24.圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题，通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线l(或者是直线系)垂直，圆锥曲线上两点连成线段的中点一定在对称轴直线l上，再利用判别式或中点与曲线的位置关系求解.25.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系； (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )； (3)列式——列出动点P 所满足的关系式；(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简；(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．26.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系.在求与圆锥曲线有关的轨迹方程时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得出方程.27.要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程.28.求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若求轨迹，则不仅要求出方程，而且还需要说明所求轨迹是什么曲线，即曲线的形状、位置、大小都需说明.29.根据问题给出的条件不同，求轨迹的方法也不同，一般有如下规律： (1)单点的轨迹问题——直接法＋待定系数法； (2)双动点的轨迹问题——相关点法； (3)多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法.30.利用参数法求动点轨迹时要注意：(1)参数的选择要合理；(2)消参的方法灵活多样；(3)对于所选的参数，要注意取值范围，并注意参数范围对x ，y 的取值范围的制约.31.曲线关于点中心对称、关于直线轴对称问题，通常是转化为点的中心对称或轴对称，一般结论如下：(1)曲线f (x ，y )＝0关于已知点A (a ，b )的对称曲线的方程是f (2a －x ，2b －y )＝0； (2)曲线f (x ，y )＝0关于y ＝kx ＋b 的对称曲线的求法：设曲线f (x ，y )＝0上任意一点为P (x 0，y 0)，点P 关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ，y )，则由轴对称的条件知，P 与P ′的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·k ＝－1，y ＋y 02＝k ·x ＋x 02＋b ，从中解出x 0，y 0，将其代入已知曲线f (x ，y )＝0，就可求出曲线f (x ，y )＝0关于直线y ＝kx ＋b 对称的曲线方程.32.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=；（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;（3）给出0=+,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知,A B 与PQ 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.（6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=（7） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,（8）给出MP =⎪⎫ ⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形; （10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形; （11） 在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线; 33.圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 34解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．三、题之变：课本典例改编1. 原题（选修2-1第四十一页例2）如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作X 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？改编1 设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0）．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．【解析】设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则082x x +=，02yy =．即028x x =-，02y y =．因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=．即()()222824x y -+=，即()2241x y -+=，这就是动点M 的轨迹方程．改编 2 设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0），若点M 满足2PM MD =．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．2. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编1 已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．【解析】设M （x ，y ），则10BM y k x -=- (x≠0)，(1)0AM y k x --=-(x≠0)，BM AM k k =-t ，10y x --(1)0y x ---=-t(x≠0)，整理得221x y t+=1(x≠0)（1）当t ∈（0，1）时，M 的轨迹为椭圆（除去A 和B 两点）；（2）当t=1时，M 的轨迹为圆（除去A 和B 两点）．改编 2 已知点A B 、的坐标分别是(0,1)-、(0,1),直线,PA PB 相交于点P ,且它们的斜率之积为2-. 求点P 轨迹C 的方程. 【解析】设(,)P x y ，则112y y x x+-=-g (0)x ≠，整理得：2221x y +=(0)x ≠. 改编3 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ,B ，点P 在椭圆上且异于A ,B两点，O 为坐标原点．若直线PA 与PB 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为________. 【解析】拓展：椭圆()222210x y a b a b+=>>上任一点P 与椭圆上关于原点对称的两点0000(,),(,)A x y B x y --的连线的斜率之积22PA PBb k k a=-；椭圆()222210y x a b a b +=>>上任一点P 与椭圆上关于原点对称的两点0000(,),(,)A x y B x y --的连线的斜率之积22PA PBa k k b=-.（记忆方法：无论椭圆焦点在哪个轴，总是以椭圆方程中2x 的分母为分母）由拓展，知2212b ,e a -=-∴改编4 椭圆22122:1,,43x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是 ( )A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由拓展，知12123333,[,].4484PA PA PA PA k k k k =-\=-?选B改编5 已知椭圆22:143x y C +=上一点3(1,)2P ,过点P 的直线12,l l 与椭圆C 分别交于A B 、（不同于P ）且它们的斜率12,k k 满足1234k k =-g ，则直线AB 过定点________. 【解析】由拓展，A B 、关于原点对称，即直线AB 过定点(0,0).改编6 如图，若P 为椭圆的右顶点，直线PA 、PB 交直线3=x 于,E F 两点，则EF 的最小值为.改编7 已知直线y ＝12x 与椭圆C ：22182x y +=交于A B 、两点，过A 点作斜率为k 的直线l 1．直线l 1与椭圆C 的另一个交点为P ，与直线x ＝4的交点为Q ，过Q 点作直线PB 的垂线l 2．求证：直线l 2恒过一定点．【解析】可求得(2,1),(2,1)A B --，且A B 、关于原点对称，由拓展知，14PA PB k k =-，14PB k k=-，又2l PB ^,24,l k k \=而l 1：1(2),(4,61)y k x Q k +=+\-，则l 2；(61)4(4),y k k x --=-即(410)1,y x k =--令4100,x -=则1,y =-2l \恒过定点5(,1)2-．3．原题（选修2-1第四十二页练习第3题）已知经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线A B ，交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点．（1）求1AF B ∆的周长；（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长有变化吗？为什么？改编（2006年全国卷Ⅱ）：已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是A． B ．6 C． D ．124. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线：04=-+y x 上任取一点M ，过点M 且以双曲线1322=-y x 的焦点为焦点作椭圆．(1)M 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．【解析】(1).4,3,122222=+=∴==b a c b a 故双曲线1322=-y x 的两焦点),0,2(),0,2(21F F -过2F 向引垂直线：2-=x y ，求出2F 关于的对称点2‘F ，则2‘F 的坐标为（4，2）（如图）， 直线21‘F F 的方程为023=+-y x 。
万变不离其宗高中数学课本典型试题改编系列之必修2解析版含解析.doc
1•原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名 称.正视图俯视图改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm ）（I ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（II ）求这个几何体的表面积及体积；（III ）设异面直线与BC'所成的角为&,求cos&・（I ）这个几何体的直观图如图23—2所示.（II ）这个几何体是直三棱柱. 万变不离其宗2016版高中数学课本典型试题改编系列之必修2 \ A\:1* 1 3B f! B1 1 正视图 CC\ 1! A:1 1 3B'! B 俯视图 B由于底^LABC的高为1,所以血二牧所求全面积S = 2Sgc + Sc += 2x —x2x1+ 3x2+ 2x3x72 =8 +6\/2 (cm 2). 2这个几何体的体积V = S^BC BB '二丄x2xlx3 = 3 (cm 3)(III)因为AXIIBB',所以 曲‘与BC'所成的角是ZB'BC'.3. 原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余 各边旋转一周形成的曲面围成三个儿何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体枳之间的关系.改编 己知直角三角形ABC ,其三边分为a,b,c, （a>b>c ） •分别以三角形的。
边，方边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面圉成三个几何体，其表面积和体积分别为5*2,S3和％,岭，匕，则 它们的关系为（ ）A. S, >S 2 >S 3i V, > V 2 > V 3B. S, < S 2 < S 3, V, < V 2 < V 3C. S, >52 >53, V, = V 2 = V 3D. S, <52 <S 3,V, = V 2 = V 3 KRtABB'C^V, BC‘二 IBB'? + BP 二后 + 2?二厢,故cos&二BB f 3 贷 _7!J2. 原题（必修2第28页例3）如图，已知儿何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图. 改编1如图，已知儿何体的三视图（单位：cm ）.（I ）画出它的直观图（不要求写画法）；（II ）求这个儿何体的表面积和体积. 【解析】（I ）这个几何体的直观图如图所示. （II ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为lcm,高为2cm ）,它的上部 是一个圆锥（底面半径为lcin,母线长为2cm,高为2侧视图所以所求表面积 ^ = 7rxl 2 + 27rxlx2 + 7rxlx2 = 7^ (cn?).所求体积―灯切卜苗“亠+学（曲）.【答案】B.be I he I【解析】S|二龙（一）（b + C），X二一兀（一）0, So二加C +亦2,匕二上初c?, a 3 a3S, = 7tab-^r 7tb~y, - —7[h2c,选 B.一34. 原题（必修2第32页图像）改编如图儿何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是（）【答案】⑴、（4）.[【解析】• 切面过轴线为（1）,否则是圆锥曲线为U）.本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆隆鹹数学模型.答案（1）、（4）・■5. 原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）改编1如右上图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为60。
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一、题之源：课本基础知识1．概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B) 相等关系若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．(2)必然事件的概率：P(A)＝1．(3)不可能事件的概率：P(A)＝0．(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件,则A ∪B 为必然事件．P (A ∪B )＝1,P (A )＝1－P (B )． 4．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 5．古典概型 (1)特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．6．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型． 7．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）二、题之本：思想方法技巧1.概率与频率的关系(1)频率是一个随机数,在试验前是不能确定的. (2)概率是一个确定数,是客观存在的,与试验次数无关.(3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率,因而概率是频率的稳定值.2.互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念①互斥事件是两个不可能同时发生的事件； ②对立事件首先是互斥事件,且必有一个发生. (2)利用集合的观点来判断设事件A 与B 所含的结果组成的集合分别是A ,B , ①事件A 与B 互斥,即集合A∩B ＝∅；②事件A 与B 对立,即集合A∩B ＝∅,且A ∪B ＝I (全集),也即A ＝∁I B 或B ＝∁I A ；③对互斥事件A 与B 的和A ＋B ,可理解为集合A ∪B. 3.求复杂的互斥事件的概率的方法一是直接法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和,运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P (A )＝1－P (A ),即运用逆向思维的方法(正难则反)求解,应用此公式时,一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目,用第二种方法往往显得比较简便. 4.古典概型是概率论中最简单而又直观的模型,在概率论的发展初期曾是主要研究对象,许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”).要判断一个试验是否为古典概型,只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性. 5.求古典概型的概率(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝m n求出事件A 的概率,这是一个形象直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.(3)如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m ,n ,再运用公式P (A )＝m n求概率.(4)较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算,较为复杂的概率问题的处理方法有：①转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解；②采用间接法,先求事件A 的对立事件A 的概率,再由P (A )＝1－P (A )求事件A 的概率. 6.几何概型是古典概型的补充和推广,它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素,每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G 内随机而取的点的位置来确定；而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求,两种概率模型是高度统一的. 7.高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下四个命题角度： (1)与线段长度有关的几何概型； (2)与时间有关的几何概型； (3)与不等式有关的几何概型； (4)与距离有关的几何概型．8.解决几何概型问题,注意把握好以下几点：(1)能正确区分古典概型与几何概型.例1：在区间上任意取一个整数x ,则x 不大于3的概率为________. 例2：在区间上任意取一个实数x ,则x 不大于3的概率为________.例1的基本事件总数为有限个11,不大于3的基本事件有4个,此为古典概型,故所求概率为411.例2的基本事件总数为无限个,属于几何概型,所求概率为310.(2)准确分清几何概型中的测度.例1：在等腰Rt△ABC 中,∠C ＝90°,在直角边BC 上任取一点M ,求∠CAM ＜30°的概率. 例2：在等腰Rt△ABC 中,∠C ＝90°,在∠CAB 内过点A 作射线交线段BC 于点M ,求∠CAM ＜30°的概率.例1中的测度定性为线段长度,当∠CAM 0＝30°,CM 0＝33AC ＝33C B.满足条件的点M 等可能的分布在线段CM 0上,故所求概率等于CM 0CB ＝33.例2中的测度定性为角度,过点A 作射线与线段CB 相交,这样的射线有无数条,均匀分布在∠CAB 内,∠CAB ＝45°.所以所求概率等于∠CAM 0∠CAB＝30°45°＝23. (3)科学设计变量,数形结合解决问题.例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待时间不多于10分钟的概率.例2：某人午觉醒来,发现表停了,求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率. 例1是《必修3》P 136的例题,此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度,故所求概率为1060＝16.例2容易犯解例1形成的定势思维的错误,得到错误答案560＝112.原因在于没有认清题中的变量,本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数,都可取内的任意时刻,故所求概率需用到面积型几何概型,由|x －y |≤5结合线性规划知识可解,所求概率为602－552602＝23144.通过这两道例题我们也可以看出,单变量多用线型测度,多变量需用面积(或体积)型测度.在画好几何图形后,利用数形结合思想解题.9.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果,每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示,而所有基本结果对应于一个区域Ω,这时,与试验有关的问题可考虑利用几何概型解决.三、题之变：课本典例改编1. 原题（必修3第127页例3）改编 将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m 和n ,则函数1323+-=nx mx y 在[)∞+，1上为增函数的概率是 . 【解析】本题考察了古典概型概率的求法及利用导数研究函数的单调性等基础知识.易得函数1323+-=nx mx y 的增区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞m n 2--，和⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，m n 2,由已知可得,[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⊆∞+，，m n21,故 n m ≥2.抛两次的骰子的所有可能种数为36种,则()n m ，满足条件n m ≥2的有30种,所以所求概率为65. 2. 原题（必修3第130页练习第3题）改编 甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【解析】（1）从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,所有可能的结果为（甲男1,乙男）、（甲男2,乙男）、（甲男1,乙女1）、（甲男1,乙女2）、（甲男2,乙女1）、（甲男2,乙女2）、（甲女,乙女1）,(甲女,乙女2),（甲女,乙男）,共9种；选出的2名教师性别相同的结果有（甲男1,乙男）、（甲男2,乙男）、（甲女,乙女1）、（甲女,乙女2）共4种所以选出的2名教师性别相同的概率为94.3. 原题（必修3第134页习题3.2B 组第3题）改编 假设每个人在任何一个月出生是等可能的,则三个人中至少有两个人生日在同一个月的概率为 .【解析】方法一：1=p －7217123312=A ；方法二：721712311211111223=+=C C C C p .4. 原题（必修3第140页例4）改编 如图,直线2=+y x 与抛物线2x y =交于A 、B 两点,分别作AC 、BD 垂直x 轴于C 、D 两点,从梯形ABDC 中任取一点,则该点落在阴影部分的概率为________；利用随即模拟方法也可以计算图中阴影部分面积,若通过1000次试验产生了落在梯形ABDC 内的1000个点,则可估计落 在阴影部分内的点的个数大约有________个.5. 原题（必修3第140页练习第1题）改编 如图所示,墙上挂有边长为a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,2a为半径的圆弧与正方形的边所围成的.某人向此板投标,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击中某人向此板投标,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样, 则它击中阴影部分的概率是 .【解析】本题考查几何概型的概率的计算,因为正方形的面积为2a ,而阴影部分的面积不易直接计算,所以先计算空白部分的面积为24a π,从而得阴影部分的面积为224a a π-.根据几何概型的概率公式,可得222414a a p a ππ-==-.6. 原题（必修3第142页习题3.3A 组第3题）改编 一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口时,不需要等待就可以过马路的概率为 . 【解析】概率为=++4053040815.。