2017届北京市海淀区高三下学期期中考试(一模)数学理试题(word版)
北京市海淀区高三下学期期中考试(一模)数学理试题 Word版含答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|(1)0A x x x =+≤，集合{}|0B x x =>，则A B = （ ） A ．{}|1x x ≥-B ．{}|1x x >-C ．{}|0x x ≥D ．{}|0x x >2.已知复数()z i a bi =+（a ，b R ∈），则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A ．220a b +≠B ．0ab =C ．0a =，0b ≠D ．0a ≠，0b =3.执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ）A ．0B ．3C ．6D ．84.设a ，b R ∈，若a b >，则（ ） A ．11a b< B ．22a b>C ．lg lg a b >D ．sin sin a b >5.已知1a xdx =⎰，12b x dx =⎰，c =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.已知曲线C：x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=，则实数a 的取值范围为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C．⎡⎣D ．[]2,2-7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A ．12B ．40C ．60D ．808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===； 项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===； 项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=︒； 项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若等比数列{}n a 满足245a a a =，48a =，则公比q = ，前n 项和n S = ．10.已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，满足12||||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为 ．11.在ABC ∆中，cos c a B =．①A = ；②若1sin 3C =，则cos()B π+= ．12.若非零向量a ，b 满足()0a a b ⋅+= ，2||||a b =，则向量a ，b 夹角的大小为 ． 13.已知函数21,0,()cos ,0.x x f x x x π⎧-≥=⎨<⎩若关于x 的方程()0f x a +=在(0,)+∞内有唯一实根，则实数a 的最小值是 ．14.已知实数u ，v ，x ，y 满足221u v +=，10,220,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则z ux vy =+的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知3π是函数2()2cos sin 21f x x a x =++的一个零点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8 10万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X 的数学期望（不需要计算过程）．17.如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，90BAC ∠=︒，1AB =，12BC BB ==，1C D CD =1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证：1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BPBC的值，若不存在，说明理由．18.已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <． （Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由； （Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立，求a 的取值范围．19.已知椭圆G ：2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20.已知含有n 个元素的正整数集{}12,,,n A a a a =…（12n a a a <<<…，3n ≥）具有性质P ：对任意不大于()S A （其中12()n S A a a a =+++…）的正整数k ，存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k ． （Ⅰ）写出1a ，2a 的值；（Ⅱ）证明：“1a ，2a ，…，n a 成等差数列”的充要条件是“(1)()2n n S A +=”； （Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时n a 的最大值．海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案一、选择题1-5:ADBBC 6-8:CDB二、填空题9.2，21n- 10.2213y x -= 11.90，13- 12.120 13.12- 14.三、解答题15.解：（Ⅰ）由题意可知()03f π=，即22()2cossin10333f a πππ=++=，即21()2()1032f π=++=，解得a = （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()2cos 21f x x x =+cos222x x =+52sin(2)26x π=++， 函数sin y x =的递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由5222262k x k πππππ-<+<+，k Z ∈， 得236k x k ππππ-<<-，k Z ∈， 所以，()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 16.解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大． （Ⅱ）设事件A ：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨． 根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56， 其中超过55百万吨的月份有8个， 所以，82()123P A ==． （Ⅲ）X 的数学期望8EX =．17.（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，故1AC CC ⊥，由平面1CC D ⊥平面11ACC A ，且平面1CC D 平面111ACC A CC =， 所以AC ⊥平面1CC D ， 又1C D ⊂平面1CC D ， 所以1AC DC ⊥．（Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又90BAC ∠=︒，所以，如图建立空间直角坐标系A xyz -，依据已知条件可得(0,0,0)A，C，1C ，(0,0,1)B ，1(2,0,1)B，(1D ，所以1(2,0,0)BB =，(1BD =， 设平面1DBB 的法向量为(,,)n x y z =，由10,0,n BB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0,x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1y =，则z =0x =，于是(0,1,n =，因为M 为1DC中点，所以3(2M，所以3(2AM = ，由3((0,1,02AM n ⋅=⋅= ，可得AM n ⊥ ，所以AM 与平面1DBB 所成角为0， 即//AM 平面1DBB ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面1BB D的法向量为(0,1,n =．设BP BC λ=，[]0,1λ∈，则,1)P λ-，(11)DP λ=---．若直线DP 与平面1DBB 成角为3π，则|||cos ,|2||||n DP n DP n DP ⋅<>===⋅， 解得[]50,14λ=∉， 故不存在这样的点．18.解：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+可得函数()f x 定义域为(1,)-+∞．4(1)'()221a f x x a x -=-++22(1)(2)1x a x a x ⎡⎤+-+-⎣⎦=+， 令2()(1)(2)g x x a x a =+-+-，经验证(1)0g =，因为3a <，所以()0g x =的判别式222(1)4(2)69(3)0a a a a a ∆=---=-+=->， 由二次函数性质可得，1是函数()g x 的异号零点， 所以1是'()f x 的异号零点， 所以1x =是函数()f x 的极值点． （Ⅱ）已知(0)0f =，因为[]2(1)(2)'()1x x a f x x ---=+，又因为3a <，所以21a -<，所以当2a ≤时，在区间[]0,1上'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，所以有()0f x ≤恒成立；当23a <<时，在区间[]0,2a -上'()0f x >，所以函数()f x 单调递增， 所以(2)(0)0f a f ->=，所以不等式不能恒成立； 所以2a ≤时，有()0f x ≤在区间[]0,1恒成立．19.解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得110,1,x y =⎧⎨=⎩224,31.3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以AB 中点21(,)33M -， 于是直线OM 的斜率为113223=--．（Ⅱ）假设存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以||2AM =，||||11)1CM DM ⋅==，矛盾； 故可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程， 得2222(21)42(1)0k x k x k +++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122421k x x k +=-+，21222(1)21k x x k -=+，于是21212222(1)(1)222121y y x x k kk k k k ++=⋅+=⋅-+=++， 点M 的坐标为2222(,)2121k kk k -++，22(1)||21k AB k +===+. 直线CD 的方程为12y x k =-⋅，联立椭圆G 的方程，得222421k x k =+， 设00(,)C x y ，则2222200022141||(1)421k OC x y x k k +=+=+=+， 由题知，222||4||||4(||||)(||||)4(||||)AB CM DM CO OM CO OM CO OM =⋅=+-=-，即22222222228(1)41(41)4()(21)21(21)k k k k k k k +++=-+++，化简，得212k =，故k =，所以直线l 的方程为1)2y x =+，1)2y x =-+. 20.解：（Ⅰ）11a =，22a =. （Ⅱ）先证必要性：因为11a =，22a =，又1a ，2a ，…，n a 成等差数列，故n a n =，所以(1)()2n n S A +=； 再证充分性：因为12n a a a <<<…，1a ，2a ，…，n a 为正整数数列，故有11a =，22a =，33a ≥ ，44a ≥，…，n a n ≥，所以12(1)()122n n n S A a a a n +=+++≥+++=……， 又(1)()2n n S A +=，故m a m =（1m =，2，…，n ），故1a ，2a ，…，n a 为等差数列． （Ⅲ）先证明12m m a -∀≤（1m =，2，…，n ）． 假设存在12p p a ->，且p 为最小的正整数．依题意3p ≥，则121p a a a -+++ (2)112221p p --≤+++=-…，，又因为12n a a a <<<…，故当1(21,)p p k a -∈-时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即12m m a -∀≤（1m =，2，…，n ）成立．因此112201712221n n n a a a -=+++≤+++=-……，即22018n ≥，所以11n ≥．因为2017S =，则1212017n n a a a a -+++=-…，若20171n n a a -<-时，则当(2017,)n n k a a ∈-时，集合A 中不可能存在若干不同元素的和为k ，故20171n n a a -≥-，即1009n a ≤.此时可构造集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A =.因为当{}2,21k ∈+时，k 可以等于集合{}1,2中若干个元素的和；故当{}22222,21,22,23k ∈+++时，k 可以等于集合{}21,2,2中若干不同元素的和； ……故当{}88882,21,22,,2255k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2…中若干不同元素的和；故当{}4973,4974,,497511k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2,497…中若干不同元素的和；故当{}1009,10091,10092,,10091008k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2,497,1009…中若干不同元素的和， 所以集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A =满足题设，所以当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009．。
北京市海淀区高三第二学期期中练习(一模)数学(理)试卷(含答案)【精校】.doc
3分
（Ⅱ） f ( x) 3 sin 2x cos2 x
2sin(2 x ) 6
因为函数 y sin x 的单调递增区间为 2k
, 2k 2
（ k Z ）， 2
令 2k
2x
2k
2
6
（ k Z ）， 2
解得 k
xk
（ k Z ），
3
6
故 f ( x) 的单调递增区间为 [ k
,k
] （ k Z ） ········· 13 分
X ，求 X 的分布列；
( Ⅲ) 若 a b 108 ，设乙地上表 12 个月的空气月平均相对湿度的中位数为 M ，求 M 的最大值和最
小值．（只需写出结论）
( 17) （本小题 14 分）
已知三棱锥 P ABC （如图 1）的平面展开图（如图 2）中，四边三角形，在三棱锥 P ABC 中：
2 的正
(I) 证明：平面 PAC 平面 ABC ; ( Ⅱ ) 求二面角 A PC B 的余弦值；
( Ⅲ ) 若点 M 在棱 PC 上，满足 CM PM
12 ， [ , ] ，点 N 在棱 BP 上，且 BM AN ，
33
求 BN 的取值范围． BP
(18) （本小题 13 分）
已知函数 f ( x) ln x xa
海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（理科）
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题纸上， 考试结束后，将答题纸交回。
在试卷上作答无效。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。
2017-2018海淀区高三第一学期期中数学理科试卷及答案
ak 1 ak 1 2ak 恒成立，则称数列 A 为“ U 数列” ．
（Ⅰ）若数列 1 ， x ， y ， 7 为“ U 数列” ，写出所有可能的 x ， y ； （Ⅱ）若“ U 数列” A ： a1 ， a2 ，…， an 中， a1 1 ， an 2017 ，求 n 的最大值； （Ⅲ）设 n0 为给定的偶数，对所有可能的“ U 数列” A ： a1 ， a2 ，…， an0 ， 记 M max{a1 , a2 ,..., an0 } ，其中 max{x1 , x2 ,..., xs } 表示 x1 ， x2 ，…， xs 这 s 个数中最大的数，求 M 的最小值．
4
sin 1 4 2
……………………1 分
2 2
2 1 1 2
……………………2 分 ……………………3 分
1
（Ⅱ） f ( x) 2 2 cos x sin( x
) 1 4
……………………4 分
2 2 cos x (
2 2 sin x + cos x) 1 2 2
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海淀区高三年级第一学期期中练习
数学（理科）
第一部分（选择题，共 40 分）
2017.11
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后， 将答题纸交回。
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。
f ( x)最小 f (1) 1 a
② 当1 a e 时
…………………… 8 分
x
f '( x ) f ( x)
2017年北京市海淀区高三理科一模数学试卷
2017年北京市海淀区高三理科一模数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，则等于A. B.C. D. 或2. 已知复数，则“为纯虚数”的充分必要条件为A. B. C. ， D. ，3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.4. 设，若，则A. B. C. D.5. 已知，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.6. 已知曲线（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为A. B. C. D.7. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为A. B. C. D.8. 某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查；项目③：打开过程中（如图2），检查；项目④：打开后（如图3），检查；项目⑤：打开后（如图3），检查．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”A. ①②③B. ②③④C. ②④⑤D. ③④⑤二、填空题（共6小题；共30分）9. 若等比数列满足，，则公比 ______，前项和 ______．10. 已知，，满足的动点的轨迹方程为______．11. 在中，．① ______；②若，则 ______．12. 已知向量，，其中，，且，则向量和的夹角是______．13. 已知函数．若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是______．14. 已知实数，，，满足，则的最大值是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知是函数的一个零点．（1）求实数的值；（2）求的单调递增区间．16. 据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航．这是一个可以停靠万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约亿美元，公路投资约亿美元，铁路投资约亿美元，高架铁路投资约亿美元，瓜达尔港投资约亿美元，光纤通迅投资约为亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和，表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：月月月月月月月月月月月月天津上海（1）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（2）从表中个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞量之和超过百万吨的概率；（3）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过百万吨的概率，设为瓜达尔未来个月的月货物吞吐量超过百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）．17. 如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面．（1）求证：；（2）若为的中点，求证： 平面；（3）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为?若存在，求的值，若不存在，说明理由．18. 已知函数，其中实数．（1）判断是否为函数的极值点，并说明理由；（2）若在区间上恒成立，求的取值范围．19. 已知椭圆：，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点（1）若直线的斜率为，求直线的斜率；（2）是否存在直线，使得成立?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．20. 已知含有个元素的正整数集具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．（1）写出，的值；（2）证明：“，，，成等差数列”的充要条件是“”；（3）若，求当取最小值时的最大值．答案第一部分1. A2. D3. B4. B5. C6. C7. D8. B第二部分9. ；10.11. ；12.13.14.第三部分15. （1）由题意可知，即，即，解得．（2）由（1）可得函数的递增区间为，．由，，得，，所以，的单调递增区间为，．16. （1）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为亿，占总投资亿的以上，所占比重大．（2）设事件：从个月中任选一个月，该月超过百万吨．根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：，，，，，，，，，，，，其中超过百万吨的月份有个，所以，．（3）的数学期望．17. （1）在直三棱柱中，平面，故，由平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以．（2）在直三棱柱中，平面，所以，，又，所以，如图建立空间直角坐标系，，，，，，，所以，，设平面的法向量为，由即令，则，，于是，因为为中点，所以，所以，由，可得，所以与平面所成角为，即 平面．（3）由（2）可知平面的法向量为．设，则，．若直线与平面成角为，则，解得，故不存在这样的点．18. （1）由可得函数定义域为．，令，经验证，因为，所以的判别式，由二次函数性质可得，是函数的异号零点，所以是的异号零点，所以是函数的极值点．（2）已知，因为，又因为，所以，所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；当时，在区间上，所以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立；所以时，有在区间恒成立．19. （1）由已知可知，又直线的斜率为，所以直线的方程为，设，，由解得所以中点，于是直线的斜率为．（2）假设存在直线，使得成立．当直线的斜率不存在时，的中点，所以，，矛盾；故可设直线的方程为，联立椭圆的方程，得，设，，则，，于是，点的坐标为，直线的方程为，联立椭圆的方程，得，设，则，由题知，，即，化简，得，故，所以直线的方程为，．20. （1），．（2）先证必要性：因为，，又，，，成等差数列，故有，所以；再证充分性：因为，，，，为正整数数列，故有，，，，，，所以，又，故，故，，，为等差数列．（3）先证明，假设存在，且为最小的正整数．依题意，则，又因为，故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即成立，因此，即，所以．因为，则，若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，故，即，此时可构造集合．因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；所以集合满足题设．所以当取最小值时，的最大值为．。
北京市海淀区2017届高三上学期期中考试数学理试题(附答案)$723838
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区17届高三数学下学期期中试题文1708080138
北京市海淀区2017届高三数学下学期期中试题 文第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ）A ．{}|23x x <<B ．{}|1x x >C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC．D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ． 11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．第3个月第4个月租用a 型车 租用b 型车 租用a 型车60% 50% 租用b 型车 40% 50%若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21x g x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题 9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系； 选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ； 设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况， 所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=， 租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=，得2sin cos sin abB B B =，所以2cos a b B =．（Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =，因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=．18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高．因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=，因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=．（Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12ce a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ，所以||||||||BQ BMAB BP =，所以||1||2BM BP =．设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==，所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±，所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：x (,ln 2)-∞ ln 2 (ln 2,)+∞ '()g x - 0 + ()g x 极小值所以()g x 的最小值为ln2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-． （Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021xe x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24xf x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+，因为(1)30g e =-<，323()402g e =->，所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。
2017届北京市海淀区高三下学期期中考试(一模)数学文试题(word版)
2017届北京市海淀区高三下学期期中考试（一模）数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ）A ．{}|23x x <<B ．{}|1x x >C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC．D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21xg x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题9.2 10.2,15 11.4 12.3213.2，1214.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ；设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况， 所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=， 租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =，所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=， 得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =． （Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =， 因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =6B π=． 18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高． 因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=， 因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=． （Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ， 所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =． 设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==， 所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±， 所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-． （Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+， 因为(1)30g e =-<，323()402g e =->， 所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。
北京市海淀区2017届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向3．函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．44．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解5．已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期D．函f（x）在（0，）内是减函数8．如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A 为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．大于2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知数列{a n}的前n项和S n=3n+1，则a2+a3=．10．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．11．已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则•=．12．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为℃．13．设函数f（x）=（a＞0，且a≠1）．①若a=，则函数f（x）的值域为；②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是．14．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中：①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=是Ω函数的为．（填出所有符合要求的函数序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n满足b n﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b n取得最小值时n的值．16．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．18．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．（Ⅰ）求CD的长；（Ⅱ）求sin∠BAD的值．19．已知函数f （x ）=e x （x 2+ax +a ）．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a ≥4时，函数f （x ）存在最小值．20．已知数列{a n }是无穷数列，满足lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）若a 1=2，a 2=3，求a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）求证：“数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0”是“数列{a n }中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{a n }中∃a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量关系，判断即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以两个向量共线，反向．故选：D．3．函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．4【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式化简求解即可．【解答】解：函数y=2x+≥2=2，当且仅当x=时，等号成立．故选：C．4．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解．故选：A．5．已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质，用特殊值即可判断a、b、c的大小．【解答】解：根据函数的图象知，函数y=a x是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b是幂函数，且x=2时，y=2b∈（1，2），∴b∈（0，1）；函数y=log c x是对数函数，且x=2时，y=log c2∈（0，1），∴c＞2；综上，a、b、c的大小是c＞a＞b．故选：C．6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若|+|＞|﹣|，则等价为|+|2＞|﹣|2，即||2+||2+2•＞||2+||2﹣2•，即4•＞0，则•＞0成立，反之，也成立，即“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的充要条件，故选：C．7．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期D．函f（x）在（0，）内是减函数【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】根据奇偶性的定义，判断函数f（x）是偶函数；化简函数f（x），求出它的最小值为；化简f（x），求出它的最小正周期为；判断f（x）在x∈（0，）上无单调性．【解答】解：对于A，函数f（x）=cos4x+sin2x，其定义域为R，对任意的x∈R，有f（﹣x）=cos4（﹣x）+sin2（﹣x）=cos4x+sin2x=f（x），所以f（x）是偶函数，故A正确；对于B，f（x）=cos4x﹣cos2x+1=+，当cosx=时f（x）取得最小值，故B正确；对于C，f（x）=+=+=+=+=+，它的最小正周期为T==，故C正确；对于D，f（x）=cos4x+，当x∈（0，）时，4x∈（0，2π），f（x）先单调递减后单调递增，故D错误．故选：D．8．如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A 为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．大于2【考点】函数的图象．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段AB∥x轴，△ABC是等边三角形，x=log2（m﹣）=log2m﹣1，求出m的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设A，B的纵坐标为m，则A（log2m，m），B（log2m﹣2，m），∴AB=log2m﹣log2m+2=2，设C（x，2x），∵△ABC是等边三角形，∴点C到直线AB的距离为，∴m﹣2x=，∴x=log2（m﹣），∴x=（log2m+log2m﹣2）=log2m﹣1，∴log2（m﹣）=log2m﹣1=log2，∴m﹣=，解得m=2，∴x=log2（m﹣）=log2，函数f（x）=2x上的好位置点的个数为1个，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知数列{a n}的前n项和S n=3n+1，则a2+a3=24．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】直接利用数列的和，化简求解即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=3n+1，S1=31+1=4，S3=33+1=28，a2+a3=28﹣4=24．故答案为：24．10．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵角θ的终边过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinθ=﹣，则sin（θ﹣π）=﹣sinθ=，故答案为：．11．已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得=0，AD=AB=1，再根据•=（+）•（﹣），计算求得结果．【解答】解：由题意可得=0，AD=AB=1，∴•=（+）•（﹣）=﹣﹣=1﹣0﹣=，故答案为：．12．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为31℃．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据题意，把x、y的值代入函数解析式，列出方程求出函数y的解析式，再计算x=8时y的值即可．【解答】解：函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数），当x=6时y=22；当x=12时y=4；即，化简得，解得a=13，b=﹣18；∴y=13﹣18sin（x+），当x=8时，y=13﹣18sin（×8+）=31．故答案为：31．13．设函数f（x）=（a＞0，且a≠1）．①若a=，则函数f（x）的值域为（﹣，﹣]∪（0，+∞）；②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是[2，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据指数函数和对数函数的性质，分别求其值域，再求并集即可，（2）由题意可得a的不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（1）当a=时，若x≤1，则f（x）=2x﹣，则其值域为（﹣，﹣]，若x＞1，f（x）=log x，则其值域为（0，+∞），综上所述函数f（x）的值域为（﹣，﹣]∪（0，+∞），（2）∵f（x）在R上是增函数，∴a＞1，此时f（x）=2x﹣a的最大值为2﹣a，f（x）=log a x＞0，∴2﹣a≤0，解得a≥2，故a的取值范围为[2，+∞），故答案为：（1）：（﹣，﹣]∪（0，+∞），（2）：[2，+∞）14．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中：①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=是Ω函数的为①②．（填出所有符合要求的函数序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．【解答】解：容易判断①②③都是奇函数；y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；∴①②都在定义域R上单调递增；③在定义域R上没有单调性；设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）=0；a+b＞0时，a＞﹣b；∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）＞0；∴①②是Ω函数；对于函数③，a+b＞0时，得到a＞﹣b；∵f（x）不是增函数；∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．故答案为：①②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n满足b n﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b n取得最小值时n的值．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{a n}的通项公式可求；﹣b n=a n，利用累加法求得b n，结合二次函数求得b n取（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n+1得最小值时n的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知d=2，﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24，得a2=b3﹣b2=﹣6，再由b n+1则a1=a2﹣d=﹣6﹣2=﹣8，∴a n=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10；（Ⅱ）b n﹣b n=2n﹣10，+1∴b2﹣b1=2×1﹣10，b3﹣b2=2×2﹣10，…=2（n﹣1）﹣10（n≥2），b n﹣b n﹣1累加得：b n=b1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1）=b2﹣a1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1），=﹣10+=．∴当n=5或6时，b n取得最小值为b5=b6=﹣30．16．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，计算f（）的值即可；（Ⅱ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期与单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x，∴f（）=cos（﹣）﹣cos=﹣（﹣）=1；（Ⅱ）函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=cos2xcos+sin2xsin﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）；∴函数f（x）的最小正周期为T==π；由y=sinx的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）；令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，解得k π﹣≤x ≤k π+；∴函数f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，（k ∈Z ）．17．已知函数f （x ）=x 3﹣9x ，函数g （x ）=3x 2+a ．（Ⅰ）已知直线l 是曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线，且l 与曲线y=g （x ）相切，求a 的值；（Ⅱ）若方程f （x ）=g （x ）有三个不同实数解，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数和切线的斜率和方程，设l 与曲线y=g （x ）相切于点（m ，n ），求出g （x ）的导数，由切线的斜率可得方程，求得a 的值；（Ⅱ）记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣9x ﹣3x 2﹣a ，求得导数和单调区间，极值，由题意可得方程f （x ）=g （x ）有三个不同实数解的等价条件为极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=x 3﹣9x 的导数为f ′（x ）=3x 2﹣9，f （0）=0，f ′（0）=﹣9，直线l 的方程为y=﹣9x ，设l 与曲线y=g （x ）相切于点（m ，n ），g ′（x ）=6x ，g ′（m ）=6m=﹣9，解得m=﹣，g （m ）=﹣9m ，即g （﹣）=+a=，解得a=； （Ⅱ）记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣9x ﹣3x 2﹣a ，F ′（x ）=3x 2﹣6x ﹣9，由F ′（x ）=0，可得x=3或x=﹣1．当x ＜﹣1时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增；当﹣1＜x ＜3时，F ′（x ）＜0，F （x ）递减；当x ＞3时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增．可得x=﹣1时，F （x ）取得极大值，且为5﹣a ，x=3时，F （x ）取得极小值，且为﹣27﹣a ，因为当x →+∞，F （x ）→+∞；x →﹣∞，F （x ）→﹣∞．则方程f （x ）=g （x ）有三个不同实数解的等价条件为：5﹣a ＞0，﹣27﹣a ＜0，解得﹣27＜a ＜5．18．如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且BC=2CD ，AD=．（Ⅰ）求CD 的长；（Ⅱ）求sin ∠BAD 的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及等边三角形的性质可得AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理即可解得CD的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求BD=3CD=3，由正弦定理即可解得sin∠BAD的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，BC=2CD，∴AC=2CD，∠ACD=120°，∴在△ACD中，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD，可得：7=4CD2+CD2﹣4CD•CDcos120°，解得：CD=1．（Ⅱ）在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理，可得：sin∠BAD==3×=．19．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）结合（Ⅰ）得到函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），而x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）=e x[x（x+a）+a]＞0，从而求出f（x）的最小值是f（﹣2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（﹣2）即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x（x+2）（x+a），由f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=﹣a，①﹣a=﹣2即a=2时，f′（x）=e x（x+2）2≥0恒成立，∴函数f（x）在R递增；综上，时，函数（）在递增，＜时，（）在（﹣，﹣），（﹣a ，+∞）递增，在（﹣2，﹣a ）递减，a ＞2时，f （x ）在（﹣∞，﹣a ），（﹣2，+∞）递增，在（﹣a ，﹣2）递减；（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得：a ≥4时，函数f （x ）在x ∈[﹣a ，+∞）上f （x ）≥f （﹣2）， 且f （﹣2）=e ﹣2（4﹣a ）≤0，∵a ≥4，∴x ∈（﹣∞，﹣a ）时，x （x +a ）≥0，e x ＞0，x ∈（﹣∞，﹣a ）时，f （x ）=e x [x （x +a ）+a ]＞0，∴a ≥4时，函数f （x ）存在最小值f （﹣2）；法二：由（Ⅰ）得：a ≥4时，函数f （x ）在x ∈[﹣a ，+∞）上f （x ）≥f （﹣2）， 且f （﹣2）=e ﹣2（4﹣a ）≤0， x →﹣∞时，x 2+ax +a →+∞，∴f （x ）＞0，由（Ⅰ）可知，函数f （x ）在（﹣∞，﹣a ）递增，∴x ∈（﹣∞，﹣a ）时，f （x ）＞0，∴a ≥4时，函数f （x ）的最小值是f （﹣2）．20．已知数列{a n }是无穷数列，满足lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）若a 1=2，a 2=3，求a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）求证：“数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0”是“数列{a n }中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{a n }中∃a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由a 1=2，a 2=3，结合lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）可得a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）分必要性和充分性证明，充分性利用反证法证明；（Ⅲ）利用反证法，假设数列{a n }中不存在a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2，则0＜a k ＜1或a k ≥2（k=1，2，3，…）．然后分类推出矛盾得答案．【解答】（Ⅰ）解：∵a 1=2，a 2=3，lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），∴lga 3=|lg3﹣lg2|=，即；，即a 4=2；，即；（Ⅱ）证明：必要性、已知数列{a n }中有无数多项是1，则数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0．∵数列{a n }中有无数多项是1，∴数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得a k =1，即数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0．充分性：已知数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0，则数列{a n }中有无数多项是1．假设数列{a n }中没有无数多项是1，不妨设是数列{a n }中为1的最后一项，则a m +1≠1，若a m +1＞1，则由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得lga m +2=lga m +1， ∴lga m +3=|lga m +2﹣lga m +1|=0，则lga m +3=1，与假设矛盾；若0＜a m +1＜0，则由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得lga m +2=﹣lga m +1， ∴lga m +3=|lga m +2﹣lga m +1|=﹣2lga m +1，lga m +4=|lga m +3﹣lga m +2|=|﹣2lga m +1+lga m +1|=﹣lga m +1，lga m +5=|lga m +4﹣lga m +3|=|﹣lga m +1+2lga m +1|=﹣lga m +1，∴lga m +6=|lga m +5﹣lga m +4|=0，得lga m +6=1，与假设矛盾．综上，假设不成立，原命题正确；（Ⅲ）证明：假设数列{a n }中不存在a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2， 则0＜a k ＜1或a k ≥2（k=1，2，3，…）．由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得（n=1，2，3，…）*，且a n ＞0（n=1，2，3，…），∴当n ≥2时，a n ≥1，a n ≥2（n=3，4，5，…）．若a 4=a 3≥2，则a 5=1，与a 5≥2矛盾；若a 4≠a 3≥2，设b m =max {a 2m +1，a 2m +2}（m=1，2，3，…），则b m ≥2．由（*）可得，，，∴，即（m=1，2，3，…）， ∴，对于b 1，显然存在l 使得．∴，这与b m ≥2矛盾． ∴假设不成立，原命题正确．2016年11月17日。
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2017届北京市海淀区高三下学期期中考试（一模）数学理试题（word版）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|(1)0A x x x =+≤，集合{}|0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}|1x x ≥-B ．{}|1x x >-C ．{}|0x x ≥D ．{}|0x x >2.已知复数()z i a bi =+（a ，b R ∈），则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A ．220a b +≠B ．0ab =C ．0a =，0b ≠D ．0a ≠，0b =3.执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ）A ．0B ．3C ．6D ．84.设a ，b R ∈，若a b >，则（ ） A ．11a b< B ．22a b>C ．lg lg a b >D ．sin sin a b >5.已知1a xdx =⎰，12b x dx =⎰，0c =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.已知曲线C：22x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=，则实数a 的取值范围为（ ）A．22⎡-⎢⎣⎦B ．[]1,1-C．⎡⎣D ．[]2,2-7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A ．12B ．40C ．60D ．808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===； 项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===； 项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=︒； 项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若等比数列{}n a 满足245a a a =，48a =，则公比q = ，前n 项和n S = ． 10.已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，满足12||||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为 ． 11.在ABC ∆中，cos c a B =．①A = ；②若1sin 3C =，则cos()B π+= ． 12.若非零向量a ，b 满足()0a a b ⋅+=，2||||a b =，则向量a ，b 夹角的大小为 ．13.已知函数21,0,()cos ,0.x x f x x x π⎧-≥=⎨<⎩若关于x 的方程()0f x a +=在(0,)+∞内有唯一实根，则实数a 的最小值是 ．14.已知实数u ，v ，x ，y 满足221u v +=，10,220,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则z ux vy =+的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知3π是函数2()2cos sin 21f x x a x =++的一个零点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率； （Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X 的数学期望（不需要计算过程）．17.如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，90BAC ∠=︒，1AB =，12BC BB ==，1C D CD ==，平面1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证：1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BP BC 的值，若不存在，说明理由．18.已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <． （Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由； （Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立，求a 的取值范围．19.已知椭圆G ：2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20.已知含有n 个元素的正整数集{}12,,,n A a a a =…（12n a a a <<<…，3n ≥）具有性质P ：对任意不大于()S A （其中12()n S A a a a =+++…）的正整数k ，存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k ．（Ⅰ）写出1a ，2a 的值；（Ⅱ）证明：“1a ，2a ，…，n a 成等差数列”的充要条件是“(1)()2n n S A +=”； （Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时n a 的最大值．海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案一、选择题1-5:ADBBC 6-8:CDB二、填空题9.2，21n- 10.2213y x -= 11.90，13- 12.120 13.12- 14.三、解答题15.解：（Ⅰ）由题意可知()03f π=，即22()2cossin10333f a πππ=++=，即21()2()10322f a π=++=，解得a =（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()2cos 21f x x x =-+cos 222x x =+52sin(2)26x π=++， 函数sin y x =的递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．由5222262k x k πππππ-<+<+，k Z ∈， 得236k x k ππππ-<<-，k Z ∈，所以，()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 16.解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大． （Ⅱ）设事件A ：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨． 根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56， 其中超过55百万吨的月份有8个， 所以，82()123P A ==． （Ⅲ）X 的数学期望8EX =．17.（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， 故1AC CC ⊥，由平面1CC D ⊥平面11ACC A ，且平面1CCD 平面111ACC A CC =，所以AC ⊥平面1CC D ， 又1C D ⊂平面1CC D ， 所以1AC DC ⊥．（Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又90BAC ∠=︒，所以，如图建立空间直角坐标系A xyz -，依据已知条件可得(0,0,0)A，C，1C ，(0,0,1)B ，1(2,0,1)B，2)D ， 所以1(2,0,0)BB =，BD =， 设平面1DBB 的法向量为(,,)n x y z =，由10,0,n BB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0,x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则z =0x =，于是(0,1,n =，因为M 为1DC中点，所以3(2M，所以3(2AM =，由3((0,1,02AM n ⋅=⋅=，可得AM n ⊥， 所以AM 与平面1DBB 所成角为0， 即//AM 平面1DBB ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面1BB D的法向量为(0,1,n =． 设BP BC λ=，[]0,1λ∈，则,1)P λ-，(1)DP λ=---． 若直线DP 与平面1DBB 成角为3π，则|||cos ,|2||||24n DP n DP n DP ⋅<>===⋅， 解得[]50,14λ=∉， 故不存在这样的点．18.解：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+可得函数()f x 定义域为(1,)-+∞．4(1)'()221a f x x a x -=-++22(1)(2)1x a x a x ⎡⎤+-+-⎣⎦=+，令2()(1)(2)g x x a x a =+-+-，经验证(1)0g =，因为3a <，所以()0g x =的判别式222(1)4(2)69(3)0a a a a a ∆=---=-+=->， 由二次函数性质可得，1是函数()g x 的异号零点， 所以1是'()f x 的异号零点， 所以1x =是函数()f x 的极值点．（Ⅱ）已知(0)0f =，因为[]2(1)(2)'()1x x a f x x ---=+，又因为3a <，所以21a -<，所以当2a ≤时，在区间[]0,1上'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，所以有()0f x ≤恒成立； 当23a <<时，在区间[]0,2a -上'()0f x >，所以函数()f x 单调递增， 所以(2)(0)0f a f ->=，所以不等式不能恒成立； 所以2a ≤时，有()0f x ≤在区间[]0,1恒成立．19.解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得110,1,x y =⎧⎨=⎩224,31.3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以AB 中点21(,)33M -， 于是直线OM 的斜率为113223=--．（Ⅱ）假设存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以||2AM =，||||1)1CM DM ⋅==，矛盾； 故可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程， 得2222(21)42(1)0k x k x k +++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122421k x x k +=-+，21222(1)21k x x k -=+， 于是21212222(1)(1)222121y y x x k kk k k k ++=⋅+=⋅-+=++，点M 的坐标为2222(,)2121k kk k -++，22(1)||21k AB k +===+. 直线CD 的方程为12y x k =-⋅，联立椭圆G 的方程，得222421k x k =+， 设00(,)C x y ，则2222200022141||(1)421k OC x y x k k +=+=+=+， 由题知，222||4||||4(||||)(||||)4(||||)AB CM DM CO OM CO OM CO OM =⋅=+-=-，即22222222228(1)41(41)4()(21)21(21)k k k k k k k +++=-+++，化简，得212k =，故2k =±，所以直线l 的方程为1)y x =+，1)y x =+. 20.解：（Ⅰ）11a =，22a =. （Ⅱ）先证必要性：因为11a =，22a =，又1a ，2a ，…，n a 成等差数列，故n a n =，所以(1)()2n n S A +=； 再证充分性：因为12n a a a <<<…，1a ，2a ，…，n a 为正整数数列，故有11a =，22a =，33a ≥ ，44a ≥，…，n a n ≥，所以12(1)()122n n n S A a a a n +=+++≥+++=……， 又(1)()2n n S A +=，故m a m =（1m =，2，…，n ），故1a ，2a ，…，n a 为等差数列． （Ⅲ）先证明12m m a -∀≤（1m =，2，…，n ）．假设存在12p p a ->，且p 为最小的正整数．依题意3p ≥，则121p a a a -+++…2112221p p --≤+++=-…，，又因为12n a a a <<<…， 故当1(21,)p p k a -∈-时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即12m m a -∀≤（1m =，2，…，n ）成立． 因此112201712221n nn a a a -=+++≤+++=-……，即22018n≥，所以11n ≥．因为2017S =，则1212017n n a a a a -+++=-…，若20171n n a a -<-时，则当(2017,)n n k a a ∈-时，集合A 中不可能存在若干不同元素的和为k ， 故20171n n a a -≥-，即1009n a ≤.此时可构造集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A =. 因为当{}2,21k ∈+时，k 可以等于集合{}1,2中若干个元素的和；故当{}22222,21,22,23k ∈+++时，k 可以等于集合{}21,2,2中若干不同元素的和； ……故当{}88882,21,22,,2255k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2…中若干不同元素的和； 故当{}4973,4974,,497511k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2,497…中若干不同元素的和； 故当{}1009,10091,10092,,10091008k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2,497,1009…中若干不同元素的和，所以集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A =满足题设， 所以当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009．。