微积分基本定理与应用

§3.4定积分与微积分基本定理一、明确复习目标1． 直观了解微积分基本定理的含义． 2． 会求简单的定积分．3． 会用定积分的知识解决一些简单的应用问题．二．建构知识网络1.定积分的定义如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式____________________________．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作___________，在()b af x dx ⎰中，___ 和___ 分别叫做积分下限和积分上限，_______叫做被积函数， 叫做积分变量，___________叫做被积式． 2．定积分的性质 （1）()b ak f x dx ⎰＝_______________________________（k 为常数）；（2）12[()()]b af x f x dx ±=⎰_______________________________；（3）()b af x dx ⎰＝_______________________________（其中a c b <<）．3．微积分基本定理一般地，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()b af x dx ⎰＝__________________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式，可以把()()F b F a -记作________，即()b af x dx ⎰＝___________＝___________．4．通过定积分的运算可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于____________________； （2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于____________________； （3）当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于当位于x 轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为__；定积分的值等于位于x 轴上方的曲边梯形的面积______位于x 轴下方的曲边梯形的面积．4．定积分求曲边梯形面积如右图所示，由三条直线：()x a x b a b x ==<，，轴及一条曲线()()()0y f x f x =≥围成的曲边梯形的面积为S =____________：⑴ 若在 区间[],a b 上，()0f x ≤，则S =____________⑵ 若在 区间[],a c 上，()0f x ≥，在 区间[],c b 上，()0f x ≤，则S =____________5．匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数()()()0v v t v t =≥在时间区间[],a b 上的定积分，即s =____________6．变力作功公式 ：一物体在变力()F x （单位：N ）的作用下作直线运动，如果物体沿着()F x 与F 相同的方向从x a =移动()x b a b =<（单位：m ），则力F 所做的功为W =____________三、双基题目练练手1.下列值等于１的积分是( )1.A xdx ⎰ ()10.1B x dx +⎰ 10.1C dx ⎰ 101.2D dx ⎰2.()22sin cos x x dx ππ-+⎰的值 （ ）.0..2.44A B C D π3．如图，直线1y =与抛物线2y x =相交，则阴影部分面积为（ ）24..1..233A B C D4． 211ln xdx x ⎰= （ ）（ ）A ．21ln 22B ．C．2ln 2D ．ln25． 若11(2)3ln 2a x dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为 （ ）A ．6B ．4C ．3D ．26． 已知自由落体运动的速率v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路程为 （ ）A ．203gtB ．20gtC ．202gtD ．206gt7．()0d x F't t =⎰．四、经典例题做一做【例1】（1）221(21)x x dx ++⎰ （2）0(sin cos )x x dx π-⎰（3）2211()x x dx x-+⎰ （4）0(cos )x x e dx π-+⎰【例2】求两曲线2y x =和2y x =所围成图形的面积．【例3】一物体在做变速直线运动，其v t -曲线如图所示，求该物体在12s ～6s 间的运动路程．【例4】如图，阴影部分的面积是 （ ）A ．32B ．329-C ．332 D ．335 【例5】抛物线：()220y x ax a =->，若过原点的直线l 与抛物线所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程．五． 提炼总结以为师1．用定积分的定义求定积分的一般步骤：分割、近似代替、求和、取极限．要借助于求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想．2．用微积分基本定理求定积分：关键是找到()()F x f x '=满足的函数()F x ，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本初等函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出()F x ．3．利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．4．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形的直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．5．要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当()f x 0≤时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来，例如：当函数()f x 在区间[],a b 上恒为正时，定积分()b af x dx ⎰的几何意义是以曲线()f x 为曲边梯形的面积，一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图象以及之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方和面积取负号．6．体会定积分的化归和逼近的思想方法．同步练习1． 下列有定义的定积分为（ ）A ．111dx x-⎰B ．221cos dx x-⎰C ．42(2)dxx -⎰D ．2ln xdx ⎰2．（2007年山东潍坊）20sin xdx π=⎰（ ）A ．0B ．πC ．2πD ．4π 3．设a > 0，a ≠1，若⎰-=2022xx a dx a ，则a 等于（ ）A ．2-eB ．2eC ．21-e D ．21e4．（2007年广东潮州）已知()f x 为偶函数且60()8f x dx =⎰，则66()f x dx -=⎰（ ）A ．0B ．4C ．8D ．16 5．42xe dx -⎰的值等于 （ ）A ． 42e e --B ． 42e e +C ． 422e e +-D ． 422e e -+-6．（2007年广东汕头）220(42)(43)x x dx --=⎰7．使1()n F x x -'=成立的所有()F x 可以表示为()___________.F x =8．（2006年山东潍坊）汽车从A 处起以速度0()(/)v t v at m s =-（其中0,v a 均为正的常数）开始减速度行驶，至B 点停止，则A 、B 之间的距离____________().s m =9．由3x y =及x y 2=围成平面图形的面积，若选x 为积分变量，利用定积分应表达为 ；若选y 为积分变量，利用定积分应表达为 . 10．求下列定积分的值．（1）220|1|x dx -⎰； （2）0⎰；11.已知1220()(2)f a ax a x dx =-⎰，求()f a 的最大值．12.一质点在直线上从时刻0()t s =开始以速度243(/)v t t m s =-+运动．求（1）在4t s =的位置； （2）在4t s =内运动的路程．§3.3 定积分1.当n 无限趋近于+∞时，n 1(sin n π+sin nπ2+…+sinnn π)1(-)写成定积分的形式，可记为 . 答案π1π⎰sin x d x 2.10⎰1d x = . 答案 13.由曲线y =e x,x =0,y =2所围成的曲边梯形的面积为 （用定积分表示）.答案 21⎰ln y d y 或2ln 0⎰(2-e x)d x4.已知f (x )为偶函数且60⎰f （x ）d x =8，则66-⎰f （x ）d x = .答案 165.已知-1≤a ≤1，f （a ）=10⎰（2ax 2-a 2x ）d x ，求f （a ）的值域.解 f (a )= 10⎰(2ax 2-a 2x )d x=(332x a -222x a )|1=-22a +32a =-21(a -32)2+92.∵-1≤a ≤1，∴-67≤f （a ）≤92故f (a )的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-92,67例1 计算下列定积分（1）20⎰x (x +1)d x ;(2) 21⎰(e 2x+x1)d x ; (3) π0⎰sin 2x d x.基础自测解 （1）∵x （x +1）=x 2+x 且(31x 3)′=x 2,(21x 2)′=x , ∴20⎰x (x +1)d x =20⎰(x 2+x )d x=20⎰x 2d x +20⎰x d x =31x 3|20+21x 2|20 =(31×23-0)+(21×22-0)=314. (2)∵(ln x )′=x1,(e 2x )′=e 2x ·(2x )′=2e 2x, 得e 2x=(21e 2x)′ 所以21⎰（e 2x+x 1)d x =21⎰e 2x d x +21⎰x 1d x =21e 2x |21+ln x |21 =21e 4-21e 2+ln2-ln1=21e 4-21e 2+ln2. (3)由(sin2x )′=cos2x ·(2x )′=2cos2x ,得 cos2x =（21sin2x ）′, 所以π0⎰sin 2x d x =π0⎰（21-21cos2x ）d x =π0⎰21d x -21π0⎰cos2x d x =21x |π0-21（21sin2x ）|π0 =（2π-0）-21（21sin2π -21sin0）=2π. 例2 计算下列定积分（1）π20⎰|sin x |d x ;(2)20⎰|x 2-1|d x .解 （1）∵（-cos x ）′=sin x ，∴π20⎰|sin x |d x =π0⎰|sin x |d x +ππ2⎰|sin x |d x =π0⎰sin x d x -ππ2⎰sin x d x =-cos x |π0+cos x |ππ2=-（cos π-cos0）+（cos2π-cos π）=4.（2）∵0≤x ≤2，于是|x 2-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<-)10(1)21(122x x x x∴20⎰|x 2-1|d x =10⎰(1-x 2)d x +21⎰(x 2-1)d x=⎪⎭⎫ ⎝⎛-331x x |10+（31x 3-x ）|21=（1-31）+（31×23-2）-（31-1）=2. 例3 求函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2(2]2,1(]1,0[23x x x x x x 在区间［0，3］上的积分. 解 由积分性质知30⎰f (x )d x =10⎰f (x )d x +21⎰f (x )d x +32⎰f (x )d x =10⎰x 3d x +21⎰x 2d x +32⎰2xd x=44x |10+31x 3|21+2ln 2x |32=41+38-31+2ln 8-2ln 4 =2ln 4+1231. 例4 （14分）求定积分32-⎰2616x x -+d x .解 设y =2616x x -+, 即(x -3)2+y 2=25 (y ≥0). 5分 ∵32-⎰2616x x -+d x 表示以5为半径的圆的四分之一面积. 10分 ∴32-⎰2616x x -+d x =π425.14分1. 求0π-⎰(cos x +e x)d x .解 0π-⎰(cos x +e x)d x =0π-⎰cos x d x +0π-⎰e xd x=sin x |0π-+e x|0π-=1-πe 1.2.求40⎰（|x -1|+|x -3|）d x .解 设y =|x -1|+|x -3|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-)3(42)31(2)1(42x x x x x ∴40⎰(|x -1|+|x -3|)d x=10⎰(-2x +4)d x +31⎰2d x +43⎰(2x -4)d x =(-x 2+4x )|10+2x |31+(x 2-4x )|43=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤+--)32()2()21()10()1(211x x xx x x 求30⎰f (x )d x .解 30⎰f (x )d x =10⎰2(x +1)-1 d x +21⎰x d x +32⎰(2)x -1d x=2ln(x +1)|10+323x |21+ 321|)2(2ln 1-x=2ln2+32(22-1)+ )22(2ln 1-. 4. 10⎰（2)1(1--x -x ）d x = .答案42-π一、填空题1.定积分π30⎰x cos 1-d x = .答案 622.若y =f (x )与y =g (x )是［a ,b ］上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x =a ,x =b 所围成的平面区域的面积为 （用定积分表示）. 答案b a ⎰|f (x )-g (x )|d x3.定积分10⎰(32x+3x )d x = .答案23ln 4+ 4.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+,21,3,10,12x x x x 则20⎰f （x ）d x = .答案617 5.定积分22-⎰2(x 3+5x 5)d x = . 答案 06.根据π20⎰sin x d x =0推断，直线x =0，x =2π，y =0和正弦曲线y =sin x 所围成的曲边梯形的面积时，曲边梯形在x 轴上方的面积 在x 轴下方的面积.（用“大于”,“小于”,“等于”填空） 答案 等于7.若10⎰f (x )d x =1, 20⎰f (x )d x =-1,则21⎰f (x )d x = .答案 -2 8.定积分10⎰21x x +d x 的值是 .答案21ln2 二、解答题 9.求下列定积分的值 (1) 30⎰29x -d x ;(2)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤-10112x x x ，求11-⎰f (x )d x 的值.解 （1）30⎰29x -d x 表示以y =29x -与x =0,x =3所围成图形的面积，而y =29x -与x =0,x =3围成的图形为圆x 2+y 2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为49π. （2）∵f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤-10112x x x∴11-⎰f (x )d x =01-⎰x 2d x +10⎰1d x=31x 3|01-+x |10=31+1=34. 10.已知f （x ）=ax 2+bx +c ，且f （-1）=2，f ′（0）=0，10⎰f （x ）d x =-2，求a 、b 、c 的值. 解 由f （-1）=2，得a -b +c =2， ① 又f ′(x )=2ax +b , 由f ′(0)=0得b =0,②10⎰f (x )d x =10⎰(ax 2+bx +c )d x=(31ax 3+2b x 2+cx )|10 =31a +21b +c . 即31a +21b +c =-2， ③由①②③得：a =6,b =0,c =-4.11.已知f (a )= 10⎰(2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解 10⎰(2ax 2-a 2x )d x =(32ax 3-21a 2x 2)|10=32a -21a 2即f (a )= 32a -21a 2=-21（a 2-34a +94）+92 =-21（a -32）2+92. 所以当a =32时，f (a )有最大值92. 12.(2009·青岛模拟)对于函数f (x )=bx 3+ax 2-3x .（1）若f (x )在x =1和x =3处取得极值，且f (x )的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t -23cos 2t +3,试求实数t 的取值范围；（2）若f (x ）为实数集R 上的单调函数，且b ≥-1,设点P 的坐标为（a ,b )，试求出点P 的轨迹所围成的图形的面积S .解 （1）由f (x )=bx 3+ax 2-3x , 则f ′(x )=3bx 2+2ax -3,∵f （x ）在x =1和x =3处取得极值， ∴x =1和x =3是f ′(x )=0的两个根且b ≠0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯-=+b ba 33313231⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==312b a .∴f ′(x )=-x 2+4x -3.∵f (x )的图象上每一点的切线的斜率不超过2sin t cos t -23cos 2t +3,∴f ′(x )≤2sin t cos t -23cos 2t +3对x ∈R 恒成立，而f ′(x )=-(x -2)2+1,其最大值为1.故2sin t cos t -23cos 2t +3≥1⇒2sin(2t -3π)≥1⇒2k π+6π≤2t -3π≤2k π+65π,k ∈Z ⇒k π+4π≤t ≤k π+127π,k ∈Z . （2）当b =0时，由f (x )在R 上单调，知a =0. 当b ≠0时，由f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立，或者f ′(x )≤0恒成立. ∵f ′(x )=3bx 2+2ax -3, ∴Δ=4a 2+36b ≤0可得b ≤-91a 2. 从而知满足条件的点P （a ,b )在直角坐标平面aOb 上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b =-91a 2与直线b =-1所围成的封闭图形， 其面积为S =33-⎰(1-91a 2)d a =4. §3.4 定积分的简单应用1.将由y =cos x ,x =0,x =π,y =0所围图形的面积写成定积分形式为 .答案 20π⎰cos x d x +|ππ2⎰cos x d x | 2.一物体沿直线以v =3t +2 (t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体在 3 s ～6 s 间的运动路程为 m.答案 46.53.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为 J. 答案 104.曲线y =cos x （ 0≤x ≤23π）与坐标轴所围成的面积是 . 基础自测答案 35.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ（x ）=x 3（取细棒的一端为原点，所在直线为x 轴），棒长为1，则棒的质量M 为 . 答案41例1 求抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积.解 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==x y xy 422解出抛物线和直线的交点为（2，2）及(8,-4).方法一 选x 作为积分变量，由图可看出S =A 1+A 2 在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y =x 2,下半支方程为y =-2x ，所以 S1A =20⎰［x 2-(-x 2)］d x =2220⎰x21d x=22·32x23|20=316， S 2A =82⎰［4-x -(-x 2)］d x =(4x -21x 2+322x23)|82=338, 于是：S =316+338=18. 方法二 选y 作积分变量，将曲线方程写为x =22y 及x =4-y .S =24-⎰[（4-y ）-22y ]d y =(4y -22y -63y )|24- =30-12=18.例2 （14分）如图所示，直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值.解 抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标x 1=0,x 2=1,所以抛物线与x 轴所围图形的面积 S =10⎰（x -x 2）d x =(3232x x -)|1=21-31=61. 6分抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为 x 1′=0,x 2′=1-k ,9分所以2S =k -⎰10（x -x 2-kx ）d x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32132x x k |k-10 =61(1-k )3， 12分又知S =61，所以(1-k )3=21， 于是k =1-321=1-243. 14分例3 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程.解 由速度—时间曲线易知，v （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈]60,40[905.1)40,10[30)10,0[3t t t t t由变速直线运动的路程公式可得s =100⎰3t d t +4010⎰30d t +6040⎰(-1.5t +90)d t=23t 2|100+30t |4010+（-43t 2+90t ）|6040 =1 350 (m).答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.1.求抛物线y 2=x 与直线x -2y -3=0所围成的平面图形的面积S .解 方法一 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0322y x x y 得抛物线与直线的交点为P （1，-1），Q （9，3）（如图）.∴S =10⎰［x -(-x )］d x +91⎰(x -23-x )d x =210⎰x d x +91⎰(x -2x +23)d x =343x|10+（32x 23-42x +x 23|91=34+328=332.方法二 若选取积分变量为y ，则两个函数分别为x =y 2,x =2y +3.由方法一知上限为3，下限为-1. ∴S =31-⎰(2y +3-y 2）d y =（y 2+3y -31y 3)|31- =(9+9-9)-(1-3+31)=332. 2.如图所示,阴影部分的面积是 .答案332 3.一物体按规律x =bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x =0运动到x =a 时，阻力做的功. 解 物体的速度v =x ′(t )=(bt 3)′=3bt 2,媒质阻力f 阻=kv 2=k ·（3bt 2）2=9kb 2t 4.(其中k 为比例常数，k ＞0)当x =0时，t =0，当x =a 时，t =t 1=31⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ,∴阻力做的功是：W 阻=a 0⎰f 阻d x =10t⎰kv 2·v d t=k 10t⎰v 3d t =k 10t⎰（3bt 2）3d t=727kb 371t =727k 327b a =727ka 232ab .一、填空题1.如图所示，阴影部分面积为 .答案 c a ⎰［g (x )-f (x )］d x +bc ⎰［f (x )-g (x )］d x2.设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈],2,1(,2],1,0[,2x x x x 则20⎰f （x ）d x = .答案65 3.设f (x )=x0⎰sin t d t ,则f （f （2π））= . 答案 1-cos14.一物体在力F （x ）=⎩⎨⎧>+≤≤)2(43)20(10x x x (单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =4（单位：m)处，则力F （x ）做的功为 J.答案 465.一物体在变力F (x )=5-x 2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F (x )成30°方向作直线运动,则由x =1运动到x =2时F (x )做的功为 J. 答案334 6.函数F (x )=x0⎰t (t -4)d t 在［-1,5］上的最大值为 ，最小值为 .答案 0 -3327.汽车以v =3t +2 (单位：m/s ）作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是 m. 答案 6.58.若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x =5, 10⎰xf (x )d x =617,那么函数f (x )的解析式是 . 答案 f (x )=4x +3 二、解答题9.证明：把质量为m （单位：kg ）的物体从地球的表面升高h (单位：m)处所做的功W =G ·)(h Mmh+k k ，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径.证明 根据万有引力定律：知道对于两个距离为r ,质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力为f （r ）=G ·221r m m ，其中G 为引力常数.则当质量为m 的物体距地面高度为x (0≤x ≤h )时，地心对它的引力f （x ）=G ·2)(x Mm +k .故该物体从地面升到h 高处所做的功为W =h 0⎰f （x ）d x =h 0⎰G ·2)(x Mm +k ·d x=GMm h 0⎰2)(1x +k d （k +x ）=GMm ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x k 1|h 0=GMm ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-k k 11h=G ·)(h Mmh+k k .10.设函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在点x =1处有极值-2. （1）求常数a ,b 的值；（2）求曲线y =f (x )与x 轴所围成的图形的面积. 解 （1）由题意知f ′(x )=3x 2+2ax +b , f (1)=-2且f ′(1)=0,即⎩⎨⎧=++-=++02321b a b a ，解得a =0,b =-3, 即f (x )=x 3-3x .(2)作出曲线y =x 3-3x 的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3-3x =0得曲线y =x 3-3x 与x 轴的交点坐标是(-3,0),(0,0)和(3,0)，而y =x 3-3x 是R 上的奇函数，函数图象关于原点中心对称.所以(-3,0)的阴影面积与(0, 3)的阴影面积相等. 所以所求图形的面积为 S =230⎰［0-(x 3-3x )］d x=-2（41x 4-23x 2）|30=29. 11.如图所示，抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的两交点为A 、B ，点P 在抛物线上从A 向B 运动. （1）求使△PAB 的面积最大的P 点的坐标(a ,b );(2)证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x =a 分为面积相等的两部分. （1）解 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 342，得x 1=1,x 2=-4.∴抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的交点为 A （1，3），B （-4，-12），∴P 点的横坐标a ∈(-4,1). 点P （a ,b )到直线y =3x 的距离为d =22313+-b a ,∵P 点在抛物线上，∴b =4-a 2，a d '=101·(4-3a -a 2)′=101 (-2a -3)=0,∴a =-23，即当a =-23时，d 最大， 这时b =4-49=47, ∴P 点的坐标为（-23,47）时，△PAB 的面积最大. （2）证明 设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S , 位于x =-23右侧的面积为S 1. S =14-⎰（4-x 2-3x )d x =6125, S 1=123-⎰（4-x 2-3x )d x =12125, ∴S =2S 1,即直线x =-23平分抛物线与线段AB 围成的图形的面积. 12.在区间［0，1］上给定曲线y =x 2，试在此区间内确定点t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小. 解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y =x 2与x 轴、直线x =t 所围成的面积，即S 1=t ·t 2-t 0⎰x 2d x =32t 3. S 2的面积等于曲线y =x 2与x 轴、x =t ,x =1围成的面积减去矩形面积， 矩形边长分别为t 2，（1-t ），即 S 2=1t ⎰x 2d x -t 2(1-t )=32t 3-t 2+31. 所以阴影部分的面积S 为 S =S 1+S 2=34t 3-t 2+31（0≤t ≤1）. ∵S ′(t )=4t 2-2t =4t (t -21)=0时，得t =0，t =21. 当t =21时，S 最小，∴最小值为S (21)=41.。