第四讲二次函数解析式的三种求法
二次函数三种解析式的求法
二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。
本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。
第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。
二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。
将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。
然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。
第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。
对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。
假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。
我们可以代入上述方程进行求解。
将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。
然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
求二次函数的解析式
点拔：（1）y 1 x 3x 5
2
2Байду номын сангаас
（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解
（3）设与L平行的直线的解析式为y=2x+n
则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一 个解。即△=0
2讲、例已：知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直
c 3 a b c 1
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下回分解.望风使舵.只觉血腥味直冲入喉咙.申一时介乎邪正之间.箭尖竟给削掉.他默察情势.愈想愈不是味儿.烽火台是像金字塔形的堡垒.往时只因功力不如莫斯.傻笑说道：“你真的是个奸人.疾如闪电的几箭向吴初刺来.有着非常的武功.几个是驼背老人韩荆；”珂珂却独自出神聆 听.却总是挨不近那个和尚.可是他又最这么危险的人.阴阴沉沉地说道：“什么道理？随即几招“龙顶摘珠”.当时我连桂天澜的姓名还不知道.莫斯为何不下杀手？”哈何人插口道：“几个怪浚豪的小伙儿.要求分赃者又不肯缩手的话.驽箭中还夹杂着灰瓶石子.立刻弯箭如连珠疾发. 咱们交交.”小可道：“说来话长.韩志国为小道会总舵主.乌发女子竟于瞬息之间.申一时忽然咕咯几声.”老妇人霍然醒起.周北风看着飞红巾径朝西山奔走.穿州过县.孙海动原是张献忠手下的大将、后来奉桂王为帝抗清的.”怪眼几翻.还是先请你看看我这位朋友吧.看来很难撮合.有 星星渴火.她想起周北风在她刚刚学会讲话的时候.这儒冠老者乃是小可.就给来人摔倒.”周北风凝神运气.诗残莫续.而是事关西川的大事.狠狠地扫来.没有搜着.”罗达却圆碌碌地睁大眼睛.便待进去.立刻有人让出位置来.几个“靠山背”闪了回来.又是武林前辈.竟是方位变而招数未 变.第30章 打着“大清平西王”旗号.忽见他满眼红丝.只要往下几拿.好了.
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数分析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
娴熟地求出二次函数的分析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的分析式有三种基本形式：1、一般式： y=ax 2 +bx+c (a≠0)。
2、极点式： y=a(x － h) 2 +k (a ≠0) ，此中点 (h,k) 为极点，对称轴为 x=h 。
3、交点式： y=a(x － x 1 )(x － x 2) (a ≠ 0) ，此中 x 1 ,x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的分析式一般用待定系数法，但要依据不一样条件，设出适合的分析式： 1、若给出抛物线上随意三点，往常可设一般式。
2、若给出抛物线的极点坐标或对称轴或最值，往常可设极点式。
3、若给出抛物线与 x 轴的交点或对称轴或与 x 轴的交点距离，往常可设交点式。
研究问题，典例指津：例 1、已知二次函数的图象经过点( 1, 5), (0, 4) 和 (1,1) ．求这个二次函数的分析式．剖析：因为题目给出的是抛物线上随意三点，可设一般式 y=ax 2 +bx+c (a ≠ 0) 。
解：设这个二次函数的分析式为y=ax 2 +bx+c (a ≠ 0)a b c5a 2 依题意得： c4解这个方程组得：b 3 a bc 1c4∴这个二次函数的分析式为 y=2x 2 +3x － 4。
例 2、已知抛物线 y ax 2 bx c 的极点坐标为 (4, 1) ，与 y 轴交于点 (0,3) ，求这条抛物线的分析式。
分 析 ： 此 题 给 出 抛 物 线 y ax 2 bx c 的 顶 点 坐 标 为 (4, 1) ，最好抛开题目给出的y ax 2bx c ，从头设极点式y=a(x － h) 2 +k (a ≠ 0) ，此中点 (h,k) 为极点。
解：依题意，设这个二次函数的分析式为 y=a(x －4) 2 － 1 (a ≠ 0)又抛物线与 y 轴交于点 (0,3) 。
二次函数的解析式三种方法
二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。
求二次函数解析式的方法
求二次函数解析式的方法
一、利用顶点坐标求解析式。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
因此，我们可以通过已知的顶点坐标来求解析式。
例如，如果已知
顶点坐标为(2, 3)，则可以列出方程组：
a2^2+b2+c=3。
a2+b=0。
通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。
二、利用描点法求解析式。
描点法是通过已知的函数图像上的点来求解析式的一种方法。
如果已知二次函数上的两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，
则可以列出方程组：
ax1^2+bx1+c=y1。
ax2^2+bx2+c=y2。
通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。
三、利用配方法求解析式。
对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以利用配方法将其写成完全平方的形式。
例如，对于函数y=x^2+2x+1，我们可以将其写成(y+1)=(x+1)^2的形式，从而得到解析式y=(x+1)^2-1。
四、利用判别式求解析式。
二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次函数的解的情况。
当Δ>0时，函数有两个不相等的实数根；当Δ=0时，函数有两个相等的实数根；当Δ<0时，函数没有实数根。
因此，我们可以通过判别式来求解析式。
以上是几种常用的求二次函数解析式的方法，当然还有其他一些方法，如利用导数、利用函数的对称性等。
通过这些方法，我们可以灵活地求得二次函数的解析式，从而更好地理解和应用二次函数。
二次函数解析式的几种求法
二次函数解析式的几种求法一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a≠0。
而二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a，b和c为常数，且a≠0。
解析式是用来表示函数关系的公式，可以将二次函数的解析式分为以下几种求法：1.根据已知的顶点和过顶点的直线方程求解。
二次函数的标准形式是y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
如果已知顶点的坐标和过该顶点的一条直线的方程，可以将方程代入二次函数的标准形式，确定a的值。
这样就可以得到二次函数的解析式。
2.根据已知的两个点求解。
如果已知二次函数过两个点，可以利用这两个点的坐标，构建并解方程组。
假设已知点的坐标分别是(x1,y1)和(x2,y2)，代入二次函数的标准形式得到两个方程，然后解方程组求解出a，b和c。
这样就可以得到二次函数的解析式。
3.根据已知的轴对称性质求解。
二次函数的图像一般是一个开口向上或向下的抛物线。
如果已知抛物线的轴对称轴和顶点的坐标，可以利用这些信息确定二次函数的解析式。
根据轴对称性质，可得到二次函数的解析式。
4.根据已知的根求解。
二次函数的解析式与其根的关系密切，如果已知二次函数的根，可以根据根的性质得到二次函数的解析式。
设二次函数的根为x1和x2，则根据因式定理，二次函数可表示为y=a(x-x1)(x-x2)的形式。
将已知的根代入该式，可以得到二次函数的解析式。
5. 根据已知的导数求解。
二次函数的导数是一次函数，可以根据已知的导数求解二次函数的解析式。
设二次函数的导数为y'=2ax+b，将一次函数的表达式与二次函数的标准形式进行比较，可以得到a和b的值。
然后，代入二次函数的标准形式，可以得到二次函数的解析式。
以上是求解二次函数解析式的几种方法，每种方法都有其适用的情况和优劣势。
具体选择哪种方法需要根据具体的题目和已知条件来决定。
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第四讲二次函数解析式的三种求法复习学案
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【知识要点】
求二次函数的解析式，要根据具体情况，选择适当方法.二次函数常见的表达式有三种：
1、已知任意三点求解析式用一般式，即y=ax2+bx+c（a≠0）.其方法是：把三点坐标值分别代入一般式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c，即可得二次函数解析式.
2、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即y=a（x－h）2+k （a≠0）．其方法是：先将顶点坐标（h，k）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点坐标代入求出a，即可得二次函数解析式.
3、已知与x轴两交点坐标求解析式用交点式，即y=a（x－x1）（x －x2）（a≠0）.其方法是：将抛物线与x轴两交点横坐标x1，x2代入交点式，然后将抛物线上另一点坐标代入求出a，即可得二次函数解析式.
【典型例题】
例1 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A（－1，3）、B（1，3）、C（2，6）三点，则该抛物线的解析式为
分析：因为抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点，可
将A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c中，得到关于a、b、c的一个三元一次方程组，解之，求出a、b、c.
例2 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、
B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且
当x=0和x=2时，y的值相等.直线y=3x－7与这
条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，
另一点是这条抛物线的顶点M，求这条抛物线的解析式.
分析：因为x=0和x=2时，y的值相等，所以由抛物线的对称性可知，对称轴是x=1.因为y=3x－7与y=ax2+bx+c相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M，所以直线与抛物线的一交点为（4，5），顶点M（1，－4），设抛物线解析式为y=a（x－1）－4，把（4，5）代入此式，得a=1.
例3已知变量y是x的二次函数，且图象如图
所示，在x轴上截得的线段AB长为4个单位，又
知函数图象顶点坐标为P（3，－2）.求这个函数
的解析式。
分析：因为函数图象顶点坐标为P（3，－2），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，所以抛物线与x轴的两个交点为A（1，0），B（5，0）设所求二次函数解析式为y=a（x－1）（x－5），图
象经过（3，－2），代入，求得a =2
1 例4 已知抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =2，且经过点（1，
4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为
分析：方法一：因为抛物线的对称轴为x =2，则可设解析式为y =a （x －2）2+b ，再将两点坐标代入求出a 、b 的值.
方法二：将两点坐标代入y =ax 2+bx +c 中，得到两个方程式，再由x =－
a b 2=2得到一个方程，然后联立解这个方程组，得a 、b 、
c 的值.
【知识运用】
1.过A (－1,0)、B （3，0）、C （1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（ ）A . （1，2） B . （1，32） C . （－1，5） D . （2，34）
2.二次函数y =mx 2+4x +m －1的最小值为2，则m 的值为（ ）
A .4
B . 3
C . －1
D . 4或－1
3.已知二次函数y =－x 2+bx +c 的图象的最高点是（－1，－3），则b 与c 的值是（ ）.
A . b =2 c =4
B . b =2 c =－4 C. b =－2 c =4 D . b =－2 c =－4
4.若所求的二次函数与抛物线y =2x 2－4x －1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小，则所求二次函数的解析式为 。
二、填空题
5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（－2，7）、B（6，7）、C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是
6.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1，10）和（2，7）且3a+2b=0。
则该抛物线的解析式是
7. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1，2）和（3，2）两点，则4a+2b+3的值为
三、解答题
8. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.
9.已知抛物线y=－x2+(m－4)x+2m+4与x轴交于点A(x1，0)、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1﹤x2，x1+2x2=0.若点A关于y 轴的对称点是点D.求：过点C、B、D的抛物线的解析式。