基于不同动力引力辅助模型的木星转移轨道设计
带脉冲的三维引力辅助变轨研究
带脉冲的三维引力辅助变轨研究贾建华;吕敬;王琪【摘要】在引力辅助过程中施加脉冲可以有效地改善变轨效果.目前只能对施加小脉冲的情况进行近似计算,当脉冲大于近拱点速度的1％时无法进行分析.针对这一问题,提出了一种解析分析方法,可以计算施加任意大小和方向脉冲的三维引力辅助变轨.基于二体问题,建立了带任意脉冲的三维引力辅助模型,采用8个相互独立的参数对模型进行描述,其中5个参数表征三维引力辅助、一个参数表征脉冲的大小、两个参数表征脉冲的方向;建立了一组坐标系,可以方便地对轨道进行描述;以施加脉冲为界,将轨道划分为前后两段,分别进行公式推导;应用双曲线轨道动力学与坐标变换等技术方法,可以将飞行器的位置矢量和速度矢量表示为上述8个参数的解析公式,进而可以求出变轨导致的速度、能量和轨道倾角的变化量.通过与基于圆型限制性三体问题的数值仿真结果进行对比,验证公式的有效性.应用导出的解析公式分析了施加脉冲的大小和方向对飞行器能量和轨道倾角的影响,并给出了相应规律.结果表明:以最大能量改变为优化目标,施加脉冲的最优方向往往并不是该点速度方向:轨道倾角受到脉冲方向的影响显著.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2016(048)002【总页数】10页(P437-446)【关键词】三维引力辅助;脉冲;变轨;二体问题;解析公式;最优方向【作者】贾建华;吕敬;王琪【作者单位】北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京100191;北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京100191;北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京100191【正文语种】中文【中图分类】V412015–06–14收稿，2015–11–10录用,2015–11–12网络版发表.1)国家自然科学基金资助项目(11372018).2)贾建华，博士生，主要研究方向：引力辅助机理及轨道设计研究.E-mail:*******************引用格式：贾建华,吕敬,王琪.带脉冲的三维引力辅助变轨研究.力学学报,2016,48(2):437-446Jia Jianhua,Lu¨ Jing,Wang Qi.Powered gravity assist in three dimensions.Chinese Journal of Theoretical and AppliedMechanics,2016,48(2):437-446引力辅助技术(gravity-assist)通过借助天体引力来实现飞行器变轨，不仅可以有效减少燃料消耗而且可以降低任务所需的发射能量[1]，因而是一种受到广泛关注的星际航行节能技术.自从1988年布鲁克[2]对引力辅助的开创性研究以来，经过一系列后续的发展，目前对引力辅助的机理研究已比较完备.当飞行器轨道与借力天体轨道共面时，为二维引力辅助.有人分别基于圆型与椭圆型限制性三体问题对二维引力辅助进行了研究[3-4].当飞行器轨道与借力天体轨道不共面时，为三维引力辅助.有人基于限制性三体问题对三维引力辅助进行了研究[5-8].文献[5-6]分析了引力辅助参数对飞行器轨道的影响；文献[7-8]将三维引力辅助轨道划分为16种类型，讨论了引力辅助参数对轨道类型、轨道能量和轨道倾角的影响.基于限制性三体问题导出的动力学方程不存在解析解，因此必须通过数值积分方法进行分析；而如果采用二体问题进行建模，虽然精度稍差但可以得到解析公式.有学者基于二体问题，推导了三维引力辅助变轨前后飞行器速度、能量、角动量和轨道倾角与引力辅助参数之间的解析公式[9-10].目前已经有多个任务利用引力辅助技术设计了行星际探测轨道，如水手10号、旅行者1号、旅行者2号、伽利略号、卡西尼号等[11].除了利用行星之外，还可以利用天然卫星进行引力辅助变轨，文献[12]通过木卫一引力辅助变轨进入木卫二的绕飞轨道，文献[13]利用伽利略卫星的引力辅助变轨来实现木星俘获或逃逸，文献[14]利用月球引力辅助变轨使得小行星被地月系统俘获.然而，仅仅通过引力辅助，飞行器相对于借力天体的速度和能量的改变都是有限的，常常不能满足实际任务的需求，尤其难以满足轨道拼接的C3匹配原则等较强的约束条件.针对这一问题，在引力辅助技术的基础发展出了其他的变轨方式，如小推力引力辅助[15-17]、气动引力辅助[18-20]和带脉冲的引力辅助等变轨技术.带脉冲的引力辅助变轨，即通过在引力辅助过程中对飞行器施加脉冲，改善引力辅助效果，以满足轨道拼接的C3匹配原则和其他的任务要求，可以显著提高引力辅助轨道设计的灵活性.有学者研究了在近拱点施加共面脉冲的二维引力辅助，采用10个参数对模型进行描述，给出了飞行器速度、能量和角动量的改变量与参数之间的解析方程[21].但上述10个参数并不是相互独立的，实际上只需5个参数就足够了；而且假设引力辅助过程所持续的时间为零，借力天体的位置和速度在引力辅助前后都是不变的，而实际上引力辅助变轨需要一小段时间，而在此过程中，借力天体的位置和速度都是变化的.还有人研究了带共面脉冲的二维引力辅助变轨的参数优化问题[22]，分析了参数变化对飞行器能量变化的影响，指出优化问题中的关键参数是脉冲的大小、脉冲与飞行器速度之间的夹角和飞越借力天体时的最小高度.有些学者基于限制性三体问题，采用对动力学方程进行数值积分的方法，分析了二维引力辅助中施加脉冲的最优方向[23-24].文献[25]对带脉冲的三维引力辅助进行了研究，推导过程中进行了一系列假设与近似，给出的分析只适用于小脉冲，只有当脉冲小于飞行器轨道速度的1%时才近似成立.当脉冲较大时，假设与近似不能成立，无法进行分析.对于在三维引力辅助过程中施加任意大小和方向的脉冲，目前尚无文献进行分析，使得在目前的轨道设计中[26-30]，一般仅能运用二维引力辅助，并只能施加共面脉冲.而实际情况中，飞行器轨道与借力天体轨道往往并不共面，而施加非共面脉冲可以在改变飞行器能量的同时改变轨道倾角，因此分析带脉冲的三维引力辅助具有重要意义.本文研究在近拱点施加任意大小和方向的脉冲的三维引力辅助变轨.首先采用8个独立参数对模型进行描述；然后建立分析问题的一组坐标系，推导飞行器的位置矢量和速度矢量与上述8个参数的解析公式；之后验证公式的有效性；最后分析施加脉冲的最优策略.如图1所示，M2绕M1的质心以圆轨道运动.M2为借力天体，飞行器M3从A 点进入M2的影响球(如果不施加脉冲，飞行器将沿双曲线轨道运动)，经过近拱点P时施加一个任意脉冲(大小方向均无限制)，之后飞行器沿轨道运动从C点离开M2的影响球.由于引力辅助变轨需要一段时间，在此期间借力天体的位置和速度会发生变化，因此需要对M2的运动进行描述.1.1带脉冲的三维引力辅助模型在本文中，带脉冲的三维引力辅助可以通过8个独立参数来描述：(1) VP1：施加脉冲之前，M3在P点时相对于M2的速度(P点为轨道的近拱点)；(2)α，β：表征近拱点的方向；α为P与M2质心的连线在xy平面的投影与x轴的夹角，β为P与M2质心的连线与xy平面的夹角; (3) rP：近拱点P的位置矢量；(4)γ1：速度VP1与L的夹角(记过P点平行于xy的平面为平面1，记过P点、向量VP1并且垂直于rP的平面为平面2，L为平面1与平面2的交线)；(5)δV：施加脉冲的大小；(6)ξ和η：表征施加脉冲的方向，ξ为δV与平面2的夹角；η为δV在平面2的投影与VP1之间的夹角.α,β,γ1,ξ和η的取值范围为：α∈[0◦,360◦)，β∈[−90◦,90◦]，γ1∈[0◦,180◦],ξ∈[−90◦,90◦],η∈[−180◦,180◦].1.2坐标系的建立借力天体的轨道、轨道处于不同平面内，为了方便，需要在不同的坐标系中描述.本文建立的坐标系如图2所示.坐标系1：惯性坐标系xyz .以M1的质心为原点；x轴为t = 0时刻(M3到达P 点时刻)M1和M2的连线；xy平面位于M2的运动平面.坐标系2：旋转坐标系x1y1z1.以M1的质心为原点；x1轴为任意时刻M1和M2的连线；x1y1平面位于M2的运动平面.z1轴符合右手定则.坐标系3：直角坐标系x2y2z2.以M2质心为原点；x2轴,y2轴,z2轴始终与x轴,y 轴,z轴平行.坐标系4：直角坐标系x3y3z3.以M2质心为原点；x3轴、y3轴分别与rP,VP1平行，z3轴符合右手定则.于是，轨道位于x3y3平面内.坐标系5：直角坐标系以M2质心为原点；轴、轴分别与rP,V2(V2为施加脉冲之后的飞行器速度在平面2中的投影)平行，轴符合右手定则.于是，轨道位于平面内. 下面推导飞行器在A和C点的位置矢量和速度矢量与8个引力辅助参数之间的解析公式.2.1计算飞行器在A点的速度和矢径当M3处于M2影响球内时，由于本文基于二体问题，由轨道动力学可知轨道为双曲线，并且处于rP和VP1所确定的平面内，即x3y3平面内.如图3所示.飞行器在A点的绝对速度为相对于M2的速度与牵连速度的矢量和，因此首先需要求出相对于M2的速度.2.1.1计算在坐标系x3y3z3下表示的飞行器在A点相对于M2的位置矢量和速度矢量vin为飞行器进入M2影响球时相对于M2的速度，用v∞1表示其大小.vin与双曲线渐近线共线，记vin与VP1的夹角为δ1,于是vin可表示为其中式中µ2为M2的引力参数.由轨道力学知其中，r为飞行器与M2的距离，h1为单位相对角动量，e1为双曲线轨道的偏心率，θ1为A点的真近点角.可得记M2的影响球半径为rSOI，则A处r = rSOI，得于是得到：A点矢径rin在直角坐标系x3y3z3中的表示为2.1.2计算在坐标系x2y2z2下表示的飞行器在A点相对于M2的位置矢量和速度矢量直角坐标系x3y3z3可由直角坐标系x2y2z2先绕z2轴旋转α角、再绕y2轴旋转−β角、最后绕x2轴旋转γ1角得到.由此可得到(x2,y2,z2)和(x3,y3,z3)之间的转换矩阵，进而可求得vin和rin在直角坐标系x2y2z2中的坐标表示[8].2.1.3计算在惯性坐标系中表示的飞行器在A点处的绝对速度矢量和位置矢量M2的位置与速度是随时间改变的，如图4所示.记A点时刻为：t =−t1.t1可由式(5)计算得到此时M2在惯性坐标系中的矢径r2in为速度向量v2in为其中，d为M2到原点的距离，ω为M2绕原点转动的角速度.由复合运动可知，飞行器在A点，相对于惯性坐标系的绝对速度vi和矢径ri分别为可得2.2计算飞行器在C点的速度和矢径2.2.1计算施加脉冲之后的近拱点速度施加脉冲之前，飞行器在近拱点P的速度为VP1，施加脉冲δV之后，记飞行器的速度为VP2.如图5所示，平面2为过P点和向量VP1并且垂直于rP的平面.δV在rP方向的投影为δV1，在平面2的投影为δV2.ξ为δV与平面2的夹角；η为δV2与VP1的夹角.V2为VP2在平面2中的投影.记V2与VP1的夹角为λ，与L的夹角为γ2.平面2内各矢量的关系如图6所示.于是可得V2为VP2在平面2中的投影V2与VP1的夹角为λ满足得λ的正负选择由以下规则决定：若sinη> 0，则若sinη< 0，则可得V2与L的夹角γ2=γ1+λ2.2.2计算在坐标系下表示的飞行器在C点相对于M2的位置矢量和速度矢量由轨道动力学可知后半段轨道为双曲线的一部分，整个变轨过程处于rP和VP2所确定的平面内，即平面内.如图7所示.计算飞行器在C点相对于M2的位置矢量和速度矢量，推导步骤如下第1步：vout的大小记为v∞2，计算v∞2第2步：计算后半段双曲线半长轴a第3步：计算角动量h、半正交弦p、偏心率e2.公式为第4步：计算施加脉冲之后的双曲线轨道中飞行器的真近点角f0.公式为f0的正负选取规则：若0◦<ξ< 180◦，则径向速度增加，意味着飞行器正在逃逸，因此飞行器已经经过近拱点，所以真近点角为正；若−180◦<ξ< 0◦，则径向速度减小，意味着飞行器正接近次要天体，因此飞行器正飞向近拱点，所以真近点角为负.第5步：由e2计算fLIM(后半段双曲线轨道渐近线和近拱点方向的夹角).公式为第6步：于是得到vout第7步：计算f1第8步：于是得到rout记δ2= fLIM−f0，θ2= f1−f0，式(19)和式(21)可以表示为2.2.3计算在坐标系x2y2z2下表示的飞行器在C点相对于M2的位置矢量和速度矢量直角坐标系可由直角坐标系x2y2z2先绕z2轴旋转α角、再绕y2轴旋转−β角、最后绕x2轴旋转γ2角得到.由此可得到(x2,y2,z2)和之间的转换矩阵[8]，进而可求得vout,rout在直角坐标系x2y2z2中的坐标表示.2.2.4计算在惯性坐标系中表示的飞行器在C点处的绝对位置矢量和速度矢量记飞行器离开M2影响球的时刻为：t = t2.t2可由式(24)计算得到t = t2时刻M2在惯性坐标系中的矢径r2out和速度向量v2out表达式分别为由复合运动可知，飞行器离开M2影响球时，相对于惯性坐标系的绝对速度vo和矢径ro为可得2.3各物理量的计算引力辅助变轨之后飞行器速度变化为飞行器能量变化为飞行器进入和离开M2影响球时的角动量分别为飞行器角动量改变为飞行器进入和离开M2影响球时的轨道倾角分别为飞行器轨道倾角改变为将式(9)、式(10)、式(27)、式(28)代入式(29)～式(32)可以得到完整但非常复杂的表达形式，篇幅所限此处不再展开.指定借力天体之后，µ2,rSOI,ω可通过查找天文数据得到.只要给8个引力辅助参数赋值，就可由上述公式计算飞行器的速度、能量、角动量、轨道倾角的改变量. 以上推导是基于二体问题，为了验证解析公式的有效性，与基于圆型限制性三体问题的数值积分方法进行对比.圆型限制性三体问题的无量纲化表述与数值计算方法在文献[3-8]中已有系统详细的论述.以在太阳-木星系统中借助木星引力辅助变轨为例，则µ2= 9.5384×10−4，rSOI= 6.1986×10−2，令rP= 1.37595×10−4，VP1= 4.0.表1将解析公式计算的结果与数值仿真结果进行了对比.可以看到，各项绝对误差均小于0.01，相对误差为千分之一量级.表明本文公式可以满足轨道设计的需要，从而可以避免进行数值积分.应用本文给出的公式，可以分析施加脉冲对引力辅助效果的影响.仍以太阳-木星系统为例.设置飞越木星的条件：rP= 1.37595×10−4，VP1= 4.0.此外还有6个参数，α,β和γ1表征是否三维引力辅助，δV,η和ξ表征施加脉冲的大小和方向.4.1脉冲大小和方向对飞行器能量的影响4.1.1二维引力辅助施加共面脉冲二维引力辅助意味着参数β= 0,γ1= 0，施加共面脉冲意味着参数η= 0.4.1.1.1 α对施加脉冲的最优方向的影响对于不带脉冲的引力辅助，有经典结论：前向飞越使飞行器能量减少，后向飞越使飞行器能量增加，即当α∈(0◦,180◦)时ΔE < 0，当α∈(180◦,360◦) 时ΔE > 0.对于带脉冲的引力辅助，α仍为重要参数，此外脉冲方向ξ也为关键参数，因此首先分析α和ξ对飞行器能量的影响.设置参数δV = 1.0和ξ∈[−90◦,90◦].图8所示是α分别为0◦,30◦,60◦,90◦,120◦,150◦和180◦时ΔE与ξ的关系图.图9所示是α分别为180◦,210◦,240◦,270◦,300◦,330◦和360◦时，ΔE与ξ的关系图.由图8和图9可得到以下结论：结论1：前向飞越使飞行器能量减少、后向飞越使飞行器能量增加的结论只对不带脉冲的引力辅助成立，对带脉冲的引力辅助不成立.结论2：对于施加共面脉冲的二维引力辅助，以最大能量改变为优化目标，施加脉冲的最优方向与α显著相关.当α∈[0◦,180◦]时，最优方向大于0◦,约为10◦左右；当α∈[180◦,360◦]，最优方向小于0◦,约为−10◦左右.4.1.1.2脉冲大小δV对施加脉冲的最优方向的影响施加脉冲的最优方向除与α相关外，也会受到脉冲大小δV的影响.仍取β= 0,γ1= 0,η= 0.ξ∈[−90◦,90◦]，δV∈[0,4.0].图10所示为α= 270◦时，ΔE关于ξ与δV的等高线图；图11所示为α= 90◦时，ΔE关于ξ与δV的等高线图.由图10和图11可知以下结论:结论3：施加脉冲方向一定的情况下，ΔE与δV正相关；结论4：当α= 270◦时，施加脉冲的最优方向小于0◦，并随δV的增大而略有减小；当α= 90◦时，施加脉冲的最优方向大于0◦，并随δV的增大而略有增大.总的来说，施加脉冲的最优方向对脉冲大小δV不敏感，而主要由参数α决定.4.1.2带任意脉冲的三维引力辅助图12所示为α= 270◦,β= 45◦,γ1= 60◦和δV = 1.0时，ΔE关于ξ与η的等高线图.图13所示为α= 90◦,β= 45◦,γ1= 60◦和δV = 1.0时，ΔE关于ξ与η的等高线图.由图12和图13可得结论5：ΔE出现两个尖点，表明施加脉冲与VP1方向基本一致时，效果最为明显.4.2脉冲大小和方向对飞行器轨道倾角的影响施加脉冲之后，飞行器的轨道能量改变的同时，轨道倾角也发生变化.三维引力辅助施加任意脉冲.设置参数α= 270◦,β= 45◦,γ1= 60◦和δV = 2.0，图14所示是ξ分别为−90◦,−60◦,−30◦,0◦,30◦,60◦,90◦时，Δi与η的关系图.图中两条直线分别对应ξ=−90◦与ξ= 90◦时情况，此时Δi为特定值，与η无关.从其他几条曲线可以看到，曲线关于η= 0对称，一般具有两个极大值和两个极小值，且极小值位于极大值内侧.Δi对脉冲方向ξ和η都非常敏感，因此，对于具体问题需要进行具体分析.本文采用8个参数对带任意脉冲的三维引力辅助问题进行了描述，提出了一套分析方法，推导了飞行器的位置矢量和速度矢量关于上述8个参数的解析公式，进而求得能量和轨道倾角的改变量.应用导出的解析公式分析了施加脉冲的大小和方向对飞行器轨道能量和轨道倾角的影响，讨论了施加脉冲的最优方向.研究结果表明：(1)脉冲方向一定的情况下，飞行器的能量变化与脉冲的大小正相关；(2)以最大能量改变为优化目标，施加脉冲的最优方向与该点的速度方向一般并不重合而是有一个小的夹角；(3)施加脉冲的最优方向与参数α显著相关，而对脉冲大小不敏感；(4)施加脉冲的方向对轨道倾角的影响显著.【相关文献】1 Strange NJ,Longuski JM.Graphical methods for gravity-assist trajectorydesign.Journalof Spacecraftand Rockets,2002,39(1):9-162 Broucke RA.The celestial mechanics of the gravity assist.In:Proc.of AIAA/AAS Astrodynamics Conference.Washington.D C:American Institute of Aeronautics and Astronautics,1988:69-783 Campagnola S,Skerritt P,Russell RP.Flybys in the 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第六届全国空间轨道设计竞赛冠军团队解法
第六届全国空间轨道设计竞赛冠军团队解法朱阅訸;罗亚中;贺波勇【摘要】第六届全国空间轨道设计竞赛题目乙是一个利用行星引力辅助最快飞出太阳系的轨迹优化问题,本文介绍了国防科学技术大学团队的求解方法.该方法先基于构建的推力方向固定的小推力引力辅助优化模型得到最优的引力辅助行星序列,再通过对优化模型的改进和推力方向的优化得到更进一步的解.求解结果表明该方法可以有效地优化出一条最快逃逸的轨道.【期刊名称】《力学与实践》【年(卷),期】2015(037)004【总页数】6页(P557-562)【关键词】轨道设计;竞赛;引力辅助;小推力;最快逃逸【作者】朱阅訸;罗亚中;贺波勇【作者单位】国防科技大学航天科学与工程学院,长沙410073;国防科技大学航天科学与工程学院,长沙410073;国防科技大学航天科学与工程学院,长沙410073【正文语种】中文【中图分类】V412.4全国空间轨道设计竞赛原名全国深空轨道设计竞赛，首届竞赛于2009年由中国力学学会和清华大学航天航空学院发起并组办［1］.该竞赛主要是面向航天动力学领域的学者和爱好者，问题求解涉及多目标多任务的探测序列确定、全局优化方法、小推力局部优化方法等技术难题［2］.与国际轨迹优化竞赛（Global TrajectoryOptim ization Com petition）类似，每一届比赛由上届比赛的冠军团队出题［3］.按照惯例，本届竞赛由中国力学学会和上届冠军西安卫星测控中心宇航动力学国家重点实验室组办［4］.与往届比赛不同的是，本届比赛有甲乙两道可选题目，题目甲是一个同时考虑日地月引力的多体动力学轨迹优化问题，题目乙是一个利用行星引力辅助最快逃逸太阳系的轨迹优化问题.作者代表国防科学技术大学航天科学与工程学院参加了本届空间轨道设计竞赛并获得了题目乙组的冠军.本文主要将国防科学技术大学团队求解题目乙的步骤以及解题过程方法作一个简要的介绍. 探测器于2025年1月1日至2055年12月31日之间任意时刻从地球出发逃逸太阳系，出发时刻认为探测器的日心位置在误差范围内与地球相同.运载火箭最大可为探测器提供大小为3 km/s的逃逸速度，方向任意选择.逃逸过程中可在任意时刻利用大行星的引力辅助效应，即飞越的瞬时获得大行星引力辅助所产生的速度增量.探测器的飞行轨道只受太阳引力影响，不考虑大行星及小天体引力（行星引力辅助除外）.设计一条最快飞离太阳系的轨道.起始时刻为地球轨道出发时刻，终端时刻为飞到距离日心40 AU处的时刻，要求飞出后的轨道偏心率不小于1.探测器最大载重2500 kg，其中燃料罐质量为燃料质量的5%，设备自重500kg，燃料质量可根据情况自由调整.推进系统只能采用下面两种方式中的一种：（1）电推进，比冲3000 s，推力最大值0.5N；（2）化学推进，比冲500s.2.1 推进方式选择采用化学推进时，加速过程近似为瞬时速度脉冲，燃料质量与速度增量的转换满足下式式中，m 0和m f分别为施加脉冲前后的质量，ΔV为脉冲的大小，I sp为推进比冲，g e为地球海平面的重力加速度.由于化学推进可以忽略脉冲作用时间，因此燃料质量越多所能提供的速度增量就越大，根据题中所给条件取最大载重质量2500 kg，代入式（1）中可求得化学推进方式的速度增量约为7.89km/s.采用电推进时，加速过程需要长时间的小推力作用，在作初步估计时也可采用脉冲方式计算，但由于推进过程中有引力损耗，需要乘一个转化因子K，K一般取经验值0.5～0.8.探测器初始质量还是取2500kg，可求得电推进方式的速度增量为23.67～37.87km/s.由于行星际飞行的时间很长，飞行器有足够的时间通过小推力方式获得更大的速度增量，因此考虑用小推力方式进行轨道设计.2.2 无引力辅助的轨道首先考虑不用引力辅助直接飞出去的情况，题目乙所评价的性能指标为最短飞离太阳系的时间，为了使探测器在更短的时间内增加到更大的速度，应该尽早地用掉所携带的燃料.另外，沿直线运动的物体若给定加速度大小和作用时间，要达到最好的加速效果应该沿着其速度方向加速.这里不妨先假设沿曲线运动的物体也有类似的特性.为了减少设计变量个数，根据上述直观判断和经验先设定一些值：（1）推力大小设为最大值0.5N；（2）积分步长取1天，积分过程中推力方向始终沿着速度方向；（3）探测器从地球轨道出发的逃逸速度大小取最大值3km/s，该情况下，整段轨道分为全力推进段和双曲线滑行段两个部分.其中这里的全力推进段定义为用最大推力一直沿着飞行器速度方向推进的轨道段，其动力学模型表示如下式中，r和v为航天器的位置和速度矢量，µ为太阳的引力常数，F max为最大推力，m为航天器当前时刻的质量.优化的设计变量只有4个，分别是出发时刻T0，决定逃逸速度方向角度的u和v，以及初始燃料质量m 0，指标函数为式中，Δt1为全力推进段飞行时间，Δt2为双曲线滑行段飞行时间.该情况下优化的结果约为6.726年，其黄道平面内的轨迹如图1所示.将该值作为基准，若使用行星的引力辅助效应，时间应该不大于6.726年.3.1 M GA-1DSM优化模型Izzo等提出了MGA（mu ltip le gravity assist）以及MGA-1DSM（multip le gravity assist using deep spacemaneuvers）两种不同的引力辅助优化模型［5］. MGA是单纯依靠行星引力辅助飞行的模型，MGA-1DSM则是在引力辅助天体之间还有一次脉冲机动.其中MGA-1DSM使用得更为广泛，虽然该模型设计变量较多，但不需要像MGA模型一样判断引力辅助条件是否满足，MGA-1DSM 模型简单描述如下：把每两次引力辅助之间的轨道记为一段，在一段轨道中，DSM之前的轨道采用Kep ler算法求解，DSM之后的轨道采用Lambert算法求解，若总共用了N-2次行星引力辅助，则MGA-1DSM模型的设计变量为变量个数为4N-2，N为包括地球在内的整个飞行过程中借力或是交会的大行星个数.式（4）中T0为出发时刻；V∞是出发时刻的双曲线剩余速度大小；Ti是和每个天体交会的时刻；ηi是0到1之间的一个系数；ηi（Ti-Ti-1）为Kep ler段飞行时间，（1-ηi）（Ti-Ti-1）为Lambert段飞行时间；r pi是用于计算引力辅助的近拱距；i bi是航天器相对引力辅助天体的倾角.MGA-1DSM模型的飞行过程如图2所示.3.2 M GA-LT-1DSM优化模型3.1 中给出的MGA-1DSM是基于脉冲方式推进的优化模型，为了使模型适用于小推力轨道，需要对原来的模型进行改进.首先把MGA-1DSM模型前一部分Kepler段用2.2中提到的全力推进段替换，后一部分Lambert段不变，保留Lambert段的目的是为了最后能交会上下一颗需要引力辅助的行星.另外，MGA-1DSM模型是以最后交会行星为终端条件的，而对于该问题来说终端条件要改为距离日心40 AU处.这里将改进后的优化模型称为MGA-LT-1DSM（multip le gravity assist using low thrust and deep spacemaneuvers），若总共用了N-1次行星引力辅助，则其设计变量为变量个数为4N+1，相比原来的MGA-1DSM模型，由于最后一颗行星由交会对象变成了引力辅助对象，设计变量中将增加最后一颗引力辅助行星的近拱距r pN 和相对倾角i bN以及探测器的初始质量m 0.MGA-LT-1DSM模型的飞行过程如图3所示.基于上述改进的模型，将指标函数设计成如下形式式中，ΔTi为两颗大行星之间的飞行时间，Δvi为Lambert段的初始速度脉冲，Δt1是从最后一颗引力辅助行星出来后的推进段飞行时间，Δt2是双曲线滑行段的飞行时间.该指标函数的设计目的是在优化总飞行时间的基础上，让各次中途施加的Lambert脉冲Δvi趋于0，从而实现脉冲轨道向小推力轨道的转化.如果优化的结果Lambert段时间也趋于0，也即系数ηi趋于1，那两颗行星之间的轨道段几乎都为全力推进段；如果优化的结果Lambert段时间不趋于0，那么两颗行星之间的轨道段还是分为两部分，前一部分为全力推进段，后一部分可近似看成Kep ler 滑行段.引力辅助轨道的设计大都是以节省探测器燃料为主要目的［6］，但本题目中所要设计和优化的引力辅助轨道主要是为了节省飞行时间，因此相对于燃料最优的引力辅助轨道，时间最优的轨道具有以下几个不同点：（1）探测器应该始终沿着日心距逐渐增大的方向飞行，即不会用处于地球轨道内的水星和金星进行引力辅助，因为用这两颗行星进行引力辅助虽然可以获得更大的速度，但要经历一个日心距先减小后增大的过程，这个过程的时间要近1个地球轨道周期，这对于时间最优的轨道来说是不划算的；（2）不宜使用同一颗行星进行多次引力辅助，也不宜用地球进行引力辅助.原因与第一点类似，因为用同一颗地球轨道外的行星多次引力辅助至少需要多加2个地球轨道周期的时间；（3）要尽可能地将更靠近地球的火星、木星和土星作为引力辅助对象，因为探测器越早获得引力加速，就能越快摆脱日心引力束缚.根据以上分析，可能的引力辅助序列将大大减少，为了方便，把可能用到的行星按轨道顺序依次标号，地球为3，火星为4，木星为5，土星为6，天王星为7，海王星为8.各行星轨道的周期和主要的几个大行星之间的会合周期如表1和表2所示.题目所给的地球出发时间为2025–2055年，该时间区间间隔太长，直接在整个区间内搜索非常困难，为此需要根据表1的行星周期和表2的行星会合周期将时间分段来进行搜索，区间间隔一般取略大于会合周期.若只用一颗行星进行引力辅助时，根据表2的信息，只有地球和火星的会合周期超过2年，地球与木星包括木星以外其他行星的会合周期都是略大于1年，因此可以将地--火的搜索区间设为800天，其他的搜索区间设为400天；用两颗包括两颗以上行星引力辅助时则需要先确定第一颗行星的时间窗口，再根据第一颗行星的窗口以及和后面行星的会合周期去继续搜索后面的行星是否还有匹配的窗口.根据上述原则，对3-4-∞，3-5-∞，3-6-∞，3-7-∞，3-8-∞，3-4-5-∞，3-4-6-∞，3-4-7-∞，3-4-8-∞，3-5-6-∞，3-5-7-∞，3-4-5-8-∞，3-4-6-7-∞等引力辅助序列分别进行了优化.其中3表示从地球出发，后面的数字表示对应的借力行星，∞表示飞到40 AU处，表3给出了上述引力辅助序列基于MGA-LT-1DSM模型优化得到的结果.从表3中可以看出3-4-5-∞序列得到的结果最优，为5.678年.其飞行轨迹如图4所示.超过4颗星的序列通过查看最后一颗星和之前序列的相位关系没有发现比较合适的出发窗口.除了几个用到天王星和海王星进行引力辅助的序列因为在到达这两个行星之前燃料已经用完外，上述多数引力辅助序列的优化结果均具有以下几个特点：（1）初始逃逸速度逼近3 km/s；（2）Lambert段初始脉冲Δvi趋于0；（3）ηi趋于1，也即Lambert段时间趋于0.这些特点说明了当两颗行星之间的轨道段全部为全力推进段时总时间更优.但是求解时发现用MGA-LT-1DSM模型进行优化无法获得完整的小推力轨道，Lambert 段的存在加上指标函数的特性使得优化得到的解总是存在一个很小的速度脉冲和一段很小的Lambert转移时间.若将速度脉冲忽略不计而直接用Kep ler算法预报Lambert段，则轨道终端点与行星的距离又无法满足引力辅助位置误差的要求.为此需要对引力辅助优化模型作进一步地改进.为了得到无脉冲的轨道，只能将Lambert段从原来的模型中去掉，这里将去掉Lambert段后的模型称为MGA-LT.若总共用了N-1次行星引力辅助，则其设计变量为变量个数为3N+2，相比MGA-LT-1DSM模型，由于没有了Lambert段，设计变量中减少了每两颗行星之间的时间系数ηi.分析原来的模型可以看出，Lambert段主要是起到一个瞄准下一颗要引力辅助行星的作用，确保探测器最后能与行星交会上.而改进后的MGALT模型本身是无法瞄准下一颗要引力辅助的行星的.因此，需要对指标函数进行重新设计，新的指标函数设计如下式中，di为推了ΔTi时间后探测器和引力辅助行星之间的距离；a为一个调整数量级的系数.该指标函数的设计思路是通过判断di是否小于10km来确定是否能用该颗行星进行引力辅助.题中给的位置允许误差为100 km，这里提高一个数量级是为了防止积分过程造成的误差影响最终的结果.该指标函数的设计目的是通过优化过程来不断减小di使之达到引力辅助条件，对距离di取对数是为了让优化过程更加平缓，因为实际求解时发现直接优化比取对数后优化更容易陷入局部最优.可以看出，该模型的特点主要是用指标函数的引导作用代替原模型中Lambert段的瞄准作用，使探测器最后能用上下一颗行星的引力辅助.其引导过程如图5所示. 虽然该指标函数结合MGA-LT模型可以得到完全由小推力推出来的轨道，但用指标函数代替模型引导对于优化来说难度增加了不少.因为指标函数引导实质上是一个基于优化算法引导的随机打靶过程，它不像Lambert算法一样最后肯定能打中目标.因此用该模型优化时需要以MGA-LT-1DSM模型下得到的结果作为初解，变量的取值范围以初解为中心展开，可根据优化情况适当调整.若变量的取值范围还是和MGA-LT-1DSM模型中设置的一样，会极大地增加打靶的难度，很容易陷入局部最优.在该模型下，可以得到一条从地球轨道出发，一直沿速度方向推到火星，获得火星合适的引力辅助加速后一直沿速度方向推到木星，获得木星合适的引力辅助加速后推完剩余燃料，然后沿双曲线飞出太阳系的轨道.优化的最短时间约为5.667年. 之前优化的结果都是基于这样一个假设：推力方向一直沿速度方向是最快的逃逸方向.图6给出了2.2节中原来无引力辅助的轨道和推力方向经实时优化后的轨道对比，两条轨道的其他参数设置都相同，包括初始出发时间，初始燃料质量，逃逸速度的大小和方向，飞行的总时间等，唯一的区别就是推进段的推力方向不同.图中推力方向实时优化的轨道终点处的位置是40.15 AU，要大于一直沿速度方向推的40 AU，这说明之前最优推力方向的假设是不对的，结果可以进一步地优化.上面实时优化推力方向的轨道由于其他参数都已给定，优化变量只有每个积分时刻的推力方向，虽然变量很多，问题还是比较直观的.但对于有引力辅助的轨道，若在MGA-LT模型的基础上对推力方向进行实时优化，本文所采用的改进DE算法很难解决如此高维复杂的问题.从图6对比的结果来看，虽然一直沿速度方向并非最优的推力方向，但其实最优推力方向与速度方向相差很小.因此，可以采用一种折中的方法来进一步逼近最优解.图7给出了折中优化方法的飞行过程，即在原来一直沿速度方向推的轨道段中间插入几段调整轨道段，通过优化调整段轨道的推力方向和飞行时间来进一步缩短总飞行时间.为了减小优化难度，调整段的初始时刻设为沿速度方向推一段固定时间后的时刻，因为调整段的飞行时间是需要优化的，固定初始时刻基本不会影响最后优化的结果.经多次尝试，实际优化时只在地球--火星轨道段中插入一段调整轨道效果最好，这样只比原来增加了3个设计变量，即调整段的两个推力方向和一个飞行时间，优化的最短时间是5.6355年.在火星--木星轨道段中插入一段或是在地球--火星之间插入多段都没有优化出更好的值.理论上说插入多段应该会存在更优的解，但随着优化变量增加，问题复杂度和优化难度也大大增加，优化算法很难收敛到更优的解.图8给出了增加一段调整段后的轨道与无调整段轨道的对比情况；表4给出了两条轨道几个任务参数的对比情况.结合图8和表4的信息可以看出，两条轨道的地球出发时刻、地球--火星段转移时间和火星--木星段转移时间都基本相同，因此在图8中两条轨道看上去基本重合，但加入调整段的轨道比原来多优化了近28 kg 的燃料，正是这部分燃料使得探测器在出了木星之后可以多推约17天的时间，达到更大的逃逸速度，从而比原来无调整段的轨道早了十多天到达距日心40 AU处. 第六届全国空间轨道设计竞赛题目乙是利用太阳系大行星的引力辅助效应设计一条最快逃逸出太阳系的轨道.本文通过对原有引力辅助优化模型进行不断改进，逐步将脉冲方式推进的轨道转化成了完全由小推力方式推进的轨道，并优化出了相应模型下的最优解.由于改进的引力辅助优化模型特性和优化算法优化能力的限制，本文最后得到的解只是一个近最优解，离全局最优解还有微小的差距，如何得到推力方向实时优化的全局最优解有待进一步地研究.全国空间轨道设计竞赛至今已成功举办了6届，每一届比赛都能涌现出许多好的设计思路和解题方法，参赛者们通过互相交流学习实现了共同进步与提高.希望能有更多更富趣味性和挑战性的题目在以后的竞赛中出现，推动轨迹优化理论和方法不断向前发展.【相关文献】1高扬.电火箭星际航行：技术进展、轨道设计与综合优化.力学学报，2011，43（6）：991-1019 2车征，李恒年，黄普等.中国空间轨道设计竞赛回顾.宇航动力学学报，2014，4（2）：33-363李俊峰，祝开建.2005～2009年国际深空轨迹优化竞赛综述.力学与实践，2010，32（4）：130-1374罗亚中，沈红新.第五届全国空间轨道设计竞赛总结.力学与实践，2014，36（3）：379-3825 V ink'o T，Izzo D.G lobal op tim ization heu ristics and test problem s for prelim inary spacecraft trajectory design.ACT Technical Report，20086唐国金，罗亚中，雍恩米.航天器轨迹优化理论、方法及应用.北京：科学出版社，2011。
精确动力学模型中的行星引力辅助轨道设计
ＤＯＩ ：１ ０ ． ３ ７ ８ ０ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０ — ７ ５ ８ Ｘ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ． Ｏ ０ １
１ 引 言
在深 空探 测任 务 中 ，往 往需要 通 过行 星引力 辅助 来达 到减少 燃料 消耗 的 目的 。在 利用行 星 引力 辅 助 的深空探 测任 务分 析 与初步 轨道 设计 中 ，通常采 用等 效脉 冲引力 辅 助模型 （ 下文 简称 “ 简化 模
引力辅 助对航 天器产 生的 等效脉 冲 Ａ Ｖ Ｇ Ａ 为
△＇ ， Ｇ Ａ 一 一 ’ 广一 一 ＇ ， ：
基于脉冲机动的引力辅助深空探测轨道设计
收 稿 日期 ：０ １１－８ ２ １－ ０ ０
作者简介 ： 侯艳伟 （９ ６ ） 西北工业大学 硕士研究生 ， １８ 一 ， 主要从 事深空探测的轨道设计与优化研究 。
・
４ ２・ ９
西
北
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大
学
学
报
第３ ０卷
中图分 类 号 ： ４ ２ ４ Ｖ １． １
进入 ２ １世纪 以来 ， 界各 航 天大 国掀 起 了第 二 世
次深 空探 测 的浪 潮 ， 星 作为 地球 的近邻 ， 火 自然 成 了
改善借力效果。Ｌ ｎｕｋ 分析 了单一 Ａ Ａ能获得 ｏｇｓｉ Ｇ 的最 大 速 度 脉 冲 ， 给 出 了可 行 的 Ａ Ａ 轨 迹 ’ ； 并 Ｇ ９
的 引力辅 助轨道优 化设计 流程 ， 出与等 高线 图法基 本一 致 的结果 。对 两种方 法 的结果进 行 比较 分 得 析， 验证 了施 加脉 冲机 动 的方法在 引力辅助轨道 设计 中的适 用性 。 关 键 词： 引力辅助 ， 传算 法 ， 冲机动 ， 高 线 图 遗 脉 等 文献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：０ ０２ ５ （ ０ ２ ０ －４ １０ １０ ．７ ８ ２ １ ）４０ ９ － ６
侯 艳伟 ， 晓 奎 ，张 岳
（ 西北工业大学 航天 学院 ， 陕西 西安
莹
７ ０７ ） １０ ２
摘 要 ： 以借 助金 星 引力 的火星探 测 器轨 道设 计 为背 景 ， 针对 借 力前后 可 能存在 的速度 不 匹配 问题 ， 提 出了一种施加 脉 冲机 动 的解决方 式。首 先 以借 力飞行 的基 本理 论为 基础 ， 导 了施加 脉 冲的 实现 推 过程 。其 次 ， 讨 了基 于等 高线 图的引力辅 助轨 道 设计 方 法 ， 探 当速 度 不 匹配时 ， 不存 在 无动 力的借 力
航天器的轨道设计与优化策略
航天器的轨道设计与优化策略当我们仰望星空，想象着那些在浩瀚宇宙中穿梭的航天器时，你是否曾想过它们的运行轨道是如何精心设计的？又如何通过不断优化来实现更高效、更安全的太空探索任务？航天器的轨道设计与优化策略是一门极其复杂但又充满魅力的科学，它融合了物理学、数学、工程学等多个领域的知识，是人类探索太空的重要基石。
要理解航天器的轨道设计，首先得明白什么是轨道。
简单来说，轨道就是航天器在太空中运行的路径。
这个路径可不是随意设定的，它需要考虑众多因素。
比如，航天器的任务目标是什么？是对地球进行观测，还是前往其他行星进行探测？不同的任务目标决定了航天器需要到达的位置和时间，从而影响轨道的选择。
地球的引力是影响航天器轨道的一个关键因素。
就像我们扔出一个球，它会受到地球引力的作用而落下。
航天器在太空中也会受到地球引力的影响，只不过由于其高速运动，能够保持在特定的轨道上。
但地球并不是一个完美的球体，其质量分布也不均匀，这就导致了引力的微小变化。
在轨道设计中，必须精确计算这些引力的影响，以确保航天器的轨道稳定。
除了地球引力，太阳、月亮以及其他行星的引力也不能忽视。
这些天体的引力会对航天器的轨道产生扰动，使得轨道发生变化。
比如，太阳的引力会导致航天器的轨道逐渐远离地球，而月亮的引力则可能引起轨道的微小摆动。
因此，在设计轨道时，需要充分考虑这些天体的引力作用，并通过数学模型进行精确计算。
另一个重要的因素是航天器的动力系统。
不同的动力系统能够提供不同的推力和能量，从而影响航天器的轨道能力。
例如，使用化学燃料的火箭发动机能够提供较大的推力，但燃料消耗快；而电推进系统则推力较小，但燃料效率高，可以长时间工作。
在轨道设计中，需要根据动力系统的特点来规划航天器的轨道，以充分发挥其性能。
在了解了影响轨道设计的因素后，我们来看看常见的轨道类型。
近地轨道是最常见的一种，航天器在距离地球表面几百到几千公里的高度运行。
这种轨道适合进行地球观测、通信等任务。
带脉冲的三维引力辅助变轨研究
带脉冲的三维引力辅助变轨研究近来，在导航定位和宇宙空间探索领域，引力辅助变轨（GAT）方法被越来越多地应用。
GAT技术能够实现宇宙飞行器在最短时间内在不同轨道之间进行变轨，以服务宇宙探测和定位导航需求。
已有的研究表明，GAT可以有效地解决基于重力的太空变轨问题，但还没有系统性地研究带有推进剂的GAT。
随着空间探测技术的发展，带有脉冲的GAT技术在推进剂的支持下，能够有效地实现变轨，因此本文将考察带脉冲的三维引力辅助变轨（GAT）方法。
首先，简要介绍了GAT技术发展的历史，以及它在变轨实施中所涉及到的物理模型和参数。
随后，本文将探讨带有推进剂的GAT策略，它能够有效地减少飞行器在变轨实施过程中受到的物理极限，特别是在高速飞行状态下。
此外，本文还给出了一些带脉冲的GAT发射策略的例子，并通过大量实验数据来验证其有效性。
最后，本文将介绍脉冲式GAT变轨的技术和研究前景。
GAT技术的发展始于20世纪60年代，当时基于重力的太空变轨技术出现了。
研究表明，GAT可以有效地实现太空飞行器在不同轨道之间在最短时间内进行变轨，从而满足宇宙探测和定位导航的需求。
此外，GAT也可用于最小能量消耗的控制，以实现变轨到目标状态。
随着宇宙探测技术的发展，GAT技术发展到了带有推进剂的支持状态。
推进剂的支持可以有效地减少受到的物理极限，特别是在高速飞行状态下，减少飞行时间和能量消耗，从而提高变轨效率。
针对带脉冲的GAT，本文提出了一些发射策略，以满足变轨实施过程中的各种目标。
为了证明带脉冲的GAT策略的有效性，本文进行了大量实验。
实验结果表明，脉冲式GAT策略能够有效地实现变轨，并获得较高的变轨效率。
此外，实验还表明，带有推进剂的GAT策略更加有效，可以显着减少变轨时间和能量消耗。
本文分析了带脉冲的三维引力辅助变轨（GAT）技术，重点分析了其在变轨实施过程中受到的物理极限以及带有推进剂的GAT策略。
研究表明，脉冲式GAT策略能够有效地实现变轨，而且可以通过推进剂的支持大大减少变轨时间和能量消耗，有助于实现太空飞行器的高效变轨。
木卫停泊轨道间低耗能小推力转移轨道设计方法研究
木卫停泊轨道间低耗能小推力转移轨道设计方法研究路毅;李俊强;韩雷;李兆明;李恒年;曹璐;候俊楠【摘要】对木卫停泊轨道间的低耗能小推力转移轨道设计方法进行了研究,提出基于“类halo轨道截面”法的低耗能转移轨道参数化方法和基于配点法的多体Lambert问题求解算法,并利用全局优化算法得出了燃耗最少的初步优化结果;利用多体同伦法和固定近心点高度的多圈转移控制律得到了各段小推力转移轨道的有效设计结果.所提方法同样适用于其他天体间的转移轨道设计,为多体环境下低耗能小推力转移轨道提出了新的设计思路和方法.【期刊名称】《力学与实践》【年(卷),期】2016(038)005【总页数】10页(P501-510)【关键词】木卫;低耗能;小推力;轨道设计;多体环境【作者】路毅;李俊强;韩雷;李兆明;李恒年;曹璐;候俊楠【作者单位】西安卫星测控中心,宇航动力学国家重点实验室,西安710043;63778部队,黑龙江佳木斯154000;63778部队,黑龙江佳木斯154000;63778部队,黑龙江佳木斯154000;西安卫星测控中心,宇航动力学国家重点实验室,西安710043;西安卫星测控中心,宇航动力学国家重点实验室,西安710043;63778部队,黑龙江佳木斯154000【正文语种】中文【中图分类】V412.4近年来，美国国家航空航天局和欧洲航天局都很关注对木星系统的探测，并分别制定了针对木卫二（Europa）和木卫三（Ganymede）的探测计划.木卫之间的转移为多样本采样返回任务提供了很大便利，但同时由于其引力环境为多体力学环境，也大大增加了力学系统的复杂性和混沌性，以及利用传统方法进行转移轨道设计的复杂性.此时如果转变思路，与其让航天器的飞行利用推力与力学环境“做斗争”，不如充分顺应力学环境的自然结构，主动利用多体力学环境达到低耗能转移的目的.所谓低耗能转移轨道，就是利用多引力体环境的强非线性动力学特性，和小推力系统高比冲、低燃耗的推进特性，所设计的能量消耗相对较低的，包括出发天体逃逸、星际巡航和到达天体捕获等阶段的整体转移轨道.对于低耗能转移轨道，Conley［1］研究了圆型限制型三体问题（circular restricted three body problem，CR3BP）平动点附近的相流结构，将运动形态归类为：周期轨道、周期轨道的不变流形、穿越轨道、非穿越轨道4种基本形态，认为周期轨道的不变流形分离穿越与非穿越轨道，而穿越轨道可以用来构造低耗能转移轨道.与此同时，McGehee［2］也研究了平动点附近的运动形态，得到了类似的结果.自Conley提出利用EML1（Earth--Moon L1）点实现地月低耗能转移以来，已有众多学者研究了这种EML1转移问题：Bolt等［3］利用混沌动力学的打靶法得到了地月低能转移轨道；Macau［4］利用类似的方法，得到的结果中燃料消耗稍多，但转移时间明显减少了很多；Topputo等［5］利用三体问题的Lambert方程，将问题转化为两个两点边值问题，得到了类似的结果；徐明等［6］分析弹道捕获的发生条件发现，经由EML1点穿越的低能转移更适合构造地月小推力轨迹.提出了经过EML2点附近的弱稳定边界（weak stability boundary，WSB）转移轨道，并用来营救Hiten月球探测器.随后，Circi等［7］，Yogasaki ［8］，Parker等［9］以及Garc´ıa等［10］均做了更近一步的工作.小推力轨道优化设计属于复杂全局优化问题，目前国际上尚无较为通用的方法［11］.这是由于小推力转移轨道优化存在收敛半径小、多局部极小值的问题，确定转移过程中的推力方向非常因难［12］.目前有3类基本方法用于解决小推力轨道优化问题：间接法、直接法和混合法［1315］.间接法将最优控制问题转化为两点边值问题或多点边值问题，其解的精度高，满足一阶最优性条件，但其收敛半径小，协态变量初值高度敏感且难以准确估计.直接法不引入协态变量和协态方程，采用离散化方法将连续的轨迹优化问题转化为参数优化问题，并用数值方法求解.混合法兼顾直接法和间接法的优点，利用间接法推导一阶必要条件，根据极大值原理通过协态变量确定最优控制律，但与直接法一样，结果的优劣取决于离散规模和优化算法的强弱，而且通常还需要事先假定控制策略、推导复杂的一阶必要条件［16］.木文以木卫间停泊轨道设计为例，提出了适用于多体环境的低耗能小推力轨道一体化设计理论和方法.分两步对整体轨道进行了优化设计：第一部分是进行转移轨道全局初步设计，提出“类halo轨道截面”法的低耗能转移轨道参数化方法和基于配点法的多体Lambert问题求解算法，把不变流形进行了有效拼接，并利用全局优化算法得出速度增量消耗最少的初步优化结果；第二部分是进行小推力优化设计，利用与文献［17］类似的多体同伦法对星际巡航段转移轨道进行小推力优化的方法和利用固定近心点高度的多圈转移控制律设计逃逸与捕获轨道的算法，实现转移轨道各阶段的小推力轨道有效设计.文献［17］研究了多体环境下低耗能火星探测轨道的设计方法，与本文相比，研究对象有所不同；在流形拼接方面，本文对halo轨道的参数化进行了更为直观的描述，提出了“类halo轨道截面”的概念，并给出了详细的流形拼接算法流程；在拼接轨道求解方面，相比文献［17］基于形状的快速小推力轨道求解算法，本文利用了基于配点法的多体Lambert问题求解算法，因出发点和到达点为脉冲机动，求解变量少，速度更快，在转移过程中更能保证满足动力学约束，且便于代入初值并利用数值算法进行无动力推递来检验末值的统一性.1.1 航天器CR3BP下动力学模型为了表达和计算方便，CR3BP（圆型限制性三体问题）下航天器动力学方程宜采用地月质心旋转坐标系C-xzy：原点在三体系统的质心处，X轴方向为由主天体指向次主天体的方向，Z轴方向为轨道面的法线方向，Y轴方向由右手螺旋法则确定，在该坐标系下，无量纲单位形式的运动方程为［17-18］式中平动点（拉格朗日点）是限制性三体问题的5个特解，是指受两个主天体引力作用下，能使小物体稳定的点.围绕这些平动点还存在周期轨道以及不变流形，有关平动点、周期轨道及不变流形的基本特性和经典求解方法，可参考文献［17-19］.1.2 航天器受摄二体动力学模型对于小推力转移轨道的设计，为了表达方便和统一处理各种摄动力，宜采用受摄二体动力学模型，木星惯性坐标系下的状态方程［20］为式中，r和v为中心引力场位置速度矢量；m为航天器瞬时质量；Tmax为最大推力幅值；u为推力幅值与最大推力幅值的比值，满足0≤u≤1；α为推力方向单位矢量，Isp为比冲，g0为地球重力加速度.设其他摄动天体在木星惯性系下的位置矢量分别记为rPi，rP2，···，rP7，则当航天器在位置r处，其他摄动天体引力加速度aPi可以表示为式中，µPi为摄动天体Pi的引力常数.全局优化是能否找到全局最优低耗能轨道的关键.要进行全局优化，首先需要对整个轨道设计问题进行参数化，从而使全局优化算法可以调用.本文提出“类halo轨道截面”法的低耗能转移轨道参数化方法，提出利用基于配点法的多体Lambert问题求解算法，把不变流形进行有效拼接，并利用全局优化方法得出速度增量值消耗最少的初步设计结果.2.1 基于“类halo轨道截面”的流形拼接法不变流形是CR3BP模型的基本动力学特性之一，当航天器运行在不变流形上时，不需要施加任何推力，航天器即可沿着此轨迹滑行.因此在设计转移轨道时，若能多次利用不变流形，即把多个不变流形轨道段拼接起来，则可以大大减少转移轨道的总体能耗.一般计算不变流形，需要对原精确halo轨道进行初值附近的微小摄动偏置和外推计算，因此就需要选择合适大小的ε值.这不仅需要利用微分修正法计算多个精确的halo轨道，还需要针对每个halo轨道计算多条流形轨迹，而且由于ε在取值上的离散性，往往会错过最优的流形轨迹.因此应用流形拼接优化整体转移轨道时，不但其计算效率会大大降低，而且可能会找不到最优解.为解决上述问题，本文提出以下离散问题连续化的方法，从根本上改变了获取不变流形的方法.直接利用三阶近似解的参数去指定halo轨道，在此基础上进行轨道向后和向前外推，获得与此halo轨道一一对应的稳定和不稳定流形.该方法注重获得连续的不变流形，而不去追究该流形是否对应于某一精确的halo轨道.多个三阶近似的halo轨道的组合可构成“类halo轨道截面”，而所有与此相连的不变流形都会穿越该“类halo轨道截面”，如图1所示，这样就把整个转移轨道进行了完整的参数化.决定每条流形的参数可用以下一一对应的三阶近似halo轨道参数描述其中，AL2为木星--木卫二L2 halo轨道在Z轴方向的辐值大小，φL2为外推得到不变流形的起点相位；如图1所示，这两个参数可以确定特定三阶近似halo轨道的形状.由于本文需要把该流形与其他单元（流形、停泊轨道等）拼接起来，因此只描述一个流形还不够，还需要描述在惯性系中天体相位关系的时间参数.这时就需要在式（4）中再添两个时间参量［tL2，ΔT］，其中tL2为出发天体对应的L2 halo轨道起点处的历元，而ΔT为从该历元至到达下一单元拼接点的转移时间.如图2所示，这两个参数可完全确定发射窗口及木卫二与木卫三之间的相位关系.基于“类halo轨道截面”的流形拼接算法基本流程为：航天器从出发天体停泊轨道出发，经拟周期轨道A和拟周期轨道B，到达目标天体停泊轨道，中间拼接轨道利用多体Lambert转移轨道实现.其算法步骤为：（1）给定（通过优化）拟周期轨道A的参数XA=［AL2，φL2］和拟周期轨道B 的参数XB=［AL1，φL1］的取值；（2）通过三阶近似解，给定处于拟周期轨道A的初始点坐标XA=［x，y，z，˙x，˙y，˙z］，和处于拟周期轨道B的初始点坐标XB=［x，y，z，˙x，˙y，˙z］，并对其进行前向（后向）外推，可得与此拟周期轨道相连的稳定（不稳定）流形；（3）对上述向后外推A得到的不稳定流形（通过优化）取适当点，与向前外推B 得到的稳定流形（通过优化）的适当点利用多体Lambert转移轨道进行拼接；（4）向前外推A得到的稳定流形（通过优化）取适当点与环绕出发天体的初始停泊轨道利用多体Lambert转移轨道进行拼接；向后外推B得到的不稳定流形（通过优化）取适当点与环绕到达天体的目标停泊轨道利用多体Lambert转移轨道进行拼接.（5）利用全局优化算法确定上述各步中的参数，直到目标函数（n为总的机动次数）的取值，即整体转移轨道的总速度增量值达到最小值为止.2.2 基于配点法的多体Lambert问题解法对于本文的多体Lambert问题，本质上是求解一个两点边值问题［21］，其中的常微分方程为航天器运动方程.两点边值问题在理论上的解法是基于单点边值问题的常微分方程积分和非线性代数方程求解，可以合并两者，联合编程使用，称之为打靶法.但使用打靶法求解两点边值问题的基本困难在于它所需要的单点边值积分对初值很敏感.本文使用直接配点法来求解两点边值问题边值条件为其中，p为未知参数向量.近似解S（x）是在每个子区间［xn，xn+1］上的三次多项式连续函数，其中a=x0＜x1＜···＜xN=b满足边值条件且在每个子区间的两个端点及中点（配点）处满足以下微分方程这些条件构成了一个含有S（x）未知参数的非线性代数方程系统.与打靶法不同的是，问题的解y（x）是在整个区间［a，b］上都被近似了，且边值条件一直考虑在内.非线性代数方程可以被线性化迭代求解.本文直接配点法所使用的基本求解算法是非常箸名和成熟的Simpson法.如文献［21］所示，通过适当的假设，S（x）为对y（x）的一个四阶近似，即这里h是最大步长hn=xn+1-xn，C为常数.此边值条件对于在［a，b］中的每个x值都适用.当S（x）在每个网格计算出以后，便可以进行快速评估.由于两点边值问题可能不只有一个解，因此需要人为提供初始猜测值.初始猜测值包括对初始网格点的猜测，它反应了目标函数的行为，之后自适应调整网格数以便获得精确数值解.提供足够好的初值往往是解决两点边值问题最困难的部分.本文直接配点法利用控制残差的方法来处理较差初始值的问题，详细内容可参考文献［21］，限于篇幅，在此不予赘述.在进行具体算法求解时，为解决配点法不严格满足动力学约束的问题，通常还需要在求解后将初值代入运动方程进行递推，检验末端值状态是否相同.有了多体Lambert问题的解，就可以将其作为连接多体环境下两个位置的一段拼接轨道，这为整体转移轨道的一体化优化提供了必要的参数化拼接条件.根据航天器轨道所处力学环境的不同，木卫间转移轨道可划分为三种典型的轨道阶段，分别为：出发天体逃逸段、星际巡航段，以及到达天体捕获段.其中因出发天体逃逸段和到达天体捕获段都处于天体附近而统称为近天体段转移轨道.由于星际巡航段和近天体段的力学特性不同，在进行小推力轨道设计时也存在方法上的差异.3.1 基于多体同伦法的小推力轨道最优控制对于星际巡航段转移轨道，燃料最优控制的最优推力曲线是Bang-Bang控制，因一般情况下轨道圈数较少，问题复杂度相对较低，因此可以应用比较成熟的同伦法求解［22］，得到满足最优性原理的转移轨道结果.同伦方法（也称延拓方法），相当于建立一个和原问题类似且易于求解的结构，通过新结构的求解来获得原结构的解.对燃料最省问题，同伦法性能指标函数为其中参数ε为1时，对应推力幅值平方的积分最优，通常叫能量最优问题，当ε的值为0时对应燃料最优问题.这样由ε=1陆续解到ε=0就得到了原问题的解.关于本文计算中所使用的多体同伦法（即适用于多体环境的同伦法）的具体求解算法可参阅文献［17］.3.2 基于固定近心点半径的转移轨道控制律小推力多圈转移轨道优化控制早在20世纪50年代就被提出和研究，至今仍然是航天领域的活跃方向［2324］.当考虑出发天体逃逸和到达天体捕获阶段的小推力多圈转移轨道优化时，轨道下降或上升过程漫长，需要多圈完成，这时如果采用多体同伦法这种间接法，则问题过于复杂，很难收敛.本文采用固定近心点半径的多圈转移控制律进行小推力逃逸或捕获轨道设计.基本原理和推导过程可参阅文献［17］，下面只给出控制律的表达公式式中参数的具体含义见文献［17］.俯仰控制角α控制律可以在不改变近心点半径的前提下降低或抬高远地点高度，利用该控制规律可以保证航天器在漫长的小推力多圈转移过程中的安全性.偏航控制角β控制律则用于改变轨道的倾角.当k=1时，倾角增大，当k=-1时倾角减小，其中可取y1=225◦，y2=315◦，y3=45◦及y4=135◦.需要说明的是，在捕获下降阶段的初始时刻，轨道为双曲线，其偏心率大于1，为将航天器捕获为目标天体的卫星，需要减小相对目标天体的速度，应使用反向推力，直到轨道近心点高度降为目标高度，且偏心率小于1为止.把上述控制律进行组合，得到的综合控制律可在一个轨道周期内同时控制轨道半长轴、偏心率及倾角值，使其向目标值趋近.该方法属于解析方法，得到的解为近似最优解.做为实例，本文的轨道设计任务是使航天器从木卫二高为1000km、倾角为0◦的圆型停泊轨道，通过低耗能方式转移到木卫三高为1000km、倾角为0◦的圆型停泊轨道上，从而完成对木卫二探测之后再对木卫三进行探测.表1列出了木卫二与木卫三的基本参数，供设计轨道时使用.4.1 脉冲推力轨道设计做为本文的设计实例，首先航天器从高度为1000km的木卫二停泊轨道出发，通过多体Lambert转移进入木星--木卫二L2 halo轨道.需要两个Δv来完成停泊轨道至L2 halo轨道的转移，其中Δv1用来完成从停泊轨道进入中间多体Lambert 转移轨道，Δv2用来完成从中间多体Lambert转移轨道进入L2 halo轨道.然后，航天器离开木星--木卫二L2 halo轨道，并沿着不稳定流形飞行，直至到达木卫二--木卫三的卫星间转移轨道.由分析可知，在不稳定流形上，一般离木星越远的点，其相对于木星的能量越大，进入外侧高能轨道所需要的燃料越少，因此在优化的初始时刻，选择这样的木心最远点做为由不稳定流形进入转移轨道的拼接点.当得到较优的结果时，把这一拼接点条件放松，让其由全局优化算法整体优化求得.其中Δv3为完成拼接点转移操作的速度增量值.航天器沿着转移轨道飞行，直到到达拼接木星--木卫三L1 halo轨道相连的稳定流形处.下一个拼接点的选择类似，在优化的初始时刻，选择木卫三L1稳定流形上距离木星最近的点做为由转移轨道进入稳定流形的拼接点，因为此时航天器相对木星的轨道能量较小，因此需要较小的能量即可从低能量的内侧轨道转移到木卫三L1稳定流形上来.当得到较优的结果时，把这一拼接点条件放松，让其由全局优化算法整体优化求得.为实现拼接，此处需要一个机动操作Δv4来完成转移.航天器飞过木星--木卫三L1 halo轨道之后，通过多体Lambert转移轨道转移到高度为1000km的木卫三停泊轨道上.此处假定需要两个机动完成转移.其中Δv5用于完成从L1 halo轨道转移到中间多体Lambert转移轨道上，Δv6用于从中间多体Lambert转移轨道转移到木卫三停泊轨道.本文使用微分进化算法（DE，differential evolution）对转移轨道的参数进行全局优化（选择其他全局优化算法同样可以）.整个轨道可由以下关键点确定：木卫二停泊轨道与木星--木卫二L2 halo轨道的拼接点、木星--木卫二L2不稳定流形与木星--木卫三L1稳定流形的拼接点，以及木星--木卫三L1 halo轨道与木卫三停泊轨道的拼接点.目标函数为最小化总速度增量值其中，AL2为木星--木卫二L2 halo轨道在Z轴方向的辐度大小，φL2为外推得到不变流形的起点相位；类似的，AL1为木星--木卫三L1 halo轨道在Z轴方向的辐度大小，φL1为外推得到的不变流形起点相位；tL2为木星--木卫二L2 halo 轨道起点处的历元，而ΔTL2L1为从该历元至到达木星--木卫三L1 halo轨道起点处历元的时间间隔；ΔTlambert1与ΔTlambert2分别为两个停泊轨道与流形拼接的多体Lambert转移的时间长度；而ΔTmanifold1与ΔTmanifold2分别为卫星际转移段两个流形拼接点与halo轨道起始点之间的外推时间长度.前4个参数可以确定两个halo轨道的形状，多个halo轨道的组合可构成两个“类halo轨道截面”，而所有与此相连的不变流形都会穿越这两个“类halo轨道截面”.假定航天器离开木卫二的发射窗口为［58849，69807］（Modified Julien Dates，MJD，即为2020年1月1日至2050年1月1日），整个任务时间不长于100d.木星--木卫二L2 halo轨道与木星--木卫三L1 halo轨道的Z轴方向辐度可选范围为［0，5000］km，位于halo轨道上的起始点所处相位值取值范围为［0，2π］.该问题可以抽象成两个CR3BP流形的拼接，通过优化计算，所得转移轨道如图3与图4所示.其中图3为木星惯性坐标系下的流形拼接点，图4为木星分别与木卫二和木卫三构成的三体旋转系下的流形拼接情况.由图4可见，木卫二与木卫三的不变流形存在相交的点，但是优化结果并没有选择相交的点进行轨道拼接，而是以连接两个流形的多体Lambert转移耗能最小的点做为拼接点.图5与图6分别描绘了木星--木卫二旋转系下靠近木卫二侧的流形拼接点与木星--木卫三旋转系下靠近木卫三侧的流形拼接点.决定halo轨道形状的参数AL与φL如表2所示.描述发射历元与转移时长的参数tL2与ΔTL2L1为59465.8812（MJD）与10.3176d.而时间节点与各个拼接点处的速度增量值Δv如表3所示.由结果可知，本文所提出的流形拼接法可以有效对整体转移轨道的总耗能进行优化，与Koon等［25］的论文相比，其从木卫三L1 halo轨道转移到木卫二L2 halo轨道所耗的速度增量值，利用三体拼接模型下的庞加莱截面计算的结果为1.2090km/s，利用限制性四体模型计算的结果为1.2080km/s，转移时间约为25天，利用传统的霍曼转移计算的结果为2.8220km/s.而本文的木卫二L2 halo轨道至木卫三L1 halo轨道的转移所耗Δv=Δv3+Δv4= 1.1857km/s，转移时间总共约17天，由转移轨道可见本文的优化结果与上述文献相差不多，且可能更优一些.至于逃逸和捕获阶段，由于文献［25］没有指明出发轨道和目标轨道的具体参数，因此无法比较.由以上结果可以发现，仅仅利用庞加莱截面追求位置相同点拼接得到的拼接轨道，不一定是最优的，最好通过优化，利用中间多体Lambert转移轨道把两个位置可能并不相同的两个拼接点找出来，才能得到更优的整体拼接轨道.4.2 小推力轨道设计4.2 1木卫二逃逸阶段在转移轨道起始时刻，木卫二的停泊轨道为高度1000km的圆轨道，其倾角为0◦.假定木卫二逃逸阶段的推力大小为Tmax=2N，比冲为Isp= 3000s，航天器初始质量为3000kg.使用逆向设计的方法，首先要考虑木卫二逃逸轨道的终止条件，然后逆向设计成木卫二的停泊轨道.木卫二逃逸轨道的终止时刻为59465.8810（MJD），即Δv2的时刻.表4为木卫二逃逸轨道的初始与目标参数.由于此阶段的轨道为出发天体多圈转移轨道，用多体同伦法难以得到结果，选择较为简单但计算速度较快的固定近心点半径多圈转移控制律进行求解.图7为木卫二逃逸轨道轨迹图，而图8为推力矢量的俯仰与偏航控制角变化历程.结果显示，木卫二逃逸轨道在停泊轨道的出发时刻的历元时刻为59451.9600（MJD）.小推力完成轨道逃逸过程的耗时远长于脉冲转移，为13.9210d，圈数为243，燃料消耗45.6870kg.4.2.2 星际巡航阶段由低耗能转移轨道优化结果，得到了木星--木卫二L2不稳定流形的终点与木星--木卫三L1稳定流形的始点，如表5所示.这两点即为小推力转移轨道的初始与终端条件.同样的，假定航天器最大推力为Tmax=2N，比冲为Isp=3000s，航天器初始质量为上一阶段的末质量，为m0=2954.3130kg.起始MJD时刻为t0= 59468.1510，到达MJD时刻为tf=59479.6876.采用多体同伦法进行优化，由木星--木卫二L2 halo轨道附连的不稳定流形到木星--木卫三L1 halo轨道附连的稳定流形的小推力转移轨道如图9所示，优化后的推力大小历程如图10所示.由优化结果可知，所得轨道满足动力学约束，燃料消耗为m0-mf=57.9520kg.由图10易知，控制率为Bang-Bang控制，结果满足Pantryagin一阶最优性条件.4.2.3 木卫三捕获阶段绕木卫三的目标轨道为高度为1000km的圆轨道，倾角为0◦.同样，假定木卫三捕获阶段的推力大小为Tmax=2N，比冲为Isp=3000s，航天器初始质量为星际巡航段小推力转移后的末质量，为2896.3610kg.木卫三捕获轨道的初始历元为59483.3534（MJD），即Δv5的历元.表6为初始与目标参数.由于此阶段的轨道为到达天体多圈转移轨道，用多体同伦法难以得到结果，同样选。
结合深空机动的多次行星借力轨道设计
结合深空机动的多次行星借力轨道设计
张莹;岳晓奎;贺亮
【期刊名称】《中国空间科学技术》
【年(卷),期】2013(033)002
【摘要】行星借力技术是减小星际探测任务发射能量的有效途径,传统的行星借力模型不能保证探测器借力前后的速度矢量转角达到理想要求.为此,进行了行星借力建模,并基于该模型,推导了探测器飞出借力天体影响球的双曲线超速矢量.针对轨道设计参数的强耦合性,提出了一种全局一局部混合搜索算法,并对地球-金星-地球-火星-木星转移轨道进行了设计.仿真结果验证了轨道模型的正确性和有效性,表明该文方法可以有效地对多次行星借力轨道进行设计.
【总页数】6页(P61-66)
【作者】张莹;岳晓奎;贺亮
【作者单位】西北工业大学,西安710072;西北工业大学,西安710072;上海航天控制技术研究所,上海200233
【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于脉冲机动的引力辅助深空探测轨道设计 [J], 侯艳伟;岳晓奎;张莹
2.木星系及行星际飞越探测的多次借力飞行轨道设计研究 [J], 田百义;张磊;周文艳;朱安文
3.结合行星借力飞行技术的小推力转移轨道初始设计 [J], 尚海滨;崔平远;徐瑞;乔栋
4.深空探测行星借力飞行轨道自动设计与仿真 [J], 李志武;郑建华;于锡峥;吴霞
5.主带小行星深空探测可接近性与多目标探测轨道的实现 [J], 夏炎;罗永杰;赵海斌;李广宇
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基于不同动力引力辅助模型的木星转移轨道设计杨彬;杨洪伟;李爽;尤伟【摘要】针对木星转移轨道设计中动力引力辅助模型选择问题展开了研究.首先,介绍了近心点机动和甩摆后机动2种动力引力辅助模型,给出了2种模型下最优脉冲机动速度增量的解算方法;然后,基于动力引力辅助模型,提出了包含引力辅助的行星际转移轨迹初始设计方法;最后,以木星探测任务转移轨迹设计为例,对比了不同动力引力辅助模型下探测器的燃料消耗情况.仿真结果表明:相比于甩摆后机动方式,近心点轨道机动方式更加节省燃料.基于近心点机动引力辅助模型,最终完成了金星地球-地球引力辅助序列的木星转移轨迹初始设计,为我国未来采用引力辅助方式的深空探测任务提供了一定的参考.【期刊名称】《上海航天》【年(卷),期】2019(036)003【总页数】7页(P54-60)【关键词】轨道设计;动力甩摆;转移轨迹;引力辅助;木星探测【作者】杨彬;杨洪伟;李爽;尤伟【作者单位】南京航空航天大学航天学院,江苏南京210016;南京航空航天大学航天新技术实验室,江苏南京210016;南京航空航天大学航天学院,江苏南京210016;南京航空航天大学航天新技术实验室,江苏南京210016;南京航空航天大学航天学院,江苏南京210016;南京航空航天大学航天新技术实验室,江苏南京210016;上海卫星工程研究所,上海201109【正文语种】中文【中图分类】V410 引言随着空间技术的快速发展，我国的深空探测能力逐渐提高。
以木星为代表的外太阳系天体成为我国下一步深空探测的目标[1]。
对于这类距离地球遥远的目标，传统的直接转移方式因燃料消耗巨大而不再适用。
引力辅助技术作为重要的节能技术，对于深空探测轨道设计具有重要意义。
引力辅助技术的应用能有效减少任务的燃料消耗，使得原本无法完成的任务成为可能。
而且，除了完成对既定目标的探测外，探测器在行星引力辅助过程中还能完成对引力辅助行星的飞越探测，增加任务的科学回报。
国外包括旅行者号[2]、卡西尼号[3]在内的一系列深空探测器均采用了引力辅助技术，极大减少了任务的燃料消耗。
引力辅助技术，即在探测器靠近某一星球时，借助该星球的引力作用来改变探测器的轨道与速度，是一种无消耗的轨道机动方式。
引力辅助技术的应用使得深空探测轨道设计变得更加复杂多样。
为获得较好的引力辅助效果，针对复杂引力辅助轨迹的优化设计一直是轨道动力学的热点话题。
CESARONE[4]推导了引力辅助过程中的参数表达式，并分析了近心点高度等引力辅助参数对引力辅助轨迹的影响。
尽管引力辅助技术在节省燃料、提高效率等方面具有显著优势，但其对所涉及天体的相位关系要求十分严格，借力前后的速度必须严格匹配[5]。
这使得引力辅助转移轨迹的发射窗口变得十分狭窄，造成搜索过程收敛困难。
为提高发射窗口搜索算法的稳定性，LONGUSKI等[6]提出了特征能量C3匹配法，基于引力辅助前后探测器的特征能量进行引力辅助转移轨迹匹配。
张旭辉等[7]采用蒂塞朗准则对C3匹配方法进行了验证。
乔栋等[8]提出了软匹配策略，用以进行轨道拼接。
软匹配策略的应用有效解决了传统方法对满足约束条件转移轨道方案的遗漏问题。
虽然采用了各种方法来提高匹配的稳定性，但等待相关行星到达理想相位关系，往往需要数年时间。
而且，针对多天体引力辅助情况，等待时间将更长。
为弱化引力辅助技术对能量匹配的约束，一些学者提出在引力辅助过程中，通过施加主动脉冲来改善引力辅助效果，增加任务窗口，减少相位等待时间。
PRADO[9]对带有脉冲机动的引力辅助变轨进行了描述，并推导了探测器速度、能量变化量等参数，给出了特定条件下的最优脉冲机动方向。
引力辅助过程中脉冲施加的具体位置目前仍是轨道动力学研究的热点问题[10-12]。
李小玉等[13]研究了附加深空机动的引力辅助模型，推导了引力辅助后离开剩余速度的解析表达式。
贾建华等[14]分析了平面引力辅助过程中施加脉冲的最优位置，给出了平面情况下的最优脉冲施加位置确定方法。
CASALINO等[15]研究了在近拱点施加脉冲机动的引力辅助，但其所提方法只适用于脉冲幅值较小的情况。
贾建华等[16]分析了三维情况下近拱点施加脉冲的大小和方向对探测器轨道的影响。
除了在近拱点施加脉冲机动外，另一种方案是在引力辅助完成后施加脉冲机动。
侯艳伟等[17]采用这种方式设计了基于金星引力辅助的火星转移轨道。
本文针对有动力引力辅助技术和木星探测转移轨迹进行了研究，主要对近心点脉冲机动和甩摆后脉冲机动2种引力辅助模型进行了对比分析，并完成了木星引力辅助转移轨迹的初始设计。
首先，分别构建近心点机动引力辅助模型和甩摆后机动引力辅助模型。
然后，提出基于引力辅助模型进行深空探测的转移轨道设计方法。
随后，以木星探测任务为工程应用背景，基于不同引力辅助行星方案测试2种动力引力辅助模型的性能。
数值仿真结果表明：近心点施加脉冲机动的引力辅助方案具有更好的节能效果。
最后，应用近心点机动引力辅助模型，采用地球-金星-金星引力辅助序列，完成木星探测任务转移轨迹的设计。
1 动力引力辅助模型引力辅助作为一种高效的节能技术，多次为深空探测任务所采用。
但对于轨道设计而言，包含引力辅助的转移轨迹颇为复杂。
因此，各种简化模型被采用，以在保证一定精度的前提下尽量提高计算效率。
其中，圆锥曲线拼接法所采用的影响球模型是目前初始设计最常用的简化模型。
根据圆锥曲线拼接法的原理，引力辅助过程被假设为一个瞬时速度突变。
其中，速度突变量的大小根据影响球模型估算求解。
无动力引力辅助方式受到安全飞越高度等因素限制，在大多数情况下不能满足任务要求。
因此，在引力辅助过程中或引力辅助结束后通过施加脉冲机动来匹配引力辅助前后的转移轨迹是一种有效方式。
这种将主动变轨和引力辅助相结合的方式被称为有动力引力辅助技术。
本文将针对近心点机动和引力辅助后机动2种动力引力辅助方式进行建模分析。
1.1 近心点机动引力辅助模型近心点机动引力辅助过程中只考虑引力辅助行星的引力作用，即探测器进入借力行星影响球后沿双曲线轨道接近借力行星。
当其飞至近心点时，沿速度方向施加脉冲机动，以修正探测器引力辅助完成后的状态。
随后，探测器沿调整后的逃逸轨道飞出借力行星的影响球，完成引力辅助。
相比于漫长的星际转移过程，引力辅助过程持续时间很短。
因此，假设引力辅助瞬时完成，则引力辅助前后探测器的位置不变且与引力辅助行星位置重合。
探测器引力辅助前后的速度v+和v-分别通过求解引力辅助前后2段转移轨迹的Lambert 问题得到。
因此，探测器进入借力行星影响球的剩余速度和理想的离开剩余速度分别为(1)式中：vP为借力行星在引力辅助时刻的速度。
若探测器以理想剩余速度进入和离开引力辅助行星的影响球，则进入和离开影响球的真近点角等于双曲线轨道渐近线的真近点角。
进入和离开的真近点角的数学表达式分别为(2)式中：μP为借力行星的引力常数；和分别为进入和离开剩余速度的模长；和分别为进入和离开双曲线轨道的渐近线真近点角；e-和e+分别为进入和离开双曲线的偏心率；rp为近心点半径。
根据双曲线的性质，进入和离开真近点角和双曲线剩余速度偏转角δ满足几何约束，f+-f--δ-π=0。
将式(2)带入几何约束方程，得到关于近心点高度的非线性方程(3)为求解非线性方程(3)，对其求一阶导数和二阶导数，即(4)(5)式中：和分别为近心点机动前后的探测器速度；a-和a+分别为近心点机动前后双曲线的半长轴。
对式(4)，(5)进行分析可知，对于任意的双曲线剩余速度，即H(rp)为单调递减函数。
当rp=0时，H(0)=π-δ>0；当rp=∞时，H(∞)=-δ<0。
根据根的存在性定理可知，必然存在一个近心点半径，使得方程(3)成立。
因函数的一阶导函数已知，如式(4)所示，故本文采用牛顿迭代法求解满足方程的近心点半径。
确定近心点半径rp后，近心点处需要施加的速度增量(6)1.2 甩摆后机动引力辅助模型动力引力辅助除在近心点添加机动外，另一种常见的方案是在引力辅助完成后立即施加速度脉冲进行调整，使得探测器的状态满足后续飞行任务的要求。
施加的速度增量满足v+=v-+ΔvGA+ΔvI(7)式中：ΔvGA为引力辅助行星提供的速度增量；ΔvI为引力辅助完成后探测器施加的速度增量。
在式(7)中，当任务时间确定后，引力辅助前后探测器的速度是固定的。
因此，为节省燃料，只能调节引力辅助提供的速度增量，使得探测器提供的速度增量最小。
为方便描述，本文采用引力辅助坐标系[12]描述引力辅助过程的参数，如图1所示。
图1 引力辅助坐标系Fig.1 Gravity assist reference frame图中：坐标原点O位于引力辅助行星的中心，ξ轴沿双曲线进入剩余速度方向，ζ轴垂直于引力辅助前探测器的速度与引力辅助行星速度所决定的平面，η轴与ζ轴和ξ轴构成右手坐标系。
将坐标轴方向的单位矢量分别记为i，j和k，用剩余速度矢量和行星状态表示，如式(8)所示，具体推导过程详见文献[12]，此处不再赘述。
(8)在引力辅助坐标系中，探测器进入和离开双曲线剩余速度表示为(9)式中：v∞为探测器进入和离开双曲线剩余速度模长，为在ηζ平面上的投影与ξ轴的夹角；δ为双曲线剩余速度的偏转角，其确定方式为(10)在引力辅助坐标系中，引力辅助行星提供的速度增量可表示为(sin δsin ψ)j+(cos δ-1)i](11)此外，将引力辅助前后的速度差投影至引力辅助坐标系，即v+-v-=v∞(κ1i+κ2j+κ3k)(12)式中：将式(11)，(12)带入式(7)，可得ΔvI=v∞[(κ1-cos δ+1)2+(κ2-sin δsin ψ)2+(13)因此，只要确定剩余速度偏转角δ和甩摆角度参数ψ，就能求得引力辅助完成后所需施加的脉冲机动速度增量。
2 转移轨迹设计转移轨迹设计是空间任务规划的基础。
圆锥曲线拼接法是经典的转移轨迹初始设计方法。
采用该方法能快速完成转移轨迹初始设计。
本文基于上述引力辅助简化模型，采用圆锥曲线拼接法进行复杂的引力辅助转移轨迹设计。
嵌入引力辅助简化模型的圆锥曲线拼接法的执行过程如图2所示。
图2 嵌入动力引力辅助模型的圆锥曲线拼接法流程图Fig.2 Flowchart of patched conic method with powered gravity-assist model首先，在已知探测器地球出发时刻、行星借力时刻和目标到达时刻的条件下，通过星历可求得相关天体在相应时刻的状态。
然后，基于圆锥曲线拼接法的思想，求解Lambert问题，得到相邻天体之间的转移轨迹，如图2中所示的轨迹D和轨迹1。
最后，利用引力辅助模型将这些转移轨迹段按顺序拼接，并计算引力辅助过程中所需施加的脉冲速度增量，进而得到任务所需的总速度增量。