2019-2020学年北京二中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中数学+答案
2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，a∈A，则a的值可以为（）A．﹣2B．1C．0D．﹣12．（5分）已知命题p：∃x∈Q，x2﹣3＝0，则￢p为（）A．∃x∈Q，x2﹣3≠0B．∃x∉Q，x2﹣3＝0C．∀x∈Q，x2﹣3≠0D．∀x∉Q，x2﹣3＝03．（5分）函数y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为（）A．[4，9]B．[0，9]C．[0，4]D．[0，+∞）4．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝[m，+∞），若A⊆B，则实数m的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1] 5．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．2a＞a+b B．a+b＞b C．a2＞ab D．b2＞ab6．（5分）“x＞1”是“1x＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，T＝{x|x=ba，a，b∈A，a＞b}，则集合T中元素的个数为（）A．9B．10C．11D．128．（5分）若函数f（x）的定义域为D，对于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥1，称函数f（x）满足性质ψ，有下列四个函数①f（x）=1x，x∈（0，1）；②g（x）=√x；③h（x）＝x2（x≤﹣1）；④k（x）=11+x2其中满足性质ψ的所有函数的序号为（）A．①②③B．①③C．③④D．①②二、填空题（每题5分，共30分）9．（5分）已知a，b，c，d为互不相等的实数，若|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝．10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）+f（1）＝．11．（5分）若函数f （x ）为一次函数，且f （x +1）＝f （x ）﹣2，f （x ）的零点为1，则函数f （x ）的解析式为 ．12．（5分）某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数．且当年产量为200时，总成本为15000．记该产品的平均成本为f （Q ）（平均成本=总成本年产量），则当Q ＝ ，f （Q ）取得最小值，这个最小值为 ．13．（5分）设a ，b 为互不相等的实数，若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 满足f （a ）＝f （b ），则f （2）＝ ．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝ ．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有 个不同的零点．三、解答题（共80分） 15．解下列关于x 的不等式： （1）x 2﹣2x ﹣8≤0； （2）x 2+4x +5＞0； （3）x 2≤ax ．16．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，B ＝{x |2x ≥a }， （Ⅰ）当a ＝0时，求A ∩B ；（Ⅱ）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）记集合C ＝A ∩B ，若C 中恰好有两个元素为整数，求实数a 的取值范围． 17．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1（a ≠0）．（Ⅰ）比较f （1−√2）与f （1+√2）的大小，并说明理由； （Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）在[﹣1，2]上的最大值为4，求a 的值． 18．已知集合M ＝（﹣1，1），对于x ，y ∈M ，记φ（x ，y ）=x+y1+xy． （Ⅰ）求φ（0，12）的值；（Ⅱ）如果0＜x ＜1，求φ（x ，1﹣x ）的最小值； （Ⅲ）求证：∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．19．已知函数f （x ）满足：函数y =f(x)x 在（0，3]上单调递增． （Ⅰ）比较3f （2）与2f （3）的大小，并说明理由；（Ⅱ）写出能说明“函数y ＝f （x ）在（0，3]单调递增”这一结论是错误的一个函数； （Ⅲ）若函数的解析式为f （x ）＝ax 3+（1﹣a ）x 2，求a 的取值范围．20．设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）为平面直角坐标系上的两点，其中x A ，y A ，x B ，y B 均为整数．|x B ﹣x A |+|y B ﹣y A |＝3，则称点B 为点A 的“相关点”．点P 1是坐标原点O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，…，依此类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”．注：点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2． （Ⅰ）直接写出点O 与点P 1间的距离所有可能值； （Ⅱ）求点O 与点P 3间的距离最大值； （Ⅲ）求点O 与点P 2019间的距离最小值．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．【解答】解：x 2＞1，解得：x ＞1，或x ＜﹣1． 集合A ＝{x |x 2＞1}＝{x |x ＞1，或x ＜﹣1}，a ∈A ， 则a 的值可以为﹣2． 故选：A ．2．【解答】解：命题为特称命题， 则命题的否定为∀x ∈Q ，x 2﹣3≠0， 故选：C ．3．【解答】解：∵﹣2≤x ≤3，∴x ＝0时，y ＝x 2取最小值0；x ＝3时，y ＝x 2取最大值9， ∴y ＝x 2（﹣2≤x ≤3）的值域为[0，9]． 故选：B ．4．【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝[m ，+∞），A ⊆B ， ∴m ≤1，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．5．【解答】解：由a ＜b ＜0，取a ＝﹣2，b ＝﹣1，可排除A ，B ，D ． 故选：C ．6．【解答】解：当“x ＞1”则“1x ＜1”成立，当x ＜0时，满足“1x＜1”但“x ＞1”不成立，故“x ＞1”是“1x＜1”的充分不必要条件，故选：A ．7．【解答】解：a ＝1不适合题意，舍去． a ＝2时，b ＝1，可得：ba=12．a ＝3时，b ＝1，2，可得：b a=13，23．a ＝4时，b ＝1，2，3，可得：b a=14，12，34．a ＝5时，b ＝1，2，3，4，可得：b a=15，25，35，45．a ＝6时，b ＝1，2，3，4，5，可得：b a=16，13，12，23，56．可得：T ＝{x |x =ba ，a ，b ∈A ，a ＞b }＝{12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56}．∴集合T 中元素的个数为11． 故选：C ．8．【解答】解：①|1x 1−1x 2x 1−x 2|=|1x 1x 2|≥1(x 1，x 2∈(0，1))，故①正确； ②|√x1−√x 2x 1−x 2|=x +x ，当x 1＞4，x 2＞4时，√x 1+√x 2＞4，√x +√x 14，故②不正确；③|x 12−x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2|，当x 1≤﹣1，x 2≤﹣1时，|x 1+x 2|≥2，故③正确；④|11+x 12−11+x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2(1+x 12)(1+x 22)|≤|x 11+x 12|+|x 21+x 22|， 因为|x 1+1x 1|≥2，所以|x 11+x 12|≤12，同理|x 21+x 22|≤12，所以|x 11+x 12|+|x 21+x 22|≤1，故④不正确， 故选：B ．二、填空题（每题5分，共30分）9．【解答】解：∵|a ﹣c |＝|b ﹣c |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴a ﹣c +b ﹣c ＝0即a +b ﹣2c ＝0．①∵|b ﹣c |＝|d ﹣b |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴b ﹣c ＝d ﹣b 即2b ﹣c ﹣d ＝0．②①②相加可得：a +3b ﹣3c ﹣d ＝0．即a ﹣d ＝3（c ﹣b ）， 又因为|a ﹣c |＝|b ﹣c |＝|d ﹣b |＝1， 则|a ﹣d |＝3|b ﹣c |＝3． 故答案为：3．10．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣4x +1， 则f （0）＝0，f （1）＝1﹣4+1＝﹣2， 则f （0）+f （1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：﹣211．【解答】解：设f （x ）＝kx +b ，k ≠0， ∵f （x +1）＝f （x ）﹣2， ∴k （x +1）+b ＝kx +b ﹣2， 即k ＝﹣2，∵f （x ）＝﹣2x +b 的零点为1，即f （1）＝b ﹣2＝0， ∴b ＝2，f （x ）＝﹣2x +2 故答案为：f （x ）＝﹣2x +2．12．【解答】解：某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数，且当年产量为200时，总成本为15000． 可得15000＝40000a +3000，解得a =310， 所以C =310Q 2+3000， 该产品的平均成本为f （Q ）=3Q10+3000Q ≥2√3Q 10×3000Q=60．当且仅当3Q 10=3000Q，即Q ＝100时，f （Q ）取得最小值，最小值为60．故答案为：100；60．13．【解答】解：二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 的对称轴x =−a2， 又f （a ）＝f （b ）， ∴a +b ＝2•（a2），∴b ＝﹣2a∴f （2）＝4+2a +b ＝4， 故答案为：4．14．【解答】解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k＝4或k＝0．（2）∵g（x）={2x+1，x≤0x3+2x−16，x＞0，当x≤0时，2x+1＝0，得x=−1 2；此时f（x）=−12，由图可知有一个解；当x＞0时，g（x）＝x3+2x﹣16单调递增，∵g（2）＝﹣4，g（3）＝17，∴g（x）在（2，3）有一个零点x0，即f（x）＝x0∈（2，3）由图可知有三个解，∴共有四个解．故答案为4或0；4．三、解答题（共80分）15．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣8≤0，得（x﹣4）（x+2）≤0，所以﹣2≤x≤4，所以不等式的解集为{x|﹣2≤x≤4}；（2）因为x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，所以不等式x2+4x+5＞0的解集为R；（3）由x2≤ax，得x2﹣ax＝x（x﹣a）≤0，所以当a＝0时，x＝0；当a＞0时，0≤x≤a；当a＜0时，a≤x≤0，所以当a＝0时，不等式的解集为{0}；当a＞0时，不等式的解集为{x|0≤x≤a}；当a＜0时，不等式的解集为{x|a≤x≤0}．16．【解答】解：（Ⅰ）a＝0时，B＝{x|x≥0}，且A＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A ∩B ＝[0，1]； （Ⅱ）∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，且B ={x|x ≥a2}， ∴a2≤−1，∴a ≤﹣2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （Ⅲ）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴−1＜a 2≤0，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]．17．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ， 则f （1−√2）＝1+a ，f （1+√2）＝1+a ， 故f （1−√2）＝f （1+√2）；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有{a ＞04a 2＜4a，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（Ⅲ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1， 分2种情况讨论：①，a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ， 则有1+3a ＝4， 解可得：a ＝1，②，a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ， 则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3； 综合可得：a ＝1或﹣3．18．【解答】解：（1）φ(0，12)=0+121+0×12=12；（II ）φ(x ，1−x)=x+(1−x)1+x(1−x)=1−x 2+x+1，由于x ∈（0，1）时，−x 2+x +1∈(1，54]，所以φ(x ，1−x)∈[45，1)，即最小值为45；（III ）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＜1；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＞−1，综上，x+y1+xy∈M ．即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ． 19．【解答】解：（I ）3f （2）＜2f （3）， ∵y =f(x)x 在（0，3]上单调递增， ∴f(2)2＜f(3)3，∴3f （2）＜2f （3）；（II ）f （x ）＝﹣1或﹣x 2﹣9（III ）方法一：∵y =f(x)x =ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增， ∴y ′＝2ax +（1﹣a ）≥0在（0，3]上恒成立， 2ax ≥a ﹣1，当a ＞0时，因为x ≥a−12a 在（0，3]上单调递增， 所以0≥a−1a，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，x ≤a−12a在（0，3]上单调递增， 所以3≤a−12a ，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上：a ∈[−15，1]．方法二：当a ＞0时，对称轴x =a−1a ≤0时符合题意，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，对称轴x =a−12a ≤3时符合题意，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上，a ∈[−15，1]．20．【解答】解：（Ⅰ）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3或√5；（Ⅱ）因为点O （0，0），所以由第一问可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大， ∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（Ⅲ）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N *）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O与点P2016间的距离最小值为0，此时点P2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P2016（0，0）﹣﹣P2017（2，1）﹣﹣P2018（1，3）﹣﹣P2019（0，1），所以点O与点P2019间的距离最小值为1．。
2019-2020年高一上学期期中联考试卷 数学 含答案
2019-2020年高一上学期期中联考试卷 数学 含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．） 1．已知{|4A x =-≤4},{0,2,4,6}x B ≤=，则A B = ▲ . 2．函数1()1f x x =-的定义域为 ▲ . 3．函数2()2,[1,3]f x x x x =-+∈-的值域为 ▲ ．4．已知幂函数()=(f x x αα为常数）的图象过点(2,8)，则(3)f = ▲ .5．若函数2()(1)3f x kx k x =+++是偶函数，则该函数的递减区间是 ▲ .6．已知3log 2a =，那么将33log 82log 6-用a 表示的结果是 ▲ .7．如果函数()321f x ax a =-+在区间(1,1)-上存在一个零点，则a 的取值范围是 ▲ ．8．已知函数21()2()xf x x R +=∈，且对于任意的x 恒有0()()f x f x ≥，则0x = ▲ . 9．若x A ∈，则1A x∈，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2，3的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为 ▲ ．10．函数3()+2f x x x x =+在[-2013,2013]上的最大值与最小值之和为 ▲ ． 11．若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为 ▲ . 12．如果如果()()()f a b f a f b +=，且(1)2f =，则(2)(4)(6)(1)(3)(5)f f f f f f ++＋…＋(2014)(2013)f f = ▲ ． 13．已知{01}A x x =≤<，{13}B x x =≤≤，函数3()()93()22x x A f x x x B ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若t A ∈时(())f f t A ∈成立，则实数t 的取值范围为 ▲ .14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x =2[1,]x t t ∈-，使不等式(2)2()f x t f x +≥成立，则实数t 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．将每题解答过程写在答题卡相应的区域内．）15．（本大题满分14分）已知函数2()21,()21f x x g x x x =+=-+（Ⅰ）设集合{|()7}A x f x ==，集合{|()4}B x g x ==，求A B ；（Ⅱ）设集合{|()}C x f x a =≤，集合{|()4}D x g x =≤，若D C ⊆，求a 的取值范围.16．（本大题满分14分）（Ⅰ） 化简：23114333423ab a b -÷；（Ⅱ） 已知()2lg 2lg lg x y x y -=+，求2log x y 的值．17．（本大题满分14分）已知二次函数)(x f 满足1)1(,3)3()1(-===-f f f ．（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若)(x f 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值)1(+a f ，求a 的取值范围．18．（本大题满分16分） 已知函数2()151x f x =-+. （Ⅰ）证明：()f x 是R 上的增函数；（Ⅱ）当[1,2)x ∈-时，求函数()f x 的值域.19．（本小题满分16分）因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中161(04)8()15(410)2x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a 的最小值(精确到0.1,参考数据1.4).20．（本大题满分16分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内具有单调性；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么称)(x f y =(D x ∈)为闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]； （Ⅱ）判断函数31()(0)4f x x x x =+>是否为闭函数？并说明理由； （Ⅲ）若函数2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．命题人: 张晓伟 审核人: 杨洋 2014年11月宿迁市五校2014-2015学年度上学期期中联考高一数学参考答案二、解答题16、解（Ⅰ）原式6ab =-……………………………………………………………6分 （Ⅱ）()2lg 2lg lg x y x y -=+可转化为20020(2)x y x y x y xy>⎧⎪>⎪⎨->⎪⎪-=⎩，解之得：4x y =……………………………………10分 4x y∴= 22log log 42x y ∴==……………………………………………………14分 17、解（Ⅰ）设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，则(1)3(3)933(1)1f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩……………………………………………………2分 解之得：1,2,0a b c ==-=……………………………………………………………4分 2()2f x x x ∴=-………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）根据题意：111(1)11(1)a a a a -≤≤+⎧⎨+-≥--⎩………………………………………………………10分解之得：12a ≤≤[1,2]a ∴的取值范围为………………………………………………………14分（Ⅱ）212(1),(2)313f f -=-= ……………………………………………………12分 由（Ⅰ）（Ⅱ）可知： 212()[,)313f x -的值域为 ……………………………………………………16分 19、解：（Ⅰ）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩………………………………2分则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤…………… 4分 当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤…………………6分 综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…… 8分（Ⅱ）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---………………………10分 =161014a x a x-+--=16(14)414a x a x -+---, 14[4,8]t x =-∈设,则164a y t a t =+--，而14a ≤≤,所以[4,8],用定义证明出：t t ∈∈单调递减，单调递增故当且仅当t =,y有最小值为4a - …………………………14分令44a -≥,解得244a -≤≤,所以a的最小值为24 1.6-≈……………………………………………16分（3）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f 的值域为[b a ,]，即a k b k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，b a ,∴为方程2++=x k x 的两个实根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不等的实根。
北京市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
北京市第二中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题一、选择题1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（ ）．A ．{}1,3B ．{}3,9C ．{}3,5,9D ．{}3,7,92．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[](2)f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ． 23．为了得到函数133xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(],1-∞-上是增函数，则（ ）．A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x =B ． 1()f x x -=C ．12()f x x =D ．3()f x x =6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）．A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x A ．(1),-∞B ．(3,)+∞C ．(1,2)D ．(2,3)8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称； （3）[]643log log (log 81)1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(8)f =__________．10．函数()f x =的定义域是__________．11．已知函数3()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可）14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t（年）的函数图像（如图）以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 三、解答题 15．计算：（1）2103227161)-+-． （2）7log 2222632log 3log log 778-+-．16．已知函数()f x =A ，{}B x x a =<．（1）若全集{}4U x x =≤，求U C A ． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．17．已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式．18．已知函数22()log (4)f x x =-． （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值．19．设函数()(0)y f x x x =∈≠R 且，对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=． （1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．北京市第二中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（ ）．A ．{}1,3B ．{}3,9C ．{}3,5,9D ．{}3,7,9【答案】B 【解析】2．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[](2)f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ． 2【答案】D 【解析】3．为了得到函数133x y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度【答案】D 【解析】4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(],1-∞-上是增函数，则（ ）．A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x =B ． 1()f x x -=C ．12()f x x =D ．3()f x x =【答案】B【解析】6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）．A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x A ．(1),-∞B ．(3,)+∞C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称； （3）[]643log log (log 81)1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C 【解析】二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(8)f =__________．【解析】10．函数()f x =的定义域是__________．【答案】2,13⎛⎤⎥⎝⎦【解析】11．已知函数3()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 【答案】(3,2) 【解析】12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 【答案】1 【解析】13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可） 【答案】指数函数或值为1或0的常函数 【解析】14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t（年）的函数图像（如图）以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 【答案】②④【解析】三、解答题 15．计算：（1）2103227161)-+-． （2）7log 2222632log 3log log 778-+-． 【答案】（1）334（2）1【解析】16．已知函数()f x =A ，{}B x x a =<．（1）若全集{}4U x x =≤，求U C A ． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）{}234U C A x x x =-<或≤≤ （2）3a >【解析】17．已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式．【答案】（1）2(5)3f =-（2）证明略 （3）0x >时，1()1xf x x-=+ 【解析】18．已知函数22()log (4)f x x =-． （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值． 【答案】（1）(2,2)- （2）当0x =时，()f x 的最大值是2【解析】19．设函数()(0)y f x x x =∈≠R 且，对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=．（1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．【答案】见解析【解析】（1）证略（2）证略（3x <<且0x ≠且12x ≠。
2019-2020学年北京二中高一（上）期中数学试卷（含答案解析）
2019-2020学年北京二中高一（上）期中数学试卷（含答案解析）2019-2020学年北京二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|xA. ?B. {x|?1<x<1}< p="">C. {x|x<?1}D. {x|x<1}2.下列函数是奇函数的是()A. B.C. D. y=e x+e?x3.已知集合A={x|x2?5x+4<0,x∈Z}，B={m,2}，若A?B，则m=()A. 1B. 2C. 3D. 54.若函数g(x)=f(x)+x3是偶函数且f(?1)=2，则f(1)=()A. 0B. 1C. 2D. 35.已知集合A={0,1,2}，B={?1,2,0,5}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,2}C. {0,?1}D. {0}6.设全集U=R，集合A={x|?1<xA. {x|?1<x≤0}< p="">B. {x|1<x<2}< p="">C. {x|0<x<1}< p="">D. {x|0≤x<1}7.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(?∞,0]上是减函数，若f(a)>f(2)，则实数a的取值范围是()A. a≤2B. a2C. a≥?2D. ?2≤a≤28.定义：区间[a,b]，(a,b]，(a,b)，[a,b)的长度均为b?a，若不等式1x?1+2x?2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A. 当m>0时，l=√m2+2m+9mB. 当m>0时，l=3mC. 当m<0时，l=?√m2+2m+9mD. 当m<0时，l=?3m9.函数y=|a|x?1|a|(a≠0且a≠1)的图像可能是()A.B.D.10. 下列函数f (x )中，满足对任意x 1,x 2∈(0,+∞)，当x 1f (x 2)的是( )A. f (x )=1x B. f (x )=(x ?1)2 C. f (x )=e xD. f (x )=ln (x +1)11. 在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q(辆/小时)：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V(千米/小时)：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K(辆/千米)：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V 和K 满足一个线性关系，即V =v 0(1?Kk 0)(其中v 0，k 0是正数)，则以下说法正确的是( )A. 随着车流密度增大，车流速度增大B. 随着车流密度增大，交通流量增大C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小12. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f (1+x)=f (1?x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=?x +1，设函数g(x)=e ?|x?1|(?1<=""A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 已知函数g (x )=x 2?2x (x ∈[2,4])，则g (x )的最小值_______14. 已知函数f (x )={2x ,x ≤0?x 2+1?,x >0，若f (a )=12，则实数a 的值为___________．______ ．16. 若函数f(x)=x(2x+1)(x?a)为奇函数，则 a =_________．17. 函数f(x)=x 2+2x ?3,x ∈[1,3]的值域为_____________．18. 设x ∈R ，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f[f(x)?e x ]=e +1成立，则f(2)的值为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.已知集合A={x|x2?2x?3<9?x2<6?2x}，求A∩B．20.已知函数f(x)=a?4x?a?2x+1+1?b,(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1(1)求a,b的值；(2)若使关于x的方程f(x)?k?4x=0在x∈[?1,1]上有解，求实数k 的取值范围．21.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(0,1)，对称轴为直线x=1．(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞)，求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+(1?a)x2+2x在区间[?3,1]上是单调函数，求实数a的取值范围；(3)若函数?(x)=f(x)，且函数?(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．x22.已知集合A={a1,a2,a3,…,a k}(k≥2)，若对于任意的a∈A，总有?a?A，则称集合A具有性质P.由A中的元素构成一个相应的集合：T={(a,b)|a∈A，b∈A，a?b∈A}，其中(a,b)是有序实数对．检验集合{0,1，2，3}与{?1,2，3}是否具有性质P，并求出其中具有性质P的集合所对应的集合T．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了并集及其运算.利用并集的运算计算得结论．【解答】解：因为集合A={x|x<1}，所以A∪B={x|x<1}．故选D.2.答案：C解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，根据奇函数和偶函数的性质进行求解即可．【解答】解：易知选项A为非奇非偶函数，B，D为偶函数，故选C．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合的知识，解答本题的关键是知道真子集的计算方法．【解答】解：∵A={x|x2?5x+4<0,x∈Z}={x|1<x< p="">又∵B={m,2}，A?B，∴m=3，故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．由函数g(x)=f(x)+x3是偶函数，则g(?1)=g(1)，又f(?1)=2，可得f(1)．【解答】解：∵g(?1)=f(?1)+(?1)3=f(?1)?1，g(1)=f(1)+13=f(1)+1由函数g(x)=f(x)+x3是偶函数且f(?1)=2，∴g(?1)=g(1)，即f(?1)?1=f(1)+1，∴f(1)=f(?1)?2=0，故选A．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了交集及其运算，元素与集合的关系的应用，解题的关键是熟练掌握交集及其运算，元素与集合的关系的计算，根据已知及交集及其运算，元素与集合的关系的计算，求出A∩B 的值．【解答】解：∵A={0,1,2}，B={?1,2,0,5}，∴A∩B=｛0，2｝．故选B．6.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的补集、交集运算．利用一元二次不等式的解法化简集合B，利用补集的定义求出C U B，由交集的定义可得结果．【解答】解：因为B={x|x(x?2)<0}={x|0<x<2}，< p="">所以C U B={x|x≤0或x≥2}，结合集合A={x|?1<x<1}，< p="">所以可得A∩(C U B)={x|?1<x≤0}，故选a．< p="">7.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性以及单调性，属于简单题，由题意得|a|>2，即可求得结果【解答】解：∵y=f(x)是R上的偶函数，且在(?∞,0]上是减函数∴y=f(x)在[0,+∞)是增函数∵f(a)>f(2)，∴|a|>2∴a2故选B8.答案：B解析：【分析】本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．当m>0时，∵1x?1+2x?2≥m?mx2?(3+3m)x+2m+4(x?1)(x?2)≤0，令f(x)=mx2?(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，根据韦达定理以及f(1)，f(2)的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断m<0的情况．< p="">【解答】解：当m>0时，∵1x?1+2x?2≥m?mx2?(3+3m)x+2m+4(x?1)(x?2)≤0，令f(x)=mx2?(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，< p="">则m(x?x1)(x?x2)(x?1)(x?2)≤0，且x1+x2=3+3mm=3+3m，∵f(1)=m?3?3m+2m+4=1>0，f(2)=4m?6?6m+2m+4=?2<0，且f(x)图象的对称轴为3+3m2m =32+32m>1，∴1<x1<2<x2，< p="">所以不等式的解集为(1,x1]∪(2，x2]，∴l=x1?1+x2?2=x1+x2?3=3+3m ?3=3m，当m<0时，结合穿针引线法可知l为无限大，故选：B．解析：【分析】本题考查指数函数图像，基础题;根据指数函数图象特点即可知选D．【解答】解：因为由题意|a|>0，且|a|≠1，只需考虑a>0，且a≠1的情况．函数y=a x?(a>0,a≠1)的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a>1时，函数y=a x?在R上是增函数，且图象过点(?1,0)，故排除A，B，当1>a>0时，函数y=a x?在R上是减函数，且图象过点(?1,0)，故排除C．故选D．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．【解答】解：“对任意x1,x2∈(0,+∞)，当x1f(x2)”说明函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，只有f(x)=1符合题意．x故选A．11.答案：D)(其中v0，k0是正数)，则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量解析：解：因为V=v0(1?K k先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属简单题．12.答案：B解析：本题主要考查了函数图象的性质及函数图象的作法，属中档题．由函数图象的性质得：f(x)的图象关于直线x=1对称且关于y轴对称，函数g(x)=e??|x?1|(?1<x< p="">函数图象的作法可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=1对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4，得解．【解答】解：由偶函数f(x)满足(1+x)=f(1?x)可得f(x)的图象关于直线x=1对称且关于y轴对称，函数g(x)=e??|x?1|(?1<x< p=""> 函数y=f(x)的图象与函数g(x)=e??|x?1|(?1<x<3)的图象的位置关系如图所示，< p="">可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=1对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4．故选B．13.答案：0解析：【分析】本题主要考查二次函数在区间上的最值，考查学生计算能力，属于基础题．解题关键是利用二次函数性质，求出单调区间，即可计算最值．【解答】解：g(x)=x2?2x=(x?1)2?1，所以二次函数对称轴为x=1，开口向上；因为x∈[2,4]，所以g(x)在[2,4]单调递增，所以g(x)的最小值g(2)=0；故答案为0．14.答案：?1或√22解析：【分析】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．【解答】解：当a ≤0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =?1，当a >0时，f(a)=12，即?a 2+1=12，解得a =√22，故答案为?1或√22．15.答案：lg6+12解析：【分析】利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：原式．故答案为：．16.答案：12解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题.根据函数的奇偶性的定义进行解答即可；【解答】解：函数f(x)的定义域为{x |x ≠?12且x ≠a}．又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a =12．17.答案：[0,12]解析：【分析】本题考查函数的最值，解题的关键是配方，确定函数的单调性，属于中档题．配方可得，f(x)=x2+2x?3=(x+1)2?4，函数的对称轴为直线x=?1，确定函数在[1,3]单调递增，从而可求函数值域．【解答】解：f(x)=x2+2x?3=(x+1)2?4的对称轴方程为x=?1，则在[1,3]为增函数，且f(1)=0,f(3)=12，所以函数f(x)=x2+2x?3,x∈[1,3]的值域为[0,12]，故答案为[0,12]．18.答案：e2+1解析：【分析】本题考查函数的解析式的求法，函数的单调性，属于中档题．利用已知条件求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：设t=f(x)?e x，则f(x)=e x+t，则条件f[f(x)?e x]=e+1等价为f(t)=e+1，令x=t，则f(t)=e t+t=e+1，∵函数f(x)为单调递增函数，则t=1是e t+t=e+1的唯一解，代入f(x)=e x+t，得f(x)=e x+1，即f(2)=e2+1．故答案为：e2+1．19.答案：解：∵x2?2x?3<?3(x?1)，解得?3<x<x<2}．由0<9?x2<6?2x，解得?3<x<?1}，< p="">∴A∩B=(?3,?1)．解析：解一元二次不等式，求得A和B，利用两个集合的交集的定义，求出A∩B．本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．20.答案：解：(1)设t=2x，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]；函数f(x)=a?4x?a?2x+1+1?b，(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1即g(t)=at2?2at+1?b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)；g(t)=at2?2at+1?b开口向上，对称轴方程为t=1，则g(t)在[2,4]上单调递增；g(2)=4a?4a+1?b=1，g(4)=16a?8a+1?b=9；所以a=1，b=0；(2)方程f(x)?k?4x=0在x∈[?1,1]上有解；即4x?2x+1+1=k?4x在x∈[?1,1]上有解；∴k=14x ?22x+1在x∈[?1,1]上有解；设?(x)=14x ?22x+1，令12x=m∈[12,2]；所以y=m2?2m+1=(m?1)2，(m∈[12,2])；则0≤m2?2m+1≤1；所以?(x)∈[0,1]；故实数k的取值范围[0,1]；解析：(1)设t=2x，g(t)=at2?2at+1?b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)，求二次函数在闭区间上的最值问题；(2)分离参数得k=14x ?22x+1在x∈[?1,1]上有解；即求函数?(x)=14x2x+1在[?1,1]上的值域；本题考查二次型函数的值域问题，考查换元思想，分离参数的思想，属于中档题．21.答案：解：(1)因为f(x)的图象经过点(0,1)，对称轴为直线x=1．所以c=1，?b2a=1，即b=?2a，所以f(x)=ax2?2ax+1，又f(x)的值域为[0,+∞)所以(?2a)2?4a=0，解得a=1或a=0(舍去)．所求函数f(x)的解析式为f(x)=x2?2x+1．(2)函数g(x)=f(x)+(1?a)x2+2x，由(1)得f(x)=ax2?2ax+1，所以g(x)=x2+2(1?a)x+1，因为函数g(x)在区间[?3,1]上是单调函数，所以a?1≥1或a?1≤?3，得a≥2或a≤?2，即所求实数a的取值范围为(?∞,?2]∪[2,+∞)．(3)由函数?(x)=f(x)x =ax2?2ax+1x=ax+1x2a，设1≤x1<x2≤2，< p="">(x1)??(x2)=ax1+1x1?(ax2+1x2)=(x1?x2)(a?1x1x2因为1≤x1<x2≤2，函数?(x)在区间[1,2]上是增函数，< p="">所以?(x1)??(x2)<0，所以a?1x1x2>0，即a>1x1x2对一切1≤x1<x2≤2恒成立，，< p="">所以a≥1，即所求实数a的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查二次函数及函数的单调性．(1)由已知得c=1，?b2a=1，即b=?2a，然后利用值域为[0,+∞)，得Δ=0，求得a即可求解;(2)利用二次函数的对称轴与区间的关系即可求解;(3)利用单调性的定义即可求解．22.答案：解：对于集合{0,1，2，3}，0∈{0,1，2，3}，?0∈{0,1，2，3}，所以{0,1，2，3}不具有性质P.由题意知{?1,2，3}具有性质P．由?1，2，3可以组成六对有序实数对，分别是(?1,2)，(?1,3)，(2,3)，(2,?1)，(3,?1)，(3,2)．根据集合T的定义一一检验，可知(2,?1)，(2,3)是集合T中的元素，所以与{?1,2，3}对应的集合T 是{(2,?1)，(2,3)}．解析：【分析】利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合T的定义写出T．</x2≤2恒成立，，<></x2≤2，函数?(x)在区间[1,2]上是增函数，<></x2≤2，<></x<?1}，<></x<3)的图象的位置关系如图所示，<></x<></x<></x1<2<x2，<></x2，<></x2，根据韦达定理以及f(1)，f(2)的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断m<0的情况．<></x≤0}，故选a．<></x<1}，<></x<2}，<></x<></x<1}<></x<2}<></x≤0}<></x</x<1}<>。
2019北京二中教育集团高一(上)期中数学
2019北京二中教育集团高一（上）期中数学一、选择题（每小题6分，共60分）1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}2．若集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2+2}，则A∩B等于A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．[2，＋∞) D．φ3. 下列各组函数表示同一函数的是A. f(x)=√x2,g(x)=(√x)2B. f(x)=x+1,g(x)=x2−1x−1C. f(x)=x2,g(x)=(x+1)2D. f(t)=|t|,g(x)=√x24．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有A．②B．②③C．①②③D．①②③④5．已知函数y=√1−x2x2−3x−2的定义域为A．(−∞，1]B．(−∞，2]C．(−∞，−12)∩(−12，1]D．(−∞，−12)∪(−12，1]6. 函数f(x)=|x−2|x的单调递减区间是A．[1,2]B．[−1,0]C．(0,2]D．[2，+∞) 7．已知函数f(x)=4x2−mx+5在区间[−2，+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是A．f(1)≥25B．f(1)=25C．f(1)≤25D．f(1)>258.“不等式x2−x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是A. m>14B. m>0C. 0<m<1D. m>09．下列说法正确的个数有①若a>b,则1a <1b②若c>a>b>0，则ac−a >bc−b③若a<0,−1<b<0,则ab2>a④若m>0,b>a>0,则b+ma+m >ba⑤当x>0时，x2+1x2+1的最小值为1A．1 B．2 C．3 D．410．已知x>0，y>0，且2x +1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是A．(−∞，−2]∪[4，+∞)B．(−∞，−4]∪[2，+∞)C．(−2,4)D．(−4,2)二、填空题（每小题6分，共36 分）11．“∀x>0,x2−2x+1≥0”的否定是_____________________．12．若函数f(x)满足f(3x+2)9x+8，则f(x)的解析式是____________________．13．设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(m−1)>f(2m−1)，则实数m的取值范围是_________________．14．已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为(−13,12)，则不等式cx2+2x+a<0的解集为________________．15．已知关于x的不等式ax2+ax+1>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．16．设函数y=x2−2x,x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)=_____________．三、解答题（共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题14分）已知集合A={x|xx−1≥0,x∈R},B={x|x2−2ax+a2−1≤0}(1)若a=2，求AIB(2)若AUB=A，求实数a的取值范围18．（本小题 14分）若二次函数满足f(x+1)−f(x)=2x且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围．19. （本小题14分）已知函数f(x)=x−a在区间(1,+∞)上单调递增x−1(1)利用函数的单调性定义求出实数a的取值范围；(2)若对∀x1,x2∈[2,a+2]都有|f(x1)−f(x2)|≤1成立，求实数a的最大值.20. （本小题12分）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点P在矩形的边上沿A→B→C→D运动，与此同时动点M在CD边上由C 向D运动，速度是点P的四分之一，记∆APM的面积为y，点P经过的路程为x.(1)求y关于x函数关系式y=f(x);(2)画出函数y=f(x)的图象，并结合图象求出∆APM面积的最大值和相应的x的值.word下载地址。
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中+答案
2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）方程﹣x2﹣5x+6＝0的解集为（）A．{﹣6，1}B．{2，3}C．{﹣1，6}D．{﹣2，﹣3} 2．（5分）“x＞2”是“x2＞4”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣3x﹣1B．y=2x C．y＝x2﹣4x+5D．y＝|x﹣1|+24．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2，则f（−12）＝（）A．−14B．14C．−94D．945．（5分）设函数f（x）＝4x+1x−1（x＜0），则f（x）（）A．有最大值3B．有最小值3C．有最小值﹣5D．有最大值﹣56．（5分）若函数f（x）＝x+ax（a∈R）在区间（1，2）上恰有一个零点，则a的值可以是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．37．（5分）已知函数f（x）={(a−3)x+5，x≤12ax，x＞1是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2]C．（0，3）D．（0，3]8．（5分）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有意义，且对于任意的x，y∈R，有|f（x）﹣f （y）|＜|x﹣y|并且函数f（x+1）的对称中心是（﹣1，0），若函数g（x）﹣f（x）＝x，则不等式g（2x﹣x2）+g（x﹣2）＜0的解集是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）D．（﹣1，2）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两根，则x12+2x1+x1x2的值为．10．（5分）已知方程ax 2+bx +1＝0的两个根分别为−14，3，则不等式ax 2+bx +1＞0的解集为 ．（结果用区间表示）11．（5分）命题“∀x ＞0，x 2+2x ﹣3＞0”的否定是 ．12．（5分）已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+2，则f （1）+g （1）的值等于 ．13．（5分）若函数f （x ）＝x 2﹣2x +1在区间[a ，a +2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为 ．14．（5分）已知函数f(x)={−x|x|+2x ，x ≥a ．x ，x ＜a ．（1）若a ＝0，则函数f （x ）的零点有 个；（2）若f （x ）≤f （1）对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题共5题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（10分）设集合A ＝{x 2，x ﹣1}，B ＝{x ﹣5，1﹣x ，9}． （1）若x ＝﹣3，求A ∩B ； （2）若A ∩B ＝{9}，求A ∪B ． 16．（10分）已知函数f(x)=ax −2x．（1）求定义域，并判断函数f （x ）的奇偶性；（2）若f （1）+f （2）＝0，证明函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f （x ）在区间[1，4]上的最值．17．（10分）一元二次方程x 2﹣mx +m 2+m ﹣1＝0有两实根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围； （2）求x 1•x 2的最值；（3）如果|x 1−x 2|＞√5，求m 的取值范围．18．（10分）某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S 元，AD 的边长为x 米，DQ 的边长为y 米，试建立S 关于x 的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．19．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，其中b，c∈R．（Ⅰ）当f（x）的图象关于直线x＝1对称时，b＝；（Ⅱ）如果f（x）在区间[﹣1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c﹣1；（Ⅲ）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵﹣x 2﹣5x +6＝0， ∴x 2+5x ﹣6＝0， ∴（x +6）（x ﹣1）＝0， ∴x ＝﹣6或1，方程﹣x 2﹣5x +6＝0的解集为{﹣6，1}． 故选：A ．2．【解答】解：由x 2＞4，解得x ＞2，或x ＜﹣2． ∴“x ＞2”是“x 2＞4”的充分不必要条件． 故选：B ．3．【解答】解：由一次函数的性质可知，y ＝﹣3x ﹣1在区间（1，+∞）上为减函数，故A 错误；由反比例函数的性质可知，y =2x在区间（1，+∞）上为减函数，由二次函数的性质可知，y ＝x 2﹣4x +5在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故C 错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y ＝|x ﹣1|+2在（1，+∞）上单调递增． 故选：D ．4．【解答】解：根据题意，f （x ）满足x ＞0时，f （x ）＝x 2，则f （12）＝（12）2=14，又由函数f （x ）为奇函数，则f （−12）＝﹣f （12）=−14；故选：A ．5．【解答】解：当x ＜0时，f （x ）＝4x +1x −1＝﹣[（﹣4x ）+1−x ]﹣1≤−2√(−4x)⋅1−x −1=−5． 当且仅当﹣4x =−1x ，即x =−12时上式取“＝”． ∴f （x ）有最大值为﹣5． 故选：D ．6．【解答】解：由f （x ）＝x +a x=0可得，a ＝﹣x 2，由函数f （x ）＝x +ax（a ∈R ）在区间（1，2）上恰有一个零点，可知a ＝﹣x 2在（1，2）只有一个零点，当x ∈（1，2）时，y ＝﹣x 2∈（﹣4，﹣1）， ∴﹣4＜a ＜﹣1，结合选项可知，A 符合题意． 故选：A ．7．【解答】解：因为f （x ）为R 上的减函数， 所以x ≤1时，f （x ）递减，即a ﹣3＜0①，x ＞1时，f （x ）递减，即a ＞0②，且（a ﹣3）×1+5≥2a ③， 联立①②③解得，0＜a ≤2． 故选：B ．8．【解答】解：由函数f （x +1）的对称中心是（﹣1，0），可得f （x ）的图象关于（0，0）对称即f （x ）为奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， ∵g （x ）﹣f （x ）＝x ， ∴g （x ）＝f （x ）+x ，∴g （﹣x ）＝f （﹣x ）﹣x ＝﹣f （x ）﹣x ＝﹣g （x ）， ∵对于任意的x ，y ∈R ，有|f （x ）﹣f （y ）|＜|x ﹣y |， ∴|g （x ）﹣g （y ）﹣（x ﹣y ）|＜|x ﹣y |， ∴|g(x)−g(y)−(x−y)||x−y|＜1，即|g(x)−g(y)x−y−1|＜1，∴0＜g(x)−g(y)x−y＜2，即g ′（x ）＞0， ∴g （x ）单调递增，∵g （2x ﹣x 2）+g （x ﹣2）＜0，∴g （2x ﹣x 2）＜﹣g （x ﹣2）＝g （2﹣x ）， ∴2x ﹣x 2＜2﹣x ， 整理可得，x 2﹣3x +2＞0， 解可得，x ＞2或x ＜1，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两根，则x12+2x1﹣5＝0，x1x2＝﹣5．∴x12+2x1+x1x2＝5﹣5＝0．故答案为：0．10．【解答】解：由已知方程ax2+bx+1＝0的两个根分别为−14，3，∴−14+3=−b a，（−14）×3=1a；解得：a=−43，b=113．∴不等式ax2+bx+1＞0对应的二次函数开口向下，且对应方程的根为：−14和3．∴所求不等式的解集为（−14，3）．故答案为：（−14，3）．11．【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x＞0，x2+2x﹣3＞0”的否定是为∃x0＞0，x02+2x0﹣3≤0，故答案为：∃x0＞0，x02+2x0﹣3≤0．12．【解答】解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），∵f（x）﹣g（x）＝x3+x2+2，∴f（﹣x）+g（﹣x）＝x3+x2+2，则f（1）+g（1）＝﹣1+1+2＝2．故答案为：213．【解答】解：因为函数f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，所以对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，0）．令x2﹣2x+1＝4得：x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3，所以a+2＝﹣1或a＝3，即：a＝﹣3或3．故答案为：{﹣3，3}14．【解答】解：（1）当a ＝0时，如图，由图可知，f （x ）有2个零点．（2）①当a ≥0时，f （x ）={−x 2+2x ，x ≥a x ，x ＜a，如图，A （1，0），当x ＝a 在A 点左侧时，总能满足f （x ）≤f （1），此时0＜a ≤1； 当x ＝a 在A 点右侧时，不满足，②当a ＜0时，f （x ）={x 2+2x ，x ≥a x ，x ＜a，如图，，此时，无论a取何值均不能满足f（x）≤f（1）．综上0＜a≤1．故答案为：2；0＜a≤1．三、解答题共5题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】解：（1）x＝﹣3时，A＝{9，﹣4}，B＝{﹣8，4，9}，∴A∩B＝{9}；（2）∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴x2＝9，或x﹣1＝9，解得x＝±3或10，x＝3时，不满足集合B中元素的互异性，∴x＝﹣3或10，由（1）知，x＝﹣3时，A∪B＝{﹣8，﹣4，4，9}，x＝10时，A＝{100，9}，B＝{5，﹣9，9}，∴A∪B＝{﹣9，5，9，100}．16．【解答】解：（1）由题意可得，x≠0，∵f（﹣x）＝﹣ax+2x=−f（x），∴f（x）为奇函数；（2）由f（1）+f（2）＝a﹣2+2a﹣1＝0，∴a＝1，f（x）＝x−2 x，设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+2x2−2x1=（x1﹣x2）（1+2x1x2），∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+2x1x2＞0，∴（x1﹣x2）（1+2x1x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增，∴函数f（x）在区间[1，4]上的最大值f（4）=72，f（1）＝﹣1．17．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣mx+m2+m﹣1＝0有两实根x1，x2．∴△＝（﹣m）2﹣4（m2+m﹣1）≥0，从而解得：﹣2≤m≤2 3．（2）∵一元二次方程x2﹣mx+m2+m﹣1＝0有两实根x1，x2．∴由根与系数关系得：x1⋅x2=m2+m−1=(m+12)2−54，又由（1）得：﹣2≤m≤2 3，∴−54≤(m+12)2−54≤1，从而，x1•x2最小值为−54，最大值为1．（3）∵一元二次方程x2﹣mx+m2+m﹣1＝0有两实根x1，x2．∴由根与系数关系得：x1+x2=m，x1⋅x2=m2+m−1，∴|x1−x2|=√(x1−x2)2=√(x1+x2)2−4x1⋅x2=√m2−4(m2+m−1)＞√5，从而解得：−1＜m＜−1 3，又由（1）得：﹣2≤m≤2 3，∴m∈(−1，−13 )．18．【解答】解：（1）由题意，有AM=200−x24x，由AM＞0，有0＜x＜10√2；则S＝4200x2+210（200﹣x2）+80×2×(200−x24x)2；S＝4200x2+42000﹣210x2+400000−4000x2+10x4x2=4000x2+400000x2+38000；∴S关于x的函数关系式：S＝4000x2+4000002+38000，（0＜x＜10√2）；（2）S＝4000x2+400000x2+38000≥2√4000x2⋅400000x2+38000＝118000；当且仅当4000x 2=400000x 2时，即x =√10时，√10∈（0，10√2），S 有最小值； ∴当x =√10米时，S min ＝118000元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区． 19．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）＝x 2+bx +c 的对称轴为x =−b 2， 由f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 可得−b2=1，解得b ＝﹣2， 故答案为：﹣2．（Ⅱ）证明：由f （x ）在[﹣1，1]上不单调， 可得﹣1＜−b2＜1，即﹣2＜b ＜2，对任意的x ∈R ，f （x ）≥f （−b 2）=b 24−b 22+c ＝c −b 24，由﹣2＜b ＜2，可得f （x ）≥c −b24＞c ﹣1；（Ⅲ）f （x ）在区间（0，1）上有两个不同的零点， 设为r ，s ，（r ≠s ），r ，s ∈（，1）， 可设f （x ）＝（x ﹣r ）（x ﹣s ），由c 2+（1+b ）c ＝c （1+b +c ）＝f （0）f （1）＝rs （1﹣r ）（1﹣s ）， 且0＜rs （1﹣r ）（1﹣s ）＜[r+(1−r)2]2•[s+(1−s)2]2=116， 则c 2+（1+b ）c ∈（0，116）．。
北京二中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1 (含答案解析)
北京二中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={x|x2<9}，则A∩B=()A. {−2,−1,0,1，2，3}B. {−2,−1,0,1，2}C. {1,2,3}D. {1,2}2.以下四个命题：①∀x∈R，x2−3x+2>0恒成立；②∃x∈Q，x2=2；③∃x∈R，x2+1=0；④∀x∈R，4x2>2x−1+3x2，其中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 43.设等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1>0，公差d<0，a10⋅S21<0，则S n最大时，n的值为()A. 11B. 10C. 9D. 84.在如图所示的计算1+3+5+⋯+2013的值的程序框图中，判断框内应填入()A. i≤504B. i≤2009C. i<2013D. i≤2013]上的图象如图所示，则m、n的值可能是() 5.函数f(x)=ax m(1−2x)n(a>0)在区间[0,12A. m =1，n =1B. m =1，n =2C. m =2，n =3D. m =3，n =16. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,−π<φ<0)的最小正周期是π，将f(x)图象向左平移π3个单位长度后，所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f(x)( )A. 在区间[−π6,π3]上单调递减 B. 在区间[−π6,π3]上单调递增 C. 在区间[−π3,π6]上单调递减D. 在区间[−π3,π6]上单调递增7. 已知函数f(x)={2x −2,x ≤1,2+log 2x,x >1,则函数f(x)的零点为( )A. 14和1B. −4和0C. 14D. 18. 已知函数f(x)=(13)x −x 2，若f(x 0)=m ，x 1∈(0,x 0)，x 2∈(x 0,+∞)，则( )A. f(x 1)<m ，f(x 2)<mB. f(x 1)<m ，f(x 2)>mC. f(x 1)>m ，f(x 2)<mD. f(x 1)>m ，f(x 2)>m二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 9. 函数f(x)=2x 2−3x e x的单调增区间为______．10. 已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是________． 11. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ≥0,x +y +1≤0,x −y +2≥0,则z =x +2y 的最大值是________．12. 已知某四棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是______，其全面积是______．13.已知a1=1，a2=−11+a1，a3=−11+a2，…，a n+1=−11+an，….那么a2017=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若a=2，且▵ABC的面积为√3，求▵ABC的周长．15.根据空气质量指数AQI(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：AQI(数值)0～5051～100101～150151～200201～300>300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色某市2013年10月1日−10月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如图的条形图：(1)估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中度污染的概率；(2)在空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据中任取2个，求至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐红色的概率．16.已知数列{a n}各项均为正数，且a1=1，(1)设b n=1，求证：数列{b n}是等差数列；a n}的前n项和S n．(2)求数列{a nn+117.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(Ⅰ)求证：DE//平面A1CB；(Ⅱ)求证：A1F⊥BE．18.已知函数f(x)=2e x+m(x+1)，(m∈R)，e为自然对数的底数．(1)当m=1时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率e=√32，且经过点(√3,12)，A，B，C，D为椭圆的四个顶点(如图)，直线l过右顶点A且垂直于x轴．(1)求该椭圆的标准方程；(2)P为l上一点(x轴上方)，直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若S△PCD=2S△PEF，求点P 的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查集合的交集的运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．解：∵集合A={1,2，3}，B={x|x2<9}={x|−3<x<3],∴A∩B={1,2}．故选D．2.答案：A解析：本题主要考查命题真假的判定，逐题分析即可得解．解：∵Δ=(−3)2−4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2−3x+2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x=±√2时，x2=2，∴不存在x∈Q，使得x2=2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2+1≠0，∴③为假命题；④中，当x=1时，4x2=2x−1+3x2；则④为假命题．∴真命题的个数为0，故选A．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．=21a11.根据首项a1>0，公差d<0，a10⋅S21<0，可得a10>0，a11<0.根据其S21=21×(a1+a21)2单调性性质即可得出．=21a11．解：S21=21×(a1+a21)2∵首项a1>0，公差d<0，a10⋅S21<0，∴a10>0，a11<0．则S n最大时，n的值为10．故选B．4.答案：D解析：本题考查程序框图，属于基础题．解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=0+1，i=3，第二圈：S=1+3，i=5，第三圈：S=1+3+5，i=7，…依此类推，第1007圈：1+3+5+⋯+2013，i=2015，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i≤2013，故选D．。
北京市第二中学2020_2021学年高一数学上学期期中试题含解析
【点睛】本题考查了函数的概念、函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
3.若集合 中只有一个元素，则
A. B. C. 0D. 0或
【答案】D
【解析】
【分析】
分 与 两种情况讨论元素的个数可得答案．
【详解】解：集合 中只有一个元素，
当 时，可得 ，集合 只有一个元素为： ．
当 时：方程 只有一个解：即 ，
二．填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
11.已知命题 ：“ ”，则 ：_________．
【答案】
【解析】
【分析】
写出全称命题的否定形式即可.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，
所以命题 ： 的否定形式为 ： .
故答案为：
12.函数 的定义域是__________，最小值是__________．
【解析】
分析】
（1）由 ，可知2是方程 和 的唯一公共解，进而可求出 ，解一元二次方程，可求出集合 ；
（2）由集合 ，可求出集合 ，进而分别求出 ，然后求出 即可.
【详解】（1）因为 ，所以2是方程 和 的唯一公共解，
则 ， ，解得 ，
所以 ，
.
（2）由 ， ，可得全集 ，
所以 ，则 .
20.已知集合 或 ，关于 的不等式 的解集为 .
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性得到 ，根据 在 上的单调性，结合 ，即可求解.
【详解】 函数 是定义在 上的偶函数， ，即 ，
， 在 上是增函数，
不等式 等价于 ，解得： ，
的解集为 .
故答案为： .
15.已知函数 ，若函数 与 轴有 个交点，则实数 的取值范围是_________．
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2019-2020学年北京二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<−1}，B={y|y<1}，则A∪B=()A. ⌀B. {x|−1<x<1}C. {x|x<−1}D. {x|x<1}2.下列函数是奇函数的是()A. B.C. D. y=e x+e−x3.已知集合A={x|x2−5x+4<0,x∈Z}，B={m,2}，若A⊆B，则m=()A. 1B. 2C. 3D. 54.若函数g(x)=f(x)+x3是偶函数且f(−1)=2，则f(1)=()A. 0B. 1C. 2D. 35.已知集合A={0,1,2}，B={−1,2,0,5}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,2}C. {0,−1}D. {0}6.设全集U=R，集合A={x|−1<x<1}，B={x|x(x−2)<0}，则A∩(C U B)=()A. {x|−1<x≤0}B. {x|1<x<2}C. {x|0<x<1}D. {x|0≤x<1}7.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(−∞,0]上是减函数，若f(a)>f(2)，则实数a的取值范围是()A. a≤2B. a<−2或a>2C. a≥−2D. −2≤a≤28.定义：区间[a,b]，(a,b]，(a,b)，[a,b)的长度均为b−a，若不等式1x−1+2x−2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A. 当m>0时，l=√m2+2m+9mB. 当m>0时，l=3mC. 当m<0时，l=−√m2+2m+9mD. 当m<0时，l=−3m9.函数y=|a|x−1|a|(a≠0且a≠1)的图像可能是()A. B. C. D.10. 下列函数f (x )中，满足对任意x 1,x 2∈(0,+∞)，当x 1<x2时都有f (x 1)>f (x 2)的是( )A. f (x )=1xB. f (x )=(x −1)2C. f (x )=e xD. f (x )=ln (x +1)11. 在交通工程学中，常作如下定义： 交通流量Q(辆/小时)：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V(千米/小时)：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K(辆/千米)：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V 和K 满足一个线性关系，即V =v 0(1−Kk 0)(其中v 0，k 0是正数)，则以下说法正确的是( )A. 随着车流密度增大，车流速度增大B. 随着车流密度增大，交通流量增大C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小12. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f (1+x)=f (1−x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=−x +1，设函数g(x)=e −|x−1|(−1<x <3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 已知函数g (x )=x 2−2x (x ∈[2,4])，则g (x )的最小值_______14. 已知函数f (x )={2x ,x ≤0−x 2+1 ,x >0，若f (a )=12，则实数a 的值为___________． 15.______ ． 16. 若函数f(x)=x (2x+1)(x−a)为奇函数，则a =_________．17. 函数f(x)=x 2+2x −3,x ∈[1,3]的值域为_____________．18. 设x ∈R ，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f[f(x)−e x ]=e +1成立，则f(2)的值为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.已知集合A={x|x2−2x−3<−3(x−1)}，B={x|0<9−x2<6−2x}，求A∩B．20.已知函数f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b,(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1(1)求a,b的值；(2)若使关于x的方程f(x)−k⋅4x=0在x∈[−1,1]上有解，求实数k的取值范围．21.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(0,1)，对称轴为直线x=1．(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞)，求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+(1−a)x2+2x在区间[−3,1]上是单调函数，求实数a的取值范围；(3)若函数ℎ(x)=f(x)，且函数ℎ(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．x22.已知集合A={a1,a2,a3,…,a k}(k≥2)，若对于任意的a∈A，总有−a∉A，则称集合A具有性质P.由A中的元素构成一个相应的集合：T={(a,b)|a∈A，b∈A，a−b∈A}，其中(a,b)是有序实数对．检验集合{0,1，2，3}与{−1,2，3}是否具有性质P，并求出其中具有性质P的集合所对应的集合T．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了并集及其运算.利用并集的运算计算得结论．【解答】解：因为集合A={x|x<−1}，B={y|y<1}={x|x<1}，所以A∪B={x|x<1}．故选D.2.答案：C解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，根据奇函数和偶函数的性质进行求解即可．【解答】解：易知选项A为非奇非偶函数，B，D为偶函数，故选C．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合的知识，解答本题的关键是知道真子集的计算方法．【解答】解：∵A={x|x2−5x+4<0,x∈Z}={x|1<x<4,x∈Z}={2,3}，又∵B={m,2}，A⊆B，∴m=3，故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．由函数g(x)=f(x)+x3是偶函数，则g(−1)=g(1)，又f(−1)=2，可得f(1)．【解答】解：∵g(−1)=f(−1)+(−1)3=f(−1)−1，g(1)=f(1)+13=f(1)+1由函数g(x)=f(x)+x3是偶函数且f(−1)=2，∴g(−1)=g(1)，即f(−1)−1=f(1)+1，∴f(1)=f(−1)−2=0，故选A．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了交集及其运算，元素与集合的关系的应用，解题的关键是熟练掌握交集及其运算，元素与集合的关系的计算，根据已知及交集及其运算，元素与集合的关系的计算，求出A∩B的值．【解答】解：∵A={0,1,2}，B={−1,2,0,5}，∴A∩B=｛0，2｝．故选B．6.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的补集、交集运算．利用一元二次不等式的解法化简集合B，利用补集的定义求出C U B，由交集的定义可得结果．【解答】解：因为B={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2}，所以C U B={x|x≤0或x≥2}，结合集合A={x|−1<x<1}，所以可得A∩(C U B)={x|−1<x≤0}，故选A．7.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性以及单调性，属于简单题，由题意得|a|>2，即可求得结果【解答】解：∵y=f(x)是R上的偶函数，且在(−∞,0]上是减函数∴y=f(x)在[0,+∞)是增函数∵f(a)>f(2)，∴|a|>2∴a<−2或a>2故选B8.答案：B解析：【分析】本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．当m>0时，∵1x−1+2x−2≥m⇔mx2−(3+3m)x+2m+4(x−1)(x−2)≤0，令f(x)=mx2−(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，根据韦达定理以及f(1)，f(2)的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断m<0的情况．【解答】解：当m>0时，∵1x−1+2x−2≥m⇔mx2−(3+3m)x+2m+4(x−1)(x−2)≤0，令f(x)=mx2−(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，则m(x−x1)(x−x2)(x−1)(x−2)≤0，且x1+x2=3+3mm=3+3m，∵f(1)=m−3−3m+2m+4=1>0，f(2)=4m−6−6m+2m+4=−2<0，且f(x)图象的对称轴为3+3m2m =32+32m>1，∴1<x1<2<x2，所以不等式的解集为(1,x1]∪(2，x2]，∴l=x1−1+x2−2=x1+x2−3=3+3m −3=3m，当m<0时，结合穿针引线法可知l为无限大，故选：B．解析：【分析】本题考查指数函数图像，基础题;根据指数函数图象特点即可知选D．【解答】解：因为由题意|a|>0，且|a|≠1，只需考虑a>0，且a≠1的情况．函数y=a x−(a>0,a≠1)的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a>1时，函数y=a x−在R上是增函数，且图象过点(−1,0)，故排除A，B，当1>a>0时，函数y=a x−在R上是减函数，且图象过点(−1,0)，故排除C．故选D．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．【解答】解：“对任意x1,x2∈(0,+∞)，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)”说明函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，只有f(x)=1符合题意．x故选A．11.答案：D)(其中v0，k0是正数)，则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量解析：解：因为V=v0(1−K k先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属简单题．12.答案：B解析：本题主要考查了函数图象的性质及函数图象的作法，属中档题．由函数图象的性质得：f(x)的图象关于直线x=1对称且关于y轴对称，函数g(x)=e −|x−1|(−1<x<3)的图象也关于直线x=1对称，由函数图象的作法可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=1对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4，得解．【解答】解：由偶函数f(x)满足(1+x)=f(1−x)可得f(x)的图象关于直线x=1对称且关于y轴对称，函数g(x)=e −|x−1|(−1<x<3)的图象也关于直线x=1对称，函数y=f(x)的图象与函数g(x)=e −|x−1|(−1<x<3)的图象的位置关系如图所示，可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=1对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4．故选B．13.答案：0解析：【分析】本题主要考查二次函数在区间上的最值，考查学生计算能力，属于基础题．解题关键是利用二次函数性质，求出单调区间，即可计算最值．【解答】解：g(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以二次函数对称轴为x=1，开口向上；因为x∈[2,4]，所以g(x)在[2,4]单调递增，所以g(x)的最小值g(2)=0；故答案为0．14.答案：−1或√22解析：【分析】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．【解答】解：当a ≤0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =−1，当a >0时，f(a)=12，即−a 2+1=12，解得a =√22， 故答案为−1或√22． 15.答案：lg6+12解析：【分析】利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】 解：原式．故答案为：．16.答案：12解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题.根据函数的奇偶性的定义进行解答即可；【解答】解：函数f(x)的定义域为{x |x ≠−12且x ≠a}．又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a =12．17.答案：[0,12]解析：【分析】本题考查函数的最值，解题的关键是配方，确定函数的单调性，属于中档题．配方可得，f(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4，函数的对称轴为直线x=−1，确定函数在[1,3]单调递增，从而可求函数值域．【解答】解：f(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4的对称轴方程为x=−1，则在[1,3]为增函数，且f(1)=0,f(3)=12，所以函数f(x)=x2+2x−3,x∈[1,3]的值域为[0,12]，故答案为[0,12]．18.答案：e2+1解析：【分析】本题考查函数的解析式的求法，函数的单调性，属于中档题．利用已知条件求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：设t=f(x)−e x，则f(x)=e x+t，则条件f[f(x)−e x]=e+1等价为f(t)=e+1，令x=t，则f(t)=e t+t=e+1，∵函数f(x)为单调递增函数，则t=1是e t+t=e+1的唯一解，代入f(x)=e x+t，得f(x)=e x+1，即f(2)=e2+1．故答案为：e2+1．19.答案：解：∵x2−2x−3<−3(x−1)，解得−3<x<2，∴A={x|−3<x<2}．由0<9−x2<6−2x，解得−3<x<−1，∴B={x|−3<−1}，∴A∩B=(−3,−1)．解析：解一元二次不等式，求得A和B，利用两个集合的交集的定义，求出A∩B．本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．20.答案：解：(1)设t=2x，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]；函数f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b，(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1即g(t)=at2−2at+1−b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)；g(t)=at2−2at+1−b开口向上，对称轴方程为t=1，则g(t)在[2,4]上单调递增；g(2)=4a−4a+1−b=1，g(4)=16a−8a+1−b=9；所以a=1，b=0；(2)方程f(x)−k⋅4x=0在x∈[−1,1]上有解；即4x−2x+1+1=k⋅4x在x∈[−1,1]上有解；∴k=14x −22x+1在x∈[−1,1]上有解；设ℎ(x)=14x −22x+1，令12x=m∈[12,2]；所以y=m2−2m+1=(m−1)2，(m∈[12,2])；则0≤m2−2m+1≤1；所以ℎ(x)∈[0,1]；故实数k的取值范围[0,1]；解析：(1)设t=2x，g(t)=at2−2at+1−b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)，求二次函数在闭区间上的最值问题；(2)分离参数得k=14x −22x+1在x∈[−1,1]上有解；即求函数ℎ(x)=14x−22x+1在[−1,1]上的值域；本题考查二次型函数的值域问题，考查换元思想，分离参数的思想，属于中档题．21.答案：解：(1)因为f(x)的图象经过点(0,1)，对称轴为直线x=1．所以c=1，−b2a=1，即b=−2a，所以f(x)=ax2−2ax+1，又f(x)的值域为[0,+∞)所以(−2a)2−4a=0，解得a=1或a=0(舍去)．所求函数f(x)的解析式为f(x)=x2−2x+1．(2)函数g(x)=f(x)+(1−a)x2+2x，由(1)得f(x)=ax2−2ax+1，所以g(x)=x2+2(1−a)x+1，因为函数g(x)在区间[−3,1]上是单调函数，所以a−1≥1或a−1≤−3，得a≥2或a≤−2，即所求实数a的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞)．(3)由函数ℎ(x)=f(x)x =ax2−2ax+1x=ax+1x−2a，设1≤x1<x2≤2，ℎ(x1)−ℎ(x2)=ax1+1x1−(ax2+1x2)=(x1−x2)(a−1x1x2)，因为1≤x1<x2≤2，函数ℎ(x)在区间[1,2]上是增函数，所以ℎ(x1)−ℎ(x2)<0，所以a−1x1x2>0，即a>1x1x2对一切1≤x1<x2≤2恒成立，，所以a≥1，即所求实数a的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查二次函数及函数的单调性．(1)由已知得c=1，−b2a=1，即b=−2a，然后利用值域为[0,+∞)，得Δ=0，求得a即可求解;(2)利用二次函数的对称轴与区间的关系即可求解;(3)利用单调性的定义即可求解．22.答案：解：对于集合{0,1，2，3}，0∈{0,1，2，3}，−0∈{0,1，2，3}，所以{0,1，2，3}不具有性质P.由题意知{−1,2，3}具有性质P．由−1，2，3可以组成六对有序实数对，分别是(−1,2)，(−1,3)，(2,3)，(2,−1)，(3,−1)，(3,2)．根据集合T的定义一一检验，可知(2,−1)，(2,3)是集合T中的元素，所以与{−1,2，3}对应的集合T 是{(2,−1)，(2,3)}．解析：【分析】利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合T的定义写出T．。