问题已知双曲线的渐近线方程,其对应的双曲线方程是唯一的吗若
精品解析：2022年北京市高考数学试题(解析版)
8位小提琴泰斗的16部巅峰演绎！好听到炸！▲饱受赞誉的艺术纪录片《小提琴的艺术》厉害的小提琴家层出不穷下面这8位小提琴泰斗代表着20世纪小提琴领域的至高巅峰他们的拿手曲目你都听过吗？▼1Jascha Heifetz雅沙·海菲兹▼布鲁赫的三首小提琴协奏曲和为小提琴和乐队而作的这首《苏格兰幻想曲》都是不可多得的杰作，后者是题献给一代宗师萨拉萨蒂的。
海菲兹演奏的《苏格兰幻想曲》是许多人心目中的最佳版本，小提琴家帕尔曼甚至表示自己不会去录这部作品，因为他认为这部作品只属于海菲兹。
▼2Nathan Milstein内森·米尔斯坦米尔斯坦是海菲茨、艾尔曼的同门师弟，是俄罗斯学派的泰斗奥尔的高徒之一。
他的演奏纯净透彻，高贵犀利，在技术和思想层面都达到了极高的造诣。
他那无与伦比的音色令人听而心生敬畏之情，因此他有着“贵族小提琴”的美称。
米尔斯坦演绎的作品几乎可以说都是精品，尤其是他演奏的勃拉姆斯《D大调小提琴协奏曲》，力量充沛而高贵不屈，由他自己创作的华彩乐段悲壮豪迈，震撼人心！▼圣桑的《第三小提琴协奏曲》也是题献给萨拉萨蒂的名作，圣桑曾将这部协奏曲比喻为“两山夹一湖”，即两个雄伟磅礴的乐章间夹着一首优雅动人的船歌。
这首协奏曲旋律极美，首末乐章冲劲十足，许多演奏家对这部作品的诠释是流连于外在的华丽而缺乏深刻的思想的。
米尔斯坦的演绎，让这部作品中充斥着一种英雄主义的壮烈感。
▼3David Oistrakh大卫·奥伊斯特拉赫如果说海菲兹在听众心目中的气质是“高冷”的，那奥伊斯特拉赫则代表着“温暖”，如果说海菲兹的琴声有一种“神性”，那奥伊斯特拉赫的琴声则始终流露出真挚的“人性”。
作为俄罗斯小提琴学派的代表人，奥伊斯特拉赫对柴可夫斯基《D 大调小提琴协奏曲》的演绎是深得人心的，他生前也曾多次留下这部作品的精彩录音。
柴可夫斯基《小提琴协奏曲》▼德沃夏克的《小提琴协奏曲》是一部被低估了的杰作。
2017年高考真题(全国Ⅲ卷)数学理科含解析
2017年普通高等学校招生统一考试全国卷Ⅲ理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={}22x y y x│，则A B=(,)(,)1│，B={}x y x y+=中元素的个数为A．3 B．2 C．1D．0【答案】B【解析】【考点】交集运算；集合中的表示方法。
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。
集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。
2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣= A ．12 BCD ．2【答案】C 【解析】【考点】 复数的模；复数的运算法则 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： (1)1212z zz z ±=± ；(2) 1212z z z z ⨯=⨯；(3)22z z z z⋅== ；(4)121212z z z z z z -≤±≤+ ；(5)1212z zz z =⨯ ；(6)1121z z z z =。
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】动性大，选项D说法正确；故选D。
【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。
已知渐近线方程怎么设双曲线方程
已知渐近线方程怎么设双曲线方程要确定双曲线方程，我们首先需要知道两条渐近线。
渐近线是指曲线在无穷远处趋于无限大时与直线的位置关系。
设双曲线的方程为y=f(x)。
我们可以通过两个关键点来确定渐近线：离曲线最近的一个点和离曲线最远的一个点。
考虑以下三种情况：曲线有水平渐近线、斜渐近线和倾斜渐近线。
1.若曲线有水平渐近线：水平渐近线的方程可设为y=k，其中k为常数。
这意味着当y无限增大或无限减小时，x的值没有约束。
然而，2自由度可以通过一个常量来约束，例如k=0。
因此，当y趋于正无穷和负无穷时，f(x)也应趋于正无穷和负无穷。
2.若曲线有斜渐近线：斜渐近线的方程可设为y = mx + b，其中m和b是常数。
若斜渐近线存在，它们将与曲线无限接近且趋于无穷远。
在斜渐近线上，我们可以选择一个特定的点，然后通过这个点和斜率来决定斜渐近线的方程。
通过选择一个点(x₀,y₀)在曲线上，我们可以得到方程y₀=f(x₀)。
然后，我们可以确定斜率为m，使得斜渐近线通过这个点。
斜渐近线方程可以通过计算得到：y-y₀=m(x-x₀)3.若曲线有倾斜渐近线：倾斜渐近线是通过两个无限远处的点，而不是曲线上的点。
为了得到倾斜渐近线的方程，我们需要选择离曲线最近和最远的两个点。
设曲线上的点为(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，其中x₁<x₂。
然后我们可以计算斜率m：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)接下来，我们通过选择一个点(x₀,y₀)来计算截距b：b=y₀-m*x₀倾斜渐近线方程为：y = mx + b综上所述，根据曲线的渐近线情况，我们可以设定双曲线的方程。
具体步骤如下：1.确定曲线的渐近线是否为水平线。
若是，则方程为y=k，其中k为常数。
2.确定曲线的渐近线是否为斜线。
若是，则通过选择曲线上的一个点(x₀,y₀)来计算斜率m，并得到斜渐近线方程为y-y₀=m(x-x₀)。
3. 确定曲线的倾斜渐近线，并通过选择离曲线最近和最远的两个点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)来计算斜率m和截距b。
《双曲线》练习题经典(含答案)
2, 1.
消去
y
得：(λ＋2)x2－4
2x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解，∴λ＋2≠0 且 Δ>0，
4－λ ∴λ>2 或 λ<0 且 λ≠－2，x1·x2＝λ＋2，
3(4－λ)
uuur uuur 而 MAgMB ＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋ 2x1· 2x2＝3x1x2＝ λ＋2 ，
4－λ 3
y2
∴λ＋2＝－2，解得 λ＝－14.∴曲线 C 的方程是 x2－14＝1.
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0，右顶点为 3, 0 .
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程
uuur uuur （Ⅱ）若直线 l : y kx 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA OB 2 （其中 O 为原点），求 k 的
3．在平面直角坐标系中，双曲线 C 过点 P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为 2x+y=0 和 2x﹣y=0，则双曲 线 C 的标准方程为（ B ）
A．
B．
C．
或
D．
x2
y2
x2 y2
4.已知椭圆 2a 2 ＋ 2b 2 ＝1（a＞b＞0）与双曲线 a 2 － b 2 ＝1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）
为 ，则双曲线的离心率为（ A ）
A．2 B．
C．
D．
7．已知双曲线
y2 a2
x2 9
1 的两条渐近线与以椭圆 x2 25
y2 9
1
的左焦点为圆心、半径为
16 5
的圆相切，则双曲
线的离心率为（ A ）
A． 5 B． 5 C． 4 D． 6
2022-2023学年湖南省怀化市高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年湖南省怀化市高二上学期期中数学试题一、单选题1．以下四个命题中，真命题为（ ）A ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B ．底面是矩形的四棱柱是长方体C ．正三棱锥是正四面体D ．棱台的侧棱延长后必交于一点【答案】D【分析】根据柱体、锥体、台体的定义和结构特征即可判断正误.【详解】对于A ，等腰三角形的腰不一定是侧棱，A 是假命题；对于B ，侧棱与底面矩形不一定垂直，B 是假命题；对于C ，正三棱锥的棱长与底面边长不一定相等，故不一定是正四面体；对于D ，由棱台的定义知D 是真命题.故选：D.2．.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD C C +-=（ ）A ．1ACB ．1AC C ．1C BD ．1DB【答案】A【分析】用向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可解决.【详解】1AB AD C C +-=111AC C C AC CC AC -=+=.故选：A3．已知向量()23,0,2a =，向量13,0,2b ⎛= ⎝⎭，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ）A ．()3,0,3B ．()3,0,1-C ．()1,0,3D ．13,0,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】a 在b 上投影向量()21323,0,3,0,323123a b a b b b ⎛⎫⋅=⋅=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭+ 故选：A4．已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ ） A ．13 B ．12 C ．22 D ．223 【答案】C【分析】根据椭圆方程可知b 值，根据焦点坐标得到c 值，即可求出a 代入离心率公式求解.【详解】由已知可得24b =，2c =，则2228a b c =+=，所以22a =，则离心率22c e a ==． 故选：C.5．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（ ）A ．2πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】B【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为426πππ+=，故总曲率为5264πππ⨯-=．故选：B.6．用一个圆心角为120︒，面积为3π的扇形OMN （O 为圆心）围成一个圆锥（点M N ､恰好重合），该圆锥顶点为P ，底面圆的直径为AB ，则tan APB ∠的值为（ ）A 42B 22C 32D 42 【答案】A【分析】根据扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，求出圆锥的底面半径、高，得到tan 2APB ∠，利用二倍角公式即可求出tan APB ∠．【详解】设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ，高为h ．∵扇形的圆心角为120︒ ∴222ππ123π33S R R ⋅⋅===扇形，∴3R = ∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长 ∴2π2π3R r ⋅=，∴=1r ∴222h R r =-=∴2tan 2422APB r h ∠=== ∴2222tan 24224tan 21tan 12APB APB APB ∠∠===∠--⎝⎭故选：A ．7．直线y x =和y x =-上各有一点,P Q （其中点,P Q 的纵坐标分别为,P Q y y 且满足0P Q y y <），OPQ △的面积为4，则PQ 的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．224x y +=B ．224x y -=C ．224y x -=D ．228x y += 【答案】B【分析】由题意可设设()()(),,,,,P a a Q b b M x y -，则,OP OQ ==，由三角形面积公式求解即可【详解】因为直线y x =和y x =-互相垂直，所以OP OQ ⊥，又0P Q y y <，所以点,P Q 在一，四象限或者二，三象限，设()()(),,,,,P a a Q b b M x y -，因为M 为PQ 的中点， 所以,22a b a b x y +-==， 所以,a x y b x y =+=-因为90POQ ∠=︒，所以,OP OQ ，所以11422OPQ S OP OQ =⋅==， 所以4ab =，所以()()4x y x y +-=，即224x y -=，故选：B8．当m 变化时，不在直线()21220m x my -+--=上的点所成区域(),,G P x y 是区域G 内的任意一点.3x y +的取值范围是（ ）A．⎤⎥⎝⎦ B ．()1,2 C．⎫⎪⎪⎣⎭ D ．()2,3【答案】A【分析】原方程化为关于m的方程(2220xm y m x -+-+-=，得()(2211x y -+<，OM ，ON夹角记作α，直线OP 与圆相切，进而得[)0,30α∈︒︒，即可求解【详解】原方程化为关于m 的方程()222320xm y m x -+-+-=，0x ≠时，Δ0<，得()()22131x y -+-<，当0x =，3y =时，点()03，不在直线310my m --=上，所以区域G 是以点()1,3A 为圆心，半径为1的圆的内部（除()03，外不包括圆上点），33,22OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(),OP x y =，OM ，OP 夹角记作α， 由,A M 坐标可知,,O A M 三点共线，且60AOx ∠=︒，当直线OP 与圆相切于点P ，Q 时，1,2AP AQ OA ===， 所以此时30AOP AOQ ∠=∠=︒，因此[)0,30α∈︒︒，2233322cos ,123x y x y α+⎛⎤=∈ ⎥ +⎝⎦． 故选：A二、多选题9．已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．当14t <<时，曲线C 是椭圆B ．当4t >或1t <时，曲线C 是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则4t >【答案】BC【分析】根据22141x y t t +=--表示椭圆可求得512t <<或542t <<，判断A; 22141x y t t +=--表示双曲线可求得4t >或1t <，判断B;根据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的不等式组，求得参数范围，判断C,D.【详解】当曲线C 是椭圆时，401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得512t <<或542t <<，故A 错误； 当曲线C 是双曲线时，()()410t t --<，解得4t >或1t <，故B 正确；若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得512t <<，故C 正确； 若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得542t <<，故D 错误． 故选:BC ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值可能是（ ）A ．14B ．14-C ．12D ．10-【答案】CD【分析】由圆的方程求出圆心，求出半径，利用点到直线的距离公式根据题意列出不等式即可求得答案;【详解】圆224x y +=的圆心为(0,0)O ，半径等于2，圆心到直线1250x y c -+=的距离||13c d == ， 要使圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，应有||2113c <-， 即1313c -<< ，则结合选项可知12,10-适合题意，故选∶CD ． 11．已知在直三棱柱111ABC A B C 中，底面是一个等腰直角三角形，且1,AB BC BB E F G M ==､､､分别为1111,,,B C A B AB BC 的中点.则（ ）A ．1GB 与平面11ACC AB ．1AB 与1BC 所成角为π3 C ．1A M 平面EFBD ．平面1AB C ⊥平面1A MC【答案】BCD【分析】对于A 、B ：建系，利用空间向量处理相关角度问题；对于C ：根据线面平行的判定定理证明；对于D ：利用线面垂直的判定定理先证BC ⊥平面11ABB A ，可得1BC AB ⊥，再证1AB ⊥平面1A BC ，进而说明结果.【详解】对于A 、B ：如图1，建立空间之间坐标系，设2AB =，则有：()()()()()()110,2,0,0,0,0,2,0,0,0,1,0,2,0,2,0,0,2A B C G C B∴()()()()()11110,1,2,2,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2GB AC CC BC AB =-=-===-设平面11ACC A 的法向量为(),,n x y z =则有122020n AC x y n CC z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，则1,0y z == ∴()1,1,0n =则111110cos ,1025n GB n GB n GB ⋅==-=-⨯ ∴1GB 与平面11ACC A 夹角的正弦值为1010，则余弦值为31010，A 错误； ∵11111141cos ,22222BC AB BC AB BC AB ⋅===⨯ ∴1AB 与1BC 所成角的余弦值为12，则夹角为π3，B 正确；如图2：对于C ：连接1,,EF BE B M ，设1BE B M O =，连接OFE M ､分别为11,B C BC 的中点，则1B E BM ∥且1B E BM =∴1EMBB 为平行四边形，则O 为1MB 的中点又∵F 为11A B 的中点，则1OF A M ∥OF ⊂平面EFB ，1A M平面EFB ∴1A M 平面EFB ，C 正确；对于D ：平面1A MC 即为平面1A BC由题意可得：1,BC AB BC BB ⊥⊥1AB BB B ，1,AB BB ⊂平面11ABB A∴BC ⊥平面11ABB A1AB ⊂平面11ABB A ，则1BC AB ⊥又∵11ABB A 为正方形，则11A B AB ⊥1BC A B B ⋂=，1,⊂BC A B 平面1A BC1AB ⊥平面1A BC1AB ⊂平面1AB C∴平面1AB C ⊥平面1A BC ，即平面1AB C ⊥平面1A MC ，D 正确；故选：BCD.12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点()3,0F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线()0y t t =>与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是（ ）A 2B ．点F 关于直线12y x =的对称点在半圆上C ．ABF △面积的最大值是)9214 D ．线段AB 长度的取值范围是(0,332+【答案】ACD【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A ；求出F 关于直线12y x =的对称点即可判断B ；设,A B 坐标，表示出ABF △面积，利用基本不等式求得其最大值，判断C ；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB 长度的取值范围，判断D ；【详解】由题意得半圆的方程为()22+90x y x =≤， 设椭圆的方程为()222210,0x y a b x a b+=>>≥， 所以33b c =⎧⎨=⎩ ，所以218a =，32a = 所以椭圆的方程为()2210189x y x +=≥． A ．椭圆的离心率是232c e a ==，故A 正确； B ．设()3,0F 关于直线12y x =的对称点为(),m n ， 可得23n m =--且113222m n +=⨯， 解得912,55m n ==，即对称点为912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为半圆的方程为()22+90x y x =≤， 所以对称点为912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭不在半圆上，故B 错误；C ．由题得ABF △面积1||2S AB t =⨯，设())22111,,9,03A x t x t x t ∴+=∴=<<，设()22222,,1,189x t B x t x ∴+=∴=所以||AB =所以12S t t =⨯=)19124≤=，当且仅当t =C 正确；D ．当0t →时，||3AB →+3t →时，||0AB →，所以线段AB 长度的取值范围是(0,3+，故D 正确； 故选：ACD.三、填空题13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为43y x =，且其右焦点为()5,0，则双曲线C 的标准方程为__________.【答案】221916x y -= 【分析】依题意可得43b a =，5c =，即可求出a 、b 的值，从而得解. 【详解】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为43y x =， 可得43b a =，其右焦点为()5,0，可得5c =，又222c a b =+， 解得3a =，4b =，则双曲线C 的方程为：221916x y -=． 故答案为：221916x y -=． 14．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱112AA =.若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点.当底面ABC 水平放置时，液面高为__________.【答案】9【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC 水平放置时，液面高度.【详解】设ABC 的面积为x ，底面ABC 水平放置时，液面高为h 则水的体积为1121294V x x x =-⨯= 当底面ABC 水平放置时，水的体积为9V x h x =⋅=，解得9h =故答案为:915．若直线l ：ax －y ＋2－a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90°，则实数a 的值为________.【答案】1或7【分析】根据题干条件得到圆心C 到直线l ：ax －y ＋2－a ＝02，利用点到直线距离公式列出方程，求出实数a 的值.【详解】由题意，得圆心C (3，1)，半径r ＝3且∠ACB ＝90°，则圆心C 到直线l ：ax －y ＋2－a ＝02， 23221a =+，解得:a ＝1或a ＝7. 故答案为：1或7.四、双空题16．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =2，则四面体ABCD 的外接球的半径为______，四面体ABCD 的内切球与外接球的球心距为_______.【答案】 243-【分析】根据翻折后得到的四面体ABCD 是由两个等边三角形和两个直角三角形组成，根据直线三角形斜边的中线定理，得出四面体ABCD 的外接球的球心，再利用多面体内切球的半径为3V S （V 是多面体的体积，S 是多面体的表面积）得出四面体ABCD 的内切球的半径，作出截面1BDO ，利用对称性得1BO D △为等腰直角三角形，进而得到21O GO △也为等腰直角三角形从而可求解.【详解】如图（1）（2），在四面体ABCD 中，ABD △与BCD △是边长为2的等边三角形，ABC 与ACD 是斜边为22AC =的等腰直角三角形，设AC 中点为1O则1111122O A O B O C O D BD =====1O 为四面体的外接球球心，外接球2R = 设BD 的中点为E ，则,AE BD CE BD ⊥⊥，又AE CE E =所以BD ⊥平面ACE ，所以四面体ABCD 关于平面ACE 对称，同理，所以四面体ABCD 关于平面1BDO 对称，从而其内切球的球心2O 必在线段1EO 上，设内切球的半径为r ，1BDO △中，2BD =，112BO DO =由等体积法()11133ABC ABD ACD BCD BDO S S S S r S AC +++=⋅△△△△△， 即2131112222222223232r ⎫⨯+⨯⨯⨯=⨯⎪⎪⎝⎭26r =如图（3），作出截面1BDO ，设内切球与平面ACD 、平面ABC 分别相切于点G 、H ，由对称性知点G 、H 分别在线段1DO 、1BO 上，且21O G DO ⊥，21O H BO ⊥，由112O B O D ==2BD =可知三角形1BO D △为等腰直角三角形，从而21O GO △是等腰直角三角形，所以12222423OO O G r ==- 2，43-【点睛】关键点点睛：本题解题关键是内切球球心的位置的确定，再作出过两个球心的截面图，数形结合即可.五、解答题17．（1）若直线1l 过点()1,2P -，且与直线3450x y -+=平行，求直线1l 的斜截式方程；（2）若直线2l 过点()1,2Q -，且与圆221x y +=相切，求直线2l 的方程.【答案】（1）31144y x =+；（2）1x =或者3450x y ++= 【分析】（1）设直线1l 方程为：340x y m -+=，将()1,2P -代入方程，并把方程化为斜截式即可；（2）分斜率存在与斜率不存在讨论求解，当斜率存在时利用直线到圆心的距离等于半径求解即可【详解】（1）设直线1l 方程为：340x y m -+=，将()1,2P -代入方程，得11m =，所以直线1l 方程为34110x y -+=， 化为斜截式得31144y x =+， 所以直线1l 的斜截式方程31144y x =+； （2）①当直线2l 的斜率不存在时，显然满足题意的直线2l 的方程为1x =，②当直线2l 的斜率存在时，设直线方程2l 的方程为：2(1)y k x +=-，即20kx y k ---=由题意可知原点O 到直线2l 的距离d 等于单位圆的半径，即2211k d k ，解得34k =-，此时直线2l 的方程为3450x y ++=. 综合上述直线2l 的方程为1x =或者3450x y ++=18．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点(3,0)A ；(2)【答案】(1) 2219x y +=或221819y x += (2) 221129x y +=或221912x y += 【解析】（1）对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，求出a,b,c 即得椭圆的标准方程；（2）由已知有2a c a c =⎧⎪⎨-=⎪⎩解方程得a,c 的值，即得椭圆的标准方程. 【详解】(1)若焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b+=>>． ∵椭圆过点(3,0)A ，∴291,3a a =∴=∵232a b =⨯， ∴1b =.∴方程为2219x y +=.若焦点在y 轴上，设方程为22221(0)y x a b a b+=>>． ∵椭圆过点(3,0)A ，∴291,3b b=∴=， 又232a b =⨯，∴9a =，∴方程为221819y x +=. 综上所述，椭圆方程为2219x y +=或221819y x +=.(2)由已知有2a c a c =⎧⎪⎨-=⎪⎩a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩从而2229b a c =-=，∴所求椭圆方程为221129x y +=或221912x y +=. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m +--+=.求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)当m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【答案】(1)25+(2)43230x y +-=，【分析】（1）分别求出两圆的圆心及半径，由两圆外切得圆心距等于半径之和，即可得解；（2）两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，再根据圆的弦长公式计算即可求出公共弦长.【详解】（1）解：两圆的标准方程分别为()()()()22221311,5661x y x y m -+-=-+-=-， 圆心分别为()()1,3,5,6M N ，当两圆外切时，解得25m =+（2）解：两圆的公共弦所在直线的方程为()222226110120x y x y x y x y m +----+--+=， 即43230x y +-=，圆222610x y x y +---=的圆心()1,3M 到公共弦所在直线43230x y +-=的距离49232169d +-==+，公共弦长为211427-=.20．如图，已知以O 为圆心，2为半径的圆在平面α上，若PO α⊥，且4PO =，OA 、OB 为圆O 的半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点．求：(1)异面直线OB ，PM 所成角的余弦值；(2)点O 到平面PAB 的距离；【答案】(1)26(2)43【分析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，找到直线OB ，PM 的方向向量，代入向量的夹角公式，计算得答案；(2)利用等体积法计算点O 到平面PAB 的距离；【详解】（1）解：由PO α⊥且90AOB ∠=︒可知,,OA OB OP 两两垂直，所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意()()()0,0,4,2,0,0,0,2,0P A B ，因为M 为线段AB 的中点，所以()1,1,0M ，所以()()1,1,4,0,2,0PM OB =-=， 22cos 611162PM OB PM OB PM OB ⋅===++⨯，， 所以，异面直线OB ，PM 所成角的余弦值为26. （2）解：根据题意，25,22AP BP AB ===，所以，在等腰ABP 中，2220232PM PA AM =-=-= 所以，1122222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=△， 11111622622PAB S PM AB =⋅=⨯++⨯=△， 设点O 到平面PAB 的距离为d ，因为PO α⊥，因为P OAB O PAB V V --=所以1133OAB PAB S PO S d ⋅=⋅△△， 所以1124633d ⨯⨯=⨯⨯，解得43d =， 所以点O 到平面PAB 的距离43； 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,2,4,23ABCD PA AD BD AB ====，BD 是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥.(1)若点E 为棱PC 的中点，证明：BE 平面PAD ；(2)已知二面角P AB D --的大小为60，求平面PBD 和平面PCD 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2)35.【分析】(1)延长,CB DA 交于点F ，连接PF ,证明BE PF ∥即可；(2)以AD 的中点为O 为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.【详解】（1）延长,CB DA 交于点F ，连接PF ，在CDF 中， BD 是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥，∴CDF 是等腰三角形，点B 是CF 的中点，又E 是PC 的中点，BE PF ∴∥，又PF ⊂平面,PAD BE ⊄平面PAD ，∴直线BE 平面PAD .（2）在ABD △中，2,4,23AD BD AB ===， 则90BAD ∠=，即BA AD ⊥，由已知得60,8BDC BDA CD ∠∠===，又平面PAD ⊥平面,ABCD BA ⊂平面ABCD所以BA ⊥平面PAD ，即BA PA ⊥，所以以PAD ∠为二面角P AB D --的平面角，所以60PAD ∠=，又2PA AD ==，所以PAD 为正三角形，取AD 的中点为O ，连OP ，则,OP AD OP ⊥⊥平面,ABCD如图建立空间直角坐标系，则()()()()(1,0,0,1,23,0,5,43,0,1,0,0,3A B C D P --，所以()()()1,0,3,2,23,0,4,43,0DP BD DC ==--=-，设()()111222,,,,,m x y z n x y z ==分别为平面PBD 和平面PCD 的法向量，则00m DP m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111302230x z x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，取11y =-，则()3,1,1m =--， 00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222304430x z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取21y =，则()3,1,1n =-， 所以3cos ,5m n m n m n ⋅==⋅. 则平面PBD 和平面PCD 所成夹角的余弦值为35. 22．某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40AB =，15BC =，O 为AB 上一点（不与端点重合），且10BO =，线段OC OD MN ，，为表演队列所在位置（M N ，分别在线段OD OC ，上），OCD 内的点P 为领队．位置，且点P 到OC 、OD 的距离分别为13、5，记OM d =，我们知道当OMN 面积最小时观赏效果最好．(1)当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？(2)求观赏效果最好时OMN 的面积．【答案】135(2)654．【分析】（1）建立平面直角坐标系，易得OC :32y x =；OD ：12y x =-，可设()(),0,0P a b a b <>，()2,M m m -，()3,0,02N n n m n ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，利用点线距离公式可求得点P 的坐标，再利用中点坐标公式即可求得1313,24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后用两点距离公式可求得OM ，即d . （2）由M N P ，， 三点共线，推出51342n m+=，再利用基本不等式以及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()10,15C ，()10,0B ，()30,15D -，∴直线OC 的方程为32y x =，直线OD 的方程为12y x =-， 设()(),0,0P a b a b <>，()2,M m m -，()3,0,02N n n m n ⎛⎫>> ⎪⎝⎭． 由题意得3213914125114a b a b -=+⎪+⎪=⎪⎪+⎪⎩,272a b =-⎧⎪∴⎨=⎪⎩或9214a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去）, ∴72,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．P 为MN 的中点，24372m n m n -+=-⎧⎪∴⎨+=⎪⎩,解得13452m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 1313,24M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，∴135d OM == ∴当135d =P 为队列MN 的中点． （2）由M N P ，，三点共线，得737222222m n m n --=-++，即13542m n mn +=，即51342n m +=， ∴115135132224OMN S OM ON m n ==+△， 又∵513151351365125169242428428m n m n n m n m n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+⨯+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6512516965284284m n n m ≥+⨯⋅=， 当且仅当251692851342m n n m n m⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即13452m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， ∴观赏效果最好时OMN 的面积为654．。
双曲线知识点
双曲线：注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
《双曲线》练习题经典(含答案)
《双曲线》练习题一. 选择题：1. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y=±4<则该双曲线的离心率是（A ）2. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为近，则双曲线方 程为（B ）D."-讨1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ・y=0,则双曲c-¥4=^<=i D •学辱十 224.已知椭圆2/ + 2沪=1 （a>b>0）与双曲线/ 一方2 =1有相同的焦点.则椭圆的离心率为（A ）丄 鱼 心B.㊁C.飞一D. 丁2=一二1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ） 卅_ nB ・（-1, VI ） C. （0> 3） D ・（0, V3） 6•设双曲线笃-牛1 （0<a<b ）的半焦距为c,直线1过（/ 0） （0, b ）两点，已知原点到直线1的距2b 2禽为乎U 则双曲线的离心率为（A ）A. 2B. V3C. V2D.色空37. 已知双曲线4~4=1的两条渐近线与以椭圆£+各=1的左焦点为圆心、半径为竽 的圆相切，则双曲 线的离心率为（A ）A- i B - I c- J D . ?8. 双曲线虚轴的一个端点为"，两个焦点为为、E, Z 斤莎=120° ,则双曲线的离心率为（B ）f V"9. 已知双曲线一一 一 =1（加>0/>0）的一个焦点到一条渐近线的距离是2, 一个顶点到它的一条渐近线的m n距离为则m 等于（D ）V13A. 9 B ・ 4 C ・ 2 D ・,310. 已知双曲线的两个焦点为尺（_ 顾,0）、E （何 0） , M 是此双曲线上的一点，且满足x" - y"=l B ・ x" - y"=2 C ・ x" - y"=V23.在平而直角坐标系中，双曲线C 过点P （b 线C 的标准方程为（42A. 225.已知方程今一 rn'+n A. ( - 1, 3)= OJ MF X N MF, \= 2,则该双曲线的方程是（A ）■ ■ ■ ■ y yy—y = 1 B ・ x-—=l ——=1—y=l■11 •设凡 尺是双曲线/一計=1的两个焦点，尸是双曲线上的一点，且3 〃 =4|啟"则△彤E 的而枳等于 （c ）A ・ 4、也B ・ 8、/5C. 24D ・ 4812.过双曲线y-/=8的左焦点片有一条弦尸0在左支上，若1PQ =7,匹是双曲线的右焦点，则△啟。
圆锥曲线的综合经典例题(有答案)
经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】①.②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线的渐近线问题1：双曲线渐近线的理解在双曲线的几何性质中，渐近线是双曲线所特有的性质，因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助。
在学习这部分内容时，应注意：（1）明确双曲线的渐近线是哪两条直线。
过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线。
画双曲线时，应先画出它的渐近线。
（2）理解“渐进”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的。
也可以这样理解：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0。
问题2：双曲线渐近线的斜率ab±，与离心率e 存在着怎样的数量关系？由此，你发现了离心率e 的双曲线张口大小有何影响？答：1|tan |2-==e a b α，e 越大，ab也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口越大。
问题3：根据双曲线的标准方程怎样尽快正确地写出渐近线方程 答：根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：（1）画出以实轴长，虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定。
（2）如果给出的双曲线方程为――将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再由此推出y=kx 的形式。
如：12222=-b y a x （a>0,b>0），其渐近线方程为x a by ±=，12222=-bx a y （a>0,b>0），其渐近线方程则为x b ay ±=。
从某种意义上说，当双曲线的两个焦点无限靠近时，双曲线退化成它的渐近线。
问题3：已知双曲线的渐近线方程，其对应的双曲线方程是唯一的吗？若不是，它们有何共同特点，请用曲线系方程表示。
答：双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是x a b y ±=，但是以x a by ±=为渐近线的双曲线方程不一定是12222=-b y a x ，而可以是)0(2222≠=-λλby a x 。
所以x a by ±=为渐近线的双曲线，焦点可以在x 轴上)0(>λ，也可以在y 轴上)0(<λ，而且有无数多个。
类似直线系方程这些双曲线称为共渐近线的双曲线系。
根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的方法具体的例子。
例1：求与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，并且过点A （28,6）的双曲线的方程。
解法1：由于双曲线的方程是116922=-y x ，所以其渐近线的方程是x y 34±=，容易判断点A （28,6）在直线x y 34=的上方，故所求双曲线的焦点在y 轴上，所以设双曲线的方程是12222=-bx a y 。
根据已知条件有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=1128363422a b b a ，解得642=a ，362=b 。
所以所求双曲线方程是1366422=-x y 。
解法2：实际上，与双曲线116922=-y x 有共同渐近线的双曲线方程都可以表示t y x =-16922（0≠t ）的形式。
当0>t 时，所求双曲线的焦点在x 轴上，这时其渐近线方程是x x tty 3434±=±=；当0<t 时，所求双曲线的焦点在y 轴上，这时双曲线的标准方程是1)(9)(1622=---t x t y ，其渐近线方程是x x tty 3434±=--±=。
所以，可设双曲线方程是t y x =-16922。
由于点A （28,6）在双曲线上，所以有t =-16128936，∴4-=t 。
故所求双曲线方程是1366422=-x y 。
结论1：与双曲线12222=-b y a x 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为t b y a x =-2222（0≠t ，R t ∈）。
结论2：若双曲线的渐近线方程是x a by ±=【或 a x ± b y = 0】，则双曲线的方程可表示为tby a x =-2222（0≠t ，R t ∈）【或 a 2x 2 - b 2y 2 = k 】。
（可以先变形为0=±bya x ，这样就与结论1一致了） 例2．求以2x ±3y=0为渐近线，且经过点（1，2）的双曲线方程 解法一，当x=1时，代入渐近线方程x y 32=，得232y <=。
∴ 点（1，2）一定在2x-3y=0的上方，∴ 双曲线的实轴所在的坐标轴一定是y 轴可设方程为12222=-b x a y ，其渐近线方程为0,02222=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-a y b x a y b x b x a y∴23=a b ∴a b 23= ① 又 ∵（1，2）在双曲线上，∴ 11422=-ba ②① 代入② 8,932,149142222==∴=-b aaa∴ 所求双曲线方程为1893222=-x y 解法二：方程4x 2-9y 2=λ，是所有渐近线方程为032=±y x 的双曲线系方程，即共渐近线方程，因为（1，2）点适合此方程 ∴ 4-36=λ，∴ λ=-32∴ 方程为4x 2-9y 2=-32，即1893222=-x y 问题4：你能发现双曲线的渐近线有哪些特殊的性质？等轴双曲线的渐近线、共轭双曲线（实轴与虚轴对换）的渐近线有何特点？双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离与那个基本几何量有关？（b ） 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线交点有几个？答：（1）等轴双曲线(即实轴和虚轴等长的双曲线)，其渐近线方程为x ±y=0，它们互相垂直，且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，离心率为2。
（2）共轭双曲线：双曲线12222=-b y a x 与双曲线12222=-ax b y （a>0,b>0）实轴与虚轴对换。
它们有相同的渐近线，是互为共轭的，课外参考书称为共轭双曲线。
它们的四个焦点共圆，且它们的离心率21,e e ，满足222111e e +=1。
（3）从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴的长b 。
利用数形结合Rt △O E A 2≌RT △OH 2F |2F H|=|E A 2|=b（4）与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线交点有几个？解：设双曲线12222=-b y a x （a>0,b>0）直线)0(≠+=m m x a b y 代入得1)(12222=+-m x ab b a x ，化简得x=mbm b a 2)(22-+仅有一解，即双曲线与直线仅有一个交点，但并非切线！问题5：一些与双曲线渐近线有关的命题。
（1）设双曲线12222=-b y a x （a>0,b>0）的两条渐近线所夹的角为α，则它的离心率是cos 2α证明：2tan α=a b ，e=21222αctg a b a +=+或用数形结合证明之。
（2）双曲线上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个常数。
证明：设M （x 0-y 0）是双曲线12222=-by a x 的任意一点，则1220220=-b y a x即b 2x 02- a 2y 02=a 2b 2。
双曲线的两渐近线方程为bx ±ay=0∴M 点到两渐近线的距离的乘积为2220220222002200||||||b a y a x b ba ay bxb a ay bx +-=++⋅+-=2222b a b a +（常数）。
（3）过双曲线12222=-by a x 的一个焦点F 作它的渐近线的垂线，则垂足H 在此焦点相对应的准线上。
略证明：取一渐近线bx-ay=1，则自焦点F （c,0）作为它的垂线的方程为ax+by-ac=0联立两方程得x H =c a 2，原命题得证！亦可用平几知识相似三角形中得H ’=ca 2（4）过双曲线12222=-by a x 上任意一点M 作平行于实轴的直线交渐近线于P 、Q ，则|MP|.|MQ=a2y=y0略证：设M （x 0,y 0）由 02222=-by a x 得x p =b ay 0,x Q = - b ay 0|MP|.|MQ=|x P -x q |.|x P -x |=2222222302a bb a b x b y a ==-通过学生自主学习、独立思考、获取新知，各合作学习小组对问题讲座对网页上的例题分析，点评内容，消化，通过交流，共同提高认识，取长补短，相互促进，教师在各小组走动巡视，及时发现问题，启发、帮助学生解决问题，提醒学生按程序完成任务，把握时间与进度。
小组合作学习在于交互、共享、感悟、生生互动，师生互动。
在这期间，教师深入到学生中，成为“平等中的首席”和学生共同探究，启发引导，促进合作探究学习。
渐近线，这是圆锥曲线中双曲线所特有的一道靓丽的风景线。
他像一位正直慈爱的师长，呵护指引着双曲线成长的人生轨道，循规蹈矩走向遥远的未来而从不对他强制干涉。
有了渐近线，双曲线的轨道有了可靠的护栏；有了渐近线，我们不难了解到离心率对双曲线张口大小的影响; 有了渐近线，我们可以较准确的画出双曲线的草图;有了渐近线，我们对“曲”“直”之间存在着这种和谐统一之美，有了更深刻的认识和理解。