2010级《弹塑性力学》力学
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《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)共42页文档
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
A V fiu id V s F iu id S U VW d V
SF i uidSS(ij ui)njdS V(jiui),j dV
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.2 具有一个弹性对称面的材料
若物体内各点都有这样一 x3 个平面，对此平面对称方
向其弹性性质相同，则称
此平面为弹性对称面，垂
直弹性对称面的方向称为
弹性主轴。
x1
弹性主轴
x2
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§4-2 线弹性体的本构关系
如取弹性对称面为x1 —x2
{}=[c]{}
T 11 22 33 23 31 12
T 11 22 33 23 31 12
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
{}=[c]{}
C11 C12
C C21 C22
C61 C62
C16
C26
C66
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17.04.2020
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
外力做实功 A： A=U 物体的应变能U
U VWdV
W：应变能密度——单位体积的应变能。
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
1.2 应变能密度W与材料的i
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
弹塑性力学讲义 第十章弹性力学的能量原理
V
V S
取
V
=0 ， 得
(k ) ij
或
ij dV V f i u i dV S X i u i dS ——虚位移方程
V ( ij , j f i )u i dV S
(k )
(k ) ( X i n j ij )dS 0
ui(k)为可能位移，同时满足本构方程。而 =0，表明由 ui(k)
V V
V
(1) ( 2 ) ij ij
(1) ( 2 ) ( 2 ) (1) ( 2 ) (1) dV Eijkl kl ij dV E klij kl ij dV ij ij dV V
W12=W21
第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做 的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上 所做的功。
1 ( k1 ) ( k 2 ) 1 ( k1 ) ( k 2 ) ij u i , j ji u j ,i 2 2
( k1 ) ( k 2 ) ( k1 ) ( k 2 ) ij u dV ,j i ij ij dV V V
代入虚功方程左端，得
( k1 ) ( k2 ) ( k1 ) ( k2 ) We f i ui( k2 ) dV ij dV ij ij dV , j ui V V V
导出ij 满足静力方程， 所以由=0 即为真解应满足的控制方程。
(k)
最小势能原理的表述： 在位移满足几何方程和位移边界条件的前 提下， 如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条 件，则该位移必使势能
为驻值（极值） 。如可能位移使 的变分
V S
取
V
=0 ， 得
(k ) ij
或
ij dV V f i u i dV S X i u i dS ——虚位移方程
V ( ij , j f i )u i dV S
(k )
(k ) ( X i n j ij )dS 0
ui(k)为可能位移，同时满足本构方程。而 =0，表明由 ui(k)
V V
V
(1) ( 2 ) ij ij
(1) ( 2 ) ( 2 ) (1) ( 2 ) (1) dV Eijkl kl ij dV E klij kl ij dV ij ij dV V
W12=W21
第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做 的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上 所做的功。
1 ( k1 ) ( k 2 ) 1 ( k1 ) ( k 2 ) ij u i , j ji u j ,i 2 2
( k1 ) ( k 2 ) ( k1 ) ( k 2 ) ij u dV ,j i ij ij dV V V
代入虚功方程左端，得
( k1 ) ( k2 ) ( k1 ) ( k2 ) We f i ui( k2 ) dV ij dV ij ij dV , j ui V V V
导出ij 满足静力方程， 所以由=0 即为真解应满足的控制方程。
(k)
最小势能原理的表述： 在位移满足几何方程和位移边界条件的前 提下， 如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条 件，则该位移必使势能
为驻值（极值） 。如可能位移使 的变分
《弹塑性力学》第十一章 塑性力学基础
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§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y0s
y
M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
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§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
b
N2b EA
(P
s A)b
EA
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§11-2 一维问题弹塑性分析
b
N2b EA
(P s A)b
EA
Pe s A(1 a b) s A Pe (1 a b)
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进
入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变
弹塑性力学第一章绪论
*
*
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
5.1 力学中常用的物理量
1.标量：
只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。
诌脱揣刻迂釜斌谬痔垫会弘猜签伞汉相驶菱慈珠妙萌惦枣肘扯撕砾络眉洋《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
参考书目
碉自冯冯伦瀑瓣且柄愤烯桃珊骡逆谩焰舆缀隆坯汾烂样鬼彼邱护堤狰轿讳《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
*
*
§1-1 弹塑性力学的任务和对象
第一章 绪论
§1-2 基本假设和基本规律
§1-3 弹性力学的研究方法
§1-4 弹性力学的发展梗概（略）
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识
*
*
§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
假设4：应力与应变关系为线性。此假设适用于线弹性理论。
墒拐疙交峨扳令毯阻仙宛零盾蹿偏由净砒辈爱孵寨碧酣剥低麻针把雷体踏《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
*
*
§1-2 基本假设和基本规律
数学方法：精确解法（解析解）、近似解法、 数值解法。 实验方法：电测方法、光测方法等。
§1-4 弹性力学的发展梗概（略）
今奶椽四拌怪鳞蕉姜谷菠颁功怨宗萤驮眯澜欠绸张懒龚菇喜然烤鸯弗啡棵《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
*
*
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识
由 ij 定义及哑标、自由标定义，可得：
北驮藻稗热椿簇痔逛匪拎烧曲承倦彰砚滋尽孽揩轰俐碱失瓜轧搪疟贮市活《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
*
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
5.1 力学中常用的物理量
1.标量：
只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。
诌脱揣刻迂釜斌谬痔垫会弘猜签伞汉相驶菱慈珠妙萌惦枣肘扯撕砾络眉洋《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
参考书目
碉自冯冯伦瀑瓣且柄愤烯桃珊骡逆谩焰舆缀隆坯汾烂样鬼彼邱护堤狰轿讳《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
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§1-1 弹塑性力学的任务和对象
第一章 绪论
§1-2 基本假设和基本规律
§1-3 弹性力学的研究方法
§1-4 弹性力学的发展梗概（略）
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识
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§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
假设4：应力与应变关系为线性。此假设适用于线弹性理论。
墒拐疙交峨扳令毯阻仙宛零盾蹿偏由净砒辈爱孵寨碧酣剥低麻针把雷体踏《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
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§1-2 基本假设和基本规律
数学方法：精确解法（解析解）、近似解法、 数值解法。 实验方法：电测方法、光测方法等。
§1-4 弹性力学的发展梗概（略）
今奶椽四拌怪鳞蕉姜谷菠颁功怨宗萤驮眯澜欠绸张懒龚菇喜然烤鸯弗啡棵《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识
由 ij 定义及哑标、自由标定义，可得：
北驮藻稗热椿簇痔逛匪拎烧曲承倦彰砚滋尽孽揩轰俐碱失瓜轧搪疟贮市活《弹塑性力学》第一章 绪论《弹塑性力学》第一章 绪论
弹塑性力学9厚壁圆筒
1 z [ z ( r )] E
当 z 0 （平面应力）或 z const （广义平面应力） 时，得 z const ，即轴向应变为常量。
此时在 z 方向为均匀变形，垂直于轴线的平面在变 形过程中保持为平面。 边界条件： r
r a
p1 , r
采用极坐标( r ,θ)表示各应力分量。 r 0 轴对称性（应力轴对称）
径向应力与环向应力仅是r的函数，与θ无关， r (r ), (r ) r (r ), (r )
由于轴对称性，筒体只产生沿半径方向的均匀膨胀 和收缩，即只产生径向位移 u (r ) 轴向位移仅与z有关，即 w( z )
讨论
①端部为闭口时， F a 2 p
(1 2 )a 2 z p 2 2 E (b a ) a2 z 2 2 p (b a )
平面应变介于前两种情 况之间，且接近于端部 为闭口的情况，μ= 0.5 时，两种情况重合。
a2 z E z 2p 2 2 b a a2 F z ( 2p) 2 2 2 E (b a ) a
rp a
rp a
)
rp b 时，整个截面
p p s ln
s
2
(1
r
b 塑性极限压力 pl s ln a
b
2 p 2
进入塑性状态
r s (1 ln ) b
r r s ln b
应力分布情况
pe
+
pp
+
pl
+
-
r
-
r
-
r
②端部为开口时， F 0
弹塑性力学第二章
一、P点的正应变
x
(u
u dx) x dx
u
u x
在这里由于小变形，由y
方向位移v所引起的PA的伸缩
是高一阶的微量，略去不计。
o
u P
v
y
P
B v v dy
y
u u dx x
A
A
x
v v dx x
B
u u dy y
图2－5
13
同理可求得：
等厚度薄板，板边承受平 行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面 并且不沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0 τzy = 0
图2－1
3
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变
它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平
面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限
接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。
o
yx y
x
P
A
xy
x
y
B
N
YN
XN
N
S
N
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N 为该面的外
法线方向，其方向余弦为：
x
x
x
dx)
dy 1
x
dy1
(
yx
yx
y
dy)
弹塑性力学习题与答案
.1 / 9本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：<1>pi iq qj jk δδδδ,<2>pqi ijk jk e e A ,<3>ijp klp ki lj e e B B 。
答案<1>pi iq qj jkpk δδδδδ=; 答案 <2>pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：<3>()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ijji a a =,则0ijk jk e a =。
〔需证明2.3设a 、b 和c 是三个矢量,试证明：证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii ii i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
弹塑性力学-01
材料力学的研究对象
2
弹性力学 • 研究对象－块体板壳
弹塑性力学 • 研究对象广泛 • 数学方法
3
构件的四项基本要求
•强 •刚 度：抵抗破坏（断裂或过量塑性变形）的 度：抵抗弹性变形的能力。
能力。 • 稳定性：保持其原有平衡状态的能力。
•韧
性：抵抗大塑性变形而不破裂的能力。
4
基本任务
• 研究可变形固体受到外载荷、温度变化及边界约束
1-2
弹塑性力学的基本任务
• 工程问题的对象是结构
• 结构的功能——承受载荷
• 结构的基本单元——构件
• 构件的属性 – 承受载荷、可变形、由固体材料构成
1
构件的种类——杆件、板、壳、块体
材料力学 • 研究对象－杆件
结构力学 • 研究对象－杆系
弹塑性力学 给出用材料力学和结构力学方 法无法准确求解问题的解法 给出材料力学和结构力学无法 给出的可靠性和精确度的度量
边界条件
边值问题 求解
对工程 问题作 出评价
20
1-5 弹塑性力学中的基本假设
• 按照物体的性质以及求解的范围，忽
略一些可以暂不考虑的因素，而提出 一些基本假设，使所研究的问题限制
在方便可行的范围以内。
21
一、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。 （应力应变和位移等力学量可以用坐标的连续函数表示，可 用微积分数学工具） 二、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 三、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全 相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学 性质不同的材料称为各项异性材料。） 四、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形 与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其 变形。 五、无初应力，物体原来处于一种无应力的自然状态，在外力 作用之前，物体内各点应力为零 22