初二数学 倍长中线

全等之倍长中线和截长补短
定 义
示例剖析
倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．
其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．
E
D
A
B
C
其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．
【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．
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例题精讲
题型一：倍长中线
A
B
C
D
【例2】 ⑴如下左图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，
使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．
⑵如下右图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．
【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC
于F ，AF EF =，求证：AC BE =．
【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．
A
B
P
Q P
M
D
C
B
A
典题精练
E
D
C
B
A
F
E D C
B A M
E
D B
E
D C
B
A
定 义
示例剖析
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
D
C
B
A
在线段AB 上截取AD AC =
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等
A
B C D
延长AC ，使得AD AB =
【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大
小．
D C
B A
【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．
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例题精讲
典题精练
题型二：截长补短
D C
B
A
求证：AB BD AC
+=．
【例7】已知：在ABC
△中，AB CD BD
=-，AD BC
⊥，求证：2
B C
∠=∠．
【例8】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
⑴如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A
旋转到BM DN
≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
D C
B
A
⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
D C B A
训练1. 已知AD 为ABC △的中线，ADB ∠、ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于
F ．求证：BE CF EF +>．
F
E A
B D C
训练2. 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上
的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+
训练3. 如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：
BC AC CD =+．
训练4. 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分
∠CDE ．
思维拓展训练(选讲)
F E D C
B A C
E
D B
A
题型一 倍长中线 课后演练
【演练1】 在ABC △中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什
么？
【演练2】 在Rt ABC △中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足
90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．
F
E
D
C
B
A
题型二 截长补短 课后演练
【演练3】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作
60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?(提示：过点M 作MG BD ∥交AD 于点G )
N
E
B M A D
【演练4】 如图所示，已知ABC △中，AC BC =，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，求证：
AC CD AB +=．
复习巩固
【演练5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .
F E
D
C
B A
D
C B
A。