浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题
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浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题
知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地,如果特)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a 不为零,那么y叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-
=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法--------五点作图法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2
与坐标轴的交点:
当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。
【例1】、已知函数y=x 2
-2x-3,
(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图;
(2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积:
(3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0;② y<0;③ y>0
知识点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:口诀----- 一般 两根
三顶点
(1)一般 一般式:)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数,
(2)两根 当抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程02
=++c bx ax 有实根
1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2
可转化
为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(3)三顶点 顶点式:)0,,()(2
≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 当题目中告诉我们抛物线的顶点
时,我们最好设顶点式,这样最简洁。
【例1】、抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴交于A(1,0),B(3,0)两点,且过(-1,16),求抛物线的解析式。
【例2】、如图,抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C 是矩形DE FG 上(包括边界和内部)的一个动点,则(1)a bc
0 (>或<或=) (2)a的取值范围是
【例3】、下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( )
A.y = (x − 2)2
+ 1 B.y = (x + 2)2
+ 1 C .y = (x − 2)2
− 3 D .y = (x + 2)2
− 3 知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当a
b
x 2-
=时,a
b a
c y 442-=最值
。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤,那么,首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内,若在此范围内,则当x=a
b
2-时,a b ac y 442-=最值;若不在此范围内,则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性,如
果在此范围内,y 随x 的增大而增大,则当2x x =时,c bx ax y ++=222最大,当1x x =时,c bx ax y ++=12
1最小;如果在此范围内,y 随x 的增大而减小,则当1x x =时,c bx ax y ++=121最大,当2x x =时,c bx ax y ++=222最小。
【例1】、已知二次函数的图像(0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,
下列说法正确的是( )
A .有最小值0,有最大值3ﻩﻩﻩ
B .有最小值-1,有最大值0
C .有最小值-1,有最大值3ﻩﻩ D.有最小值-1,无最大值 【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天l80元时,.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,
每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍). (1)设一天订住的房间数为y,直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为w 元,求w 与x 的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大? 最大利润是多少元? 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质
O -1x
y 1 3 2 3
2、二次函数)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数,中,c b 、、a 的含义:
a 表示开口方向:a >0时,抛物线开口向上 a <0时,抛物线开口向下
b 与对称轴有关:对称轴为x=a
b 2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标:(0,c )
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2
-=∆,在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当∆>0时,图像与x 轴有两个交点; 当∆=0时,图像与x 轴有一个交点; 当∆<0时,图像与x 轴没有交点。