人教版七年级数学第五章复习专题

合集下载

2024年人教版七年级数学上册第五章小结与复习(课件)

√ ，④ 5x < 7，⑤ 3x - 2y = 2，⑥ x = 3，其中是一元一
次方程的有 ( D )
√
A. 5 个
B. 4 个
C. 3 个
D. 2 个
分析：② 等号右边不是整式；③ 未知数次数不为 1 ； ④ 不是等式；⑤ 含两个未知数.
练一练 1. 下列方程中，是一元一次方程的是 ( C ) A. = 2 B. x + 2 = y + 2 C. x - 1 = 2x D. x2 - 1 = 0
例3 (1)
解：去分母，得 2(2x - 1) - (10x + 1) = 12
去括号，得 4x - 2 - 10x - 1 = 12
移项，得 4x - 10x = 12 + 2 + 1 合并同类项，得 -6x = 15 系数化为 1，得 x = -2.5 .
(2)
分子分母同
解：
3x 5 3 5 4x
32 6
去分母，得
2(3x - 5) + 9 = 5 + 4x
时乘10，分数大小不变
小数化分数
去括号，得
6x - 10 + 9 = 5 + 4x
移项，得 6x - 4x = 5 + 10 - 9
合并同类项，得 x = 3.
练一练 4. (高台县城关初级中学期末) 解方程：
(1) 3(1 - x) = 1 + 2x
二、等式的性质 1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或
式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± c ＝ b±c. 2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等．如果 a＝b，那么 ac

人教版数学七年级下册第5--7章知识点总结复习题 (共36张PPT)

根）．
这就是说，如果x 2 = a ，那么 x 就叫做 a 的平方根．a的平方根记为± a
3.平方根的性质：正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0；负数没有平方根。
4.立方根的定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的
三次方根．记作 3 a.
其中a是被开方数，３是根指数，符号 3 “ ”读做“三次根号”．
自然数
一般有三种情况
2、“ ”，“3 ”开不尽的数
(3)、类似于0.0100100010 0001
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。（）
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数Βιβλιοθήκη 是无理数。（）5.两个无理数之和一定是无理数。（）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（）
实数
1.算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于
a,即 x2 =a,那么这个正数x叫做a的
算术平方根。a的算术平方根记为 a ，读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是0。
记作：0 0
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方
5.立方根的性质：
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零。
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
正数
性
0
质

人教版七年级数学下册第五章复习课件

2. 对顶角: (1)两条直线相交所构成的四个角中，
有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。
如图(2). 1 与 2 , 3 与 4 是对顶角。
21
(1)
(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。
3. 邻补角的性质: 同角的补角相等。
1与3互补，2与3互补
求 B O D 的度数。
D 解 .设 A O C 2 X 0，则 A O D = 3 X 0
A
根据邻补角的定义可得方程:
2X+3X=1800
O
C
在解
解得 X=360
B
AOC 2X 720
BOD AOC 720
决与角的计算有关答 : B O D 的度数为 7 2 0
C
F
BO E 1800 360 1440
又 D O E 900
AO D AO E D O E 1260 又 BOC与 AOD是对顶角
BO C AO D 1260
1.垂线的定义: 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角是 9 0 0 时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。
2. 垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与直线垂直。性质(2): 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线
段最短。简称:垂线段最短。 3.点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。 5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。

人教版数学七年级下册：第五章相交线与平行线——专题练习(附答案)

小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝度．小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( ) A．52° B．54° C．64° D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数是( )A．20° B．25° C．30° D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．类型2 借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( )A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3 折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC＝∠ODE.则∠DEB的度数是度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是．小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF ∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝．∵DF∥CA，∴∠A＝．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD( )，∴∠C＝．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝ (垂直的定义)．②所以 (同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝ (两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°( )，⑤所以∠1＝∠3( )．⑥所以AB∥DG( )．⑦所以∠GDC＝∠B( )．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD ∥BC.4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF 与AB的位置关系吗？请说明理由．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．参考答案：小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．【解答】∠BED＝∠B＋∠D.理由：过点E作EF∥AB，则EF∥CD.∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF.∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D.变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.拓展平行线间有多个拐点2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD.∴∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D.∴∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在图2中，有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？【解答】∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由：过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°. ∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.拓展平行线间有多个拐点3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝180度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝360度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝180(n－1)度．解：每增加一个角，度数增加180°.小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( C ) A．52° B．54° C．64° D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数是( D )A．20° B．25° C．30°D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝130°．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．∴∠BAC＋∠AGD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BAC＝80°，∴∠AGD＝100°.类型2 借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( D )A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( B )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3 折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是65°．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC＝∠ODE.则∠DEB的度数是76度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是90°．小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF ∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝∠BFD(两直线平行，内错角相等)．∵DF∥CA，∴∠A＝∠BFD(两直线平行，同位角相等)．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD(对顶角相等)，∴∠C＝∠D．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝90°(垂直的定义)．②所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°(已知)，⑤所以∠1＝∠3(同角的补角相等)．⑥所以AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．⑦所以∠GDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.证明：∵DF∥AB(已知)，∴∠D＝∠BHM(两直线平行，同位角相等)．又∵∠B＝75°，∠D＝105°(已知)，∴∠B＋∠BHM＝75°＋105°＝180°.∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠AME＝∠AGC(两直线平行，同位角相等)．3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD ∥BC.证明：∵AE平分∠BAD(已知)，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠CFE(两直线平行，同位角相等)．又∵∠1＝∠2(已证)，∠CFE＝∠E(已知)，∴∠2＝∠E(等量代换)．∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF 与AB的位置关系吗？请说明理由．解：DF∥AB.理由：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵∠E＝∠1(已知)，∴∠E＝∠2(等量代换)．∴AE∥BC(内错角相等，两直线平行)．∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠3＋∠ABC＝180°(已知)，∴∠A＝∠3(等量代换)．∴DF∥AB(同位角相等，两直线平行)．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD(已知)，∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2(角平分线的性质)．∴∠BAC＋∠ACD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)．∵∠1＋∠2＝90°(已知)，∴∠BAC＋∠ACD＝180°.∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠D＝180°－∠B(等式的性质)．∵AB⊥BD(已知)，∴∠B＝90°(垂直的定义)．∴∠D＝90°，即CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠2＝∠GED，∠DEF＝∠EFG＝55°(两直线平行，内错角相等)．由折叠，知∠GEF＝∠DEF＝55°.∴∠GED＝110°.∴∠2＝110°.∴∠1＝180°－∠2＝70°(两直线平行，同旁内角互补)．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．解：(1)证明：∵BC∥GE，∴∠E＝∠1＝50°.∵∠AFG＝∠1＝50°，∴∠E＝∠AFG＝50°.∴AF∥DE.(2)过点A作AP∥GE，∵BC∥GE，∴AP∥GE∥BC.∴∠FAP＝∠AFG＝50°，∠PAQ＝∠Q＝15°.∴∠FAQ＝∠FAP＋∠PAQ＝65°.∵AQ平分∠FAC，∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°.∴∠CAP＝80°.∴∠ACQ＝180°－∠CAP＝100°.。

人教版七年级下册数学第五章知识点归纳及相应练习题和答案

人教版七年级下册数学第五章知识点归纳及相应练习题和答案数学是一门需要理解和掌握的学科，它的知识点繁多而复杂。

在七年级下册中，数学的第五章是一个重要的章节，主要介绍了一些基本的数学知识点。

本文将对这些知识点进行归纳，并提供相应的练习题和答案，以帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

第一节：质因数分解质因数分解是指将一个数分解成若干个素数相乘的形式。

例如，将12分解成2×2×3。

练习题1：将24分解成质因数的乘积。

答案：24 = 2×2×2×3。

练习题2：将36分解成质因数的乘积。

答案：36 = 2×2×3×3。

第二节：分数的加减法分数的加减法是指对两个或多个分数进行加法或减法运算。

例如，计算1/2 + 1/3。

练习题1：计算1/4 + 2/3。

答案：1/4 + 2/3 = 3/12 + 8/12 = 11/12。

练习题2：计算5/6 - 1/3。

答案：5/6 - 1/3 = 10/18 - 6/18 = 4/18 = 2/9。

第三节：带分数带分数是指由整数部分和真分数部分组成的数。

例如，3 1/2是一个带分数。

练习题1：将7 3/4转化为假分数。

答案：7 3/4 = 7×4 + 3/4 = 28/4 + 3/4 = 31/4。

练习题2：将15/4转化为带分数。

答案：15/4 = 3 3/4。

第四节：百分数和百分数的计算百分数是指以100为基数的百分数，它表示的意思是“多少分之多少”。

例如，75%表示75/100。

练习题1：将8/25转化为百分数。

答案：8/25 = 32%。

练习题2：计算75% × 80。

答案：75% × 80 = 0.75 × 80 = 60。

第五节：数的倍数和最小公倍数数的倍数是指一个数可以被另一个数整除的数。

最小公倍数是指两个或多个数公有的最小倍数。

练习题1：求12的倍数。

人教版七年级下册数学第五章小结与复习课件

.相交时形成了两对对顶角和四对邻补角.其中垂直是
相交的特殊情况，它将一个周角分成了四个直角.
【迁移应用1】如图,AB,CD,EF相交于点O,
∠AOC=70°,OF平分∠COB,求∠COE的度数.
答案：∠COE=125°.
F B
C
O
D
A E
专题二点到直线的距离
【例2】如图，AD为三角形ABC的高，能表示点到直
【例5】如图所示，l1,l2,l3 交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1 =8∶1,求∠4的度数.
解：设∠1的度数为x°,则∠2的度数为x°,
∠3的度数为8x°. 根据题意可得x°+x°+8x°=180°, 解得x=18.即∠1=∠2=18°.
l1
3
2 1
4O
l2
l3
而∠4=∠1+∠2（对顶角相等）,
故∠4=36°.
A
B
F Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图2
E D
D
5. 如图,直线AB、CD相交于O,∠AOC=80°,∠1=30°，
求∠2的度数.
答案：50°.
A
D
)1 O )2 E C
B
6. 如图,已知∠AEM＝∠DGN,则你能说明AB平行于CD吗？
M
解：∵∠AEM＝∠DGN,
A
E
B ∠CGM＝∠DGN（对顶
角相等）,
G
∴∠AEM＝∠CGM.
【归纳拓展】利用方程解决问题,是几何与代数知识相结合的一种体现,它可以使解题思路清晰,过程简便.在有关线段或角的求值问题中它的应用非常广泛.
【迁移应用5】如图所示，直线AB与CD相交于点O,
∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD的度数.

人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线复习训练题

第五章相交线与平行线类型一邻补角与对顶角巧分辨1.如图1所示的几个图形中，能构成对顶角的是( )图12．如图2，三条直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1的邻补角为______________．图23．如图3，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC.若∠BOD＝76°，求∠AOM的度数．图3类型二区分同位角、内错角、同旁内角有原则4.如图4，与∠1构成内错角的是( )图4A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠55．如图5，直线DE经过点C，则∠A的内错角是________，∠A的同旁内角是________________．图56．如图6，E是AB延长线上一点，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？(1)∠A和∠D；(2)∠A和∠CBA；(3)∠C和∠CBE.图6类型三掌握相交的特殊情形——垂直7．如图7，已知AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，∠AOC＝30°，则∠BOE等于( )图7A ．30°B ．60°C ．120°D ．130°8.如图8所示，在直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D ，则点A 到BC 的距离为线段______的长度；点A到CD 的距离为线段______的长度；点C 到AB 的距离为线段______的长度．图8类型四平行线的判定和性质9.如图9，直线a ，b 被直线c 所截，下列说法正确的是( )A ．当∠1＝∠2时，一定有a∥bB ．当a∥b 时，一定有∠1＝∠2C ．当a∥b 时，一定有∠1＋∠2＝90°D ．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b10．如图10，已知AB∥CD，∠1＝60°，则∠2＝________°.图9图1011.如图11，不添加辅助线，请你写出一个能判定EB∥AC的条件：________________________．图1112．如图12，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝50°，求∠2的度数．图1213．如图13，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并说明理由．图1314．如图14所示，已知OP∥QR∥ST，连接PR，SR，猜想∠1，∠2，∠3三个角之间的关系，并说明理由．图14类型五命题与定理须细辨15．下列语句不是命题的是( )A．若a<0，b<0，则ab>0B．用三角板画一个60°的角C．对顶角相等D．互为相反数的两个数的和为016．下列命题中，是真命题的是( )A．对顶角相等B．同位角相等C．若a2＝b2，则a＝bD．若a>b，则－2a>－2b17．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)直角都相等；(2)末位数字是5的整数能被5整除；(3)三角形的内角和是180°.类型六平移平移的特征：图形的平移变换中，图形的形状、大小、方向都不发生改变，只是改变了图形的位置；平移前后图形的对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等．18．下列现象中，不属于平移的是( )A．钟表的指针转动B．电梯的升降C．火车在笔直的铁轨上行驶D．传送带上物品的运动19．如图15，将周长为8的三角形ABC沿BC方向向右平移1个单位长度得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为( )图15A．6 B．8 C．10 D．12类型七方程思想在几何中的应用20．如图16，已知a∥b，∠1＝(3x＋70)°，∠2＝(5x＋22)°，求∠1的补角的度数．图16类型八开放型问题21．给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并说明理由．已知：如图17，________________________．结论：________________________．图17类型九探究型问题22．【阅读材料】在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图18①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP＋∠APC＋∠PCD＝360°.理由如下：过点P作PQ∥AB.∴∠BAP＋∠APQ＝180°.∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥CD，∴∠PCD＋∠CPQ＝180°.∴∠BAP＋∠APC＋∠PCD＝∠BAP＋∠APQ＋∠CPQ＋∠PCD＝180°＋180°＝360°.【问题解决】(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系是________________________________________________________________________；(2)如图③，AB∥CD，点P ，E 在AB 与CD 之间，AE 平分∠BAP，CE 平分∠DCP，写出∠AEC 与∠APC 间的等量关系，并写出理由；(3)如图④，AB∥CD，点P ，E 在AB 与CD 之间，∠BAE＝13∠BAP，∠DCE＝13∠DCP ，可得∠AEC与∠APC 间的等量关系是________________________．图18答案1．D2.∠BOE 和∠AOF 3．解：∵∠BOD＝76°， ∴∠AOC＝∠BOD＝76°. ∵射线OM 平分∠AOC，∴∠AOM＝12∠AOC＝12×76°＝38°.4．B5.∠ACD ∠ACB，∠ACE 和∠B6．解：(1)∠A 和∠D 是直线AE ，DC 被直线AD 所截而成的同旁内角． (2)∠A 和∠CBA 是直线AD ，BC 被直线AE 所截而成的同旁内角． (3)∠C 和∠CBE 是直线DC ，AE 被直线BC 所截而成的内错角． 7．C 8.AC AD CD 9．D 10.12011．答案不唯一，如∠C＝∠EBD 12．解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEG，∠BEF＋∠1＝180°. ∵∠1＝50°，∴∠BEF＝130°. ∵EG 平分∠BEF，∴∠BEG＝12∠BEF＝65°， ∴∠2＝65°.13．解：∠ACB＝∠DEB.理由：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DFE＝180°，∴∠2＝∠DFE，∴AB∥EF，∴∠DEF＝∠BDE.∵∠DEF＝∠A，∴∠A＝∠BDE，∴AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEB.14．解：∠2＋∠3＝180°＋∠1.理由：∵OP∥QR，∴∠2＋∠QRP＝180°，∴∠QRP＝180°－∠2.∵QR∥ST，∴∠3＝∠QRS＝∠1＋∠QRP＝∠1＋180°－∠2.∴∠2＋∠3＝180°＋∠1.15．B16. A17．解：(1)如果几个角是直角，那么它们都相等．(2)如果一个整数的末位数字是5，那么它能被5整除．(3)如果一个图形是三角形，那么它的内角和是180°.18．A19. C20．解：如图，因为a∥b，所以∠1＝∠3.又因为∠1＝(3x＋70)°，∠2＝(5x＋22)°，∠2＋∠3＝180˚，所以(3x ＋70)°＋(5x＋22)°＝180°，解得x＝11，所以∠1＝(3x＋70)°＝103°.又因为180°－103°＝77°，所以∠1的补角的度数为77°.21．解：答案不唯一，符合题意的情况有3种，即①②→③；①③→②；②③→①，任选其中一种即可．已知：如图17，∠B＋∠D＝180°，AB∥CD.结论：BC∥DE.理由：因为AB∥CD，所以∠B＝∠C(两直线平行，内错角相等)．又因为∠B＋∠D＝180°，所以∠C＋∠D＝180°，所以BC∥DE(同旁内角互补，两直线平行)．22．解：(1)如图②，作PE∥AB，得∠APE＝∠BAP.∵AB∥CD，AB∥PE，∴CD∥PE，∴∠CPE＝∠PCD，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠BAP＋∠PCD.故答案为∠APC＝∠BAP＋∠PCD.(2)∠APC＝2∠AE C.理由：设∠EAB＝∠EAP＝x，∠ECD＝∠ECP＝y.由(1)可知：∠AEC＝x＋y，∠APC＝2x＋2y，∴∠APC＝2∠AE C.(3)设∠EAB＝a，∠DCE＝b，则∠BAP＝3a，∠DCP＝3b. 由题意得∠AEC＝a＋b，∠APC＋3a＋3b＝360°，∴∠APC＋3∠AEC＝360°.故答案为∠APC＋3∠AEC＝360°.。

人教版七年级数学上册第五章一元一次方程知识归纳与题型突破(单元复习 8类题型清单)

1第五章一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、基本概念1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子2、方程的概念：含有未知数的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；（2）未知数的最高次数为1次；（3）等式两边都是整式．二、等式的性质若b a =，则c b c a +=+、c b c a -=-、bc ac =、cbc a =．特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）4、合并同类项5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）四、列方程解应用题的步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、一元一次方程的应用（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．03题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①236x y -=；②2430x x --=；③()2353x x +=-；④310x+=；⑤()3425x x --．其中，一元一次方程有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个巩固训练1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（）A ．6518x y -=B ．242715x x =+-C ．438x x+=D ．94x x-=2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程①231325x +=，②=0，③235x y +=，④3120x+=中，一元一次方程共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（23-24七年级上·全国·单元测试）①12x x -=；②0.31x ≤；③243x x -=；④512x x =-；⑤6x =；⑥20x y +=．其中一元一次方程的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知1320m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若()1246a a x--+=-是关于x 的一元一次方程，则a =．2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x 的方程()||233m m x m --+=是一元一次方程，则m 的值为．3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于x 的方程()21120m mx m x -+--=是一元一次方程，则m 的值为．题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x 的一元一次方程213mx x -=-有解，则m 的值为．巩固训练1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知3x =是方程26ax a -=-+的解，则a =．2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式ax b +的值随着x 的取值的变化而变化，下表是当x 取不同的值时对应的整式的值：x 1-0123ax b+8-4-048则关于x 的方程8ax b +=的解是．3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x 的方程30ax +=的解为2x =，则方程()130a x -+=的解为．题型四列一元一次方程例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x ，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是．巩固训练1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“x 的5倍与2的和等于x 的13与4的差”，用等式表示为2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x 辆车，则可列方程．3．（2023·吉林长春·模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可列方程为．题型五等式的基本性质例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（）A ．若22x y -=-，则x y =B ．若25x x =，则5x =C ．若a b =，则66a b -=-D ．若2211a bc c =++，则a b =巩固训练1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（）A ．若x y =，则33x y -=+B ．若a b =，则32a b =C ．若22x y=，则x y =D ．若ax ay =，则x y=2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（）A ．如果a b =，则a c b c +=-B ．如果23x x =，则3x =C ．如果a b =，则22a bc c =D ．如果22a b c c =，则a b =3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（）A ．4532x x -=+变形得4325x x -=-+B ．211332x x -=+变形得4633x x -=+C ．3(1)2(3)x x -=+变形得3126x x -=+D ．32x =变形得23x =4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a ，b ，c 均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（）A ．如果a c b c +=+，那么a b =B ．如果a b =，那么a c b c +=+C ．如果22a b =，那么a b=D ．如果a b =，那么22a b=题型六解一元一次方程巩固训练题型七解一元一次方程中的错解复原问题巩固训练(2)仿照上例解方程：0.2 0.3x+题型八用一元一次方程解决实际问题例题：（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要200h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同．(1)求具体应先安排多少人工作？(2)在增加5人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？(3)若该车间有10台A型和11台B型机器可以生产这种产品，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品．已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，且每箱装的产品数相同．某天有6台A型机器和m台B型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满29箱．若能，请计算出m的值；若不能，请说明理由．巩固训练1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用；(2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？(2)小亮家—年缴纳水费1180元，则小亮家这一年用水多少立方米？(3)小红家去年和今年共用水520立方米，共缴纳水费2950元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小红家今年和去年各用水多少立方米？第五章一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、基本概念1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子2、方程的概念：含有未知数的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；（2）未知数的最高次数为1次；（3）等式两边都是整式．二、等式的性质若b a =，则c b c a +=+、c b c a -=-、bc ac =、cbc a =．特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）4、合并同类项5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）四、列方程解应用题的步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、一元一次方程的应用（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．03题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①236x y -=；②2430x x --=；③()2353x x +=-；④310x+=；⑤()3425x x --．其中，一元一次方程有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定．【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意；②是一元二次方程，不符合题意；③是一元一次方程，符合题意；④是分式方程，不符合题意；⑤是代数式，不是方程，不符合题意．故选：A ．巩固训练1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（）A ．6518x y -=B ．242715x x =+-C ．438x x+=D ．94x x-=2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程①231325x +=，②=0，③235x y +=，④120x+=中，一元一次方程共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【知识点】一元一次方程的定义3．（23-24七年级上·全国·单元测试）①2x x -=；②0.31x ≤；③243x x -=；④512x x =-；⑤6x =；⑥20x y +=．其中一元一次方程的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知1320m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是．【答案】2【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到11m -=，求出m 即可．【详解】解：根据题意得：11m -=，解得：2m =，故答案为：2．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若()1246a a x --+=-是关于x 的一元一次方程，则a =．2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x 的方程()||233m m x m --+=是一元一次方程，则m 的值为．故答案为：13．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于x 的方程()21120m mx m x -+--=是一元一次方程，则m 的值为．【答案】1或0【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有3种情况，分别讨论①当0m ≠且10m -≠时，②当0m =且10m -≠时，③当10m -=时是否满足该方程为一元一次方程即可．【详解】解：关于x 的方程()21120m mxm x -+--=是一元一次方程，可考虑三种情况，①当0m ≠且10m -≠时，即0m ≠且1m ≠，则211m -=，解得：1m =，此时1m ≠，故排除；②当0m =且10m -≠时，即0m =且1m ≠，∴0m =，符合条件；③当10m -=即1m =时，211m -=，符合条件；综上：m 的值为1或0，故答案为：1或0．题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x 的一元一次方程213mx x -=-有解，则m 的值为．1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知3x =是方程26ax a -=-+的解，则a =．【答案】2【知识点】方程的解【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．将3x =代入原方程，可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 的值．【详解】解：将3x =代入原方程得326a a -=-+，解得：2a =，∴a 的值为2．故答案为：2．2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式ax b +的值随着x 的取值的变化而变化，下表是当x 取不同的值时对应的整式的值：x 1-0123ax b+8-4-048则关于x 的方程8ax b +=的解是．【答案】3x =【知识点】方程的解【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可．【详解】根据题意可得，当3x =时，8ax b +=∴关于x 的方程8ax b +=的解是3x =．故答案为：3x =．3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x 的方程30ax +=的解为2x =，则方程()130a x -+=的解为．题型四列一元一次方程例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x ，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是．【答案】21x x =-+【知识点】列方程【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x 的2倍为2x ，相反数为x -，据此根据题意列出方程即可．【详解】解：由题意得，21x x =-+，故答案为：21x x =-+．巩固训练1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“x 的5倍与2的和等于x 的13与4的差”，用等式表示为2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x 辆车，则可列方程．【答案】()3229x x -=+【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得：()3229x x -=+．故答案为：()3229x x -=+．3．（2023·吉林长春·模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可列方程为．【答案】()7791x x +=-【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可．【详解】解：每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，∴客人可表示为()77x +个，也可表示为()91x -个，()7791x x ∴+=-，故答案为：()7791x x +=-．题型五等式的基本性质例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（）A ．若22x y -=-，则x y =B ．若25x x =，则5x =C ．若a b =，则66a b -=-D ．若2211a bc c =++，则a b =【答案】B1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（）A ．若x y =，则33x y -=+B ．若a b =，则32a b =C ．若22x y=，则x y =D ．若ax ay =，则x y=2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（）A ．如果a b =，则a c b c+=-B ．如果23x x =，则3x =C ．如果a b =，则22a b c c =D ．如果22a b c c =，则a b =3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（）A ．4532x x -=+变形得4325x x -=-+B ．211332x x -=+变形得4633x x -=+C ．3(1)2(3)x x -=+变形得3126x x -=+D ．32x =变形得23x =4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a ，b ，c 均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（）A ．如果a c b c +=+，那么a b=B ．如果a b =，那么a c b c +=+C ．如果22a b =，那么a b=D ．如果a b =，那么22a b=【答案】A【知识点】等式的性质【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案．【详解】解：由图形可得如果a c b c +=+，那么a b =，故选：A ．题型六解一元一次方程例题1：解方程：(1)25433x x -=-；(2)576132x x -=-+.【答案】(1)35x =(2)415x =【分析】()1方程移项合并，把x 系数化为1，即可求解；()2方程移项合并，把x 系数化为1，即可求解．【详解】（1）移项，得24353x x -+=-，合并同类项，得1023x -=-，系数化为1，得35x =．（2）移项，得756123x x -+=-，合并同类项，得5223x -=-，系数化为1，得415x =．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2：解方程：(1)5(1)2(31)41---=-x x x ；(2)23(1)12(10.5)-+=-+x x ．题型七解一元一次方程中的错解复原问题巩固训练(2)仿照上例解方程：0.2 0.3x+【答案】(1)③④①②(2)3x=-题型八用一元一次方程解决实际问题1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．答：小红家去年和今年用水分别为245立方米、275立方米．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第五章相交线与平行线【一、知识结构】【二、基本概念】邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有的两个角是邻补角。

对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的，像这样的两个角互为对顶角。

垂线：两条直线相交成时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

平行线：在同一平面内，的两条直线叫做平行线。

点到直线的距离：直线外一点到已知直线的，叫做这一点到这条直线的距离。

三线八角——同位角、内错角、同旁内角：同位角：。

内错角：。

同旁内角：。

命题：判断一件事情的语句叫命题。

它有和两部分组成。

命题有和之分。

其中经过推理证实的叫做定理。

平移：在平面内，将一个图形沿移动，图形的这种移动叫做平移变换。

对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由移动后得到的，这两个点叫做对应点。

【三、定理性质】对顶角的性质：。

垂线的性质：。

平行公理：。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也。

在平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也。

平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截中，，，。

平行线的判定：两条直线被第三条直线所截中，，，。

平移的性质：一个图形整体沿某一直线方向移动，所得新图形与原图形的和完全相同；连接各组对应点的线段。

两条直线的位置：平面内，和；空间内，、和。

【四、错例透析】1.未正确理解垂线的定义1．下列判断错误的是（）.A.一条线段有无数条垂线；B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.错解：A或B或C.正解：D.解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.2.未正确理解垂线段、点到直线的距离2．下列判断正确的是（）.A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；C.画出已知直线外一点到已知直线的距离；D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.错解：A或B或C.正解：.解析：本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义.A.这种说法是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的；C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.3.未准确辨认同位角、内错角、同旁内角3．如图所示，图中共有内错角（）.组；组；组；组.错解：A.正解：.解析：图中内错角有∠AGF与∠GFD，∠BGF与∠GFC，∠HGF与∠GFC三组.其中与易漏掉。

4.对平行线的概念、平行公理理解有误4．下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有（）.个；个；个；个.错解：C或D.正解：B.解析：平行线的定义必须强调“”的前提条件，所以②是错误的，平行公理中的“过一点”必须强调“”，所以④是错误的，①③是正确的.5.不能准确识别截线与被截直线，从而误判直线平行5．如图所示，下列推理中正确的有（）.①因为∠1＝∠4，所以BC∥AD；②因为∠2＝∠3，所以AB∥CD；③因为∠BCD＋∠ADC＝180°，所以AD∥BC；④因为∠1＋∠2＋∠C＝180°，所以BC∥AD.个；个；个；个.错解：D. 正解：.解析：解与平行线有关的问题时，对以下基本图形要熟悉：“”“”“”，只有③推理正确.6.混淆平行线的判定和性质、忽略平行线的性质成立的前提条件6．如图所示，直线，∠1＝70°，求∠2的度数.错解：由于，根据内错角相等，两直线平行，可得∠1＝∠2，又因∠1＝70°，所以∠2＝70°.解析：造成这种错误的原因主要是对平行线的判定和性质混淆.在运用的时候要注意：（1）判定是不知道直线平行，是根据某些条件来判定两条直线是否平行；（2）性质是知道两直线平行，是根据两直线平行得到其他关系.正解：因为（已知），所以∠1＝∠2（）7.对命题这一概念的理解不透彻7．判断下列语句是否是命题.如果是，请写出它的题设和结论.（1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）画一个60°的角.错解：（1）（2）不是命题，（3）是命题.解析：对于命题的概念理解不透彻，往往认为只有存在因果关系的关联词才是命题，正确认识命题这一概念，关键要注意两点，其一必须是一个语句，是一句话；其二必须存在判断关系，即“是”或“不是”.正解：（1）是命题.这个命题的题设是：两条直线被第三条直线所截；结论是：内错角相等.这个命题是一个错误的命题，即假命题.（2）是命题.这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等.这个命题是一个正确的命题，即真命题.（3）不是命题，它不是判断一件事情的语句.8.忽视平移的距离的概念8．“如图所示，△A′B′C′是△ABC平移得到的，在这个平移中，平移的距离是线段AA′”这句话对吗？错解：正确.解析：平移的距离是指两个图形中对应点连线的长度，而不是线段，所以在这个平移过程中，平移的距离应该是线段AA′的长度.正解：错误.【五、经典例题】例1 如图，直线AB,CD,EF相交于点O，∠AOE=54°，∠EOD=90°，求∠EOB，∠COB的度数。

例2 如图,AD平分∠CAE，∠B = 350，∠DAE=600，那么∠ACB等于多少？例3 三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数为( )。

A ．450、450、900 B ．300、600、900 C ．250、250、1300 D ．360、720、720例4 已知如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数。

例5 如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB 、CD 交于G 、H ，MN ⊥AB 于G ，∠CHG =1240，则∠EGM 等于多少度？【六、达标检测】一、选择题:(每小题3分，共36分)1.若三条直线交于一点，则共有对顶角(平角除外)( ) 对对对对2.如图,所示，∠1的邻补角是( )A.∠BOCB.∠BOE 和∠AOFC.∠AOFD.∠BOC 和∠AOF 3. 如图，点E 在BC 的延长线上，在下列四个条件中，不能判定AB ∥CD 的是( )A.∠1=∠2B.∠B=∠DCEC.∠3=∠BD.∠D+∠DAB=180° 4.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30，那么这两个角是（）A ． 42138、；B ．都是10；C ． 42138、或4210、；D ．以上都不对5. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，两次拐弯的角度是（） A ．第一次右拐50°，第二次左拐130° B ．第一次左拐50°，第二次右拐50° C ．第一次左拐50°，第二次左拐130° D ．第一次右拐50°，第二次右拐50°6. 如图，AB ∥CD ，那么∠A ，∠P ，∠C 的数量关系是( ) A.∠A+∠P+∠C=90° B.∠A+∠P+∠C=180°C.∠A+∠P+∠C=360°D.∠P+∠C=∠A7. 一个人从点A 点出发向北偏东60°方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，那么∠ABC 等于( )DABa bMP N123° ° ° ° 8.如图所示，内错角共有( ) 对对对对9.如图所示，已知∠3=∠4，若要使∠1=∠2，则需( ) A.∠1=∠3 B.∠2=∠3C.∠1=∠4 ∥CD10.下列说法正确的个数是( ) ①同位角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;；④三条直线两两相交，总有三个交点； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.个个个个11. 如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，下列图形:△OCD ，△ODE ，△OEF ，•△OAF ，•△OAB ，其中可由△OBC 平移得到的有( ) 个个个个12.如图，a b ∥，M N ，分别在a b ，上，P 为两平行线间一点，那么123 （）二、填空题（每小题3分，共18分）14.如图所示，请写出能判定CE ∥AB 的一个条件．14.如图，已知AB ∥CD ，∠1=70°则∠2=_______，∠3=______，∠4=_______.15.如图所示，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，•为了使李庄人乘火车最方便(即距离最近)，请你在铁路旁选一点来建火车站(位置已选好)，说明理由:________________.16.如图所示，直线AB 与直线CD 相交于点O ，EO ⊥AB ，∠EOD=25°，则∠BOD=______，∠AOC=_______，∠BOC=________.(16题) （17题）（18题） 17.如图所示，四边形ABCD 中，∠1=∠2，∠D=72°，则∠BCD=_______. 18. 根据图12中数据求阴影部分的面积和为_______. 三、解答题（每小题6+7+7+6分，共26分） 19. 画图题:如图(1)画AE ⊥BC 于E ，AF ⊥DC 于F. (2)画DG ∥AC 交BC 的延长线于G.(3)经过平移，将△ABC 的AC 边移到DG ，请作出平移后的△DGH.20. 已知：如图， AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线与∠DEF 的平分线相交于点P ．求∠P 的度数21. 如图，E 在直线DF 上，B 为直线AC 上，若∠AGB=∠EHF ，∠C=∠D ，试判断∠A 与∠F 的关系，并说明理由.22. 如图，在方格中平移三角形ABC ，使点A 移到点M ，点B ，C 应移动到什么位置?再将A 由点M 移到点N?分别画出两次平移后的三角形.如果直接把三角形ABC•平移，使A 点移到点N ，它和前面先移到M 后移到N 的位置相同吗?四、解答题（每小题10分，共20分）23. 已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.24. 如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3和直线l 1、l 2交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化.若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系又是如何？l 1 lC B DPl 2A。