高中数学试题巧解方法
高中数学巧学巧解大全
高中数学巧学巧解大全第一部分 高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；【巧解】联立与得，则中点，设线段 的中点坐标为，则，即，又点在曲线上， ∴化简可得，又点是上的任一点， 且不与点和点重合，则，即， ∴中点的轨迹方程为（）. 【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P作双曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1m。
过点A ),(t s P 2x y =2+=x y 2,1=-=B A x x AB )25,21(Q PQ M ),(y x 225,221ty s x +=+=252,212-=-=y t x s P C 2)212(252-=-x y 8112+-=x x y P L A B 22121<-<-x 4541<<-x M 8112+-=x x y 4541<<-x作直线0=-yx的垂线，垂足为N，试求AMN∆的重心G所在的曲线方程。
【巧解】设1122(,),(,)A x yB x y，由已知得到120y y≠，且22111x y-=，22221x y-=，（1）垂线AN的方程为：11y y x x-=-+，由11y y x xx y-=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x yN++，设重心(,)G x y所以11111111()321(0)32x yx xmx yy y+⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩解得1139341934x ymxy xmy⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y-=可得11(33)(33)2x y x ym m--+-=即2212()39x ym--=为重心G所在曲线方程巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2:xyC=的焦点为F，动点P在直线02:=--yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系xOy中，有一个以)3,0(1-F和)3,0(2F为焦点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OBOAOM+=，求点M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。
选准好思路,巧解解答题(高中数学)
2 和 tan (2 3) cot 都成立 ? 若存在 , 求出 3 2
, 的值;若不存在.请说明理由.
2
解 : 由 已 知 可 得
3
, 所 以 , tan(
2
)
tan
2
tan 1 tan2tan
3 , 又 由
t a n
故 tan
热线:029-82551428
解答题专项训练
1. 求函数 y 3 sin x cos x (
3
x
2
)的值域.
1. 解 :整理函数解析式可得 y 2 sin(x 据正弦函数的图像可得
6
) , 因为
3
x
2
, 所以 ,
6
x
6
1 sin( x ) 1 ,故函数的值域为 [1, 2] . 2 6 1 2.已知点点 A(1,2),点 B(-2,6),点 P 在直线 AB 上,且满足 | AP | | AB | ,求点 P 的坐标. 3
3.解: OG 所 以 , ( m) a
1 3
1 1 1 b = [ a ( n)b] , 故 3 3 3
1 m 3 3 ,消去 可得: ( 1 n) 1 3 3
1 1 1 1 1 ( m)( n) ,整理即得 3 . 3 3 9 m n
8 2 ， 5
) 的值. 2 8 解: 由 m (cos ,sin ) ， n ( 2 sin ,cos ) 知：
高中数学解题技巧方法总结(必备19篇)
高中数学解题技巧方法总结第1篇(1)利用y＝sin x和y＝cos x的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y＝A sin(ωx＋φ)＋b(或y＝A cos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域．(3)把sin x或cos x看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域．(4)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系将原函数转换成二次函数求值域．高中数学解题技巧方法总结第2篇(1)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(5)并项法一个数列的前n项和中，可两两结合求和，称为并项法求和，形如：(－1)nf(n)类型，可考虑利用并项法求和．高中数学解题技巧方法总结第3篇先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．推断数列的通项公式解答此类问题的具体步骤：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．高中数学解题技巧方法总结第4篇以退求进，立足特殊发散一般对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊(如用特殊法解选择题)，化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。
高中数学,巧解极值点偏移5大套路
巧解极值点偏移5大套路已知()21ln 2f x x x mx x =--，m ∈R ．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：212e x x >（e 为自然对数的底数）．解法一：齐次构造通解偏移套路证法1：欲证212e x x >，需证12ln ln 2x x +>．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，即函数()f x '有两个零点．又()ln f x x mx '=-，所以，1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同实根．于是，有1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩，解得1212ln ln x x m x x +=+．另一方面，由1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩，得()2121ln ln x x m x x -=-，从而可得，21122112ln ln ln ln x x x x x x x x -+=-+．于是，()()222121111222111lnln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==--．又120x x <<，设21x t x =，则1t >．因此，()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t >．要证12ln ln 2x x +>，即证：()1ln 21t t t +>-，1t >．即：当1t >时，有()21ln 1t t t ->+．设函数()()21ln 1t h t t t -=-+，1t ≥，则()()()()()()222212111011t t t h t t t t t +---'=-=≥++，所以，()h t 为()1.+∞上的增函数．注意到，()10h =，因此，()()10h t h ≥=．于是，当1t >时，有()21ln 1t t t ->+．所以，有12ln ln 2x x +>成立，212e x x >．解法二变换函数能妙解证法2：欲证212e x x >，需证12ln ln 2x x +>．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，即函数()f x '有两个零点．又()ln f x x mx '=-，所以，1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同实根．显然0m >，否则，函数()f x '为单调函数，不符合题意．由()11121222ln 0ln ln ln 0x mx x x m x x x mx -=⎧⇒+=+⎨-=⎩，即只需证明()122m x x +>即可．即只需证明122x x m+>．设()()210,g x f x f x x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=--∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()22102mx g x x mx -'=>-，故()g x 在10,m ⎛⎫↑ ⎪⎝⎭，即()10g x g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故()2f x f x m ⎛⎫''<- ⎪⎝⎭．由于()11mx f x m x x -''=-=，故()f x '在10,m ⎛⎫↑ ⎪⎝⎭，1,m ⎛⎫+∞↓ ⎪⎝⎭．设121x x m <<，令1x x =，则()()2112f x f x f x m ⎛⎫'''=<- ⎪⎝⎭，又因为2x ，121,x mm ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，()f x '在1,m ⎛⎫+∞↓ ⎪⎝⎭，故有212x x m >-，即122x x m +>．原命题得证．解法三构造函数现实力证法3：由1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同实根得ln x m x =，令()ln xg x x=，()()12g x g x =，由于()21ln xg x x-'=，因此，()g x 在()1,e ↑，()e,+∞↓．设121e x x <<<，需证明212e x x >，只需证明()212e 0,e x x >∈，只需证明()212e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()222e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()222e 0f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭．即()()()()2e 1,e h x f x f x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()()()22221ln e 0e x x h x x --'=>，故()h x 在()1,e ↑，故()()e 0h x h <=，即()2e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭．令1x x =，则()()2211e f x f x f x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，因为2x ，()21e e,x ∈+∞，()f x 在()e,+∞↓，所以221e x x >，即212e x x >．证法4：设()11ln 0,1t x =∈，()22ln 1,t x =∈+∞，则由1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩得11221122e e et t t t t t m t m t -⎧=⇒=⎨=⎩，设120k t t =-<，则1e e 1k kk t =-，2e 1k k t =-．欲证212e x x >，需证12ln ln 2x x +>．即只需证明122t t +>，即()()()()()1e 21e 2e 11e 2e 10e 1k k k k k k k k k +>⇔+<-⇔+--<-．设()()()()1e 2e 10k k g k k k =+--<，()e e 1k k g k k '=-+，()e 0k g k k ''=<，故()g k '在(),0-∞↓，故()()00g k g ''>=，故()g k 在(),0-∞↑，因此()()00g k g <=，命题得证．证法5：设()11ln 0,1t x =∈，()22ln 1,t x =∈+∞，则由1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩得11221122e e et t t t t t m t m t -⎧=⇒=⎨=⎩，设()120,1t k t =∈，则1ln 1k k t k =-，2ln 1k t k =-．欲证212e x x >，需证12ln ln 2x x +>，即只需证明122t t +>，即()()()1ln 21212ln ln 0111k kk k k k k k k +-->⇔<⇔-<-++，设()()()()21ln 0,11k g k k k k -=-⇔+，()()()22101k g k k k -'=>+，故()g k 在()0,1↑，因此()()10g k g <=，命题得证．。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析数学是一门抽象的学科，与大多数人口中的“实在”“有形”等形容词相悖。
但是，数学却可以通过数形结合的方法让我们看到它的立体感。
在高中数学中，数形结合思想尤为重要，它能够启发我们思考问题，化繁为简，找到解题的技巧性思路。
数形结合思想是一种通过图形来解决数学问题的方法。
它将数学公式和几何图形有机地结合在一起，借助图形的视觉效果，使得数学问题更加直观易懂，容易解决。
以下将通过举例说明如何巧妙地运用数形结合思想解决高中数学问题。
例1. 在平面直角坐标系内，将直线 $y = x$ 上的点分别与 $x, y, -x,-y$ 坐标轴上的点两两连成线段，把平面分成了 $8$ 个部分，求其中钝角三角形的个数。
这是一道很巧妙的数形结合题。
题目中要求我们求的是钝角三角形的个数。
我们可以从图形入手，由题意可知，随着绕点 $O(0,0)$ 以 $(x, x)$，$(y, 0)$，$(-x,-x)$ 和$(0, y)$ 为端点的线段依次连接，整个平面被分成八个区域。
根据锐角、直角、钝角三角形三种情况，可以发现，当一个三角形中必须至少有一条边与 $y=x$ 相交时，这个三角形就是钝角三角形。
因为它的另外两条边必须显著“弯曲”，而直角三角形则需要两条边与 $y=x$ 垂直。
同样的，当一条边与 $y=-x$ 相交时，也可能会构成钝角三角形。
那么我们可以可以通过观察不同的区域得到钝角三角形的数目。
对于 $A$ 区域，只有 $(3)$ 构成的三角形（实心的）是钝角三角形。
通过以上分析，我们得到：在这八个区域中，钝角三角形的个数为$1+3+4+1+1+3+3+1=17$。
例2. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(3,5)$，$P$ 点在 $\triangle ABC$ 内部，$AP$ 与 $BC$ 相交于点 $D$，$BP$ 与$AC$ 相交于点 $E$，$CP$ 与 $AB$ 相交于点 $F$，三边上的点 $D$，$E$，$F$ 互不相同。
高考数学各题型答题方法技巧总结
高考数学各题型答题方法技巧总结数学选择题目还是比较多的，占的分值也挺大的，因此，对于不同的数学选择题，就需要掌握不同的解题技巧，数学选择题的解题方法也是多种多样的，下面是给大家带来的高考数学各题型答题方法技巧总结(大全)，以供大家参考!数学各题型解题方法一、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3、注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。
二、导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题1、先求函数的定义域，正确求出导数，特别是复合函数的导数，单调区间一般不能并，用“和”或“，”隔开(知函数求单调区间，不带等号;知单调性，求参数范围，带等号);2、注意最后一问有应用前面结论的意识;3、注意分论讨论的思想;4、不等式问题有构造函数的意识;5、恒成立问题(分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法);6、整体思路上保6分，争10分，想14分。
三、概率问题1、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3、记准均值、方差、标准差公式;4、求概率时，正难则反(根据p1+p2+。
+pn=1);5、注意计数时利用列举、树图等基本方法;6、注意放回抽样，不放回抽样;7、注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8、注意条件概率公式;9、注意平均分组、不完全平均分组问题。
四、圆锥曲线问题1、注意求轨迹方程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法;2、注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等;3、战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。
高中数学解题方法及技巧分析
高中数学解题方法及技巧分析数学解题方法和技巧对不同类型的数学习题的作答效率和正确率有非常大的影响。
下面是小编为大家整理的关于高中数学解题方法及技巧分析，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!1高中数学解题方法及技巧分析构建数学整体数学学习需要高中生具备整体思维，对现有条件等知识进行关联，建立起相关概念和数学知识的密切联系，才能灵活地对不同类型数学问题进行解答，最终将所学知识应用到实际数学问题解决过程中。
构建数学是一个长期的过程，需要不断对已经掌握的旧有数学知识不断理解和深化，才能形成整体数学意识，这样在解题时才能避免仅关注某一个条件，而不能建立条件之间的联系。
从我班实际情况来看，有些同学解题时，错误地认为原有数学知识是不可能解答新数学问题的，因此面对之前没有见过的数学问题，往往不知道从何处下手。
很多数学问题看似“新类型”，其实考察的知识点都是之前学习过的，需要我们整体看待这些问题，将题目中现有的条件及隐含的元素积极联系，以提高解题效率。
例如，我遇到过一个三角函数题，计算出22.5度的三角函数值，惯性思维下，我按照固有思路计算，但是发现计算起来非常麻烦，于是我转换角度，借用44.5度的三角函数值，并利用所学数学定理，即余弦定理、正弦定理，更为简便、快速地计算出题目所要求的22.5度的三角函数值。
解题后我进行了答题反思，发现使用数学整体思路解题比单一元素解题更为便捷高效，不管习题类型如何变化，要记住“万变不离其宗”，应当想办法运用已有知识联系题目，最终可能获得意想不到的收获。
巧妙加减同一个量求解积分等类型数学习题时，经常会使用“加减同一个量”“拼凑”出想要的公式模型或者定理，这样一来可以十分巧妙地解答出高中数学相关习题。
比如，求解积分函数时，应用“加减同一个量”的数学解题方法，可以在被积函数中需要时首先故意加上或者人为减去一个相等的量，为了确保最终答案正确性，还需要在给出答案之前，相应地减去或者加上这一个“相等的量”，这样才算解题完毕，避免答案错误。
高中数学解题方法与技巧 必背公式总结
高中数学解题方法与技巧必背公式总结高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.在学习带参数的初等函数时，要抓住无论参数如何变化，有些性质不变的特点。
如函数的不动点，二次函数的对称轴等。
3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
4.在常数建立问题中，利用二次函数的图像性质，灵活运用函数闭区间上的最大值和分类讨论的思想(分类讨论中要注意不要重复或遗漏)，可以转化为极大值问题或二次函数的常数建立问题。
5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。
6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值；三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。
7.求参数的值域，要建立关于参数的不等式或方程，利用函数的值域或定义或求解不等式。
在转换公式的过程中，应优先考虑分离参数的方法。
8、在解三角形的题目中，已知三个条件一定能求出其他未知的条件，简称“知三求一“。
9、求双曲线或者椭圆的离心率时，建立关于a、b、c之间的关系等式即可。
10、解三角形时，首先确认所求边角所在的三角形及已知边角所在的三角形，从而选择合适的三角形及定理。
11、在数列的五个量中：中，只要知道三个量就可以求出另外两个量，简称“知三求二”。
12.圆锥曲线的题目应优先考虑它们的定义。
如果直线与圆锥曲线相交的问题与弦的中点有关，则选择设定而不是求点差的方法，维耶塔定理公式的方法与弦的中点无关。
(使用维耶塔定理时，首先要考虑二次函数方程是否有根，即二次函数的判别式。
).13.解曲线方程的问题，如果知道曲线的形状，可以选择待定系数法。
如果不知道曲线的形状，采用的步骤是建立系统，设置点，列表化简。
14、在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a、b、c的两个方程或由题目得到的图形中找到a、b、c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围。
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数学具体解题方法有：代入法 直接法 定义法 向量坐标法 查字典法 挡板模型法 等差中项法 逆向化法 极限化法 整体化法 参数法 交轨法 几何法 弦中点轨迹求法 比较法 基本不等式法 以题攻题法综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 构造法 数学归纳法 配方法 判别式法序轴标根法 向量平行法 向量垂直法 同一法 累加法 累乘法 倒序相加法 分组法 公式法错位相减法 裂项法 迭代法 角的变换法 公式的变形及逆用法 降幂法 升幂法 “1”的代换法引入辅助角法 三角函数线法 构造对偶式法 构造三角形法 估算法 待定系数法 特殊优先法先选后排法 捆绑法 插空法 间接法 筛选法（排除法） 数形结合法 特殊值法回代法（验证法） 特殊图形法 分类法 运算转换法 结构转换法 割补转换法 导数法象限分析法 补集法 距离法 变更主元法 差异分析法 反例法 阅读理解法 信息迁移法类比联想法 抽象概括法 逻辑推理法 等价转化法 根的分布法 分离参数法 抽签法随机数表法高中数学活解方法一、代入法若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
【例1】（广东高考题）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点),(t s P 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；【巧解】联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25,21(Q ， 设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221ty s x +=+=， 即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上， ∴2)212(252-=-x y 化简可得8112+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ， ∴中点M 的轨迹方程为（4541<<-x ）. 【例2】（江西高考题）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P 作双曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1m 。
过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN ∆的重心G 所在的曲线方程。
【巧解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22221x y -=，（1）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+，由110y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y 所以11111111()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩ 解得1139341934x y m x y x m y ⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩ 由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m--+-= 即2212()39x y m --=为重心G 所在曲线方程 巧练一：（江西高考题）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.，求△APB 的重心G 的轨迹方程.巧练二：（全国高考题）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦8 11 2 + - =2 x x y点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM +=，求点M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。
从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。
但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。
【例1】（全国高考题）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点。
若FB AF 4=，则C 的离心率为（ ）（A ）56 （B ）57 （C ）58 （D ）59 【巧解】设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(c F ，由FB AF 4=，得),(4),(2211y c x y x c -=--∴214y y -=，设过F 点斜率为3的直线方程为c y x +=3， 由⎪⎩⎪⎨⎧=--+=03222222b a y a x b c y x 消去x 得：032)3(42222=++-b y c b y a b ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+224212222133)3(36a b b y y a b c b y y ， 将 214y y -=代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-224222222334)3(363a b b y a b c b y 化简得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=)3(43)3(32224222222a b b y a b c b y ，∴)3(43)3(3422422224a b b a b c b --=-， 化简得：)3(9)3(916222222a c a b a c +-=-=，∴223625a c =，25362=e ，即56=e 。
故本题选（A ）【例2】（四川高考题）设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+⋅x f x f ，若2)1(=f ，则=)99(f （ ）（A ）13 （B ）2 （C ）213 （D ）132 【巧解】∵)(13)2(x f x f =+，∴)()(1313)2(13)4(x f x f x f x f ==+=+ ∴函数)(x f 为周期函数，且4=T ，∴213)1(13)3()3244()99(===+⨯=f f f f 故选（C ）巧练一：（湖北高考题）若),1()2ln(21)(2+∞-++-=在x b x x f 上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．),1[+∞-B ．),1(+∞-C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞巧练二：（湖南高考题）长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，3AA 1=1，则顶点A 、B 间的球面距离是（ ）A ．π22B ．π2C ．22πD ．42π三、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。
选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。
【例1】（福建高考题）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则=p ． 【巧解】依题意直线AB 的方程为2p x y -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 222消去y 得： 04322=+-p px x ，设),(11y x A ，),(22y x B ，∴p x x 321=+，根据抛物线的定义。
2||2p x BF +=，2||1p x AF +=，∴84||21==++=p p x x AB ，∴2=p ， 故本题应填2。
【例2】（山东高考题）设椭圆C 1的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）（A ）1342222=-y x （B ）15132222=-y x（C ）1432222=-y x （D ）112132222=-y x 【巧解】由题意椭圆的半焦距为5=c ，双曲线2C 上的点P 满足|,|8||||||2121F F PF PF <=- ∴点P 的轨迹是双曲线，其中5=c ，4=a ，∴3=b ，故双曲线方程为1342222=-y x ，∴选（A ）巧练一：（陕西高考题）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．33 巧练二：（辽宁高考题）已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）（A ）217 （B ）3 （C ）5 （D ）29四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。
在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。
【例1】（广东高考题）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．41a +21bB ．32a +31bC ．21a +41b D ．1a +2b 【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形ABCD则)0,2(B ，)2,2(C ，)2,0(D ，)1,1(O ，)23,21(E ，∴直线AE 的方程为x y 3=，联立⎩⎨⎧==23y x y 得)2,32(F ∴)2,32(=AF ，设BD y AC x AF +=，则)22,22()2,2()2,2(y x y x y x AF +-=-+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-2223222y x y x 解之得32=x ，31=y ，∴b a BD AC AF 31323132+=+=，故本题选B 【例2】已知点O 为ABC ∆内一点，且=++OC OB OA 320，则AOB ∆、AOC ∆、BOC ∆的面积之比等于（ ）A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【巧解】不妨设ABC ∆为等腰三角形，090=∠B 3==BC AB ，建立如图所示的直角坐标系，则点)0,0(B )3,0(A ，)0,3(C ，设),(y x O ， ∵=++OC OB OA 320，即0,0(),3(3),(2)3,(=--+--+--y x y x y x ∴⎩⎨⎧==3696y x 解之得23=x ，21=y ，即)21,23(O ，又直线AC 的方程为03=-+y x ，则点O 到直线AC 的距离2211|32123|22=+-+=h ，∵23||=AC ，因此49||||21=⋅=∆x AB S AOB ，43||||21=⋅=∆y BC S BOC ，23||21=⋅=∆h AC S AOC ，故选C 巧练一：（湖南高考题）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且,2,2EA CE BD DC ==BC CF BE AD FB AF 与则++=,2（ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 巧练二：设O 是ABC ∆内部一点，且OB OC OA 2-=+，则AOB ∆与AOC ∆面积之比是 .五、查字典法查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。