九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版知识精讲
九年级数学圆心角_弧_弦_弦心距的关系课件人教版
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明： ∵ AB=AC． ∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形.
B O
·
C
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的
1 3
，圆的半径为4cm，求AB的长
O
A C
B
A
知识延伸
B
A P C D O M
（1） 变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与 A、B、C、D，AB=CD 求证：点O在∠BPD的平分线上
A P
B
O C D
（2）
变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB， 求证：PA=PB A
P O (3) B 变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中还 存在相等的弦吗？ B C P A D O
5.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ = ⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， BC CD DE 求∠AOE的度数．
解： E D C
⌒
= ⌒ = ⌒ BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
A
O
·
AOE 180 3 35
B
75
ห้องสมุดไป่ตู้
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º .同时整个圆也被分成了360份.
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE OF , E B 证明： OE AB, OF CD A 1 1 AE AB, CF CD O 2 2 D 又 AB＝CD AE＝CF F 又 OA＝OC Rt AOE Rt COF C OE OF .
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 人教版
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系一. 本周教学内容：垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系［学习目标］1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。
（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。
已知其中两项，可推出其余三项。
注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。
”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。
2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。
（M点是两点重合的一点，代表两层意义）COA BMD3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。
无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。
4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。
四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。
源于圆的旋转不变性。
即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。
()()()()1234⇔⇔⇔O B'M'A' BMA6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。
7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。
二. 重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。
【典型例题】例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。
24.1.3 弧、弦、圆心角 课件(共25张PPT) 人教版数学九年级上册
E
B
O·
D
F C
在同圆或等圆中，圆心角及所对的弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角；②两条弧；③两 条弦；④两条弦心距，有一组量相等,那么它们所对应的 其余各组量都分别相等.
1．如果两个圆心角相等，那么 A．这两个圆心角所对的弦相等
（ D）
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角
圆的对称性
圆的轴对称性 圆的中心对称性
垂径定理 及其推论
？？？
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问 题.（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆” 条件的意义.（难点）
观察：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重 合吗？由此你得到什么结论呢？
180
A
°
所以圆是中心对称图形
把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
·
α O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
A
O·
B
·O
A
B
顶点在圆心上
O
A
B
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
A
E
B
O·
D
F C
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相 等吗？为什么？
解：OE=OF.
理由如下：
OE AB, OF CD
AE 1 AB, CF 1 CD
2
垂径定理与圆心角
9.垂径定理与圆心角垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。
4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
典例分析【题型一】利用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为 D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。
【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】利用垂径定理求最值【例1】如图3-3-15 , ⊙O 的半径为5 ,弦AB 的长为8,M 是弦価上的一个动点,则线段0M 长的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB = 8 cm,AC =CD =BD ,M 是AB 上一动点,CM 十DM 的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点 A,B,C 都在⊙O 上,且 AB=AC,圆心O 到BC 的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB 的长.【变式1】已知⊙O 的直径CD=10 cm ，AB 是⊙O 的弦,AB= 8 cm,且AB 丄CD,垂足为点 M,则 AC 的长为( ). A.52cm B.54cm C.52cm 或54cm D.32cm 或34cm【变式2】已知,⊙O 的半径是5,AB, CD 为⊙O 的两条弦,且 AB ∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD 间的距离。
人教版九年级数学第24章 圆的有关性质 知识点精讲精练(含答案)
第二十四章 圆的有关性质知识点思维导图能力培养：符号意识、几何直观、推理能力、运算能力 【实战篇】知识点一：圆的有关概念 1. 圆的定义（1）描述性定义：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆. 其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.（2）集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合. 2. 圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，读作“圆O ”. 3. 圆具有的特性（1）圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.注意：（1）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心（三点不共线）构成的三角A形都是等腰三角形.4. 圆的有关概念【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心、CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为______________.【例1】【解析】同一个圆中的所有半径都相等，所以在圆中“连半径”是常用的辅助线，本题先连接CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD＝5，所以半径BC＝CD＝5，又由已知AB＝10，利用勾股定理得出AC==【答案】 【巩固】1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，∠ABC ＝65°，那么∠OCA 的度数是（ ） A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°2. 如图，在⊙O 中，下列说法不正确的是（ ） A. AB 是⊙O 的直径B. 有5条弦C. AD 和BD 都是劣弧，ABD 是优弧D. CO 是圆O 的半径【巩固答案】 1. A 2.B知识点二：垂直于弦的直径CB DAABBA1. 圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言：∵如图，CD 是直径，CD ⊥AB 于点M ，∴AM ＝BM ，AC ＝BC ，AD ＝BD .3. 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言：∵如图，CD 是直径，AM ＝BM （AB 不是直径），∴CD ⊥AB ，AC ＝BC ，AD ＝BD .【例2】如图，AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为5，BC ＝8，则AB 的长为（ ） A. 8B. 10C.34D. 54【例2】【解析】连接OB ，根据垂径定理求出BD ＝12BC ＝4，已知半径OB ＝5，在Rt △OBD中，由勾股定理求出OD3，所以AD ＝8，在Rt △ABD 中，再由勾股定理求出AB.【答案】D 【巩固】1. 下列说法不正确的是（ ）A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形B. 圆有无数条对称轴C. 圆的每一条直径都是它的对称轴D. 圆的对称中心是它的圆心2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 的长为（ ） A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【巩固答案】 1. C 2. A知识点三：弧、弦、圆心角 1. 圆的旋转对称性圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 2. 圆心角的定义顶点在圆心的角叫做圆心角.如图：∠AOB 是AB 所对的圆心角，AB 是∠AOB 所对的弧. 注意：一条弧所对的圆心角只有一个. 3. 弧、弦、圆心角之间的关系A【例3】如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ＝CD . 求证：AC ＝BD .【例3】【解析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AB ＝CD 得到AB ＝CD ，进而AB ＋BC ＝CD ＋BC ，即AC ＝BD ，所以AC ＝BD . 【答案】证明：∵AB ＝CD ∴AB ＝CD ，∴AB＋BC ＝CD ＋BC ， 即AC ＝BD ， ∴AC ＝BD . 【巩固】1. 如图，在⊙O 中，∠AOB ＝∠COD ，那么AC 和BD 的大小关系是（ ）A. AC ＞BDB. AC ＜BDC. AC ＝BDD. 无法确定D2. 如图，C 是⊙O 上的点，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD ＝CE ，则AC 与BC 的关系是（ ）A. AC ＝BCB. AC ＞BCC. AC ＜BCD. 不能确定【巩固答案】 1. C 2. A知识点四：圆周角 1. 圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：（1）圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交. （2）同一条弧所对的圆周角有无数个. 2. 圆周角和圆心角的区别和联系3. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图，∠ACB ＝21∠AOB .4. 圆周角定理的推论推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2 （1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角； （2）90°的圆周角所对的弦是直径. 5. “五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【例4】如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上两点，∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为（ ） A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°【例4】【解析】本题考查的是圆周角定理的两个推论，根据题意先连接AD ，根据圆周角定理的推论可知，∠A ＝∠BCD ＝40°，又由AB 为⊙O 的直径知∠ADB ＝90°，所以∠ABD ＝90°－∠A ＝50°. 故选B.【答案】B 【巩固】1. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠OAB ＝54°，则∠C 的度数为（ ） A. 54°B. 46°C. 36°D. 27°BAAB2. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，BC＝CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝___________.【巩固答案】1.C2.70°知识点五：圆内接多边形1.圆内接多边形的定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补.注意：每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.【例5】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD ＝130°，则∠DCE的度数为（）A. 45°B. 50°C. 65°D. 75°【例5】【解析】根据圆周角定理求出∠A ＝12∠BOD ＝65°，再根据圆内接四边形的性质得出∠BCD ＝180°－∠A ＝115°，则∠DCE ＝180°－∠BCD ＝65°. 故选C. 【答案】C 【巩固】1. 如图，在⊙O 中，∠AOB ＝120°，P 为劣弧AB 上的一点，则∠APB 的度数是_____________.2. 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠C ＝∠D. 问AB 与CD 有怎样的位置关系，请说明理由.【巩固答案】 1. 120° 2. 解：AB ∥CDB理由如下：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∵∠C＝∠D，∴∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD.。
人教版九年级数学上册(课时4)弧、弦、圆心角的关系-老师版
弧、弦、圆心角的关系人教九上初中数学试卷24-4一、学习目标理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变形；掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明．二、知识回顾1．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是任何一条条直径所在的直线，对称中心是圆心．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．3．垂径定理及其推论是什么？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．1．利用弧、弦、圆心角的关系求角的度数【例1】（2014秋•安次区校级月考）如图，AB，CD是⊙O的直径，=，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°练1．（2014•贵港）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°2．利用弧、弦、圆心角的关系证线段相等【例2】如图，已知AB、CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，且=．求证：BD=DE．练2．如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC=CD．3．利用弧、弦、圆心角的关系证弧相等．【例3】（2014秋•营口期末）如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：BD BE练3．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：=．一、选择题1．（2015•奉贤区一模）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等2．（2015•宝山区一模）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条线弦所对的弧相等C．这两条弦都被与它垂直的半径平分D．这两条弦所对的弦心距相等3．（2013秋•泉港区期末）如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°4．（2013秋•嘉兴期中）如图，==，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A．40°B．60°C．80°D．120°5．（2013秋•武昌区校级期中）如图：=2，则下列正确的是（）A．AB=2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定6．（2011•宁波模拟）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°二、填空题7．（2014秋•海宁市校级月考）在⊙O中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙O的直径为4cm．8．（2012•天津模拟）一条弦把圆分成5：1两部分，若圆的半径为2cm，此弦长为2cm．9．（2011•安庆一模）如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为60°，30°，已知直径AB=，连接PB交OQ于M，则QM的长为2﹣3．10．（2015春•盐城校级期中）如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为35°．三、解答题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，且AB=CD，求证：AC=BD．12．（2014秋•莱州市期末）如图，在⊙O中，D，E分别是半径OA，OB的中点，点C在圆上，CD=CE．求证：=．13．（2014秋•武夷山市期中）已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由．14．（2012•常州模拟）如图，已知∠APC=30°，的度数为30°，求和∠AEC的度数．15．（1999•广州）某部队在灯塔A的周围进行爆炸作业，A的周围3千米内的水域为危险区域，有一渔船误入离A只有2千米的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿什么方向航行？为什么？更多练习>>典例探究答案：【例1】（2014秋•安次区校级月考）如图，AB，CD是⊙O的直径，=，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°分析：根据圆心角、弧、弦的关系，由=得到∠BOD=∠AOE=32°，然后利用对顶角相等得∠BOD=∠AOC=32°，易得∠COE=64°．解答：解：∵=，∴∠BOD=∠AOE=32°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°∴∠COE=32°+32°=64°．故选D．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．练1．（2014•贵港）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°分析：由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．解答：解：如图，∵==，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．故选：A．点评：此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【例2】如图，已知AB、CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，且=．求证：BD=DE．分析：根据圆心角、弧、弦之间的关系和已知求出弧BD=弧DE，再根据圆心角、弧、弦之间的关系求出即可．解答：证明：∵圆心角∠AOC=∠BOD，∴弧AC=弧BD，∵=，∴弧DE=弧BD，∴BD=DE．点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．练2．如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC=CD．分析：连结OD，如图，根据平行线的性质得∠2=∠3，∠2=∠B，加上∠B=∠3，则∠1=∠2，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到=，则AC=CD．解答：证明：连结OD，如图，∵OC∥BD，∴∠2=∠3，∠2=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，∴=，∴AC=CD．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了平行线的性质．【例3】（2014秋•营口期末）如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求=．证：BD BE分析：首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，然后由OC=OE，可=．得∠C=∠E，继而证得∠DOB=∠BOE，则可证得：BD BE解答：证明：连接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，∵OC=OE，∴∠C=∠E，∴∠DOB=∠BOE，．∴BD BE点评：此题考查了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．练3．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：=．分析：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG=∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知=；然后根据垂径定理可知=；最后根据图形易证得结论．解答：证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．∵OE=OF，OG⊥EF于点G，∴∠EOG=∠FOG，∴=．又∵OG⊥AB于点G，∴=，∴﹣=﹣，即=．点评：本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质．解答本题时，通过作辅助线OH构建等弧（=；=）来证明结论．课后小测答案：一、选择题1．（2015•奉贤区一模）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．2．（2015•宝山区一模）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条线弦所对的弧相等C．这两条弦都被与它垂直的半径平分D．这两条弦所对的弦心距相等解答：解：A、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C、这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，故本选项正确；D、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；故选C．3．（2013秋•泉港区期末）如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°解：∵，=，∴∠AOB=∠AOC=122°．故选A．4．（2013秋•嘉兴期中）如图，==，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A．40°B．60°C．80°D．120°解：∵==，∠BOC=40°，∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=60°．故选B．5．（2013秋•武昌区校级期中）如图：=2，则下列正确的是（）A．AB=2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定解：如图，取弧AB的中点E，则弧AE=弧BE，则弧AB=2弧AE，∵=2，∴弧AE=弧EB=弧CD，∴AE=BE=CD，在△AEB中，由三角形的三边关系得：AB＜AE+BE，∴AB＜2CD．故选：C．6．（2011•宁波模拟）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过A作AE ∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°解：∵AE∥CD，∴=，∴∠AOC=∠DOE，∵∠AOC=50°，∴∠DOE=50°，∴∠AOE=180°﹣∠AOC﹣∠DOE=180°﹣50°﹣50°=80°．故选D．二、填空题7．（2014秋•海宁市校级月考）在⊙O中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙O的直径为4cm．解：如图所示，∵在⊙O中AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2cm，∴⊙O的直径=2OA=4cm．故答案为：4．8．（2012•天津模拟）一条弦把圆分成5：1两部分，若圆的半径为2cm，此弦长为2cm．解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB．∵一条弦把圆分成5：1两部分，∴∠AOB=60°，∴∠2=∠1=30°；又∵OD⊥AB，OA=2cm，∴AD=OA=1cm，∴AB=2AD=2cm．故答案是：2cm．9．（2011•安庆一模）如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为60°，30°，已知直径AB=，连接PB交OQ于M，则QM的长为2﹣3．解：∵∠BOP=60°，OP=OB，∴△OPB为等边三角形，而∠BOQ=30°，∴OM为等边三角形OPB的高，∴OM=OB，而AB=，∴OM=×2=3，∴QM=2﹣3．故答案为2﹣3．10．（2015春•盐城校级期中）如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为35°．解：∵OC=OD，∴∠C=∠D，∴∠C=（180°﹣∠COD）=×（180°﹣110°）=35°，∵CD∥AB，∴∠AOC=∠C=35°，∴的度数为35°．故答案为35°．三、解答题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，且AB=CD，求证：AC=BD．证明：∵AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，∴=，∴AC=BD．12．（2014秋•莱州市期末）如图，在⊙O中，D，E分别是半径OA，OB的中点，点C在圆上，CD=CE．求证：=．证明：∵D，E分别是半径OA，OB的中点，∴OD=OE．在△ODC与△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，∴=．13．（2014秋•武夷山市期中）已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，那么∠AOC和∠BOD 相等吗？请说明理由．解：∠AOC和∠BOD相等．利用如下：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB﹣∠COB=∠COD﹣∠COB，即∠AOC=∠BOD．14．（2012•常州模拟）如图，已知∠APC=30°，的度数为30°，求和∠AEC的度数．解：连接AC，∵=30°，∴∠1=∠2==15°，∵∠APC=30°，∠ADC是△APD的外角，∴∠ADC=∠1+∠APC=15°+30°=45°，∴=2∠ADC=90°；∵∠AEC是△CDE的外角，∴∠AEC=∠ADC+∠2=45°+15°=60°．故答案为：90°，60°．15．（1999•广州）某部队在灯塔A的周围进行爆炸作业，A的周围3千米内的水域为危险区域，有一渔船误入离A只有2千米的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿什么方向航行？为什么？解：沿射线AB的方向航行，因为能最快脱离危险区域．证明：设射线AB与⊙A相交于点C．在⊙A上任取一点D（不包括C关于A的对称点），连接AD，BD，在△ABD中，AB+BD＞AD．∵AD=AC=AB+BC，∴AB+BD＞AB+BC，∴BD＞BC．。
第23课 垂径定理(教师版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
【答案】50° 【解析】 试题分析：连接 CD， ∵∠A=25°， ∴∠B=65°， ∵CB=CD， ∴∠B=∠CDB=65°， ∴∠BCD=50°， ∴ 的度数为 50° 考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.三角形内角和定理；3.直角三角形的性质
11
2．如图，P 为⊙O 的弦 AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为 5，则 OP=______．
2
2
2
∴ 在 Rt△BOM 中， OB BM 2 OM 2 5 5 ． 2
【即学即练 2】如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦 CD 长．
【答案与解析】解：过 O 作 OF⊥CD，交 CD 于点 F，连接 OD，
∴F 为 CD 的中点，即 CF=DF， ∵AE=2，EB=6， ∴AB=AE+EB=2+6=8，
【答案】8 【解析】 如图：连接 OA .
9
CE 2cm,DE 8cm, CD CE DE 10cm, OA OC 5cm ， OE OC EC 5 2 3cm. AB CD, ∴ E 为 AB 的中点，即 AE BE. 在 Rt△AOE 中,根据勾股定理得： AE OA2 OE2 4cm. AB 2AE 8cm. 故答案为： 8. 8．如图，如 AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C，AB=8cm，CD=2cm，则 BE= ．
【答案】4cm
10
【详解】
解：连接
OA，∵OC⊥AB，∴AC=
1 2
AB=3cm，∴OC=
OA2 AC2 =4（cm）．
故答案为 4cm．
【点睛】 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档
CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、 已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例： 如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（ ）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆精讲
一. 教学内容：
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
［学习目标］
1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。
（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。
已知其中两项，可推出其余三项。
注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。
”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。
2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。
（M点是两点重合的一点，代表两层意义）
C
O
A B
M
D
3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。
无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。
4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。
四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。
源于圆的旋转不变性。
即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。
()()()()
1234
⇔⇔⇔
O B'
M'
A' B
M
A
6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。
7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。
二. 重点、难点：
垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。
【典型例题】
例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。
例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。
求证：AD BD a b ·=-22
例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cm
B. 6cm
C. 63cm
D. 123cm
例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ，矩形EFGH 的两顶点
E 、
F 在弦AB 上，H 、
G 在AB ⋂
上，且EF ＝4HE ，求HE 的长。
D
B
O
例5. 已知，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB cm OC cm ==85，，则DC 的长为（ ） A. 3cm
B. 2.5cm
C. 2cm
D. 1cm
例6. 在⊙O 中，AB AC ⋂=⋂
2，那么（ ） A. AB AC = B. AB AC =2 C. AB AC >2 D. AB AC <2
例7. 已知⊙O 的半径是10cm ，AB ⋂
是120°，那么弦AB 的弦心距是（ ）
A. 5cm
B. 53cm
C. 103cm
D. 5
2
3cm
A B
O
C
例8. 等腰△ABC 的顶角A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20
B. 15
C. 10
D. 5
A
例9. 点P 为半径是5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条
例10. 如图所示，M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB ＝CD 。
求证：∠AMN ＝∠CNM
D
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题。
1. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦
B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧
C. 在⊙O 中，AB 、CD 是弦，若AC BD ⌒⌒
=，则AB ∥CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径
2. 已知P 为⊙O 内一点，且OP ＝3cm ，如果⊙O 的半径是4cm ，那么过P 点的最短弦等于（ ）
A. 2cm
B. 3cm
C. 7cm
D. 27cm 3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ） A. 10
B. 26
C. 13
D. 5
4. 在直径是10cm 的⊙O 中，AB ⋂
为60°，则弦AB 的弦心距是（ ）
A. 103cm
B. 1523cm
C. 53cm
D. 5
2
3cm 5. AB 、CD 分别为大小不同圆的弦，共AB ＝CD ，那么AB CD ⋂⋂
、的关系是（ ）
A. AB CD ⋂=⋂
B. AB CD ⋂>⋂
C. AB CD ⋂<⋂
D. 不确定
二. 填空题。
6. 已知AB 为⊙O 直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，AC ＝6cm ，则DC ＝____________。
7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。
8. 若一个圆经梯形ABCD 四个顶点，则这个梯形是___________梯形。
9. 弦AB 把⊙O 分3：7，则∠AOB ＝___________。
10. 若⊙O 半径是4，P 在⊙O 内，PO ＝2，则过P 点的最短的弦所对劣弧是___________度。
11. ⊙O 中，弦AB 垂直直径CD 于点P ，半径OA ＝4cm ，OP ＝2cm ，则∠AOB ＝__________，
∠ADC ＝__________，BD ⋂
度数为__________，△ADC 周长为__________ cm 。
三. 解答题。
12. 如图，⊙O 的两弦AB ，CD 互相垂直于H ，AH ＝4，BH ＝6，CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 半径。
C
A H B
O
D
13. 已知：如图，C 为⊙O 直径AB 上一点，过C 点作弦DE ，使CD ＝CO ，若AD ⋂
度数
为50°，求BE ⋂
的度数。
D
B O
C A
下列命题中，正确的有（ ）个
① 顶点在圆周上的角是圆周角 ② 圆周角是圆心角的一半
③ 90°的圆周角所对的弦是直径 ④ 圆周角相等，则它们所对的弧也相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个
D. 4个
2. 在半径为5的圆内有长为35的弦，则此弦所对的圆周角为（ ） A. 60° B. 60°或120° C. 120° D. 30°或150°
3. 在⊙O 中，圆心角为70°，则它所对弧所对的圆周角为 。
4. 如图，∠ABC=46°，∠ACB=63°，若⋂
⋂
=CH AH ，则∠BCH= 。
5. 如图，AB 是⊙O 的弦，∠OAB=75°，则此弦所对的优弧是圆周的 。