2011数学建模试题及答案

城市学院2010-2011学年第二学期《数学建模》课程

考试试题（开卷）

年级：09级 专业：机械1班 学号：20940501115 姓名：李明泽

1． 游泳队员分配问题

某游泳队拟选用 甲，乙，丙，丁四名游泳队员组成一个4*100m 混合泳接力队，参加今年的锦标赛。他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。问 甲，乙，丙，丁 四名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩。

请建立数学模型，并写出用Lingo 软件的求解程序。

解：引入0-1变量Xij ，若选择队员i 参加泳姿j 的比赛，记Xij=1，否则记Xij=0根据组成接力队的要求，Xij 应该满足两个约束条件：

第一， 每人最多且只能入选4种泳姿之一，即对于i=1234；应有Xij=1；

第二， 每种泳姿必须有一人且只能有一人入选，即对于j=1234；应有Xij=1

当队员i 入选泳姿j 是，CijXij 表示他的成绩，否则CijXij=0。于是接力赛成绩可表示为Z=∑∑==414

1j i CijXij ，这就是改问题的目标函数。

综上，这个问题的0-1规划模型可写作

Min Z= Z=∑∑==4141j i CijXij ；S ．t ．∑=41j Xjy =1,i=1,2,3,4; ∑=41

i Xjy =1,i=1,2,3,4

将题目给数据代入这一模型，并输入LIGDO ：

Min =56*x11+74*x12+61*x13+63*x14

+63*x21+69*x22+65*x23+71*x24

+57*x31+77*x32+63*x33+67*x34

+55*x41+76*x42+62*x43+62*x44;

x11+x12+x13+x14=1;

x21+x22+x23+x24=1;

x31+x32+x33+x34=1;

x41+x42+x43+x44=1;

x11+x21+x31+x41=1;

x12+x22+x32+x42=1;

x13+x23+x33+x43=1;

x14+x24+x34+x44=1;

@bin(x11);

@bin(x12);

@bin(x13);

@bin(x14);

@bin(x21);

@bin(x22);

@bin(x23);

@bin(x24);

@bin(x31);

@bin(x32);

@bin(x33);

@bin(x34);

@bin(x41);

@bin(x42);

@bin(x43);

@bin(x44);

求解可以得到最优解如下：

2．钢筋切割问题

设某种规格的钢筋原材料每根长10m，求解如下优化问题：

1) 现需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根，问至少需要购买原材料几根？如何切割?

2) 如需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根，长度为3.6m的79根，长度为2.4m的46根，问至少需要购买原材料几根？如何切割（可以考虑切割模式不超过3种）?

请建立数学模型，对上述问题进行求解并写出用Lingo软件的求解程序。

(1)解：分析可以得到如下表3种切割模式：

一切割后原料钢管的总根数最少为目标，则有

Min Z=x1+x2+x3;

根绝要求，约束条件为:

2x1+x2>=28;

X1+3x2+5x3>=33;

将上面的构成的整数线性规划正型输入LINDO如下：

Min =x1+x2+x3;;

2x1+x2>=28;

X1+3x2+5x3>=33;

@gin(x1);

@gin(x2);

@gin(x3);

求解可以得到最优解如下：

(2)解：记Xi表示第种模式切割的原料钢管的根数；（i=1,2,3）

设所使用的第i切割模式下每根原料钢管生产1.8m,.4m,3.6m,4m的钢管数量分别为r1i,r2i,r3i,r4i；由于原料钢管的总根数不可能少于（1.8*33+2.4*46+3.6*79+4*28）/10＝57。

所以

将上面的构成的整数线性规划正型输入LINDO如下：

min=x1+x2+x3;

x1*r11+x2*r12+x3*r13>=33;

x1*r21+x2*r22+x3*r23>=46;

x1*r31+x2*r32+x3*r33>=79;

x1*r41+x2*r42+x3*r43>=28;

1.8*r11+

2.4*r21+

3.6*r31+4*r41<=10;

1.8*r12+

2.4*r22+

3.6*r32+4*r42<=10;

1.8*r13+

2.4*r23+

3.6*r33+4*r43<=10;

1.8*r11+

2.4*r21+

3.6*r31+4*r41>8.2;

1.8*r12+

2.4*r22+

3.6*r32+4*r42>8.2;

1.8*r13+

2.4*r23+

3.6*r33+4*r43>8.2; x1+x2+x3>=57;

x1+x2+x3<=64;

x1>=x2;

x2>=x3;

@gin(x1);

@gin(x2);

@gin(x3);

@gin(r11);

@gin(r12);

@gin(r13);

@gin(r21);

@gin(r22);

@gin(r23);

@gin(r31);

@gin(r32);

@gin(r33);

@gin(r41);

@gin(r42);

@gin(r43);

求解可以得到最优解如下：

3、谈谈你对学习《数学模型》课程的体会和认识

通过这学期数学模型的学习，我感触良多，它所教会我的不单单是一些数学方面的理论知识，更多的是综合能力的培养，锻炼和提高。是数学与生活紧密地结合在一起。我学会了解决简单的数学建模问题。也锻炼了自己的逻辑推理能力和分析能力。我相信这对于我以后是有很大帮助的。