八上全等三角形经典培优习题汇集-学而思Word文档

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全等三角形经典习题汇集第一讲全等三角形的性质及判定【例 1】 如图, AC ∥ DE , BC ∥ EF , ACDE .求证:AF BD .EAFDBCDC【补充】如图所示: AB ∥ CD , AB CD .求证: AD ∥ BC .AB【例 2】 已知:如图, B 、 E 、 F 、 C 四点在同一条直线上,AB DC , BE CF , B C .求证:OA OD .ADOB E F C【补充】已知:如图, AD BC , AC BD ,求证: C D .DCOA B【补充】如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,E 为 CD 中点,连结 AE 并延长 AE 交 BC 的延长线于点F .求证: FC AD .ADEBFC【例 3】 如图, AB ,CD 相交于点 O , OA OB , E 、 F 为 CD 上两点, AE ∥ BF ,CE DF .求证:AC ∥ BD .A CEOFD B【补充】已知,如图,AB AC , CE AB , BF AC ,求证: BF CE .AE FCB【例 4】如图,DCE 90 ,CD CE ,AD AC ,BE AC ,垂足分别为A,B ,试说明AD AB BEEABD C【例 10】如图所示,已知AB DC ,AE DF ,CE BF ,证明:AF DE .ADC E F B【例 11】E 、F分别是正方形ABCD的BC、 CD边上的点,且BE CF.求证:AE BF.A DFPCBE【补充】 E 、 F 、G分别是正方形ABCD 的 BC 、 CD 、AB边上的点,GE EF , GE EF .求证:BG CF BC .A DGFCBE【例 12】在凸五边形中,B E ,C D , BC DE ,M为 CD 中点.求证:AM CD .AB EC MD 【补充】如图所示:AF CD , BC EF ,AB DE ,A D .求证:BC∥EF.A FEBC D【例 13】( 1)如图,△ABC的边 AB、 AC 为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结 EG,试判断△ ABC 与△AEG面积之间的关系,并说明理由.( 2)园林小路,曲径通幽,如图所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是 a 平方米,内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米,这条小路一共占地多少平方米?EGDAFB C【例 14】如图, ABC 中, AB BC , ABC90 ,D是 AC 上一点,且 CD CB AB , DE AC 交AB 于 E 点.求证: AD DE EB .ADEB C【例 15】ABC 中, B 90 ,M为AB上一点,使得AM BC , N 为 BC 上一点,使得CN BM ,连AN 、 CM 交于P点.试求APM 的度数,并写出你的推理证明的过程.AMDPB N C图3【例 16】如图,I是△ ABC 的内心,且CA AI BC .若BAC 80 ,求ABC 和AIB 的大小.CIB A 【例 17】已知: BD 、CE 是ABC 的高,点P 在 BD 的延长线上,BP AC ,点 Q 在 CE 上, CQ AB ,求证:⑴AP AQ ;⑵ AP AQ .PADEQB C【例 18】⑴如左下图,在矩形 ABCD 中,E为 CB 延长线上一点且AC CE ,F为AE的中点.求证:BF FD .ABC 中,BE、 CF 分别为边 AC 、AB的高,D为 BC 的中点,DM EF 于⑵如右下图,在M .求证: FM EM .AA DMEFFE B C B D C18.补充:如图,已知 ABD ACD 60 ,且 ADB 901BDC .求证: ABC 是2等腰三角形.【例 19】如图,ABC 为边长是1的等边三角形,BDC 为顶角 ( BDC ) 是 120 的等腰三角形,以 D 为顶点作一个60 角,角的两边分别交AB 于 M ,AC于 N ,连接 MN ,形成一个AMN .求AMN 的周长.ANMBCD家庭作业【习题 1】已知:如图,AB ∥ DE ,AC∥DF,BE CF .求证:AB DE .A DBE C F【习题 2】已知:△ DEF≌△ MNP,且 EF= NP,∠ F=∠ P,∠ D= 48°,∠ E= 52°, MN = 12cm,求:∠ P 的度数及 DE 的长 .【习题 3】如图,矩形 ABCD 中,E是AD上一点, CE EF 交AB于F点,若DE 2 ,矩形周长为16 ,且 CE EF ,求AE的长.A E DFB C【习题 4】在四边形ABCD 中, AD ∥ BC , A 的平分线AE 交DC于 E .求证:当BE 是B的角平分线时,有 AD BC AB .月测备选【备选 1】如图所示:AB AC ,AD AE ,CD、 BE 相交于点O.求证:OA平分DAE .EOCA B D【备选 2】如图所示,在△ ABC中,AD BC 于点D, B 2 C .求证:AB BD CD .AC D B【备选 3】如图,△ ABC中, D 是 BC的中点,过D 点的直线 GF 交 AC 于 F,交 AC 的平行线 BG 于 G 点,DE⊥ DF,交 AB 于点 E,连结 EG、 EF.(1)求证: BG= CF.(2)请你判断 BE+CF与 EF的大小关系,并说明理由 .AFEB D CG第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线A【例 1】在△ABC中,AB5, AC 9 ,则BC边上的中线AD 的长的取值范围是什么?B D CA【补充】已知:ABC 中,AD是中线.求证:1AD( AB AC ) .2B D C【例 2】已知:如图,梯形ABCD 中, AD ∥ BC ,点E是 CD 的中点,BE的延长线与AD 的延长线相交于点 F .求证:BCE ≌FDE .A DFEB C【例 3】如图,在ABC 中,D是 BC 边的中点, F , E 分别是 AD 及其延长线上的点,CF ∥ BE .求证:BDE ≌CDF .AFB CDE【例 4】如图,ABC 中, AB<AC ,AD是中线.求证:ADAC < DAB .BCDA【例 5】如图,已知在ABC 中,AD是 BC 边上的中线, E 是 AD 上一点,延F 长 BE 交AC于 F , AF EF ,求证:AC BE.EBD C【例 6】如图所示,在ABC 和 A B C 中,AD、A D分别是 BC 、 B C 上的中线,且AB A B ,AC A C ,AD A D,求证A A'ABC ≌ A B C .B DC B'D'C'【例 7】如图,在 ABC 中,AD交 BC 于点D,点 E 是BC中点, EF ∥ AD 交CA的延长线于点 F ,交 EF 于点 G ,若 BG CF ,求证:AD为ABC 的角平分线.FAGBED C【例 8】已知AD为ABC 的中线,ADB ,ADC 的平分线分别交AB 于 E 、交AC于 F .求证:BE CF EF .AE FB D C【例 9】在 Rt ABC 中, A 90 ,点D为 BC 的中点,点E、F分别为AB、AC 上的点,且ED FD.以线段 BE 、EF 、FC为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形?AEFB CD【例 10】已知△ ABC,∠ B=∠ C,D,E 分别是AB 及AC 延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G,求证 GD=GE.ADCB GE【例 11】如图所示,在ABC 中,D是 BC 的中点,DM垂直于 DN ,如果 BM 2CN 2DM 2DN 2,求证 AD 21AB 2AC 2. ( 勾股定理的内容,选做)A4MNB D C【例 10】在 Rt ABC 中,F是斜边AB的中点,D、E分别在边 CA 、CB 上,满足 DFE90 .若 AD 3 ,BE 4 ,则线段 DE 的长度为_________.AD F GC E B图 6家庭作业【习题1】如图,在等腰求证:EDB ABC 中, ABFDC .AC ,D是 BC的中点,过A 作AE DE ,AF DF,且 AE AF .AE FA BD C FE【习题 2】如图,已知在ABC 中,AD是 BC 边上的中线, E 是 AD 上一点,且BE AC ,延长BE交 AC 于F,AF与EF相等吗?为什么?BCD【习题3】如右下图,在ABC中,若 B 2 C ,AD BC ,E 为BC边的中点.求证:AB2DE .AB D E C【备选1】如图,已知AB=DC, AD=BC,O 是 BD 中点,过求证:∠ E=∠ F O 点的直线分别交DA、 BC的延长线于E, F.【备选 2】如图,ABC 中, AB AC ,BAC 90, D 是BC中点, ED FD , ED 与 AB 交于 E , FD 与 AC交于 F .求证: BE AF ,AE CF .AFEB D C第三讲全等三角形与角平分线问题【例 1】在ABC 中,D为 BC 边上的点,已知BAD CAD , BD CD ,求证:AB AC .ABD C【例 2】已知ABC 中, AB AC ,BE、 CD 分别是ABC 及ACB 平分线.求证:CD BE .AD EB C【例 3】如图,在ABC 中, B 60 ,AD、CE 分别平分BAC 、BCA ,且AD与 CE 的交点为F.求证: FE FD .AEFB CD【例 4】如图,已知ABC 的周长是21,OB,OC分别平分ABC 和ACB ,OD BC 于D,且 OD 3 ,求ABC 的面积.AOB CD【补充】如图所示:AB AC ,AD AE ,CD、 BE 相交于点O.求证:OA平分DAE .EOCA B D【例 5】已知ABC 中, A 60 ,BD、CE 分别平分ABC 和ACB ,BD、CE 交于点 O ,试判断BE、CD 、 BC 的数量关系,并加以证明.AEO DB C【例 6】如图,已知 E 是AC上的一点,又1 2 ,3 4 .求证:ED EB .D1 AC34E2B【例 7】如图所示,OP 是AOC 和BOD 的平分线, OA OC , OB OD .求证:AB CD .OA BPDC【例 8】如图所示,已知ABC 中,AD平分BAC ,E、F分别在BD、AD上. DE CD ,EF AC .求证: EF ∥ ABAFB E D C【例 10】如图,在四边形ABCD 中, AC 平分BAD ,过C作 CE AB于E ,并且AE 1( AB AD ) ,则2ABC ADC 等于多少?DCA E B【补充】长方形 ABCD 中, AB=4, BC=7,∠ BAD 的角平分线交BC 于点 E, EF⊥ ED 交 AB 于 F ,则EF =__________.A DFB E C【补充】在ABC 中, AB AC ,AD是BAC 的平分线.P是AD上任意一点.求证: AB AC PB PC .APB D C【例 11】如图,在ABC 中, B 2 C ,BAC 的平分线AD 交BC与 D .求证:AB BD AC .AB DC 【例 12】如图,ABC 中, AB AC , A 108 ,BD平分ABC 交 AC 于D点.求证: BC AC CD .ADB C【巩固】已知等腰ABC , A 100 ,ABC 的平分线交AC 于D,则 BD AD BC .ADC【例 13】如图所示,在ABC 中,AD平分BAC ,AD AB ,CM AD 于M,求证 AB AC 2AM .AB DC M【例 14】如图,ABC于 E .求证:中,ADAB AC ,BD、 CEAE .分别为两底角的外角平分线,AD BD 于 D ,AE CEAD EG B C H【例 15】如图,A①探讨线段②探讨线段D 180 ,BE平分ABC , CEAB 、CD和BC之间的等量关系.BE 与CE之间的位置关系.平分BCD,点 E 在AD 上.DEAB C家庭作业【习题 2】如图,在ABC 中, AB BD AC ,BAC 的平分线AD 交BC与 D .求证: B 2 C .AB D C【习题 3】是ABC 的角平分线,BE AD交AD的延长线于E,EF ∥ AC 交AB于F.求证:AF FB.ADACFDB E【习题 4】如图所示, AD 平行于 BC,DAE= EAB ,ABE=EBC , AD=4, BC=2,那么 AB=________.【习题 5】 ABC 中,D 为 BC 中点,DE BC 交BAC 的平分线于点E,AB于FEG AC 于 G .求EF证: BF CG .AF B DCG E月测备选【备选 1】在ABC 中,AD平分BAC , AB BD AC .求 B : C 的值.AB D C【备选 2】如图,已知在ABC 中,ABC 3 C ,1 2 , BE AE .求证:AC AB 2 BE .A21EB C【备选3】如图所示,在四边形的平分线时,有AD ABCDBC中, AD ∥ BCAB ., A 的平分线AE 交DC 于E,求证:当BE 是BDECA B第四讲全等三角形与旋转问题【例 1】已知:如图,点 C 为线段AB上一点,ACM 、CBN 是等边三角形.( 1)求证:AN BM .NMA CB ( 2)求证: CD=CENMD EA C B(3)求证: CF平分∠ MCNNMFD EA C B( 4)求证: DE∥ ABNMFD EA C B【例 2】如图,四边形ABCD 、 DEFG 都是正方形,连接AE 、CG.求证:AE CG .G FABEDC【例 3】如图,等边三角形ABC 与等边DEC 共顶点于 C 点.求证:AE BD .AEDB C【例 4】如图,D是等边ABC 内的一点,且BD AD,BP AB, DBP DBC ,问BPD的度数是否一定,若一定,求它的度数;若不一定,说明理由.APDB C 【例 5】如图,等腰直角三角形ABC 中,∠ B90 , AB a ,O 为 AC 中点, EO OF .求证:BE BF为定值.AE OB FC 【补充】如图,正方形OGHK 绕正方形 ABCD 中点 O 旋转,其交点为E 、F ,求证:AE CF AB .G A D E 134O5H2C BFK【例 6】 ( 2004 河北 ) 如图,已知点 E 是正方形ABCD 的边 CD 上一点,点 F 是CB的延长线上一点,且EA AF .求证: DE BF .A DEF B C【补充】如图所示, 在四边形 ABCD 中, ADCABC 90 ,ADCD ,DPAB 于 P ,若四边形 ABCD的面积是 16,求 DP 的长.DCAPB【例 7】 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上的点,且 ∠ EAF 45, AHEF , H 为垂足,求证: AH AB .AD FH【巩固】 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 F 在线段 CD 上运动, AE 平分 BAF B EC交 BC 边于点 E .⑴求证: AF DF BE .⑵设 DF x ( 0 ≤ x ≤ 1 ) , ADF 与 ABE 的面积和 S 是否存在最大值?若存在,求出此时 x 的值及 S .若不存在,请说明理由.ADFB EC【补充】 ( 1) 如图,在四边形 ABCD 中, AB =AD ,∠ B =∠ D = 90 , E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点,且∠EAF=1∠BAD .求证: EF =BE FD;2ADFBEC( 2) 如图 ,在四边形 ABCD 中, AB =AD ,∠B+∠ D = 180 , E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点,且∠ E AF=1∠BAD , ( 1) 中的结论是否仍然成立?不用证明.2ABDEFC家庭作业【习题1】 如图,已知ABC和 ADE 都是等边三角形,B 、C 、D 在一条直线上,试说明CE与 ACCD相等的理由.EABC D【习题2】 ( 湖北省黄冈市 一点,过点 D 作2008 DF年初中毕业生升学考试 DE 交 BC 的延长线于点) 已知:如图,点 E 是正方形F .求证: DE DF .ABCD的边AB 上任意A DEB FC【习题 3】在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD ,A 90 ,AB 2, BC 3 ,CD 1 ,E是AD中点,试判断 EC 与 EB 的位置关系,并写出推理过程.CDEA B【习题 4】已知:如图,点 C 为线段AB上一点,ACM 、CBN 是等边三角形.CG 、CH 分别是ACN 、MCB的高.求证:CG CH .NMHGA C B月测备选【备选 1】在等腰直角ABC 中,ACB 90 , AC BC ,M是AB的中点,点P 从 B 出发向C运动,MQ MP交AC于点Q,试说明MPQ 的形状和面积将如何变化.AMQC P B【备选 2】如图,正方形ABCD 中,FAD FAE .求证: BE DF AE .A DFB E C【备选3】等边点,满足ABD 和等边AE CFCBD1 ,当的边长均为1,E是E、 F 移动时,试判断BE AD 上异于BEF 的形状.A、 D 的任意一点,F是 CD上一DFEA CB第五讲轴对称和等腰三角形A 【例 1】在ABC中,AB AC , BC BD ED EA .求 A .EBD CA【补充】在ABC 中, AB AC , BC BD ,AD ED EB .求 A .DEB C【例 2】ABC 的两边AB和 AC 的垂直平分线分别交BC 于D、E,若BAC DAE 150 ,求BAC .AB D E C【例 3】如图,点O 是等边 AO向旋转∴190°△ AOD 是等腰三角形?AD 内一点,60°得△ ADCAOB,连接110 ,BOCOD ,则△COD.将△ BOC是等边三角形;当绕点C 按顺时针方为多少度时,ADOB C【例 4】如图,在ABC 中,B C ,D在 BC 上,BAD 50 ,在 AC 上取一点 E ,使得ADE AED ,求EDC 的度数.AEB D C【例 5】如图,ABC连接 CE, DE 为等边三角形,延长 BC 到D,又延长,求证:CDE 为等腰三角形.BA 到 E ,使 AE BD ,EABC D【例 6】如图,在ABC 中, B ,C为锐角,M , N , D分别为边AB 、AC、BC上的点,满足AM AN ,BD DC ,且BDM CDN .求证:AB AC .AMNB D C板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例 7】已知点A在直线l外,点P为直线l上的一个动点,探究是否存A在一个定点 B ,当点 P 在直线l上运动时,点 P 与 A 、 B 两点的PB ;若不存在,请说明理距离总相等,如果存在,请作出定点l由.【例 8】如图,在公路a的同旁有两个仓库 A 、 B ,现需要建一货物中转站,要求到A、B 两仓库的距离和最短,这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理?ABa【例 9】如图, AOB 45 ,角内有点P,在角的两边有两点Q 、R ( 均A 不同于 O 点) ,求作 Q 、R,使得PQR 的周长的最小.PB CMNA B【补充】如图,M 、N为ABC 的边 AC 、 BC 上的两个定点,在AB 上求一点 P ,使PMN 的周长最短.【例 10】已知如图,点M在锐角 AOB 的内部,在 OB 边上求作一点P ,使点 P 到点 M 的距离与点 P 到OA的边的距离和最小.A OMB【补充】已知: A 、 B 两点在直线l的同侧,在 l 上求作一点M ,使得B| AM BM | 最小.Al【补充】已知: A 、B 两点在直线l的同侧,在l上求作一点 M ,使得 | AM BM |最大.【例 11】如图,正方形ABCD 中, AB 8 ,M是 DC 上的一点,且DM 2, N 是 AC 上的一动点,求 DN MN 的最小值与最大值.A DMNB C【补充】例题中的条件不变,求DN MN 的最小值与最大值.【补充】如图,已知正方形ABCD 的边长为8,M在 DC 上,且DM 2 ,N是AC上的一个动点,则DN MN 的最小值是A DMB C家庭作业【习题 1】 ( 2007 双柏中考 ) 等腰三角形的两边长分别为 4 和 9,则第三边长为.【习题 2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和 21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为 ( )A. 17cm B.5cm C.17cm或5cm D.无法确定【习题 3】已知等腰三角形的周长为20,腰长为x,求x的取值范围.【习题 4】 ( 2004 天津 ) 在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()【习题 5】判断下列图形( 图 ) 是否为轴对称图形?如果是,说出它有几条对称轴.⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼月测备选【备选 1】 ABC 的一个内角的大小是400,且A B ,那么 C 的外角的大小是 ( ) A. 140B . 80 或 100 C .100或 140 D .80 或 140【备选 2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12 和 15 两部分,求腰长和底长.【备选 3】 ( 四川省竞赛题 ) 如图,在等腰Rt ABC 中, CA CB 3 ,E的 BC 上一点,满足BE 2 ,在斜边 AB 上求作一点P 使得PC PE 长度之和最小.APC E B【备选 4】在正方形ABCD 中,E在 BC 上,BE 2 ,CE1,P在BD上,求PE和 PC 的长度之和的最小值.A D A DP PE‘B EC B E C第六讲全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例 1】已知ABC 中, A 60 ,BD、CE 分别平分 ABC 和 . ACB ,BD、 CE 交于A 点 O ,试判断BE、 CD 、 BC 的数量关系,并加以证明.EDOB C【例 2】 如图,点 M 为正三角形 ABD 的边AB 所在直线上的任意一点 ( 点 B 除外 ) ,作 DMN60 ,射线 MN 与 ∠DBA 外角的平分线交于点 N , DM 与 MN 有怎样的数量关系 ?DNA MB E【例 3】 AD ⊥ AB ,CB ⊥ AB ,DM=CM= a ,AD= h ,CB=k ,∠ AMD=75°,∠ BMC=45°,则 AB 的长为()A. aB. kk h C.D. h2DCAMB【例 4】 已知:如图, ABCD 是正方形, ∠ FAD=∠ FAE. 求证: BE+DF=AE.A DFBEC【例 5】以ABC 的AB、 AC 为边向三角形外作等边ABD 、ACE ,连结 CD 、BE相交于点 O .求证:OA 平分DOE .D A D AE EFO OB CB C【例 6】 ( 北京市数学竞赛试题,天津市数学竞赛试题) 如图所示,ABC 是边长为1的正三角形,BDC 是顶角为 120 的等腰三角形,以 D 为顶点作一个60 的MDN ,点M、 N 分别在AB、 AC 上,求AMN 的周长.ANMB CD【例 7】五边形ABCDE 中, AB=AE, BC+DE=CD,∠ ABC+∠ AED=180°,求A 证: AD 平分∠ CDEB ECD板块二、全等与角度【例 10】如图,在ABC 中,BAC 60 ,AD是BAC 的平分线,且AC AB BD ,求ABC 的度数 .AB D C【例 11】在正ABC 内取一点 D ,使 DA DB ,在ABC 外取一点E,使DBE DBC ,且BE BA ,求BED .AEDB C。

数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF.(1)求证:BG=CF;(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)BE+CF>EF,证明详见解析【解析】【分析】(1)先利用ASA判定△BGD≅CFD,从而得出BG=CF;(2)利用全等的性质可得GD=FD,再有DE⊥GF,从而得到EG=EF,两边之和大于第三边从而得出BE+CF>EF.【详解】解:(1)∵BG∥AC,∴∠DBG=∠DCF.∵D为BC的中点,∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF,在△BGD与△CFD中,∵DBG DCFBD CDBDG CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD(ASA).∴BG=CF.(2)BE+CF>EF.∵△BGD≌△CFD,∴GD=FD,BG=CF.又∵DE⊥FG,∴EG=EF(垂直平分线到线段端点的距离相等).∴在△EBG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,要注意判定三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、AAS、ASA、HL.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F(1)证明:PC=PE;(2)求∠CPE的度数;(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)90°(3)AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP,从而得出结论;(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP,∠DAP=∠DCP,根据PA=PE得出∠DAP=∠E,即∠DCP=∠E,易得答案;(3)、首先证明△ABP和△CBP全等,然后得出PA=PC,∠BAP=∠BCP,然后得出∠DCP=∠E,从而得出∠CPF=∠EDF=60°,然后得出△EPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE;(2)、由(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=90°;(3)、AP=CE理由是:在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP,在△ABP和△CBP中,又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠DCP,∵PA=PE,∴PC=PE,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PC ∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°,∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE考点:三角形全等的证明3.已知4AB cm=,3AC BD cm==.点P在AB上以1/cm s的速度由点A向点B运动,同时点Q在BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为()t s.(1)如图①,AC AB⊥,BD AB⊥,若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当1t=时,ACP△与BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;(2)如图②,将图①中的“AC AB⊥,BD AB⊥”为改“60CAB DBA∠=∠=︒”,其他条件不变.设点Q的运动速度为/xcm s,是否存在实数x,使得ACP△与BPQ 全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)全等,PC与PQ垂直;(2)存在,11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ,得出∠ACP=∠BPQ,进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可;(2)由△ACP≌△BPQ,分两种情况:①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.【详解】解:(1)当t=1时,AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°,在△ACP和△BPQ中,AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.∴∠CPQ=90°,即线段PC 与线段PQ 垂直.(2)①若△ACP ≌△BPQ ,则AC=BP ,AP=BQ ,34t t xt =-⎧⎨=⎩, 解得11t x =⎧⎨=⎩, ②若△ACP ≌△BQP ,则AC=BQ ,AP=BP ,34xt t t =⎧⎨=-⎩, 解得232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩, 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,在解题时注意分类讨论思想的运用.4.(1)如图(1),已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,直线m 经过点A ,BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E .求证:DE=BD+CE .(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB=AC ,D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC =α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)如图(3),D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点(D 、A 、E 三点互不重合),点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形,连接BD 、CE ,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ,求证:△DEF 是等边三角形.【答案】(1)见解析;(2)成立,理由见解析;(3)见解析【解析】【分析】(1)因为DE=DA+AE ,故通过证BDA AEC ≅△△,得出DA=EC ,AE=BD ,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证明BDA AEC ≅△△,得出BD=AE ,AD=CE ,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由BDA AEC ≅△△得BD=AE ,=BDA AEC ∠∠,ABF 与ACF 均等边三角形,得==60BA AC ︒∠F ∠F ,FB=FA ,所以=BA BA AC AC ∠F +∠D ∠F +∠E ,即FBD FAB ≅∠∠,所以BDF AEF ≅△△,所以FD=FE ,BFD AFE ≅∠∠,再根据=60BFD FA BFA =︒∠+∠D ∠,得=60AF FA =︒∠E +∠D ,即=60FE =︒∠D ,故DFE △是等边三角形.【详解】证明:(1)∵BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m∴∠BDA =∠CEA=90°,∵∠BAC =90°∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD ,又AB=AC ,∴△ADB ≌△CEA∴AE=BD ,AD=CE ,∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ,∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC∴△ADB≌△CEA,∴AE=BD,AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE(3)由(2)知,△ADB≌△CEA, BD=AE,∠DBA =∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF∴DF=EF,∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.5.如图,A(0,4)是直角坐标系y轴上一点,动点P从原点O出发,沿x轴正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB.设P点的运动时间为t秒.(1)若AB∥x轴,如图1,求t的值;(2)设点A关于x轴的对称点为A′,连接A′B,在点P运动的过程中,∠OA′B的度数是否会发生变化,若不变,请求出∠OA′B的度数,若改变,请说明理由.(3)如图2,当t=3时,坐标平面内有一点M(不与A重合)使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等,请直接写出点M的坐标.【答案】(1)4;(2)∠OA ′B 的度数不变,∠OA ′B =45︒,理由见解析;(3)点M 的坐标为(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1)【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质,可证明△AOP 为等腰直角三角形,从而求得答案;(2)根据对称的性质得:PA =PA '=PB ,由∠PAB +∠PBA =90°,结合三角形内角和定理即可求得∠OA 'B =45°;(3)分类讨论:分别讨论当△ABP ≌△MBP 、△ABP ≌△MPB 、△ABP ≌△MPB 时,点M 的坐标的情况;过点M 作x 轴的垂线、过点B 作y 轴的垂线,利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可.【详解】(1)∵AB ∥x 轴,△APB 为等腰直角三角形,∴∠PAB =∠PBA =∠APO =45°,∴△AOP 为等腰直角三角形,∴OA =OP =4.∴t =4÷1=4(秒),故t 的值为4.(2)如图2,∠OA ′B 的度数不变,∠OA ′B =45°,∵点A 关于x 轴的对称点为A ′,∴PA =PA ',又AP =PB ,∴PA =PA '=PB ,∴∠PAA '=∠PA 'A ,∠PBA '=∠PA 'B ,又∵∠PAB +∠PBA =90°,∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '=180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°,∴∠AA 'B =45°,即∠OA 'B =45°;(3)当t =3时,M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等,①如图3,若△ABP ≌△MBP ,则AP =PM ,过点M 作MD ⊥OP 于点D ,∵∠AOP =∠PDM ,∠APO =∠DPM ,∴△AOP ≌△MDP (AAS ),∴OA =DM =4,OP =PD =3,∴M 的坐标为:(6,-4).②如图4,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点E ,过点B 作BG ⊥x 轴于点G ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形,∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠, ∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====,∵BG ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF =45︒+1∠,∠MPE =45︒+2∠,∴∠BAF =∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====,∴M 的坐标为:(4,7),③如图5,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点D ,过点B 作BG ⊥x 轴于点E ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形,∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠,∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====,∵BE ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====,∴M 的坐标为:(10,﹣1).综合以上可得点M 的坐标为:(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,第(3)小题要注意分类讨论,作此类型的题要结合图形,构建适当的辅助线,寻找相等的量才能得出结论.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),点B(﹣2,1).(1)请运用所学数学知识构造图形求出AB的长;(2)若Rt△ABC中,点C在坐标轴上,请在备用图1中画出图形,找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标;(3)在x轴上是否存在点P,使PA=PB且PA+PB最小?若存在,就求出点P的坐标;若不存在,请简要说明理由(在备用图2中画出示意图).【答案】(1)AB=52)C2(0,7),C4(0,-4),C5(-1,0)、C6(1,0);(3)不存在这样的点P.【解析】【分析】(1)如图,连结AB,作B关于y轴的对称点D,利用勾股定理即可得出AB;(2)分别以A,B,C为直角顶点作图,然后直接得出符合条件的点的坐标即可;(3)作AB的垂直平分线l3,则l3上的点满足PA=PB,作B关于x轴的对称点B′,连结AB′,即x轴上使得PA+PB最小的点,观察作图即可得出答案.【详解】解:(1)如图,连结AB ,作B 关于y 轴的对称点D ,由已知可得,BD =4,AD =2.∴在Rt △ABD 中,AB =25(2)如图,①以A 为直角顶点,过A 作l 1⊥AB 交x 轴于C 1,交y 轴于C 2 .②以B 为直角顶点,过B 作l 2⊥AB 交x 轴于C 3,交y 轴于C 4.③以C 为直角顶点,以AB 为直径作圆交坐标轴于C 5、 C 6、 C 7.(用三角板画找出也可) 由图可知,C 2(0,7),C 4(0,-4),C 5(-1,0)、 C 6(1,0).(3)不存在这样的点P .作AB 的垂直平分线l 3,则l 3上的点满足PA =PB ,作B 关于x 轴的对称点B ′,连结AB ′,由图可以看出两线交于第一象限.∴不存在这样的点P .【点睛】本题考查了勾股定理,构造直角三角形,中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析,解题的关键是学会分类讨论,学会画好图形解决问题.7.(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形,点B D E 、、在同一直线上,连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ,为ADE 中DE 边上的高,连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3,AB 和ADE 均为等腰三角形,BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上,连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示,直接写出结果即可).【答案】(1)①证明见解析;②60°;(2)①90°;②BE =CE+2AF ;(3)∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =,再根据对应角相等求出BEC ∠的度数;(2)根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ,根据对应角相等求出BEC ∠的度数;因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论;(3)根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ,根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数,即可得出结论.【详解】(1)①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1),∴ AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS)∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD,∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.(2)①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2),∴ AB=AC,AD=AE,∠ADE=∠AED=45°,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS).∴ BD=CE,∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.(3)如图3:∠AEC=90°+12n ,理由如下,∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴ AB=AC,AD=AE,∠ADE=∠AED=n°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS).∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n . ∴∠AEC=90°+12n ︒.【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等,掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.8.在等边ABC ∆中,点O 在BC 边上,点D 在AC 的延长线上且OA OD =.(1)如图1,若点O 为BC 中点,求COD ∠的度数;(2)如图2,若点O 为BC 上任意一点,求证AD AB BO =+.(3)如图3,若点O 为BC 上任意一点,点D 关于直线BC 的对称点为点P ,连接,AP OP ,请判断AOP ∆的形状,并说明理由.【答案】(1)30;(2)见解析;(3)AOP ∆是等边三角形,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形的等边三角形的性质可求1302CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒,根据OA OD =,等腰三角形的性质得到D ∠的度数,再通过内角和定理求AOD ∠,即可求出COD ∠的度数.(2)过O 作//OE AB ,OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形,再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒,120DCO ∠=︒,再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆,得到CD EA =,再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过,又因为AD AC CD =+,通过等量代换即可得到答案.(3)通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆,得到OP OD =,又因为OA OD =,得到AO=OP,证得AOP∆为等腰三角形,如解析辅助线,由(2)可知得AOE DOC∆≅∆得到AOE DOC∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE∠=∠=°,即可证得AOP∆是等边三角形.【详解】(1)∵ABC∆为等边三角形∴60BAC∠=︒∵O为BC中点∴1302CAO BAC∠=∠=︒且,90AO BC AOC⊥∠=︒∵OA OD=∴AOD∆中,30D CAO∠=∠=︒∴180120AOD D CAO∠=︒-∠-∠=︒∴30COD AOD AOC∠=∠-∠=︒(2)过O作//OE AB,OE交AD于E∵//OE AB∴60EOC ABC∠=∠=︒60CEO CAB∠=∠=︒∴COE∆为等边三角形∴OE OC CE==180120AEO CEO∠=︒-∠=︒180120DCO ACB∠=︒-∠=︒又∵OA OD=∴EAO CDO∠=∠在AOE∆和COD∆中AOE DOCEAO CDOOA OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOE DOC AAS∆≅∆∴CD EA=∵EA AC CE=-BO BC CO=-∴EA BO=∴BO CD=,∵AB AC=,AD AC CD=+∴AD AB BO=+(3)AOP∆为等边三角形证明过程如下:连接,PC PD,延长OC交PD于F ∵P D、关于OC对称∴,90 PF DF PFO DFO=∠=∠=︒在ODF∆与OPF∆中,PF DFPFO DFOOF OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ODF OPF SAS∆≅∆∴OP OD=,POC DOC∠=∠∵OA OD=∴AO=OP∴AOP∆为等腰三角形过O作//OE AB,OE交AD于E 由(2)得AOE DOC∆≅∆∴AOE DOC∠=∠又∵POC DOC∠=∠∴AOE POF∠=∠∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠即AOP COE ∠=∠∵AB ∥OE ,∠B=60°∴60COE B ∠=∠=︒∴60AOP COE ∠=∠=°∴AOP ∆是等边三角形. 【点睛】本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题,灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系,以及等边三角形的性质是解答此题的关键.9.数学课上,张老师举了下面的例题:例1 等腰三角形ABC 中,110A ∠=,求B 的度数.(答案:35)例2 等腰三角形ABC 中,40A ∠=,求B 的度数.(答案:40或70或100) 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下两题:变式1: 等腰三角形ABC 中,∠A=100°,求B 的度数.变式2: 等腰三角形ABC 中,∠A= 45° ,求B 的度数.(1)请你解答以上两道变式题.(2)解(1)后,小敏发现,A ∠的度数不同,得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中,设A x ∠=,当B 只有一个度数时,请你探索x 的取值范围.【答案】(1)变式1: 40°;变式2: 90°或67.5°或45°;(2)90°≤<180°或x=60°【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理,分类讨论,即可得到答案;(2)在等腰三角形ABC 中,当B 只有一个度数时,A ∠只能作为顶角时,或∠A=60°,进而可得到答案.【详解】变式1:∵等腰三角形ABC 中,∠A=100°,∴∠A 为顶角,∠B 为底角,∴∠B =1801002-=40°; 变式2: ∵等腰三角形ABC 中,∠A= 45° ,∴当AB=BC 时,∠B =90° ,当AB=AC 时, ∠B =67.5° ,当BC=AC 时 ∠B =45° ;(2)等腰三角形ABC 中,设A x ∠=,当90°≤x <180°,∠A 为顶角,此时,B 只有一个度数,当x=60°时,三角形ABC 是等边三角形,此时,B 只有一个度数,综上所述:90°≤x <180°或x=60°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,分类讨论思想的应用,是解题的关键.10.如图,在△ABC 中,AB =AC =2,∠B =40°,点D 在线段BC 上运动(D 不与B 、C 重合),连接AD ,作∠ADE =40°,DE 交线段AC 于E 点.(1)当∠BDA =115°时,∠BAD =___°,∠DEC =___°;(2)当DC 等于多少时,△ABD 与△DCE 全等?请说明理由;(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA 的度数;若不可以,请说明理由.【答案】(1) 25,115;(2)当DC =2时,△ABD ≌△DCE ,理由见解析;(3)可以;当∠BDA 的度数为110°或80°时,△ADE 的形状是等腰三角形.【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理,将已知数值代入即可求出BAD ∠,根据平角的定义,可求出EDC ∠的度数,根据三角形内和定理,即可求出DEC ∠.(2)当AB DC =时,利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆,即可得出2AB DC ==. (3)假设ADE ∆是等腰三角形,分为三种情况讨论:①当AD AE =时,40ADE AED ∠=∠=︒,根据AED C ∠>∠,得出此时不符合;②当DA DE =时,求出70DAE DEA ∠=∠=︒,求出BAC ∠,根据三角形的内角和定理求出BAD ∠,根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可;③当EA ED =时,求出DAC ∠,求出BAD ∠,根据三角形的内角和定理求出ADB ∠.【详解】(1)在BAD 中,40B ∠= ,115BDA ∠=,1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.AB AC =,40B ∠=,40B C ∴∠=∠=,1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒.故答案为:25,115;(2)当2DC =时,ABD DCE ∆≅∆.理由如下:40C ∠=,140EDC DEC ∴∠+∠=︒,又40ADE ∠=,140ADB EDC ∴∠+∠=︒,ADB DEC ∴∠=∠.在ABD △和DCE ∆中,B C ∠=∠,ADB DEC ∠=∠,当AB DC =时,()ABD DCE AAS ∆≅∆,2AB DC ∴==;(3)AB AC =,40B C ∴∠=∠=︒,分三种情况讨论:①当AD AE =时,40ADE AED ∠=∠=︒,AED C ∠>∠,∴此时不符合; ②当DA DE =时,即1(18040)702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒,1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒,1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒;1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒;③当EA ED =时,40ADE DAE ∠=∠=︒,1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒,180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒;∴当110ADB ∠=︒或80︒时,ADE ∆是等腰三角形.【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,三角形内角和定理等知识点的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,综合性较强.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.阅读下列材料:利用完全平方公式,可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式,我们把这种变形方法,叫做配方法.运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如:22222111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料,解答下列问题:(1)用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式,则281=x x +- ________; (2)用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解;(3)对于任意实数x ,y ,多项式222416x y x y +--+的值总为______(填序号).①正数②非负数 ③ 0【答案】(1)2(4)17x +-;(2)(2)(4)x x +-;(3)①【解析】【分析】(1)根据材料所给方法解答即可;(2)材料所给方法进行解答即可;(3)局部进行因式分解,最后写成非负数的积的形式即可完成解答.【详解】解:(1)281x x +-=2816116x x ++--2(4)17x +-.(2)原式=22118x x -+--=2(1)9x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-.(3)222416x y x y +--+=()()22214411x x y y -++-++=()()221211x y -+-+>11故答案为①.【点睛】本题考查了配方法,根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.12.若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数,且a b >)的形式,则称这个数为“明礼崇德数”,a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如:因为22532=-,所以5是“明礼崇德数”,3与2是5的平方差分解;再如:22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数),所以M 也是“明礼崇德数”,()x y +与y 是M 的一个平方差分解.(1)判断:9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”);(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数,k 是常数,且1x y >+),要使N 是“明礼崇德数”,试求出符合条件的一个k 值,并说明理由;(3)对于一个三位数,如果满足十位数字是7,且个位数字比百位数字大7,称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”,又是“明礼崇德数”,请求出m 的所有平方差分解.【答案】(1)是;(2)k=-5;(3)m=279,222794845=-,222792011=-.【解析】【分析】(1)根据9=52-42,确定9是“明礼崇德数”;(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差,得到k=-5,将k=-5代入计算即可将N 平方差分解,得到答案;(3)确定“七喜数”m 的值,分别将其平方差分解即可.【详解】(1)∵9=52-42,∴9是“明礼崇德数”,故答案为:是;(2)当k=-5时,N 是“明礼崇德数”,∵当k=-5时,22465N x y x y =-+--,=224649x y x y -+-+-,=22(44)(69)x x y y ++-++,=22(2)(3)x y +-+,=(23)(23)x y x y ++++--=(5)(1)x y x y ++--.∵,x y 是正整数,且1x y >+,∴N 是正整数,符合题意,∴当k=-5时,N 是“明礼崇德数”;(3)由题意得:“七喜数”m=178或279,设m=22a b -=(a+b )(a-b ),当m=178时,∵178=2⨯89,∴892a b a b +=⎧⎨-=⎩,得45.543.5a b =⎧⎨=⎩(不合题意,舍去); 当m=279时,∵279=3⨯93=9⨯31,∴①933a b a b +=⎧⎨-=⎩,得4845a b =⎧⎨=⎩,∴222794845=-, ②319a b a b +=⎧⎨-=⎩,得2011a b =⎧⎨=⎩,∴222792011=-, ∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m 是279,222794845=-,222792011=-.【点睛】此题考查因式分解,熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提,(3)是此题的难点,解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据,再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.13.图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积: 方法1: 方法2:(2)观察图②请你写出下列三个代数式:(m+n )2,(m ﹣n )2,mn 之间的等量关系. ;(3)根据(2)题中的等量关系,解决:已知:a ﹣b=5,ab=﹣6,求:(a+b )2的值;【答案】(1)(m-n)2;(m+n)2-4mn;(2)(m-n)2=(m+n)2-4mn;(3)1.【解析】【分析】(1)方法1:表示出阴影部分的边长,然后利用正方形的面积公式列式;方法2:利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式;(2)根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答;(3)根据(2)的结论整体代入进行计算即可得解.【详解】解:(1)方法1:∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形,∴阴影部分的面积=(m-n)2方法2:∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积∴阴影部分的面积=(m+n)2-4mn;(2)根据(1)中两种计算阴影部分的面积方法可知(m-n)2=(m+n)2-4mn;(3)由(2)可知(a+b)2=(a-b)2+4ab,∵a-b=5,ab=-6,∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=52+4×(-6)=25-24=1.【点睛】本题考查几何图形与完全平方公式,应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义;主要围绕图形面积展开分析.14.阅读理解题:定义:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位.那么形如a+bi (a,b为实数)的数就叫做复数,a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.例如计算:(2+i)+(3﹣4i)=5﹣3i.(1)填空:i3=,2i4=;(2)计算:①(2+i)(2﹣i);②(2+i)2;(3)若两个复数相等,则它们的实部和虚部必须分别相等,完成下列问题:已知:(x+3y)+3i=(1﹣x)﹣yi,(x,y为实数),求x,y的值.(4)试一试:请你参照i2=﹣1这一知识点,将m2+25(m为实数)因式分解成两个复数的积.【答案】(1)i;2(2)①5②3+4i(3)x=5,y=﹣3(4)m2+25=(m+5i)(m﹣5i)【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则及2i 的概念直接运算;(2)利用平方差、完全平方公式把原式展开,根据21i =-计算即可;(3)根据虚数定义得出方程组,解方程组即可;(4)根据21i =- 将25转化为2(-5)i ,再利用平方差公式进行因式分解即可。

人教版数学八年级上册 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册全等三角形(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为______cm.-【答案】10310【解析】解:连接BD,在菱形ABCD中,∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,分三种情况讨论:①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10;②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP-;最小,最小值为10310③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;-(cm).综上所述,PA的最小值为10310-.故答案为:10310点睛:本题考查菱形的性质、等边三角形的性质,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.2.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD,当△AOD是等腰三角形时,求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°,分三种情况讨论:①AO=AD,则∠AOD=∠ADO,②OA=OD,则∠OAD=∠ADO,③OD=AD,则∠OAD=∠AOD,分别求出α的角度即可.【详解】解:∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,则a+b=60°,b+c=180°﹣110°=70°,c+d=60°,∴b﹣d=10°,∴(60°﹣a)﹣d=10°,∴a+d=50°,即∠DAO=50°,分三种情况讨论:①AO=AD,则∠AOD=∠ADO,∴190°﹣α=α﹣60°,∴α=125°;②OA=OD,则∠OAD=∠ADO,∴α﹣60°=50°,∴α=110°;③OD=AD,则∠OAD=∠AOD,∴190°﹣α=50°,∴α=140°;所以当α为110°、125°、140°时,三角形AOD是等腰三角形,故答案为:110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查,熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在x轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有_____个.【答案】4【解析】【分析】以O 为圆心,OA 为半径画弧交x 轴于点P 1、P 3,以A 为圆心,AO 为半径画弧交x 轴于点P 4,作OA 的垂直平分线交x 轴于P 2.【详解】解:如图,使△AOP 是等腰三角形的点P 有4个.故答案为4.【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形,掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键.4.在ABC ∆中,边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ,20DAE ∠=︒,则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意,点D 和点E 的位置不确定,需分析谁靠近B 点,则有如下图(图见解析)两种情况:(1)图1中,点E 距离点B 近,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠,再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,联立即可求得;(2)图2中,点D 距离点B 近,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,从而有3,4B C ∠=∠∠=∠,由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况:(1)图1中,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠(等边对等角),两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠,又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒,由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒,80BAC ∴∠=︒;(2)图2中,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,3,4B C ∴∠=∠∠=∠(等边对等角),两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠,又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠,3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒,20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒,100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质(垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)、等腰三角形的定义和性质(等边对等角)、以及三角形内角和定理,本题的难点在于容易漏掉第二种情况,出现漏解.5.如图,在ABC ∆中,点D 是BC 的中点,点E 是AD 上一点,BE AC =.若70C ∠=︒,50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______.【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =,连接BF ,通过ACD FDB ≅,根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠,AC BF =, 等量代换得BF BE =,由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠,即可得到BEF CAD ∠=∠,进而利用三角形的内角和解答即可得.【详解】如图,延长AD 到F ,使DF AD =,连接BF :∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠,AD DF =∴ACD FDB ≅∴AC BF =, CAD F ∠=∠,C DBF ∠=∠∵AC BE =, 70C ︒∠=, 50CAD ︒∠=∴BE BF =, 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为:10【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理,解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形.6.如图,已知每个小方格的边长为1,A、B两点都在小方格的格点(顶点)上,请在图中找一个格点C,使△ABC是等腰三角形,这样的格点C有________个。

八年级数学上册全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册全等三角形(培优篇)(Word 版 含解析) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.在直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点 A (1,2),点 P 是 y 轴正半轴上的一点,且△AOP 为等腰三角形,则点 P 的坐标为_____________.【答案】5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况:①以O 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于D ,求出OA 即可;②以A 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于P ,求出OP 即可;③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ,则AC =OC ,根据勾股定理求出OC 即可.【详解】有三种情况:①以O 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于D ,则OA =OD =22125+=;∴D (0,5);②以A 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于P ,OP =2×y A =4,∴P (0,4);③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ,则AC =OC ,由勾股定理得:OC =AC =()2212OC +-,∴OC =54, ∴C (0,54); 故答案为:5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,坐标与图形性质等知识点的理解和掌握,能求出符合条件的所有情况是解此题的关键.2.我们知道,经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线,均能把三角形分割成两个三角形(1)如图,在ABC∆中,25,105A ABC∠=︒∠=︒,过B作一直线交AC于D,若BD 把ABC∆分割成两个等腰三角形,则BDA∠的度数是______.(2)已知在ABC∆中,AB AC=,过顶点和顶点对边上一点的直线,把ABC∆分割成两个等腰三角形,则A∠的最小度数为________.【答案】130︒1807︒⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由题意得:DA=DB,结合25A∠=︒,即可得到答案;(2)根据题意,分4种情况讨论,①当BD=AD,CD=AD,②当AD=BD,AC=CD,③AB=AC,当AD=BD=BC,④当AD=BD,CD=BC,分别求出A∠的度数,即可得到答案.【详解】(1)由题意得:当DA=BA,BD=BA时,不符合题意,当DA=DB时,则∠ABD=∠A=25°,∴∠BDA=180°-25°×2=130°.故答案为:130°;(2)①如图1,∵AB=AC,当BD=AD,CD=AD,∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴4∠B=180°,∴∠BAC=90°.②如图2,∵AB=AC,当AD=BD,AC=CD,∴∠B=∠C=∠BAD,∠CAD=∠CDA,∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B,∴∠BAC=3∠B,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°,∴∠BAC=108°.③如图3,∵AB=AC,当AD=BD=BC,∴∠ABC=∠C,∠BAC=∠ABD,∠BDC=∠C,∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC,∴∠ABC=∠C=2∠BAC,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴5∠BAC=180°,∴∠BAC=36°.④如图4,∵AB=AC,当AD=BD,CD=BC,∴∠ABC=∠C,∠BAC=∠ABD,∠CDB=∠CBD,∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC,∴∠ABC=∠C=3∠BAC,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴7∠BAC=180°,∴∠BAC=180 ()7︒.综上所述,∠A的最小度数为:180 ()7︒.故答案是:180 ()7︒.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质,根据等腰三角形的性质,分类讨论,是解题的关键.3.已知A、B两点的坐标分别为(0,3),(2,0),以线段AB为直角边,在第一象限内作等腰直角三角形ABC,使∠BAC=90°,如果在第二象限内有一点P(a,12),且△ABP和△ABC的面积相等,则a=_____.【答案】-83.【解析】【分析】先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值,再由勾股定理求出AB的长度,根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积;连接OP,过点P作PE⊥x轴,由△ABP的面积与△ABC的面积相等,可知S△ABP=S△POA+S△AOB﹣S△BOP=132,故可得出a的值.【详解】∵A、B两点的坐标分别为(0,3),(2,0),∴OA=3,OB=2,∴223+213AB==,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴1113•1313222 ABCS AB AC⨯⨯===,作PE⊥x轴于E,连接OP,此时BE=2﹣a,∵△ABP的面积与△ABC的面积相等,∴111•••222 ABP POA AOB BOPS S S S OA OE OB OA OB PE ++=﹣=﹣,111113332222222a⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=(﹣)﹣=,解得a=﹣83.故答案为﹣83.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,坐标与图象性质,三角形的面积公式,解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程.4.如图,在ABC 中,AB AC >,按以下步骤作图:分别以点B 和点C 为圆心,大于BC 一半长为半径作画弧,两弧相交于点M 和点N ,过点M N 、作直线交AB 于点D ,连接CD ,若10AB =,6AC =,则ADC 的周长为_____________________.【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ,则DC=DB ,然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ,再把10AB =,6AC =代入计算即可.【详解】解:由作法得MN 垂直平分BC ,则DC=DB ,10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为:16.【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质,熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线)是本题的关键.5.如图,在△ABC 中,P ,Q 分别是BC ,AC 上的点,PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别是R ,S ,若AQ PQ =,PR PS =,那么下面四个结论:①AS AR =;②QP //AR ;③△BRP ≌△QSP ;④BRQS ,其中一定正确的是(填写编号)_____________.【答案】①,②【解析】【分析】连接AP,根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA,推出∠QPA=∠BAP,根据平行线判定推出QP∥AB即可;在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS.无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS.【详解】解:连接AP①∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,∴点P在∠BAC的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,∴∠SAP=∠RAP,在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2,∵AP=AP,PR=PS,∴AR=AS,∴①正确;②∵AQ=QP,∴∠QAP=∠QPA,∵∠QAP=∠BAP,∴∠QPA=∠BAP,∴QP∥AR,∴②正确;③在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS,不满足三角形全等的条件,故③④错误;故答案为:①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用,熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F,若∠F =30°,DE=1,则EF的长是_____.【答案】2【解析】【分析】连接BE,根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质,说明∠CBE=∠F,进一步说明BE =EF,,然后再根据直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解:如图:连接BE∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F,∴AE=BE,∠A+∠AED=90°,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠F+∠CEF=90°,∵∠AED=∠FEC,∴∠A=∠F=30°,∴∠ABE=∠A=30°,∠ABC=90°﹣∠A=60°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°,∴∠CBE=∠F,∴BE=EF,在Rt△BED中,BE=2DE=2×1=2,∴EF=2.故答案为:2.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质,其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.7.如图,已知,点E是线段AB的中点,点C在线段BD上,8BD=,2DC=,线段AC交线段DE于点F,若AF BD=,则AC=__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE至G,使EG=DE,连接AG,证明BDE AGE∆≅∆,而后证明AFG∆、CDF∆是等腰三角形,即可求出CF的长,于是可求AC的长.【详解】解:如图,延长DE至G,使EG=DE,连接AG,∵点E是线段AB的中点,∴AE=BE,∴在BDE∆和AGE∆中,BE AEBED AEGDE EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BDE AGE∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE∠=∠∵AFG DFC∠=∠,∴BDE DFC∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质,能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.8.如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形,若OA2=4,则△A n B n A n+1的边长为_____.【答案】2n.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及A2B2=2B1A2,得出A3B3=4B1A2=8,A4B4=8B1A2=16,A5B5=16B1A2…进而得出答案.【详解】解:∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∵∠MON=30°,∵OA2=4,∴OA1=A1B1=2,∴A2B1=2,∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,∴A3B3=4B1A2=8,A4B4=8B1A2=16,A5B5=16B1A2=32,以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n.故答案为:2n.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质,由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键.9.如图,∠AOB=45°,点M、点C在射线OA上,点P、点D在射线OB上,且OD=32,则CP+PM+DM的最小值是_____.【答案】34.【解析】【分析】如图,作点C关于OB的对称点C′,作点D关于OA的对称点D′,连接OC′,PC′,D′M,OD′,C′D′,根据轴对称的性质得到OC′=OC=2,OD′=OD=32,CP=C′P,DM=D′M,∠C′OD=′COD=∠COD′=45°,于是得到CP+PM+MD=C′+PM+D′M≥C′D′,当仅当C′,P,M,D′三点共线时,CP+PM+MD最小为C′D′,作C′T⊥D′O于点T,于是得到结论.【详解】解:如图,作点C关于OB的对称点C′,作点D关于OA的对称点D′,连接OC′,PC′,D′M,OD′,C′D′,则OC′=OC=2,OD′=OD=32,CP=C′P,DM=D′M,∠C′OD=′COD=∠COD′=45°,∴CP+PM+MD=C′+PM+D′M≥C′D′,当仅当C′,P,M,D′三点共线时,CP+PM+MD最小为C′D′,作C′T⊥D′O于点T,则C′T=OT=2,∴D′T=42,∴C′D′=34,∴CP+PM+DM的最小值是34.故答案为:34.【点睛】本题考查了最短路径问题,掌握作轴对称点是解题的关键.10.如图,已知30AOB ∠=︒,点P 在边OA 上,14OD DP ==,点E ,F 在边OB 上,PE PF =.若6EF =,则OF 的长为____.【答案】18【解析】【分析】由30°角我们经常想到作垂线,那么我们可以作DM 垂直于OA 于M ,作PN 垂直于OB 于点N ,证明△PMD ≌△PND ,进而求出DF 长度,从而求出OF 的长度.【详解】如图所示,作DM 垂直于OA 于M ,作PN 垂直于OB 于点N.∵∠AOB=30°,∠DMO=90°,PD=DO=14,∴DM=7,∠NPO=60°,∠DPO=30°,∴∠NPD=∠DPO=30°,∵DP=DP ,∠PND=∠PMD=90°,∴△PND ≌△PMD ,∴ND=7,∵EF=6,∴DF=ND-NF=7-3=4,∴OF=DF+OD=14+4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理,作辅助线构造全等三角形是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.在平面直角坐标系中,等腰△ABC 的顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)、(2,2),若顶点C 落在坐标轴上,则符合条件的点C 有( )个.A .5B .6C .7D .8【答案】D【解析】【分析】要使△ABC 是等腰三角形,可分三种情况(①若AC =AB ,②若BC =BA ,③若CA =CB )讨论,通过画图就可解决问题.【详解】①若AC =AB ,则以点A 为圆心,AB 为半径画圆,与坐标轴有4个交点;②若BC =BA ,则以点B 为圆心,BA 为半径画圆,与坐标轴有2个交点(A 点除外); ③若CA =CB ,则点C 在AB 的垂直平分线上.∵A (0,0),B (2,2),∴AB 的垂直平分线与坐标轴有2个交点.综上所述:符合条件的点C 的个数有8个.故选D .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识,还考查了动手操作的能力,运用分类讨论的思想是解决本题的关键.12.如图,在射线OA ,OB 上分别截取11OA OB =,连接11A B ,在11B A ,1B B 上分别截取1212B A B B =,连接22A B ,按此规律作下去,若11A B O α∠=,则1010A B O ∠=( )A .102aB .92aC .20aD .18a 【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠,依此类推即可得到结论.【详解】解:1212B A B B =,11A B O α∠=,2212A B O α∴∠=, 同理332111222A B O αα∠=⨯=, 44312A B O α∠=, 112n n n A B O α-∴∠=, 101092A B O α∴∠=,故选:B .【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,图形的变化规律,依次求出相邻的两个角的差,得到分母成2的指数次幂变化,分子不变的规律是解题的关键.13.已知:如图,点D ,E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上,AE 与BD 相交于点F ,给出下面四个条件:①∠1=∠2;②AD=BE ;③AF=BF ;④DF=EF ,从这四个条件中选取两个,不能判定△ABC 是等腰三角形的是( )A .①②B .①④C .②③D .③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可.【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,关键是熟练地运用定理进行推理,是一道开放性的题目,能培养学生分析问题的能力.14.如图所示,△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形,且PA ⊥PD ,有下列四个结论:①∠PBC =15°,②AD ∥BC ,③PC ⊥AB ,④四边形ABCD 是轴对称图形,其中正确的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D【解析】【分析】根据周角的定义先求出∠BPC 的度数,再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形,∠PBC 即可求出;根据题意:有△APD 是等腰直角三角形;△PBC 是等腰三角形;结合轴对称图形的定义与判定,可得四边形ABCD 是轴对称图形,进而可得②③④正确.【详解】根据题意,BPC 36060290150∠=-⨯-= , BP PC =,()PBC 180150215∠∴=-÷=,①正确;根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形,④正确;∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°,∴AD//BC ,②正确;∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°, ∴PC ⊥AB ,③正确,所以四个命题都正确,故选D . 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等,熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.15.如图所示,等边三角形的边长依次为2,4,6,8,……,其中1(0,1)A ,(21,13A -,(31,13A ,4(0,2)A ,(52,223A --,……,按此规律排下去,则2019A 的坐标为( )A .()673,6736733-B .()673,6736733--C .(0,1009)D .()674,6746743- 【答案】A【解析】【分析】 根据等边三角形的边长依次为2,4,6,8,……,及点的坐标特征,每三个点一个循环,2019÷3=673,A 2019的坐标在第四象限即可得到结论.【详解】∵2019÷3=673,∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点,且在第四象限.第673个等边三角形边长为2×673=1346,∴点A 2019的横坐标为 12⨯1346=673.点A 2019的纵坐标为673-13463⨯=673﹣6733.故点A 2019的坐标为:()673,6736733-.故选:A .【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质,是点的变化规律,主要利用了等边三角形的性质,确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键.16.如图,在锐角△ABC 中,AC =10,S △ABC =25,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ,点 M ,N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM +MN 的最小值是( )A .4B .245C .5D .6【答案】C【解析】试题解析:如图,∵AD是∠BAC的平分线,∴点B关于AD的对称点B′在AC上,过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M,由轴对称确定最短路线问题,点M即为使BM+MN最小的点,B′N=BM+MN,过点B作BE⊥AC于E,∵AC=10,S△ABC=25,∴12×10•BE=25,解得BE=5,∵AD是∠BAC的平分线,B′与B关于AD对称,∴AB=AB′,∴△ABB′是等腰三角形,∴B′N=BE=5,即BM+MN的最小值是5.故选C.17.如图,已知等边△ABC的面积为43, P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点,则PR+QR的最小值是()A.3B.3C15D.4【答案】B【解析】如图,作△ABC关于AC对称的△ACD,点E与点Q关于AC对称,连接ER,则QR=ER,当点E,R,P在同一直线上,且PE⊥AB时,PE的长就是PR+QR的最小值,设等边△ABC的边长为x,则高为32x,∵等边△ABC的面积为43,∴12x×32x=43,解得x=4,∴等边△ABC的高为3x=23,即PE=23,所以PR+QR的最小值是23,故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质,最短路径问题等,解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.18.如图,平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0),若在x轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由点A、B的坐标可得到2,然后分类讨论:若AC=AB;若BC=AB;若CA=CB,确定C点的个数.【详解】∵点A、B的坐标分别为(2,2)、B(4,0).∴2,如图,①若AC=AB,以A为圆心,AB为半径画弧与x轴有2个交点(含B点),即(0,0)、(4,0),∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个;②若BC=AB,以B为圆心,BA为半径画弧与x轴有2个交点,即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个;③若CA=CB,作AB的垂直平分线与x轴有1个交点,即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个;综上所述:点C在x轴上,△ABC是等腰三角形,符合条件的点C共有4个.故选D.【点睛】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用,分三种情况分别讨论,注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上.19.如图,已知,点A(0,0)、B(43,0)、C(0,4),在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…则第2017个等边三角形的边长等于()A 3B3C3D3【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质,由OB=3OC=1,可得∠OCB=90°,然后根据等边三角形的性质,可知∠A1AB=60°,进而可得∠CAA1=30°,∠CA1O=90°,因此可推导出∠A2A1B=30°,同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°,∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°,故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半,即OA1=OCcos∠CAA1=3B1A2=1232⨯,以此类推,可知第2017个等边三角形的边长为:2017201513()4322⨯=.故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质,属于规律型题目,解题关键是仔细审图,得出:后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.20.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是长方形,点A、C的坐标分别为A(10,0 ),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为()A.(3,4),(2,4)B.(3,4),(2,4),(8,4)C.(2,4),(8,4)D.(3,4),(2,4),(8,4),(2.5,4)【答案】B【解析】试题解析:有两种情况:①以O为圆心,以5为半径画弧交BC于P点,此时OP=OD=5,在Rt△OPC中,OC=4,OP=5,由勾股定理得PC=3,则P的坐标是(3,4);②以D为圆心,以5为半径画弧交BC于P′和P″点,此时DP′=DP″=OD=5,过P′作P′N⊥OA于N,在Rt△OP′N中,设CP′=x,则DN=5-x,P′N=4,OP=5,由勾股定理得:42+(5-x)2=52,x=2,则P′的坐标是(2,4);过P″作P″M⊥OA于M,设BP″=a,则DM=5-a,P″M=4,DP″=5,在Rt△DP″M中,由勾股定理得:(5-a)2+42=52,解得:a=2,∴BP″=2,CP″=10-2=8,即P″的坐标是(8,4);假设0P=PD,则由P点向0D边作垂线,交点为Q则有PQ2十QD2=PD2,∵0P=PD=5=0D,∴此时的△0PD为正三角形,于是PQ=4,QD=120D=2.5,PD=5,代入①式,等式不成立.所以排除此种可能.故选B.。

八年级上册数学 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学全等三角形(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为______cm.-【答案】10310【解析】解:连接BD,在菱形ABCD中,∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,分三种情况讨论:①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10;②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP-;最小,最小值为10310③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;-(cm).综上所述,PA的最小值为10310-.故答案为:10310点睛:本题考查菱形的性质、等边三角形的性质,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.2.如图,已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5,点 P 是 AD 上的一动点,则 PE+PF 的最小值是_____.【答案】10【解析】利用正多边形的性质,可得点B关于AD对称的点为点E,连接BE交AD于P点,那么有PB=PF,PE+PF=BE最小,根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形,因此可知BE 的长为10,即PE+PF的最小值为10.故答案为10.3.如图,已知△ABC和△ADE都是正三角形,连接CE、BD、AF,BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD,再证明CAI≅BAJ,求出°7830∠=∠=,然后求出12IF FJ AF==,,通过设FJ x=求出x,即可求出AF的长.【详解】解:过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J在CAE 和BAD 中AC AB CAE BADAE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE ≅BAD∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠(8字形)∴°120CFD ∠= 在CAI 和BAJ 中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x∴=2AF FJ=AF∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等,得出相关的边相等,学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.4.如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出下列四个结论:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③EF=AB;④12ABCAEPFS S∆=四边形,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析:∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角,∴∠APE=∠CPF,∵AB=AC,∠BAC=90°,P是BC中点,∴AP=CP,∴∠PAE=∠PCF,在△APE与△CPF中,{?PAE PCFAP CPEPA FPC∠=∠=∠=∠,∴△APE≌△CPF(ASA),同理可证△APF≌△BPE,∴AE=CF,△EPF是等腰直角三角形,S四边形AEPF=12S△ABC,①②④正确;而AP=12BC,当EF不是△ABC的中位线时,则EF不等于BC的一半,EF=AP,∴故③不成立.故始终正确的是①②④.故选D.考点:1.全等三角形的判定与性质;2.等腰直角三角形.5.如图,∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2,B3…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边长记a1,第2个等边三角形的边长记为a2,以此类推,若OA1=3,则a2=_______,a2019=_______.【答案】6; 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及a2=2a1=6,得出a3=4a1,a4=8a1,a5=16a1…进而得出答案.【详解】解:如图,∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°,∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,又∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°,∵∠MON=∠1=30°,∴OA 1=A 1B 1=3,∴A 2B 1=3,∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,∵∠4=∠12=60°,∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,B 1A 2∥B 2A 3,∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴a 2=2a 1=6,a 3=4a 1,a 4=8a 1,a 5=16a 1,以此类推:a 2019=22018a 1=3×22018故答案是:6;3×22018.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出a 2=2a 1=6,a 3=4a 1,a 4=8a 1,a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键.6.如图,在Rt ABC △中,AC BC =,D 是线段AB 上一个动点,把ACD 沿直线CD 折叠,点A 落在同一平面内的A '处,当A D '平行于Rt ABC △的直角边时,ADC ∠的大小为________.【答案】112.5︒或67.5︒【解析】【分析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时,有两种情况,一是当A D BC '时,二是当A D AC '时,两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可.【详解】 如图1,当点D 在线段AB 上,且A DBC '时,45A DB B '∠=∠=︒, 45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒,解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1如图2,当A D AC '时,45A DB A '∠=∠=︒,45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒,解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2【点睛】本题考查了翻折变换的性质,等腰直角三角形的性质,掌握折叠的性质是解题关键.7.如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=120°,D 为BC 上一点,DA ⊥AC ,AD=24 cm ,则BC 的长________cm .【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解:∵AB=AC ,∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA ⊥AC ,AD=24 cm∴DC=2AD=48cm ,∵∠BAC=120°,DA ⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴∠B=∠BAD∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质,其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.8.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AE平分∠BAC,∠D=∠DBC=60°,若BD=5cm,DE=3cm,则BC的长是 ______cm.【答案】8.【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形,△EFD为等边三角形,从而得出BN的长,进而求出答案.【详解】解:延长DE交BC于M,延长AE交BC于N,作EF∥BC于F,∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠DBC=∠D=60°,∴△BDM为等边三角形,∴△EFD为等边三角形,∵BD=5,DE=3,∴EM=2,∵△BDM为等边三角形,∴∠DMB=60°,∵AN⊥BC,∴∠ENM=90°,∴∠NEM=30°,∴NM=1,∴BN=4,∴BC=2BN=8(cm),故答案为8.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.9.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,E、F分别在BC、CD上,且AB=BE,AD =DF,M为EF的中点,DM=3,BM=4,则五边形ABEFD的面积是_____.【答案】12【解析】【分析】延长BM至G,使MG=BM,连接FG、DG,证明△BME≌△GMF(SAS),得出FG=BE,∠MBE=∠MGF,证出AB=FG,证明△DAB≌△DFG(SAS),得出DB=DG,由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM,由五边形ABEFD的面积=△DBG的面积,可求解.【详解】延长BM至G,使MG=BM=4,连接FG、DG,如图所示:∵M为EF中点,∴ME=MF,在△BME和△GMF中,BM MGBME GMFME MF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BME≌△GMF(SAS),∴FG=BE,∠MBE=∠MGF,S△BEM=S△GFM,∴FG∥BE,∴∠C=∠GFC,∵∠A+∠C=180°,∠DFG+∠GFC=180°,∴∠A=∠DFG,∵AB=BE,∴AB=FG,在△DAB和△DFG中,AB FGA DFGAD DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DAB≌△DFG(SAS),∴DB=DG,S△DAB=S△DFG,∵MG=BM,∴DM⊥BM,∴五边形ABEFD的面积=△DBG的面积=12×BG×DM=12×8×3=12,故答案为:12.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识;熟练掌握等腰三角形的判定由性质,证明三角形全等是解题的关键.10.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是AB的中点,F是AC上一个动点,则EF+BF的最小值是________ .【答案】33【解析】试题解析:∵在菱形ABCD中,AC与BD互相垂直平分,∴点B、D关于AC对称,连接ED,则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段,∵E为AB的中点,∠DAB=60°,∴DE⊥AB,∴ED=22-=22AD AE-=33,63∴EF+BF的最小值为33.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图,平面直角坐标系中存在点A(3,2),点B(1,0),以线段AB为边作等腰三角形ABP,使得点P在坐标轴上.则这样的P点有()A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题,由题意知A、B是定点,P是动点,所以要分情况讨论:以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰.则满足条件的点P可求.【详解】由题意可知:以AP、AB为腰的三角形有3个;以AP、BP为腰的三角形有2个;以BP、AB为腰的三角形有2个.所以,这样的点P共有7个.故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质;分类别寻找是正确解答本题的关键.12.如图,在△ABC中,∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1-∠2的度数是()A .32°B .64°C .65°D .70°【答案】B【解析】【分析】 此题涉及的知识点是三角形的翻折问题,根据翻折后的图形相等关系,利用三角形全等的性质得到角的关系,然后利用等量代换思想就可以得到答案【详解】如图,在△ABC 中,∠B=32°,将△ABC 沿直线m 翻折,点B 落在点D 的位置∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH∠1=180︒-∠BEH -∠DEH=180︒-2∠DEH∠2=180︒-∠D -∠DEH -∠EHF=180︒-∠B -∠DEH -(∠B+∠BEH)=180︒-∠B -∠DEH -(∠B+∠DEH)=180︒-32°-∠DEH -32°-∠DEH=180︒-64°-2∠DEH∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH -(180︒-64°-2∠DEH)=180︒-2∠DEH -180︒+64°+2∠DEH=64°故选B【点睛】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力,等量代换是解本题的关键13.已知40MON ∠=︒,P 为MON ∠内一定点,OM 上有一点A ,ON 上有一点B ,当PAB ∆的周长取最小值时,APB ∠的度数是( )A .40︒B .50︒C .100︒D .140︒【答案】C【解析】【分析】 设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P '、P '',当点A 、B 在P P '''上时,PAB ∆周长为PA AB BP P P ++=''',此时周长最小.根据轴对称的性质,可求出APB ∠的度数.【详解】分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P '',连接OP '、OP ''、P P ''',P P '''交OM 、ON 于点A 、B ,连接PA 、PB ,此时PAB ∆周长的最小值等于P P '''.由轴对称性质可得,OP OP OP '=''=,P OA POA ∠'=∠,P OB POB ∠''=∠,224080P OP MON ∴∠'''=∠=⨯︒=︒,(18080)250OP P OP P ∴∠'''=∠'''=︒-︒÷=︒,又50BPO OP B ∠=∠''=︒,50APO AP O ∠=∠'=︒,100APB APO BPO ∴∠=∠+∠=︒.故选:C .【点睛】此题考查轴对称作图,最短路径问题,将三角形周长最小转化为最短路径问题,根据轴对称作图是解题的关键.14.如图,△ABC 的周长为32,点D 、E 都在边BC 上,∠ABC 的平分线垂直于AE ,垂足为Q ,∠ACB 的平分线垂直于AD ,垂足为P ,若BC =12,则PQ 的长为( )A .3B .4C .5D .6【答案】B【解析】【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形,从而得出BA =BE ,CA =CD ,由△ABC 的周长为32以及BC =12,可得DE =8,利用中位线定理可求出PQ .【详解】∵BQ 平分∠ABC ,BQ ⊥AE ,∴∠ABQ =∠EBQ ,∵∠ABQ+∠BAQ =90°,∠EBQ+∠BEQ =90°,∴∠BAQ =∠BEQ ,∴AB =BE ,同理:CA =CD ,∴点Q 是AE 中点,点P 是AD 中点(三线合一),∴PQ 是△ADE 的中位线,∵BE+CD =AB+AC =32﹣BC =32﹣12=20,∴DE =BE+CD ﹣BC =8,∴PQ =12DE =4. 故选:B .【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定,解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形,利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线.15.如图所示,把多块大小不同的30角三角板,摆放在平面直角坐标系中,第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0,30ABO ∠=︒,第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ,第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ,第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ,按此规律继续下去,则点2018B 的坐标为( )A .()20182(3),0-⨯ B .()20180,2(3)-⨯ C .()20192(3),0⨯ D .()20190,2(3)-⨯ 【答案】D【解析】【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度,根据题意和图象可以发现题目中的变化规律,从而可以求得点B 2018的坐标.【详解】解:由题意可得,OB = 2242-= 23,OB 1= 3 OB= 233⨯ = 22(3)⨯,OB 2= 3 OB 1= 32(3)⨯,…∵2018÷4=504…2,∴点B 2018在y 轴的负半轴上,∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)-⨯.故答案为:D .【点睛】本题考查规律型:点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出题目中坐标的变化规律,求出相应的点的坐标.16.如图,四边形ABCD 中,∠BAD =120°,∠B =∠D =90°,在BC 、CD 上分别找一点M 、N ,使△AMN 周长最小时,则∠AMN +∠ANM 的度数为( )A .130°B .120°C .110°D .100°【答案】B【解析】 根据要使△AMN 的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出A 关于BC和ED的对称点A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案:如图,作A关于BC和ED的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.∵∠BAD=120°,∴∠HAA′=60°.∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°.∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°.故选B.17.如图,四边形ABCD中,∠C=,∠B=∠D=,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为().A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】【详解】作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H,连接GH,交BC、CD于点E、F,连接AE、AF,则此时△AEF的周长最小,由四边形的内角和为360°可知,∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°,即∠1+∠2+∠3=130°①,由作图可知,∠1=∠G,∠3=∠H,△AGH的内角和为180°,则2(∠1+∠3)+ ∠2=180°②,又①②联立方程组,解得∠2=80°.故选D.考点:轴对称的应用;路径最短问题.18.如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为()A.(-2012,2)B.(-2012,-2)C.(-2013,-2)D.(-2013,2)【答案】A【解析】试题分析:首先由正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1),然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标,即可得规律:第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标.试题解析:∵正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).∴对角线交点M的坐标为(2,2),根据题意得:第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为:(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),∴连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(-2012,2).故选A.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.正方形的性质;3.坐标与图形变化-平移.19.如果三角形有一个内角为120°,且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形,那么这个三角形最小的内角度数是( )A.15°B.40 C.15°或20°D.15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°,且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形,运用分类思想和三角形内角和定理,即可得到该三角形其余两个内角的度数.【详解】如图1,当∠A=120°,AD=AC,DB=DC时,∠ADC=∠ACD=30°,∠DBC=∠DCB=15°,所以,∠DBC=15°,∠ACB=30°+15°=45°;故∠ABC=60°,∠C=80°;如图2,当∠BAC=120°,可以以A为顶点作∠BAD=20°,则∠DAC=100°,∵△APB,△APC都是等腰三角形;∴∠ABD=20°,∠ADC=∠ACD=40°,如图3,当∠BAC=120°,以A为顶点作∠BAD=80°,则∠DAC=40°,∵△APB,△APC都是等腰三角形,∴∠ABD=20°,∠ADC=100°,∠ACD=40°.故选C.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用,解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理.20.等腰三角形中有一个角是40°,则另外两个角的度数是()A.70°,70°B.40°,100°C.70°,40°D.70°,70°或40°,100°【答案】D【解析】分析:由等腰三角形的一个角是40度,可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解,小心别漏解.详解:若40°的角是顶角,则底角为:(180°﹣40°)=70°,∴此时另外两个角的度数是70°,70°;若40°的角是底角,则另一底角为40°,∴顶角为:180°﹣40°﹣40°=100°,∴此时另外两个角的度数是100°,40°.∴另外两个角的度数是:70°、70°或40°、100°.故选:D.点睛:此题考查了等腰三角形的性质.解题的关键是注意分类讨论思想的应用,注意别漏解.。

数学八年级上册 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册全等三角形(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,AB=AC=6.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起,使△ABC保持不动,△DEF运动,且满足点E在边BC上运动(不与B,C重合),边DE始终经过点A,EF与AC交于点M.在△DEF 运动过程中,若△AEM能构成等腰三角形,则BE的长为______.【答案】363【解析】【分析】分若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°;若AE=EM;若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°三种情况讨论解答即可;【详解】解:①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°∵∠C=45°∴∠AME=∠C又∵∠AME>∠C∴这种情况不成立;②若AE=EM∵∠B=∠AEM=45°∴∠BAE+∠AEB=135°,∠MEC+∠AEB=135°∴∠BAE=∠MEC在△ABE和△ECM中,BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△ECM(AAS),∴CE=AB6,∵AC=BC2AB=3∴BE=23﹣6;③若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°∵∠BAC=90°,∴∠BAE=45°∴AE平分∠BAC∵AB=AC,∴BE=1BC=3.2故答案为23﹣6或3.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键.2.如图,在锐角△ABC中,AB=5,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD,AB上的动点,则BM+MN的最小值是______.【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N,则BM+MN为所求的最小值,再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN,再由等腰直角三角形的性质即可得出结论.【详解】如图,作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N,则BM+MN 为所求的最小值.∵AD是∠BAC的平分线,∴MH=MN,∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短).∵AB=5,∠BAC=45°,∴BH== 5.∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5.故答案为5.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考,通过角平分线性质,垂线段最短,确定线段和的最小值.3.如图,ABC 中,ABC=45∠︒,CD AB ⊥于D ,BE 平分ABC ∠,且BE AC ⊥于E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连接DH 与BE 相交于点G ,下列结论:BF=AC ①;A=67.5∠︒②;DG=DF ③;ADGE GHCE S S =四边形四边形④,其中正确的有__________(填序号).【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ,△BAC 是等腰三角形,∠DGF=∠DFG=67.5°,即可判断①②③正确,作GM ⊥BD 于M ,只要证明GH <DG 即可判断④错误.【详解】解:∵CD ⊥AB ,BE ⊥AC ,∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°,∴∠A +∠ABE=90°,∠ABE +∠DFB=90°,∴∠A=∠DFB ,∵∠ABC=45°,∠BDC=90°,∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ,∴BD=DC,在△BDF和△CDA中,∠BDF=∠CDA,∠A=∠DFB,BD=CD,∴△BDF≌△CDA(AAS),∴BF=AC,故①正确.∵∠ABE=∠EBC=22.5°,BE⊥AC,∴∠A=∠BCA=67.5°,故②正确,∵BE平分∠ABC,∠ABC=45°,∴∠ABE=∠CBE=22.5°,∵∠BDF=∠BHG=90°,∴∠BGH=∠BFD=67.5°,∴∠DGF=∠DFG=67.5°,∴DG=DF,故③正确.作GM⊥AB于M.如图所示:∵∠GBM=∠GBH,GH⊥BC,∴GH=GM<DG,∴S△DGB>S△GHB,∵S△ABE=S△BCE,∴S四边形ADGE<S四边形GHCE.故④错误,故答案为:①②③.【点睛】此题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的面积等知识点的综合运用,第五个问题难度比较大,添加辅助线是解题关键,属于中考选择题中的压轴题.4.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5,M,N分别是射线OA和OB上的动点,若△PMN周长的最小值为5,则∠AOB的度数为_____.【答案】30°.【解析】【分析】如图:分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P'',分别连OP'、O P''、P' P''交OB 、OA 于M 、N ,则可证明此时△PMN 周长的最小,由轴对称性,可证明△P'O P''为等边三角形,∠AOB=12∠P'O P''=30°. 【详解】解:如图:分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P'',分别连OP'、O 、P' 交OB 、OA 于M 、N ,由轴对称△PMN 周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知,此时△PMN 周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB ,∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°. 故答案为30°.【点睛】 本题是动点问题的几何探究题,考查最短路径问题,应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.5.如图,己知30MON ∠=︒,点1A ,2A ,3A ,…在射线ON 上,点1B ,2B ,3B ,…在射线OM 上,112A B A ∆,223A B A ∆,334A B A ∆,…均为等边三角形,若12OA =,则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ,以及22122A B B A =,得出332212244A B A B B A ===,441288A B B A ==,551216A B B A =⋯进而得出答案.【详解】 解:△112A B A 是等边三角形,1121A B A B ∴=,341260∠=∠=∠=︒,2120∴∠=︒,30MON ∠=︒,11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒,又360∠=︒,5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒,130MON ∠=∠=︒,1112OA A B ∴==,212A B ∴=,△223A B A 、△334A B A 是等边三角形,111060∴∠=∠=︒,1360∠=︒,41260∠=∠=︒,112233////A B A B A B ∴,1223//B A B A ,16730∴∠=∠=∠=︒,5890∠=∠=︒,22122242A B B A =∴==,33232B A B A =,33312428A B B A ∴===,同理可得:444128216A B B A ===,⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ,∴△556A B A 的边长为5232=.故答案为:32.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质,根据已知得出33124A B B A =,44128A B B A =,551216A B B A =进而发现规律是解题关键.6.如图,在△ABC 中,P ,Q 分别是BC ,AC 上的点,PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别是R ,S ,若AQ PQ =,PR PS =,那么下面四个结论:①AS AR =;②QP //AR ;③△BRP ≌△QSP ;④BRQS ,其中一定正确的是(填写编号)_____________.【答案】①,②【解析】【分析】连接AP,根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA,推出∠QPA=∠BAP,根据平行线判定推出QP∥AB即可;在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS.无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS.【详解】解:连接AP①∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,∴点P在∠BAC的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,∴∠SAP=∠RAP,在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2,∵AP=AP,PR=PS,∴AR=AS,∴①正确;②∵AQ=QP,∴∠QAP=∠QPA,∵∠QAP=∠BAP,∴∠QPA=∠BAP,∴QP∥AR,∴②正确;③在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS,不满足三角形全等的条件,故③④错误;故答案为:①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用,熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.7.△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形,如图为其中一种分割法,此时△ABC中的最大内角为90°,那么其它分割法中,△ABC中的最大内角度数为_____.【答案】117°或108°或84°.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行分割,写出△ABC中的最大内角的所有可能值.【详解】①∠BAD=∠BDA=12(180°﹣24°)=78°,∠DAC=∠DCA=12∠BDA=39°,如图1所示:∴∠BAC=78°+39°=117°;②∠DBA=∠DAB=24°,∠ADC=∠ACD=2∠DBA=48°,如图2所示:∴∠DAC=180°﹣2×48°=84°,∴∠BAC=24°+84°=108°;③∠DBA=∠DAB=24°,∠ADC=∠DAC=2∠DBA=48°,如图3所示:∴∠BAC=24°+48°=72°,∠C=180°﹣2×48°=84°;∴其它分割法中,△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°,故答案为:117°或108°或84°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.8.如图,已知AB=A 1B ,A 1B 1=A 1A 2,A 2B 2=A 2A 3,A 3B 3=A 3A 4,…若∠A=70°,则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中,AB=A 1B ,∠A=70°可得:∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中,A 1B 1=A 1A 2可得:∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得:∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得:∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推:∠A n =1702n -︒ 故答案为:1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索,准确识图,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..9.如图,△ABC中,AB=AC=12厘米,BC=9厘米,点D为AB的中点,如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。

八年级数学上册 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册全等三角形(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为______.【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F,过点B′作B′G⊥AD于点G,∵∠B=60°,BE=BD=4,∴△BDE是等边三角形,∵△B′DE≌△BDE,∴B′F=1B′E=BE=2,DF=23,2∴GD=B′F=2,∴B′G=DF=23,∵AB=10,∴AG=10﹣6=4,∴AB′=27.考点:1轴对称;2等边三角形.2.如图,已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5,点 P 是 AD 上的一动点,则 PE+PF 的最小值是_____.【答案】10【解析】利用正多边形的性质,可得点B 关于AD 对称的点为点E ,连接BE 交AD 于P 点,那么有PB=PF ,PE+PF=BE 最小,根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形,因此可知BE 的长为10,即PE+PF 的最小值为10.故答案为10.3.如图,在ABC 中,点A 的坐标为()0,1,点B 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()4,3,点D 在第二象限,且ABD 与ABC 全等,点D 的坐标是______.【答案】(-4,2)或(-4,3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D (4,2),这时△ABD 与△ABC 全等,分别作点C ,D 关于y 轴的对称点(-4,3)和(-4,2),所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(-4,2)或(-4,3).4.如图,已知△ABC和△ADE都是正三角形,连接CE、BD、AF,BF=4,CF=7,求AF 的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD,再证明CAI≅BAJ,求出°7830∠=∠=,然后求出12IF FJ AF==,,通过设FJ x=求出x,即可求出AF的长.【详解】解:过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE≅BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠(8字形)∴°120CFD∠=在CAI和BAJ中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等,得出相关的边相等,学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.5.如图,在01A BA △中,20B ∠=︒,01A B A B =,在1A B 上取点C ,延长01A A 到2A ,使得121A A AC =;在2A C 上取一点D ,延长12A A 到3A ,使得232A A A D =;…,按此做法进行下去,第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________.【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1,∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数,找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数.【详解】解:∵在△A 0BA 1中,∠B=20°,A 0B=A 1B , ∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°, ∵A 1A 2=A 1C ,∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角,∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°; 同理可得,∠DA 3A 2=20°,∠EA 4A 3=10°,∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()802n -︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠CA 2A 1,∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数,找出规律是解答此题的关键.6.如图,在ABC ∆中,ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ,过点O 作//EF BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论:①EF BE CF =+;②点O 到ABC ∆各边的距离相等;③1902BOC A ∠=+∠;④设OD m =,AE AF n +=,则AEF S mn ∆=;⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________.【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,根据角平分线的定义与三角形内角和定理,即可求得③∠BOC=90°+12∠A正确;由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确;由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等,故②正确;由角平分线定理与三角形面积的求解方法,即可求得④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=12mn,故④错误,根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD,同理可证BM=BN,CD=CN,变形即可得到⑤正确.【详解】∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A;故③正确;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF.∵EF∥BC,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,故①正确;过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA.∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM=m,∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•(AE+AF)=12mn;故④错误;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴点O到△ABC各边的距离相等,故②正确;∵AO=AO,MO=DO,∴△AMO≌△ADO(HL),∴AM=AD;同理可证:BM=BN,CD=CN.∵AM+BM=AB,AD+CD=AC,BN+CN=BC,∴AD=12(AB+AC﹣BC)故⑤正确.故答案为:①②③⑤.【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质,等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC上一点,DA⊥AC,AD=24 cm,则BC 的长________cm.【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解:∵AB=AC,∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA⊥AC,AD=24 cm∴DC=2AD=48cm,∵∠BAC=120°,DA⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴∠B=∠BAD∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质,其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.8.如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形,若OA2=4,则△A n B n A n+1的边长为_____.【答案】2n.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及A2B2=2B1A2,得出A3B3=4B1A2=8,A4B4=8B1A2=16,A5B5=16B1A2…进而得出答案.【详解】解:∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∵∠MON=30°,∵OA2=4,∴OA1=A1B1=2,∴A2B1=2,∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,∴A3B3=4B1A2=8,A4B4=8B1A2=16,A5B5=16B1A2=32,以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n.故答案为:2n.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质,由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键.9.已知等边△ABC中,点D为射线BA上一点,作DE=DC,交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F,过点A作AH⊥CD于H,当EDC=30 ,CF=43,则DH=______.【答案】2 3【解析】连接AF.∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∵DE=DC,∠EDC=30°,∴∠DEC=∠DCE=75°,∴∠ACF=75°-60°=15°.∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.在△ABF和△CBF中,AB BCABF CBF BF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ABF≌△CBF,∴AF=CF,∴∠FAC=∠ACF=15°,∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH⊥CD,∴AH=12AF=12CF=23.∵∠DEC=∠ABC+∠BDE,∴∠BDE=75°-60°=15°,∴∠ADH=15°+30°=45°,∴∠DAH=∠ADH=45°,∴DH=AH=2 3 .故答案为2 3 .点睛:本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键,注意辅助线的作法.10.如图,在第1个△A1BC中,∠B=20°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,按此做法继续下去,第2019个等腰三角形的底角度数是______________.【答案】2018180 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1,∠EA3A2及∠FA4A3的度数,找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数.【详解】解:∵在△CBA1中,∠B=20°,A1B=CB,∴∠BA1C=°180-2B∠=80°,∵A1A2=A1D,∠BA1C是△A1A2D的外角,∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°;同理可得∠EA3A2=(12)2×80°,∠FA4A3=(12)3×80°,∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是(12)n-1×80°.∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是(12)2018×80°,故答案为:(12)2018×80°.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠DA2A1,∠EA3A2及∠FA4A3的度数,找出规律是解答此题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.已知:如图,点D,E分别在△ABC的边AC和BC上,AE与BD相交于点F,给出下面四个条件:①∠1=∠2;②AD=BE;③AF=BF;④DF=EF,从这四个条件中选取两个,不能判定△ABC 是等腰三角形的是( )A .①②B .①④C .②③D .③④【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可.【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,关键是熟练地运用定理进行推理,是一道开放性的题目,能培养学生分析问题的能力.12.如图,ABC,分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE,连接BE、CD,BE的延长线与CD交于点F,连接AF,有以下四个结论:①BE CD=;②FA平分EFC∠;③FE FD=;④FE FC FA+=.其中一定正确的结论有()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC,可得BE=CD,从而得出①正确;过A作AM⊥BF于M,过A作AN⊥DC于N,由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD,由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN,由AAS可证△AME≌△ANC,得到AM=AN,由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC,从而得出②正确;在FA上截取FG,使FG=FE,根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE,可得AG=CF,即可求得AF=CF+EF,从而得出④正确;根据CF+EF=AF,CF+DF=CD,得出CD≠AF,从而得出FE≠FD,即可得出③错误.【详解】∵△ABD和△ACE是等边三角形,∴∠BAD=∠EAC=60°,AE=AC=EC.∵∠BAE+∠DAE=60°,∠CAD+∠DAE=60°,∴∠BAE=∠DAC,在△BAE和△DAC中,∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAE≌△DAC(SAS),∴BE=CD,①正确;过A作AM⊥BF于M,过A作AN⊥DC于N,如图1.∵△BAE≌△DAC,∴∠BEA=∠ACD,∴∠AEM=∠ACN.∵AM⊥BF,AN⊥DC,∴∠AME=∠ANC.在△AME和△ANC中,∵∠AEM=∠CAN,∠AME=∠ANC,AE=AC,∴△AME≌△ANC,∴AM=AN.∵AM⊥BF,AN⊥DC,AM=AN,FA平分∠EFC,②正确;在FA上截取FG,使FG=FE,如图2.∵∠BEA=∠ACD,∠BEA+∠AEF=180°,∴∠AEF+∠ACD=180°,∴∠EAC+∠EFC=180°.∵∠EAC=60°,∴∠EFC=120°.∵FA平分∠EFC,∴∠EFA=∠CFA=60°.∵EF=FG,∠EFA=60°,∴△EFG是等边三角形,∴EF=EG.∵∠AEG+∠CEG=60°,∠CEG+∠CEF=60°,∴∠AEG=∠CEF,在△AGE和△CFE中,∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AGE≌△CFE(SAS),∴AG=CF.∵AF=AG+FG,∴AF=CF+EF,④正确;∵CF+EF=AF,CF+DF=CD,CD≠AF,∴FE≠FD,③错误,∴正确的结论有3个.故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,正确作辅助线是解答本题的关键.13.如图,AB⊥AC,CD、BE分别是△ABC的角平分线,AG∥BC,AG⊥BG,下列结论:①∠BAG=2∠ABF;②BA平分∠CBG;③∠ABG=∠ACB;④∠CFB=135°,其中正确的结论有()个A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°,又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线,所以得到∠FBC+∠FCB=45°,所以求出∠CFB=135°;有平行线的性质可得到:∠ABG=∠ACB,∠BAG=2∠ABF.所以可知选项①③④正确.【详解】∵AB⊥AC.∴∠BAC=90°,∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=90°∵CD、BE分别是△ABC的角平分线,∴2∠FBC+2∠FCB=90°∴∠FBC+∠FCB=45°∴∠BFC=135°故④正确.∵AG∥BC,∴∠BAG=∠ABC∵∠ABC=2∠ABF∴∠BAG=2∠ABF 故①正确.∵AB⊥AC,∴∠ABC+∠ACB=90°,∵AG⊥BG,∴∠ABG+∠GAB=90°∵∠BAG=∠ABC,∴∠ABG=∠ACB 故③正确.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,平行线的性质.掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键.14.如图,在等边三角形ABC中,在AC边上取两点M、N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x,m,n的值而定【答案】C【解析】【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH.连接HN.想办法证明∠HCN=120°HN=MN=x即可解决问题.【详解】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH.连接HN.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.∵∠MON=30°,∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°,∴∠NBM=∠NBH.∵BM=BH,BN=BN,∴△NBM≌△NBH,∴MN=NH=x.∵∠BCH=∠A=60°,CH=AM=n,∴∠NCH=120°,∴x,m,n为边长的三角形△NCH是钝角三角形.故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.15.如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=3,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()A.362B33C.6 D.3【答案】D【解析】分析:作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,利用轴对称的性质得MP=MC,NP=ND,3∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,所以∠COD=2∠AOB=120°,利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可.详解:作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,则MP=MC,NP=ND,3∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=12OC=3,CH=3OH=3 2 ,∴CD=2CH=3.故选D.点睛:本题考查了轴对称﹣最短路线问题:熟练掌握轴对称的性质,会利用两点之间线段最短解决路径最短问题.16.如图所示,在等边△ABC中,E是AC边的中点,AD是BC边上的中线,P是AD上的动点,若AD=3,则EP+CP的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】由等边三角形的性质得,点B,C关于AD对称,连接BE交AD于点P,则EP+CP=BE最小,又BE=AD,所以EP+CP的最小值是3.故选B.点睛:本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质,求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值,常用的方法是,①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点;②连接另一个定点与对称点,与定直线的交点就是两线段和的值最小时,动点的位置.17.已知:如图,ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形,且CA CB =,CD CE =,ACB DCE α∠=∠=,AD 、BE 相交于点O ,点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论:①AD BE =;②180DOB α∠=-;③CMN ∆是等边三角形;④连OC ,则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论,故可判断; ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ,故可判断;③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ,∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状;④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ,根据ACD BCE ≅△△,可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ,故可判断.【详解】①正确,理由如下:∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确;②正确,理由如下:由①知,ACD BCE ≅△△,∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC,∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确;③错误,理由如下:∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM= 12AD,BN= 12BE, 又∵由①知,AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ,∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形,故③错误;④正确,理由如下:如图所示,在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ,由①知,ACD BCE ≅△△,∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确;故答案为:B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形内角和定理和外角定理,等边三角形的判定,根据已知条件作出正确的辅助线,找出全等三角形是解题的关键.18.如图,已知△ABC与△CDE均是等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,AE与BD 交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC、FG,则下列结论:①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC=∠EOC.其中正确结论的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据题意,结合图形,对选项一一求证,即可得出正确选项.【详解】(1)△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACE=∠BCD=120°.在△BCD和△ACE中,∵AC BCBCD ACECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCD≌△ACE,∴AE=BD,故结论①正确;(2)∵△BCD≌△ECA,∴∠GAC=∠FBC.又∵∠ACG=∠BCF=60°,AC=BC,∴△ACG≌△BCF,∴AG=BF,故结论②正确;(3)∵△ACG≌△BCF,∴CG=CF.∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=60°,∴△FCG为等边三角形,∴∠FGC=60°,∴∠FGC=∠DCE,∴FG∥BE,故结论③正确;(4)过C作CN⊥AE于N,CZ⊥BD于Z,则∠CNE=∠CZD=90°.∵△ACE≌△BCD,∴∠CDZ=∠CEN.在△CDZ和△CEN中,CZD CNECDZ CENCD CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CDZ≌△CEN,∴CZ=CN.∵CN⊥AE,CZ⊥BD,∴∠BOC=∠EOC,故结论④正确.综上所述:四个结论均正确.故选D.【点睛】本题综合考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的判定定理等重要几何知识点,有一定难度,需要学生将相关知识点融会贯通,综合运用.19.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AC于D,则△BCD的周长为()A.13B.15C.18D.21【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质,可由AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AC于D,得到AD=BD,进而得出△BCD的周长为:CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13.故选A.点睛:此题主要考查了线段垂直平分线的性质,关键是掌握垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.20.如图,等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上的一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC于点D,下列结论中不一定正确的是()A.PD=DQ B.DE=12AC C.AE=12CQ D.PQ⊥AB【答案】D【解析】过P作PF∥CQ交AC于F,∴∠FPD=∠Q,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ACB=60°,∴∠A=∠AFP=60°,∴AP=PF,∵PA=CQ,∴PF=CQ,在△PFD与△DCQ 中,FPD QPDE CDQPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PFD≌△QCD,∴PD=DQ,DF=CD,∴A选项正确,∵AE=EF,∴DE=12AC,∴B选项正确,∵PE⊥AC,∠A=60°,∴AE=12AP=12CQ,∴C选项正确,故选D.。

人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

《全等三角形》培优专题训练1 全等三角形的概念两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起,重合的角叫做对应角,重合的边叫做对应边.全等三角形的对应角相等,对应边相等. 经典例题如图所示,ABC DEF ∆≅∆,30A ∠=︒,50B ∠=︒,2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长.解题策略在ABC ∆中,+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒,50B ∠=︒(已知),所以1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知),所以ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等), 因此100DFE ∠=︒,所以2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛1. 在解答与全等三角形有关的问题时,要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论.2. 在本题中求EC 的长时,不能直接求,可将之转化为两条线段的差,这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.举一反三1. 如图,若ABC ADE ∆≅∆,则这对全等三角形的对应边是 ;对应角是 .2. 如图,若ABD ACD ∆≅∆,试说明AD 与BC 的位置关系.3. 如图所示,斜折一页书的一角,使点A 落在同一页书内'A 处,DE 为折痕,作DF平分'A DB ∠,试猜想FDE ∠等于多少度,并说明理由.融会贯通4. 如图,ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的,若θ∠的度数50°,则BAC ∠的度数是 .2 三角形全等的判定判断两个三角形全等,并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等,而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题已知:如图,AO 平分EAD ∠和EOD ∠,求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.解题策略证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠,所以OAD OAE ∠=∠,AOE AOD ∠=∠,又因为AO AO =,所以AOE AOD ∆≅∆ ( ASA).(2)由AOE AOD ∆≅∆,得OE OD =,且AEO ADO ∠=∠.又180BEO AEO ∠=︒-∠,180CDO ADO ∠=︒-∠,所以B E O C D O ∠=∠.在AOE ∆和AOD ∆中,因为B E O C D O ∠=∠,OE OD =,BOE COD ∠=∠,所以B O E C O D ∆≅∆(ASA). 画龙点睛1. 判定两个三角形全等,往往需要三个条件,根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边),这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了. 2. 要证明两条线段或者两个角相等,常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应边或者对应角.举一反三1. 如图,已知AB AD =,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABC ADC ∆≅∆的是( ).(A) CB CD = (B)BAC DAC ∠=∠ (C)BCA DCA ∠=∠ (D)90B D ∠=∠=︒2. 如图所示,点D 、C 在BF 上,//AB EF ,A E ∠=∠,BC DF =.求证AB EF =.3. 如图,AB 交CD 于点O ,AD 、CB 的延长线相交于点E ,且OA OC =,EA EC =,你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?融会贯通4. 如图所示,已知BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 和AB 上的高,点P 在BD 的延长线上,BP AC =,点Q 在CE 上,CQ AB =.求证:(1)AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.3 全等三角形的应用全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。

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全等三角形经典习题汇集第一讲全等三角形的性质及判定【例1】 如图,AC DE ∥,BC EF ∥,AC DE =.求证:AF BD =.【补充】如图所示:AB CD ∥,AB CD =.求证:AD BC ∥.【例2】 已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB DC =,BE CF =,B C ∠=∠.求证:OA OD =.【补充】已知:如图,AD BC =,AC BD =,求证:C D ∠=∠.【补充】如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,E 为CD 中点,连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F .求证:FC AD =.FEDCBA【例3】 如图,AB CD ,相交于点O ,OA OB =,E 、F 为CD 上两点,AE BF ∥,CE DF =.求证:AC BD ∥.FEDCBADCB A F E O DC B A OD C BAOF E DCBA【补充】已知,如图,AB AC =,CE AB ⊥,BF AC ⊥,求证:BF CE =.F E CBA【例4】 如图,90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥,,,,垂足分别为A B ,,试说明AD AB BE +=EDCBA【例10】 如图所示, 已知AB DC =,AE DF =,CE BF =,证明:AF DE =.【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点,且BE CF =.求证:AE BF ⊥.PFEDCBA【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点,GE EF ⊥,GE EF =.求证:BG CF BC +=.F DC BAGA BCDEF【例12】 在凸五边形中,B E ∠=∠,C D ∠=∠,BC DE =,M 为CD 中点.求证:AM CD ⊥.【补充】如图所示:AF CD =,BC EF =,AB DE =,A D ∠=∠.求证:BC EF ∥.A BCD EF【例13】 (1)如图,△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ,连结EG ,试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系,并说明理由.(2)园林小路,曲径通幽,如图所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米,这条小路一共占地多少平方米?GFEDCB A【例14】 如图,ABC ∆中,AB BC =,90ABC ∠=︒,D 是AC 上一点,且CD CB AB ==,DE AC ⊥交AB于E 点.求证:AD DE EB ==.M EDC B ACB DEA【例15】 ABC ∆中,90B ∠=︒,M 为AB 上一点,使得AM BC =,N 为BC 上一点,使得CN BM =,连AN 、CM 交于P 点.试求APM ∠的度数,并写出你的推理证明的过程.图3P DM N B C A【例16】 如图,I 是ABC △的内心,且CA AI BC +=.若80BAC ∠=︒,求ABC ∠和AIB ∠的大小.AB CI【例17】 已知:BD CE 、是ABC ∆的高,点P 在BD 的延长线上,BP AC =,点Q 在CE 上,CQ AB =,求证:⑴AP AQ =;⑵AP AQ ⊥.PDQCBEA【例18】 ⑴ 如左下图,在矩形ABCD 中,E 为CB 延长线上一点且AC CE =,F 为AE 的中点.求证:BF FD ⊥.⑵ 如右下图,在ABC ∆中,BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高,D 为BC 的中点,DM EF ⊥于M .求证:FM EM =.F EDCBAMFED CB A18.补充:如图,已知60ABD ACD ∠=∠=︒,且1902ADB BDC ∠=︒-∠.求证:ABC ∆是等腰三角形.【例19】 如图,ABC ∆为边长是1的等边三角形,BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形,以D 为顶点作一个60︒角,角的两边分别交AB 于M ,AC 于N ,连接MN ,形成一个AMN ∆.求AMN ∆的周长.,AC DF ∥,BE CF =. 求证:AB DE =.家庭作业AMNB CDFEDC B A【习题2】 已知:△DEF ≌△MNP ,且EF =NP ,∠F =∠P ,∠D =48°,∠E =52°,MN =12cm ,求:∠P 的度数及DE 的长.【习题3】如图,矩形ABCD 中,E 是AD 上一点,CE EF ⊥交AB 于F 点,若2DE =,矩形周长为16,且CE EF =,求AE 的长.EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中,AD BC ∥,A ∠的平分线AE 交DC 于E .求证:当BE 是B ∠的角平分线时,有AD BC AB +=.,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠.月测备选ABCDEO【备选2】如图所示,在ABC∠=∠.求证:AB BD CD+=.B C⊥于点D,2△中,AD BCAC D B【备选3】 如图,△ABC 中,D 是BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F ,交AC 的平行线BG 于G 点,DE ⊥DF ,交AB 于点E ,连结EG 、EF . (1)求证:BG =CF .(2)请你判断BE +CF 与EF 的大小关系,并说明理由.FE DCBAG第二讲 全等三角形与中点问题版块一 倍长中线【例1】 在△ABC 中,9,5==AC AB ,则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么?【补充】已知:ABC ∆中,AD 是中线.求证:1()2AD AB AC <+.【例2】 已知:如图,梯形ABCD 中,AD BC ∥,点E 是CD 的中点,BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F .求证:BCE FDE ∆∆≌.DFECBA【例3】 如图,在ABC ∆中,D 是BC 边的中点,F ,E 分别是AD 及BB C A其延长线上的点,CF BE ∥.求证:BDE CDF ∆∆≌.【例4】 如图,ABC ∆中,<AB AC ,AD 是中线.求证:<DAC DAB ∠∠.【例5】 如图,已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于F ,AF EF =,求证:AC BE =.【例6】 如图所示,在ABC ∆和A B C '''∆中,AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线,且AB A B ''=,AC A C ''=,AD A D ''=,求证ABC A B C '''∆∆≌.【例7】 如图,在ABC ∆中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交EF于点G ,若BG CF =,求证:AD 为ABC ∆的角平分线.BCF ED CB ABFGA【例8】 已知AD 为ABC ∆的中线,ADB ∠,ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F .求证:BE CF EF +>.【例9】 在Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,点D 为BC 的中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且ED FD ⊥.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形?【例10】 已知△ABC ,∠B =∠C ,D ,E 分别是AB 及AC 延长线上的一点,且BD =CE ,连接DE 交底BC 于G ,求证GD =GE .GEDCBA【例11】 如图所示,在ABC ∆中,D 是BC 的中点,DM 垂直于DN ,如果2222BM CN DM DN +=+,求FEA BDCF EDCBAMA证()22214AD AB AC =+.(勾股定理的内容,选做)【例10】 在Rt ABC ∆中,F 是斜边AB 的中点,D 、E 分别在边CA 、CB 上,满足90DFE ∠=︒.若3AD =,4BE =,则线段DE 的长度为_________.【习题1】 如图,在等腰ABC ∆中,AB AC =,D 是BC 的中点,过A 作AE DE ⊥,AF DF ⊥,且AE AF =.求证:EDB FDC ∠=∠.【习题2】 如图,已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE AC =,延长BE 交AC 于F ,AF 与EF 相等吗?为什么?家庭作业图 6G E F D B C A F EDCBAD FE C B A【习题3】 如右下图,在ABC ∆中,若2B C ∠=∠,AD BC ⊥,E 为BC 边的中点.求证:2AB DE =.A【备选1】如图,已知AB =DC ,AD =BC ,O 是BD 中点,过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ,F .求证:∠E =∠F【备选2】如图,ABC ∆中,AB AC =,90BAC ∠=︒,D 是BC 中点,ED FD ⊥,ED 与AB 交于E ,FD与AC 交于F .求证:BE AF =,AE CF =.第三讲 全等三角形与角平分线问题【例1】 在ABC ∆中,D 为BC 边上的点,已知BAD CAD ∠=∠,BD CD =,求证:AB AC =.D CBA【例2】 已知ABC ∆中,AB AC =,BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线.求证:CD BE =.ED CB AA B C D EF【例3】 如图,在ABC ∆中,60B ∠=︒,AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠,且AD 与CE 的交点为F .求证:FE FD =.FBEDCA【例4】 如图,已知ABC ∆的周长是21,OB ,OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于D ,且3OD =,求ABC ∆的面积.【补充】如图所示:AB AC =,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠.【例5】 已知ABC ∆中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.A B CD E OOED CBA【例6】 如图,已知E 是AC 上的一点,又12∠=∠,34∠=∠.求证:ED EB =.E DC B A4321【例7】 如图所示,OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线,OA OC =,OB OD =.求证:AB CD =.PDBOCA【例8】 如图所示,已知ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD 上.DE CD =,EF AC =.求证:EF ∥ABFA CD E B【例10】 如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,过C 作CE AB E ⊥于,并且1()2AE AB AD =+,则ABC ADC ∠+∠等于多少?EDCBA【补充】长方形ABCD 中,AB =4,BC =7,∠BAD 的角平分线交BC 于点E ,EF ⊥ED 交AB 于F ,则EF =__________.FEDCBA【补充】在ABC ∆中,AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点.求证:AB AC PB PC ->-.CD B PA【例11】 如图,在ABC ∆中,2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:AB BD AC +=.DC B A【例12】 如图,ABC ∆中,AB AC =,108A ∠=︒,BD 平分ABC ∠交AC 于D 点.求证:BC AC CD =+.AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆,100A ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于D ,则BD AD BC +=.CB【例13】 如图所示,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=.D CBA【例14】 如图,ABC ∆中,AB AC =,BD 、CE 分别为两底角的外角平分线,AD BD ⊥于D ,AE CE⊥于E .求证:AD AE =.HG D AB C E【例15】 如图,180A D ∠+∠=︒,BE 平分ABC ∠,CE 平分BCD ∠,点E 在AD 上.① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系. ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系.EDCB A【习题2】如图,在ABC ∆中,AB BD AC +=,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:2B C ∠=∠.DC B A【习题3】AD 是ABC ∆的角平分线,BE AD ⊥交AD 的延长线于E ,EF AC ∥交AB 于F .求证:AF FB =.DECFBA【习题4】如图所示,AD 平行于BC ,DAE=EAB ∠∠,ABE=EBC ∠∠,AD =4,BC =2,那么AB =________.【习题5】ABC ∆中,D 为BC 中点,DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ,EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G .求证:BF CG =.EGF DC BA家庭作业BAC ∠,AB BD AC +=.求:B C ∠∠的值.CD B A【备选2】如图,已知在ABC ∆中,3ABC C ∠=∠,12∠=∠,BE AE ⊥.求证:2AC AB BE -=.21ECBA【备选3】如图所示,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,A ∠的平分线AE 交DC 于E ,求证:当BE 是B∠的平分线时,有AD BC AB +=.EBCDA月测备选第四讲全等三角形与旋转问题【例1】已知:如图,点C为线段AB上一点,ACM∆、CBN∆是等边三角形.(1)求证:AN BM=.(2)求证:CD=CE (3) 求证:CF平分∠MCN (4)求证:DE∥ABAAA C BA C【例2】 如图,四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG .求证:AE CG =.G FE DCBA【例3】 如图,等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点.求证:AE BD =.DECBA【例4】 如图,D 是等边ABC ∆内的一点,且BD AD =,BP AB =,DBP DBC ∠=∠,问BPD ∠的度数是否一定,若一定,求它的度数;若不一定,说明理由.PDC BA【例5】 如图,等腰直角三角形ABC 中,90B =︒∠,AB a =,O 为AC 中点,EO OF ⊥.求证:BE BF+为定值.OB ECF A【补充】如图,正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转,其交点为E 、F ,求证:AE CF AB +=.54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004河北)如图,已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点,点F 是CB 的延长线上一点,且EA AF ⊥. 求证:DE BF =.FED CBA【补充】如图所示,在四边形ABCD 中,90ADC ABC ∠=∠=︒,AD CD =,DP AB ⊥于P ,若四边形ABCD的面积是16,求DP 的长.PDCBA【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,且45EAF =︒∠,AH EF ⊥,H 为垂足,求证:AH AB =.HFD A【巩固】如图,正方形ABCD的边长为1,点F在线段CD上运动,AE平分BAF ∠交BC 边于点E .⑴求证:AF DF BE =+.⑵设DF x =(01x ≤≤),ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值?若存在,求出此时x 的值及S .若不存在,请说明理由.FEDC BA【补充】(1)如图,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B=∠D=90︒,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF=12∠BAD .求证:EF =BE +FD ;FED CBA(2) 如图,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B+∠D=180︒,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF=12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立?不用证明.FEDCB A【习题1】 如图,已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形,B 、C 、D 在一条直线上,试说明CE 与AC CD+相等的理由.EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知:如图,点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点,过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F .求证:DE DF =.FEDCBA【习题3】 在梯形ABCD 中,AB CD ∥,90A ∠=︒,2AB =,3BC =,1CD =,E 是AD 中点,试判断EC与EB 的位置关系,并写出推理过程.【习题4】 已知:如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ∆、CBN ∆是等边三角形.CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高.求证:CG CH =.HG NM CBA家庭作业A B C D E【备选1】 在等腰直角ABC ∆中,90ACB ∠=,AC BC =,M 是AB 的中点,点P 从B 出发向C 运动,MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ,试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化.【备选2】 如图,正方形ABCD 中,FAD FAE ∠=∠.求证:BE DF AE +=.FEDCBA【备选3】 等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1,E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点,F 是CD 上一点,满足1AE CF +=,当E F 、移动时,试判断BEF ∆的形状.DFE CBA月测备选A P M C Q B第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】 在ABC ∆中,AB AC =,BC BD ED EA ===.求A ∠.【补充】在ABC ∆中,AB AC =,BC BD =,AD ED EB ==.求A ∠.【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ,若150BAC DAE ∠+∠=︒,求BAC ∠.【例3】 如图,点O 是等边AO AD =内一点,110AOB ∠=,BOC α∠=.将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △,连接OD ,则COD △是等边三角形;当α为多少度时,AOD △是等腰三角形?E D C B A E D C B AO DC B A【例4】 如图,在ABC ∆中,B C ∠=∠,D 在BC 上,50BAD ∠=,在AC 上取一点E ,使得ADE AED ∠=∠,求EDC ∠的度数.【例5】 如图,ABC ∆为等边三角形,延长BC 到D ,又延长BA 到E ,使AE BD =,连接,CE DE ,求证:CDE ∆为等腰三角形.【例6】 如图,在ABC ∆中,B ∠,C ∠为锐角,,,M N D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点,满足AM AN =,BD DC =,且BDM CDN ∠=∠.求证:AB AC =.板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点A 在直线l 外,点P 为直线l 上的一个动点,探究是否存在一个定点B ,当点P 在直线l 上运动时,点P 与A 、B 两点的距离总相等,如果存在,请作出定点B ;若不存在,请说明理由.【例8】 如图,在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ,现需要建一货物中转站,要求到A 、B 两仓库的距离和最短,这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理?AB CD EE D C BAA BCDMNPlABa【例9】 如图,45AOB ∠=︒,角内有点P ,在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点),求作Q 、R ,使得PQR ∆的周长的最小.【补充】如图,M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点,在AB 上求一点P ,使PMN ∆的周长最短.【例10】 已知如图,点M 在锐角AOB ∠的内部,在OB 边上求作一点P ,使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小.【补充】已知:A 、B 两点在直线l 的同侧, 在l 上求作一点M ,使得||AM BM -最小.【补充】已知:A 、B 两点在直线l 的同侧,在l 上求作一点M ,使得||BM AM -最大.PBANMCBAMBOA lBA【例11】 如图,正方形ABCD 中,8AB =,M 是DC 上的一点,且2DM =,N 是AC 上的一动点,求DN MN +的最小值与最大值.【补充】例题中的条件不变,求DN MN -的最小值与最大值.【补充】如图,已知正方形ABCD 的边长为8,M 在DC 上,且2DM =,N 是AC 上的一个动点,则DN MN +的最小值是MD CBA【习题1】 (2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9,则第三边长为 . 【习题2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )A .17cmB .5cmC .17cm 或5cmD .无法确定【习题3】 已知等腰三角形的周长为20,腰长为x ,求x 的取值范围.【习题4】 (2004天津)在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )【习题5】 判断下列图形(图)是否为轴对称图形?如果是,说出它有几条对称轴.家庭作业 N MDC B A⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼【备选1】ABC∆的一个内角的大小是040,且A B∠=∠,那么C∠的外角的大小是( ) A.140︒ B.80︒或100︒ C.100︒或140︒ D.80︒或140︒【备选2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分,求腰长和底长.【备选3】(四川省竞赛题)如图,在等腰Rt ABC∆中,3CA CB==,E的BC上一点,满足2BE=,在斜边AB上求作一点P使得PC PE+长度之和最小.PEC BA【备选4】在正方形ABCD中,E在BC上,2BE=,1CE=,P在BD上,求PE和PC的长度之和的最小值.EPDCBAE‘EPDCBA月测备选第六讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.【例2】 如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作60DMN ∠=︒,射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ,CB ⊥AB ,DM =CM =a ,AD =h ,CB =k ,∠AMD =75°,∠BMC =45°,则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例4】 已知:如图,ABCD 是正方形,∠FAD =∠FAE . 求证:BE +DF =AE .DOECB A NEBMADFEDCBA【例5】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆,连结CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DOE ∠.FACDEOOEDCA【例6】 (北京市数学竞赛试题,天津市数学竞赛试题)如图所示,ABC ∆是边长为1的正三角形,BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形,以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠,点M 、N 分别在AB 、AC 上,求AMN ∆的周长.【例7】 五边形ABCDE 中,AB =AE ,BC +DE =CD ,∠ABC +∠AED =180°,求证:AD 平分∠CDENM DCBACEDB A整理为word 格式板块二、全等与角度【例10】 如图,在ABC ∆中,60BAC ∠=︒,AD 是BAC ∠的平分线,且AC AB BD =+,求ABC ∠的度数.【例11】 在正ABC ∆内取一点D ,使DA DB =,在ABC ∆外取一点E ,使DBE DBC ∠=∠,且BE BA =,求BED ∠.友情提示:本资料代表个人观点,如有帮助请下载,谢谢您的浏览!D CB A D E CB A。

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