专题四 几何计算人教版八年级数学上册
人教版数学八年级上几何知识要点
八年级数学上册几何知识点总结1.三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形三边的关系（重点）（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b3三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD 叫做△ABC的边BC上的高。
4三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
5三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。
三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。
6.三角形具有稳定性7.三角形的内角和定理三角形的内角和为180°8.直角三角形两个锐角的关系直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
9三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角10.三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
11.一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(−nn12.n边形的内角和定理n边形的内角和为(n−2)∙180°13.n边形的外角和定理多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
14.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；15.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS）（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
八年级数学上册综合算式专项练习题立体几何的计算与推理
八年级数学上册综合算式专项练习题立体几何的计算与推理立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的图形和运动。
在八年级数学上册中，我们将接触到一些综合算式专项练习题，其中涉及到立体几何的计算和推理。
本文将针对这些题目展开讨论，通过解析题目以及给出具体计算步骤和推理过程，帮助大家更好地理解和应用立体几何的知识。
一、题目一已知一个正方体的棱长为4cm，求其表面积和体积。
解析：首先我们需要知道正方体的表面积和体积的计算公式，然后根据题目所给的信息，代入公式中进行计算。
正方体的表面积计算公式为：表面积 = 6 ×边长²正方体的体积计算公式为：体积 = 边长³根据题目所给的信息，可知正方体的边长为4cm。
代入上述公式进行计算：表面积 = 6 × 4² = 6 × 16 = 96cm²体积 = 4³ = 4 × 4 × 4 = 64cm³所以，该正方体的表面积为96cm²，体积为64cm³。
二、题目二某城市的地面上有一个半径为6m的圆形冰场，冰场周围修建了一条宽为2m的椭圆跑道，请问这个椭圆的长轴长度是多少？解析：题目中给出了冰场的半径和椭圆跑道紧挨在冰场周围，即冰场的半径正好是椭圆的短轴长。
我们需要根据这些信息来求解椭圆的长轴长度。
椭圆的长轴长度计算公式为：长轴 = 2 ×半径 + 2 ×椭圆跑道宽度根据题目所给的信息，可知半径为6m，椭圆跑道宽度为2m。
代入上述公式进行计算：长轴 = 2 × 6 + 2 × 2 = 12 + 4 = 16m所以，该椭圆的长轴长度为16m。
三、题目三一个圆锥的半径为5cm，高为12cm，求其体积和侧面积。
解析：对于圆锥，我们需要知道它的体积和侧面积的计算公式。
根据题目所给的半径和高，代入相应公式进行计算。
人教版八年级上册数学 等面积解几何问题 专项训练
人教版八年级上册数学等面积解几何问题专项训练1．在RtΔABC中，∠ACB=90,AC=8,BC=6,AB=10,，则AB边上的高的长度是（）A.5B.5.6C.4.8D. 4.62．如图，在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，ΔABC的面积是20cm2，AB=15cm,AC=5cm则DF的长为（）A.10cmB.5cmC.4cmD.2cm3．如图，在ΔABC中，AB=2,BC=4,ΔABC的高AD与CE的比是（）4．如图，在ΔABC中,AB=20cm,AC=12cm，点D在BC边上，作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F，若DE=5cm,ABC的面积为122cm2，则DF的长为（）．5．如图，ΔABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，若AB：BC:AC=3:3:2,，则ΔPAB、ΔPBC、ΔPAC的面积之比为（）A.2:3:3B.3:3:2C.4:9:9D.9:9:46．如图，AD、CE分别是ΔABC的高，且AB=36cm,BC=30cm,AD=24cm，则CE=（）cm.7．如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D，且AD=4若点P在AB边上移动，则CP的最小值是（）A.3.6B.4C.4.8D.58．在RtΔABC中，已知AB=5,AC=4，BC=3，∠ACB=90∘，若ΔABC内有一点P到ΔABC的三边距离相等，则这个距离是()A.1B.125C.32D.29．如图，ΔABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点.如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为（）10．如图，∠C=90，点M是BC的中点，DM平分∠ADC，且CB=8，则点M到线段AD的最小距离为（）A.2B.3C.4D.5。
人教版初二数学几何练习题
人教版初二数学几何练习题题目：人教版初二数学几何练习题正文：本文为人教版初二数学几何练习题，将按照练习题的格式进行回答，共计1500字。
第1题：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，C为直角顶点，AC=3 cm，BC=4 cm，请计算AB的长度。
解：根据勾股定理，直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方，即AC²+BC²=AB²。
代入已知数值，得到3²+4²=AB²，即AB²=9+16=25。
根据平方根的性质，AB=√25=5。
所以AB的长度为5 cm。
第2题：已知矩形ABCD的长为5 cm，宽为3 cm，请计算矩形的面积和周长。
解：矩形的面积可以通过长乘宽得到，即5 cm × 3 cm = 15 cm²。
矩形的周长可以通过长乘以2再加上宽乘以2得到，即(5 cm × 2) + (3 cm × 2) = 10 cm + 6 cm = 16 cm。
所以矩形的面积为15 cm²，周长为16 cm。
第3题：已知正方形ABCD的边长为8 cm，请计算正方形的面积和周长。
解：正方形的面积可以通过边长的平方得到，即8 cm × 8 cm = 64cm²。
正方形的周长可以通过边长乘以4得到，即8 cm × 4 = 32 cm。
所以正方形的面积为64 cm²，周长为32 cm。
第4题：已知圆的半径为5 cm，请计算圆的面积和周长（取π=3.14）。
解：圆的面积可以通过半径的平方乘以π得到，即(5 cm)² × 3.14 =25 cm²×3.14 = 78.5 cm²。
圆的周长可以通过半径乘以2再乘以π得到，即(5 cm) × 2 × 3.14 = 10 cm × 3.14 = 31.4 cm。
河南省 人教版 八年级数学 上册几何知识考点汇集
人教版 八年级数学 上册几何知识考点汇集1. 三角形三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和2. 三角形的三条高：钝角三角形三条高交于三角形外，直角三角形三条高交于三角形的直角顶点上，锐角三角形三条高交于三角形内。
3. 三角形的三条中：三角形三条中线交于三角形内，交点成为重心，中线平分三角形的面积。
4.三角形具有稳定性5. n 边形对角线计算公式：2)3(-n n 6. 多边形内角和公式：on 180)2(⨯-7. 点（x , y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x , -y ） 点（x , y ）关于x 轴对称的点的坐标为（-x , y ）8. 定理、判定 性质 知识点及几何语言汇总知识原理条件结论图形 几何语言 三角形内角和等于180° 如果一个图形是三角形那么这个图形内角和是180°∵在△ABC 中∴∠A+∠B+∠C=180°ABC有两个角互余的三角形是直角三角一个三角形中，如果有两个角互余那么这个三角形是直角三角形在△ABC 中，∵∠A +∠B =90°，∴△ABC 是直角三角形．直角三角形的两个锐角互余如果一个三角形是直角三角形那么这个三角形的两个锐角互余在Rt△ABC 中，∵∠C =90°，∴∠A +∠B =90°三角形的外角等于与之不相邻的两个内角和如果一个角是三角形的外角那么它等于与它不相邻的两个内角和∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD= ∠A+ ∠B.全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等如果两个三角形全等那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等如图：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的对应边相等），∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应边相等）.AB CAB CAB C DAB C EDF三边分别相等的两个三角形全等在两个三角形中，如果有三组对应边分别相等那么这两个三角形全等在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，∴△ABC ≌△DEF（SSS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等在两个三角形中，如果有两组对应边及它们的夹角也相等那么这两个三角形全等在△ABC 和△A′B′C′中，∴△ABC ≌△A′B′C′（SAS）．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等在两个三角形中，如果有两组对应角及它们的夹边也相等那么这两个三角形全等在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.AB CDE FC ′ABCA ′B ′AB = A′B′，∠A =∠A′，A C =A′C′，AB CA ′B ′C ′两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等在两个三角形中，如果有两组对应角及其中一组等角的对边相等那么这两个三角形全等在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′AB=A′B′∠C=∠C′∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等在两个直角三角中，如果有斜边和一条直角边对应相等那么这两个三角形全等在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′(HL).一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.已知一个角的角平分线那么分得的两个小角相等∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2AB CA ′B ′C ′ABCA ′B′CAB=A′B′,BC=B′C′,O BCA12角的平分线上的点到角两边的距离相等（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.垂线段相等(点到线的距离)∵OP 是∠AOB的平分线，且PD⊥OA,PE⊥OB，∴PD = PE角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（1）位置关系：点在角的内部；（2）（2）数量关系：该点到角两边的距离相等点在角平分线上∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P 在∠AOB的平分线上线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知线段的垂直平分线有垂直平分线上一点垂直平分线上一点到线段两端的距离相等(点到点的距离)∵AP是BC的垂直平分线∴AB=AC与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上已知线段外一点到线段两端的距离相等那么判定这个点在线段的垂直平分线上∵PA =PB，∴点P 在AB 的垂直平分线上．BADO PECBADO PECPA BlCPA B等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边所对的角相等∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（通常说成等腰三角形的“三线合一”）已知等腰三角形及底边上一线那么这条线是三个身份合一例如，∵∠1=∠2∴AD是∠BAC的角平分线∴AD⊥BC∴AD 是中线，即D是BC的中点如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.一个三角形中，如果有两个角相等那么这两个角所对的边也相等，即这个三角形式等腰三角形在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AC=AB.即△ABC为等腰三角形.AB CAB CD12B CA等边三角形的三条边相等，三个角相等,并且每个角都等于60°。
期末复习：几何专题(学案)-2024-2025学年人教版数学八年级上册
【课前引入】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA．求证：AD＝AB+CD．小明经探究发现，在AD上截取AF＝AB，连接EF（如图2），从而可证△AEF≌△AEB，使问题得到解决．图1 图2 图3（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D为边AC上任意一点（不与点A、C 重合），以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°．过点E作BE⊥EG交BA的延长线于点G，过点D作DF⊥BD，交BC于点F，连接FG，猜想EG、DF、FG之间的数量关系，并证明．【典型例题】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，AB∥DC，求证：AD＝AB+DC．小明发现以下两种方法：方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明：AD＝AB+DC；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是BC的中点，∠BAD＝60°，∠ABC＝180°﹣∠BCD，求证：CD＝CE．【平行练习1】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．【提升拓展】阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过作辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”……老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．【课堂检测】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN＝∠BAD，求证：MN＝BM+DN．小明充分利用AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补的条件，将△ABM绕点A逆时针旋转∠BAD的度数，如图2，从而将问题解决．（1）根据阅读材料，证明：MN＝BM+DN；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，F为AD边上的点，连接BF，AE平分∠BAD交BF于E，∠AEF＝m°，∠BCD＝180°﹣2m°，连接CE、DE．①找出图中与DE相等的线段，并加以证明；②求∠ECD的度数（用含m的式子表示）．【课后作业】1.阅读下面材料小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，求证：BC＝AB+2BD．小明利用条件AD⊥BC在CD上截取DH＝BD，如图2，连接AH既构造了等腰△ABH，又得到BH＝2BD，从而命题得证．（1）根据阅读材料证明BC＝AB+2BD；（2）参考小明的方法解决下面的问题；如图3在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABD＝∠BCE，∠ABC＝∠DCE，请探究AD与BE的数量关系，并说明理由．A B C DEED CB A2.在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在BC 边上，BD=BC ． （1）如图1，若∠A =∠CED =45°；①∠ACD 与∠CDE 的数量关系是 ； ②在图中找到与DE 相等的线段，并证明；（2）如图2，将题中条件“点D 在AB 边上”改为“点D 在AB 边延长线上”，其他条件不变；若DE =AC ，猜想∠A 与∠CED 的数量关系，并证明你的猜想．（图1） （图2）3．在Rt△ABC中，∠C=90°．∠CAB、∠CBA的平分线分别交BC、AC于点D和点E．AD、BE相交于点I．（1）如图1，当AC=BC时，在AB上截取AM=AE，BN=BD，连接IM、IN．求△IMN的各内角的度数；（2）如图2，若△IAB的面积是S，求四边形ABDE的面积（用含S的代数式表示）．ACBDEIM N（图1）DBCP（图2）4．已知：直线l 是线段AB 中垂线，垂足为C ，点P 在l 上，连接PA.PB ，以PB 为边在△PAB外部作等边△PBD ，连接AD 交直线PC 于点M ，连接BM ，设∠APB=x °.（1）如图1，当x =60时，请猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，当120﹤x ﹤180时，请猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系______________________________；（请直接写出答案）（3）当60﹤x ﹤120时，将“以PB 为边在△PAB 外部作等边△PBD ”改为“以PB 为边作等边△PBD ”，其他条件不变，请在图3中画出图形，猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系，并证明你的结论.l M D CA B P （图1） l C A B P （图3） （图2） lM D CB A P。
人教版八年级上册数学期末复习——几何部分(含答案)
八年级上册期末复习——几何部份第十二章全等三角形知识点1:全等三角形的判定1.根据下列条件，能唯一画出△ABC的是（）A、AB=3 ，BC=4，AC=8；B、AB=4，BC=3，∠A=30°；C、∠C=60°，∠B=45°，AB=4；D、∠C=90°，AB=6。
2.如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB．3.点C是线段AB的中点，CE=CD, ∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD4.如图，已知正方形ABCD和等腰直角三角形△ECF，试说明BE=DF。
5.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．6.如图EA⊥AD于A，FD ⊥ AD于D，且AE=DF，AB=DC.求证：CE=BF.7.点E，C在线段BF上，BE＝CF，∠A＝∠D,∠ACB＝∠F.求证：AB∥DE8.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD．求证：OB=OC．9.如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，点E在AD上，且DE=CD，求证：BE=AC．知识点2:角平分线的性质1.如图，点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL2.在公园里有三条互相交织的小路，如图，现在公园的管理人员向在这三条小路所围成的三角形区域内建一小亭供人们休息，且小亭中心到三条小路的距离相等，假如你是公园的管理人员，请试确定小亭的中心位置（）A．在△ABC三条中线的交点B．在△ABC三条角平分线的交点C．在△ABC三条高线的交点D．在△ABC三边垂直平分线的交点3.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．1B．2C．D．44.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．5.如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE．其中正确的是（写序号）6.已知AB=AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗？为什么？7.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．第十三章轴对称知识点1: 线段的垂直平分线的性质1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点2.如图，AP=BP，AQ=BQ，下列结论正确的是（）A.AB垂直平分PQB.PQ垂直平分ABC.AB与PQ互相垂直平分D.AB平分∠PAQ1．如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=°．2．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为．3.如图，点D、E在△ABC的边BC上，BD＝CE，AB＝AC，求证：AD＝AE．4.如图,AP平分∠BAC,∠AEP=∠AFP,O是AP上异于点P的任意点.求证：OE=OF.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．5.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．1．已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣1B．1C．2D．32．在平面直角坐标系中，点（4，﹣5）关于x轴对称点的坐标为（）A．（4，5）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣4，5）D．（5，4）3．点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为．4．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）写出点A1B1C1的坐标（直接写答案）．A1B1C1（3）△ABC的面积为．1.如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．3.如图，△ABC中，∠C=Rt∠90，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？知识点4: 等边三角形5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．6.如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．求证：（1）CE=AC+DC；（2）∠ECD=60°．7.已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．知识点5: 最短路径问题1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC2.著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？知识点6: 尺规作图1.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．2.如图，A，B，C是新建的三个居民小区．我们要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校，试确定学校的位置．3.已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）答案1. C2.AE=CE3.略4.略5.证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．6.略7.略8.证明：∵∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）∴∠ACB=∠DBC．∴∠OCB=∠OBC．∴OB=OC（等角对等边）．9.证明：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴AD=BD，∠BDE=∠ADC=90°．又∵DE=CD，∴△BDE≌△ADC．∴BE=AC．知识点2:角平分线的性质1B 2B 3B 4 4．5.①②④⑤6.解：AE∥BC．∵AB=AC，∴∠B=∠C，由三角形的外角性质得，∠DAC=∠B+∠C=2∠B，∵AE平分∠DAC，∴∠DAC=2∠DAE，∴∠B=∠DAE，∴AE∥BC．7.解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．第十三章轴对称知识点1: 线段的垂直平分线的性质1.D2. B1. 87°2．223.证明：∵∠ADE=∠AED，∴∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，BD＝CE∠ADB＝∠AECAD＝AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AB=AC．4.无证明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性质）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF（已证），∴AB=BC+AD（等量代换）．5.（1）证明：∵∠A=∠ABE，∴EA=EB，∵AD=DB，∴DF是线段AB的垂直平分线；（2）解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，∠F=90°﹣∠ABC=23°．知识点2: 画轴对称图形1B2．A3．(-3,-2)4．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）A1（﹣1，2），B1（﹣3，1）C1（2，﹣1）；故答案为：（﹣1，2），（﹣3，1），（2，﹣1）；（3）△ABC的面积为：3×5﹣×2×1﹣×3×3﹣2×5=4.5．故答案为：4.5．知识点3: 等腰三角形1.证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∴∠ABC=∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．2.证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．3.解：（1）如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2，∵∠C=90°，∴PB==，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7．（2）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD===1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t﹣3=3，∴t=2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣4+2t﹣8=6，∴t=6，∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．4.解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（2）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，（2）中结论不成立，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．知识点4: 等边三角形5证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠BAD=∠B=30°，∠C=∠CAE=30°，∴∠ADE=∠B+∠BAE=60°，∠AED=∠C+∠CAD=60°，∴AD=AE，∴△ADE是等边三角形．6.证明：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，∴AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即：∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=EC，∵BD=BC+CD=AC+CD，∴CE=BD=AC+CD；（2）由（1）知：△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠ABD=60°，∴∠ECD=180°﹣∠ACB﹣∠ACE=60°，∴∠ECD=60°．7.．（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，∵∠BPC=120°，∴∠CPE=60°，又PE=PC，∴△CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BCA=60°，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP=BE，∵BE=BP+PE，∴AP=BP+PC．（2）证明：在AD外侧作等边△AB′D，则点P在三角形ADB′外，连接PB'，B'C，∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等边三角形，∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD=∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，∴CB′=BD，∴PA+PD+PC＞BD．知识点5: 最短路径问题1.B2.解：作B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C，如图所示，由对称的性质可知AB′=AC+BC，根据两点之间线段最短的性质可知，C点即为所求．知识点6: 尺规作图1.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）解：如图所示：2.解：①连接AB、BC、AC，②作AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，点P就是学校的位置．。
人教版八年级上册数学期末复习4专题四 几何计算
7．已知一个多边形的内角和与外角和相加为2 160°，求这 个多边形的边数和对角线的条数．
解：设这个多边形的边数为n，则其内角和为(n－2)·180°. 依题意，有(n－2)·180°＋360°＝2 160° 解得n＝12 ∴这个多边形的对角线条数为 1 ×12×(12－3)＝54.
2
二、三角形的内角与外角 8．在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数 为( C ) A．35° B．40° C．45° D．50°
谢谢！
人教版八年级上册数学期末 专题四 几何计算
一、多边形的内角和与外角和 1．内角和为720°的多边形是( D )
A
B
C
D
2．正十边形的每个外角等于( B ) A．18° B．36° C．45° D．60°
3．在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为 2∶3∶4∶3，则∠D等于( C ) A．60° B．75° C．90° D．120°
(1)若BD＝4，CE＝3，求DE的长； (2)若AB＝12，AC＝9，求△ADE的周长； (3)若将原题中平行线DE的方向改变，如图②，OD∥AB，
OE∥AC，BC＝16，求△DOE的周长．
解： (1)∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC ∵DE∥BC ∴∠DOB＝∠OBC ∴∠ABO＝∠DOB ∴BD＝DO ∴△DBO是等腰三角形． 同理，△EOC也是等腰三角形 ∵DO＝BD＝4，OE＝CE＝3 ∴DE＝DO＋OE＝4＋3＝7
22．如图，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝8 cm， DE＝6 cm，则AC等于( C ) A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16 cm
23．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯 塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行____4____ 海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
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关系，并说明理由.
解：（1）图1中有5个等腰三角形，分别是△ABC， △AEF，△OBC，△EBO，△FOC. EF＝BE+CF，理由如下. ∵AB=AC，BO、CO分别平分∠B，∠C，EF∥BC ∴在△BEO和△CFO中，△BEO≌△CFO， 且这两个三角形均为 等腰三角形， 可得EF＝EO+FO＝BE+CF.
13. 如果等腰三角形的一个角是 80°，那么它 的底角是（ A ） A. 80°或 50° B. 50°或 20° C. 80°或 20° D. 50°
14. 如图，将△ABC 的∠C 折叠，使 C 点在 AC 边上，折痕为 DE，则（ B ） A. ∠BDC=∠DCE+90° B. ∠BDC=2∠DCE C. ∠BDC+∠DCE=180° D. ∠BDC=3∠DCE
（3）如图 3，若△ABC 中∠B 的平分线 BO 与△ABC 外角平分线 CO 交于点 O，过点 O 作 OE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F. 这时图中还有等腰 三角形吗？如果有，分别写出他们.EF 与 BE， CF 之间的数量关系又如何？请说明理由.
（3）有等腰三角形：△BEO，△CFO， 此时EF＝BE-CF. 如下图所示. ∵OE∥BC，∴∠5＝∠6. 又∠4＝∠5，∴∠4＝∠6. ∴△BEO是等腰三角形. 在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形. ∵BE＝EO，OF＝FC，∴BE=EO＝EF+FO＝EF+CF. ∴EF＝BE-CF.
二、 三角形的内角和外角
8. 如图，该图形中的 x 的值为（ A ）
A. 60 B. 65 C. 70 D. 75
9. 如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的 一条边上.若∠1=30°，∠2=60°，则∠3 为（ C ） A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
10. 如图，在△ABC 中，∠B=90°，MN∥AC.若 ∠1=55°，则∠C 的度数是（ B ）
解：如图，连接 AD. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点， ∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°. ∴∠DAC＝ ∠BAC＝60°.
∵DE⊥AC 于点 E， ∴∠AED＝90°. ∴∠ADE＝30°. 在 Rt△ADE 中，AE＝8，∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE＝16. 在 Rt△ADC 中，AD＝16，∠C＝30°， ∴AC＝2AD＝32. ∴CE＝AC-AE＝32-8＝24．
（2）若FG⊥BC 于点H，BC 平分∠ABD，∠D=100°，
求∠1 的度数. （2）解：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠D＝180°. ∵∠D＝100°，∴∠ABD＝180°-∠D＝80°.
∵BC 平分∠ABD，∴∠ABC＝ ∠ABD＝40°.
∵FG⊥BC， ∴∠1+∠ABC＝90°. ∴∠1＝90°-40°＝50°．
3. 如果一个多边形的边数增加 1 倍，则它的内
角和是 2 160°，那么原来多边形的边数是
（C ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4. 小聪从点 P 出发，先向前走 20 m，接着向左
转 30°，然后他继续再向前走 20 m，又向
左转 30°，他以同样的方法继续走下去，
当他走回点 P 时共走的路程是（ C ）
谢谢！
●
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
●
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
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3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. ∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD=30°. ∴∠DBC＝∠ABD＝30°. ∵DC⊥BC 于点 C，∴∠C＝90°. ∵在 Rt△BDC 中，∠DBC＝30°，BD＝2，
∴CD＝ BD. ∴CD＝1．
30. 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°， D 为 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，AE=8，求 CE 的长.
∠BAC 的度数.
解：∵AD是△ABC的高，∠C=76°， ∴∠DAC=90°-∠C=14°. ∵BE平分∠ABC交AD于E， ∴∠ABE=∠EBD. ∵∠BED=64°，∴∠ABE+∠BAE=64°. ∵∠EBD+64°=90°， ∴∠EBD=∠ABE=26°.∴∠BAE=64°-∠ABE=38°. ∴∠BAC=∠BAE+CAD=38°+14°=52°.
∠E= 15
°.
17. 如图，点 F 在线段 AB 上，点 E，G 在线段
CD 上，FG∥AE，∠1=∠2.
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC 于点H，BC 平分∠ABD，∠D=100°，
求∠1 的度数.
（1）证明：∵FG∥AE，∴∠2 ＝∠FGC. ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠FGC. ∴AB∥CD.
●
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专题四 几何计算
一、 多边形的内角和与外角和
1. 一个 n 边形每一个外角为 15°，则 n 为
（D ）
A. 20
B. 23
C. 25
D. 24
2. 一个多边形的每一个外角都是 30 度，则它 的边数和每一个内角的度数是（ B ） A. 12 条，30° B. 12 条，150° C. 10 条，150° D. 8 条，150°
A. 25° B. 35° C. 45° D. 55°
11. 如图，将纸片△ABC 沿着 DE 折叠.若 ∠1+∠2=60°，则∠A 的大小为（ C ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
12. 如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交
AD 于点 E. 若∠C=76°，∠BED=64°. 求
三、 三角形ห้องสมุดไป่ตู้边
18. 已知三角形的两边长分别为 5 cm 和 9 cm， 则第三边长可以是（ C ）
A. 14 cm
B. 16 cm
C. 6 cm
D. 4 cm
19. 若一个等腰三角形的两边长分别为 6 和 9， 则它的周长为（ D ） A. 18 B. 21 C. 24 D. 21 或 24
●
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
●
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
●
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
15. 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=30°，点 D 是 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AC 交 BC 于 点 E，连接 EA. 则∠BAE 的度数为（ C ）
A. 30° B. 80° C. 90° D. 110°
16. 如图，△ABC 为正三角形，点 B，C，D，E
在同一直线上，且 CG=CD=DF=DE，则
（2）如图 2，若 AB≠AC，其他条件不变，图 2
中有等腰三角形吗？如果有，分别写出它们.
EF 与 BE，CF 之间的数量关系还存在吗？请说
明理由..
（2）有两个等腰三角形， 为△BEO、△CFO，如下图所示. ∵EF∥BC，∴∠2＝∠3. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3. ∴△BEO为等腰三角形. 同理可证△CFO为等腰三角形． ∴EF＝BE+CF，即EF与BE，CF之间的数量关系存在．
25. 如图，CE 平分∠ACB，且 CE⊥BD，DA=DB，
又知 AC=18，△CDB 的周长为 28，那么 BE
的长为
4
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26. 如图 1，在△ABC 中，AB=AC，∠B，∠C 的 平分线交于点 O，过点 O 作 EF∥BC 分别交 AB，AC 于点 E，F.
（1）图 1 中有几个等腰三角形？写出这些三角
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7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
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8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
20. 三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长是
偶数，则第三边长可以是（ B ）
A. 2
B. 6
C. 8
D. 10
21. 如图，△EFG≌△NMH.若 EH=3.4，HN=6.1，
则 GH 的长度是 2.7
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22. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC=DE，且 BC⊥DE.
若 AB=2，CD=7，则 AE= 5
四、 含30°的直角三角形
27. 如图是屋架设计图的一部分，立柱 BC 垂直
于横梁 AD.若 AB=BD，∠ABD=120°，BC=4 m，
则 AB 的长度为 8