拉格朗日中值定理教案教案资料
拉格朗日中值定理课件
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
谢谢大家
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
二、拉格朗日中值定理的应用
例1 函数 f (x) 2x2 x 1在区间[－1,3]上满足拉格
朗日中值定理的 =( ).
A. 3; B. 0; C. 3; D. 1 . 4
分析 由于 f (x) 2x2 x 1在[－1,3]上连续，在(－1,3)
内可导，因此f(x拉格朗日中值定理条件. )在[－
拉格朗日中值定理及其应用
一、拉格朗日中值定理
定理1. 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x,
其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
拉格朗日中值定理教育教学设计
拉格朗日中值定理教学设计————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：教学设计第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。
2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：知识回顾引出定理，探究案例类比学习，理解定理六、教学情境设计（1学时）：1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。
它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf . ()1罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．升华、理解新知 课堂小结作业证 因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况来讨论：(1)若M m =，则，f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立．(2)若M m <，则因()()b f a f =，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点．由条件(ii)，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0='ξf ．注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。
高等数学(上册)-电子教案 D3.1 微分中值定理(2)
1 0 ln( b ) f ( x ) f ( b ) f ( a ) a x b ln( a ) f ( x) f (b) f (a) ln x 0
f (b) f (a) f ( x) f ( x) 或将 方程变形为 . 1 ln b ln a (ln x ) x
令
F ( x) ln x
f (x) 、F (x) 在 [ a, b ]上满足柯西定理条件. 则 ( a , b ), 使得 整理后即得结论.
一点 (1 , 2 ) (a, b), 使得 f ( ) 0.
5 设 f ( x) 0 , f (0) 0. 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
证明：
设 0 x1 x2
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 )
第三章
第一节 微分中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
费马(fermat)引理
设函数
在x0可导. 若对 那么
罗尔(Rolle)定理 如果函数 满足:
( 或 f ( x) f ( x0 )),
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 那么在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
高等数学(上) 第2版教案18
教 案 序号18 授课日期 班级 项目（章节）第3章 第1节 拉格朗日中值定理 罗必达法则 授课时数 2小时 教学目标与要求1.了解拉格朗日中值定理2.掌握 “00”，“∞∞”型极限的罗必达法则求法 教学难点与重点教学重点：“00”，“∞∞”型极限的罗必达法则求法 难点： “0⋅∞”，“∞-∞” “00”，“1∞” “0∞”类型极限的求法 授课方法 案例教学法 讲练结合作 业 习题3-1教 学 内 容 及 过 程 时间分配一、拉格朗日中值定理若函数()=y f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则至少存在一点0[,]∈x a b ，使得0()()()-'=-f b f a f x b a成立。
使用图像说明即可。
例1 2=y x 验证拉格朗日中值定理在区间[1，3]上的正确性。
二、罗必达法则引例1 求下列函数的极限（1）224lim 2→--x x x （2）25lim 32→∞-+x x x 罗必达法则定理：设(),()f x g x 在点0x 的左右近旁都有定义，若有：（1）00lim ()lim ()0()→→==∞x x x x f x g x ； （2）(),()f x g x 在点0x 的左右近旁可导，且()0'≠g x ；（3）0()lim ()()→'=∞'x x f x A g x 则：00()()lim lim ()()()→→'==∞'x x x x f x f x A g x g x 例3求下列函数的极限（1）201cos lim 3→-x x x（2）332132lim 1→-+--+x x x x x x （3）arctan 2lim 1→+∞-x x x π（4）lim →+∞n x x x e例4 求下列函数的极限（1）sin lim sin →+∞+-x x x x x （2）201sin lim sin →x x x x注：（1）罗必达法则只适用于0,0∞∞型未定式求极限 （2）罗必达法则求上述类型极限不是万能的。
高等数学教案-第三章-微分中值定理与导数应用
例6. ( 型未定式)
当然,罗必达法则可与其它的方法结合起来用,对有些问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ更简单(先化简).
例7. (先进行无穷小等价代换)
有些未定式,洛必达法则是无效的,但并不能说明极限不存在,可用其它方法来求.
例8.
………………………………………………………………………………………42分钟
注：称使 的点为驻点。
例2罗尔定理：如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导；
（3） .
则在（a,b）内至少有一点 ,使 .
几何解释:
二、拉格朗日中值定理
1.拉格朗日中值定理:如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导.
则在（a,b）内至少有一点 ,使等式
例10．判断 的凹凸性．
例11．判断 的凹凸性．
3．拐点
拐点定义（画图说明，注意拐点是连续点）：凹凸区间的分界点称为拐点．
拐点的判断：１二阶导数为零的点；２二阶导数不存在的点．
例12．求曲线 的拐点．
例13．求曲线 的凹凸区间与拐点．
例14．指出 是否有拐点．
例15．指出 的拐点．
………………………………………………………………………………………42分钟
（1）若 ，则 点是极大值点；
（2）若 ，则 点是极小值点。
（由凹凸性分析。）
求极值的步骤：
（1）求出一阶导数；
（2）求出一阶导数为零或不存在的点；
（3）判断上述可疑点处的二阶导数或其左右邻域的符号；
（4）判断出极值点并求出极值。
说课：拉格朗日中值定理
二. 教法分析
（四）具体措施
根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生 自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课 形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的 环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形 象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性， 以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形 的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养 学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流 的合作意识。
情景 引入
几何 意义 具体 运用
复习 引入
2、时间安排：
新课引入约10分钟， 探索求知约10分钟， 灵活运用约20分钟， 小结提高约5分钟。
概念 建构
演 练
作业
过程反思
本节课设计为一节“科学探究 — 合作学习”的活 动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学 习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识 的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。 力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精 确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的 转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。 教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和 指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的 形成知识结构，并将其转化为数学能力。
教学过程 （三）灵活运用 透析内涵 求函数 f ( x) x 在[0,2]上满足拉 格朗日中值定理条件的 ？
2
设计意图
' f 解： ( x) 2 x，
由拉格朗日中值定理得：
22 02 2 (2 0)
这是学生思维上升的 又一个层次，设计该 题目的在于加深学生 对导数刻画函数单调 性的理解，通过它及 时发现学生的问题， 及时纠正，能对学生 情况给予及时评价。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
拉格朗日中值定理说课稿
二、说学生
打好基础，够用为度，少讲推理，多讲应用
三、说教学目标
1.知识目标：记忆Lagrange中值定理的条 件和结论，了解其几何意义，并用它来建立 导数与函数单调性之间的关系。
2.能力目标：会求满足Lagrange中值定理
一般 课后作业：P99-4（1）、7
罗尔（Rolle）定理与Lagrange中值定 理
f()f(b)f(a).
ba
f()0.
f()f(b)f(a).
ba
令 a x 0 ,b x 0 x , y f ( x 0 x ) x ( 0 1 )
总结归纳
知识点总结：三个定理各自的条件和结论 方法总结：形象思维---抽象思维，特殊---
中的 值并应用Lagrange中值定理进行简
单的不等式、等式证明,会用单调性定理求 函数的单调区间。
四、说教学重点、难点
1.教学重点：
Lagrange中值定理及其推论的应用，会用单调 性定理求函数的单调区间。
2.教学难点：
Lagrange中值定理的证明。
五、说教学方法
讲授法 探究法 练习法 启发式
六、说教学过程
遵循着“复习旧知---讲授新知---总结归纳” 的原则，本节课的教学内容由以下六部分组 成：
导入
Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
单调性定理
总结
费尔马引理与罗尔( Rolle )定理
yA
y A y f(x)
B
o x0 x
f(x0)0
o
a bx
拉格朗日（Lagrange）中值定理讲义
拉格朗日（Lagrange ）中值定理教学目的：1.熟练掌握中值定理及其几何意义2.能应用拉格朗日中值定理证明不等式3.了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2教学重点：1.拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3.利用导数证明不等式的技巧。
教学难点：中值定理的应用技巧 教学内容：1．罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件： )(x f ①在闭区间[连续； ②在开区间]b a ,()b a ,可导； ③)()(b f a f = 则在(内至少存在一点)b a ,ξ，使得'()0f ξ=图1 图2罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1，现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转α角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？2．拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点)(x f (a <],[b a ),(b a ),(b a )b <ξξ, 使得等式成立。
)a )(()('b f a f −=−ξ)(b f 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则)()(b f a f =()()'()0f b f a f b a b aξ−===−−，即：，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
'()0f ξ=拉格朗日（微分）中值定理几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数()y f x =，a 与是它定义区间内的两点（a b b <），假定此函数在(,上处处可导，也就是在(,内的函数图形上处处有不垂直于)a b )a b x 轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商()y f x b =(f a)a b Δ−Δ−就是割线的斜率，若我们把割线作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点AB AB ()C x ξ=处成为曲线的切线，而切线的斜率为()f ξ′，由于切线与割线是平行的，因此()()()f b f a f b aξ−′=−成立。
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拉格朗日中值定理教
案
拉格朗日中值定理教案
授课人：***
一、教材分析
微积分学是高等数学的重要的部分，是近代数学的伟大成果之一。
它为我
们研究函数和变量提供了重要的方法。
微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等）是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用。
拉格朗日中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论
怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。
二、教学重点和难点
教学重点：学习罗尔定理，类比探求和理解拉格朗日中值定理。
教学难点：探求拉格朗日中值定理条件，运用定理研究函数单调性。
三、教学目标
1、通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日中值定理，培养学生分析，抽象，概括，迁移的学习能力。
2、通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。
四、授课过程
1、知识回顾
费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为
f 的极值点，则必有0)0
(='x f 。
它的几何意义在于，若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、新科讲授
首先看一个定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。
（板书）罗尔定理:如果函数)(x f 满足
(1)在闭区间[]b a ,上连续;
(2)在开区间()b a ,内可导;
(3))()(b f a f = .
那么在()b a ,内至少存在一点ξ，使得函数在该点的导数等于零，即
0)(='ξf .
罗尔定理的几何意义在于：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线。
如图，)(x f 的图像曲线弧AB ，点C 处的切线平行于x 轴，即0)(1='ξf 。
注
（1）点D 处也是符合定理结论的点 ，故应注意原定理中的至少存在一
点，而不是唯一存在的。
（2）定理的三个条件缺少任何一个，结论都会不一定成立；
接下来看下面三个函数的图像：
然后给出罗尔定理的严格数学证明：
证明：因为f在[]b
a,上连续，所以必然存在最大值和最小值，分别设为m
M,，下面分两种情况来讨论：
（1）若m
M=，则f在[]b a,是常函数，从而结论显然成立；
（2）若m
M>，则因()()b f
a
f=，使得最大值M和最小值m至少有一个是在()b a,内某一点ξ处取到，从而ξ是f的极值点。
而且f在ξ处可导，由费马定理可得0
)
(=
'ξ
f.
接下来讲授本节课的主要定理。
（板书）拉格朗日中值定理
如果函数)
(x
f满足
(1)在闭区间[]b a,上连续;
(2)在开区间()b
a,内可导;
那么在()b
a,内至少存在一点ξ，使得()()()()a
b
f
a
f
b
f-
'
=
-ξ，即
()()
[]3,0
3
)3
(
]1,1
[
)
2
(
1
1,0
0,1
)1(
2
∈
-
=
-
∈
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∈
=
x
x
y
x
x
y
x
x
x
y
（1）（2）（3）
()()()a
b a f b f f --='ξ (1). 注：显然特别的，当)()(b f a f =时，本定理的结论即为前面罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。
几何意义：在满足定理条件的曲线()x f y =上至少有一点P ()()ξξf ,，使得该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB.
思路 条件中与罗尔定理相差()()b f a f =
弦AB 的方程为()()()()a x a
b a f b f a f y ---+=。
用曲线()x f 减去弦AB 的方程所得曲线b a ,两端点的函数值相等。
证明 作辅助函数()()()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---+-=a x a b a f b f a f x f x F ()x F 满足罗尔定理的三个条件，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得
()0='ξF 。
即()()()0=---
'a
b a f b f f ξ或()()()()a b f a f b f -'=-ξ。
我们把拉格朗日中值定理的结论的等式（1）称为拉格朗日公式。
它还有下面常见的形式
()()()x x x f x f x x f ∆∆+'=-∆+θ 其中10<<θ.
还可写为()x x x f y ∆∆+'=∆θ，此式子叫做有限增量公式。
它精确表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系。
作为拉格朗日中值定理的应用，有以下推论。
推论 如果()x f 在区间I 上的导数恒为零，那么()x f 在区间I 上是一个常数。
证明：在区间I 上任取两点21,x x 且使21x x <，那么
由拉格朗日中值定理得，存在()21,x x ∈ξ使得
()()()()1212x x f x f x f -'=-ξ.
又由已知得()0='ξf ，()()21x f x f =∴.
再加上21,x x 的任意性，所以()x f 在区间I 上是一个常数。
3、例题 证明当0>x 时，()x x x
x <+<+1ln 1。
证明：设()()x x f +=1ln ，()x f 在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件， ∴()()()()00-'=-x f f x f ξ，()x <<ξ0。
()()x
x f f +='=11,00，由上式可得()ξ+=+11ln x x 。
又 11111,111,
0<+<++<+<<<ξξξx x x ， ∴x x x x <+<+ξ11，即 ()x x x
x <+<+1ln 1. 五、课后作业。