中北大学材料力学总复习(长学时)

求梁变形——挠度和转角的方法
积分法 叠加法 单位载荷法 重点
y
A
q
l /2
C
l
B x
EI
用叠加法求 f c
应力状态的概念
主单元体
主平面 主应力 主方向
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
原始单元体（侧面应力已知的单元体）：
y B C P M x
yx x
zx
B
xz
x
C
1* 1
组合变形 解决组合变形强度问题的步骤可以归纳为： （1）将外力分解或简化为几组静力等效的载荷，其中 每一种载荷对应着一组基本变形 （2）分别画出每种基本变形的内力图，确定危险截面。 （3）用叠加法将每种基本变形在同一点引起的应力叠 加，确定危险点的位置。 （4）分析危险点的应力状态。选择适宜的强度理论进 行强度计算。
作用点沿Xi 方向的位移。
重点
P
A
C B
dx y A 0, y B L BC
tan
P
A
重点
C左 C右
B
C
分三段，AC，CD，DB，有6个积分常数 边界条件：
y A 0, A 0, y B 0
y D左 y D右
第六章 1 例6.3
连续条件： y c左 y c右
光滑条件：
D左 D右
（1）根据支承情况及压杆的实际尺寸，分别计 算可能弯曲平面的柔度 ，得出 max 。
公式的三 个应用
( 2) 计算 P， S，确定压杆的临界应力 公式 重点 计算出Pcr 或者 cr .
（3）校核
动载荷
动载荷问题的处理方法 及分类
d K d j
Nd K d N j
d K d j
p
剪切
剪切面、挤压面的方向
重点
平面、圆柱面挤压时挤压面的方向
扭转
P 重点 M 9549 n
扭矩 的 正负
A m

O B m
圆轴扭转时剪应力的推导过程
τmax
Mt Mt
τmax
重点
重点
Wt
例 2, 3, 4
Wt
第三章 习题2, 5, 19
Ti Li i 1 GI pi
应力 强度条件 变形 刚度条件
内力
轴向拉压
剪 切
FN
Fs
F N [ ] A Fs [ ] A F bs [ ] Abs
max
T ( ) max [ ] Wt
FN L L EA
扭转
T M
TL GI p
(
弯曲
Fs
* Fs S z I zb
第四章 4.4 (c),(j)
4.8
例4.4
重点：典型结构受力的M, Fs图
纯弯曲正应力的推导过程 中性层，中性轴的概念
max
M max ymax 重点 Iz
能根据弯矩图判断危险截面，及受拉、受压侧 例5.3
* Fs S z 弯曲剪应力 I zb
第五章 3, 12, 16,17, 21
重点
第八章 3, 7 , 8, 13, 19
稳定性：构件保持原有平衡形态的能力
EI Pcr 2 (L)
2
—长度系数
L
i — —杆的柔度（或长细比 ）
（或杆端约束影响系数）。 约束越紧，越小；反之， 越大。
2E cr 2
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆） , 其临界力用欧拉公式求 。
My ) max [ ] Iz
ML EI z
知识点 绪论 内力（截面法求解）；
应力 pm lim 应变
A0
F A
正应力 切应力
du x dx
线应变
切应变 xy FN max FN 轴向拉压 1、强度校核 max A A max 重点 2、截面设计 3、确定许可载荷
11X1 12 X 2 1n X n 1P 0 21X1 22 X 2 2n X n 2 P 0 n1 X1 n 2 X 2 nn X n nP 0
11 21 31 n1
静不定结构分析
多余约束 静不定次数 结构（A）（B）（C）（D）的静不定次数分别为：
（A） 次 （B） 次 （C） 次 （D） 次
基本概念
（A）
（B）
（C）
（D）
变形比较法：比较原结构及其基本静定结构在多余约束处的变形， 二者应完全相同 写出下列各结构的的 变形协调关系
力法正则方程 对于有n个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：
n
或
T ( x) dx GI p l
弯曲
平面弯曲
特征
(plane bending) 挠曲线平面与外载荷作用平面重合
挠曲线 （deflection curve）
集中力F 分布载荷
集中力偶
Q的符号规定：
截面n-n的左段相 对右段向上错动时， 其上的剪力为正， 反之为负。
M的符号规定：
截面n-n处的弯曲 变形向下凸时， 其上的弯距为正， 反之为负。
当危险点为单向应力状态时，可采用轴向拉 压时的强度条件 ； 当危险点为二向或三向应力状态时，则应采用 适宜的强度理论进行强度计算。
斜弯曲
对于有棱角的矩形截面
2 M y M z2
对于圆形、正方形和其它正多边形截面，

W
拉伸（压缩）与弯曲的组合
D
例 8.1，例 8.5
弯扭组合变形
P271~275
xy
z
x y x y 2 2 m´ ax ±（ ´ ） xy 2 2 m in
tg2 0
2 xy
x y
yx
C M C
xy
tg2 0
xy yx
2 xy
重点
1 ; 2 0; 3
max
1 3
12 22 32 n 2
1p 13 1n x1 23 2n x 2 2p x 3 3p 33 3n n 3 nn x n np
2
第七章 1,
x y
0 45
max 1
min 3
例 7.4, 7.5, 7.13 6, 18 25 37
y 得出 x、 和 z方向的线应变表达式为
1 x x ( y z ) E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E
U
T 2 ( x) dx 2GI p
弯曲变形
U
U
L
M 2 ( x) M 2 ( x) dx U dx L 2 EI 2 EI
内力2 dx 2 刚度

L
第十三章 7 21 24
杆件组合变形应变能
N ( x) M ( x) U dx dx dx L 2 EA L 2GI L 2 EI P
2
T ( x)
2
2
杆件组合变形
N 0 Ndx T 0Tdx M 0 Mdx ( ) 重点 li li GI l EA EI i 1 p
n
用单位载荷计算杆件和杆系的位移的基本步骤和要点为： T （1）计算外力引起的内力函数： (x) 、 (x) 和 M (x) N （2）在结构待求位移的点处，沿待求位移方向施加单位载 荷。若待求的是线位移，则施加单位力，若待的为角位 移，则施 加单位力偶； （3）计算单位载荷引起的内力函数N 0 ( x) T 0 ( x) 和 M 0 ( x) （4）计算莫尔积分求出位移数值； 例 13.12 13.13
A
FN max

FN A
重点 l
FNi li EA i N ( x) l dx l EA
难点：确定结构的许可载荷 和 节点 位移 例 2.
第二章 17, 28,33, 38, 40
p
40 40 5
2
C
D
1

B
动响应 动荷系数K d 静响应
加速运动问题
a Kd 1 g
v 2 / g 2h Kd 1 1 j
构件受冲击时的应力和变形 例 10.4
能量法
杆件应变能计算
轴向拉、压变形
N i2 Li U i 1 2 Ei Ai
n
U
2
L
N 2 ( x) dx 2 EA
L
扭转变形 U W 1 T T l 2 2GI p






1 1 1 ( 2 3 ) E 1 2 2 ( 3 1 ) E 1 3 3 ( 1 2 ) E
一28a号工字钢受力情况如图所示。钢材 E 200GPa 0.3 。现由应变 ， 仪测得中性层K上点处与轴线成 45 方向的线应变为
矩形、工字形、圆形截面 梁 弯曲 剪应力 分布规律和最大值 重点 例5.5
弯曲中心概念
典型图形弯曲中心的位置
挠曲线必须是光滑和连续的，任意截面都有唯一的挠度和转角
二 挠曲线近似微分方程
dy M 2 dx EI
2
两个近似
{
忽略了剪力Q的影响
边界条件 光滑连续条件
dy 2 dy 2 忽略 ( ) ， 1 ( ) 1 dx dy dx