理论力学11资料
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(2)自然轴坐标
m dvC dt
F(e) ,
m
v
2 C
F
( n
e
)
质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微 分方程形式相似。
对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系 质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系 的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这 个点上。
匀 转动，设OA=AB=l , OA及AB都是
匀质杆, 质量各为m1 , 滑块B的质量为
m2。求此系统的动量。
C
解:
xC
（ 2 m1m2）lcost
2m1m2
vCx
dxC dt
（ 2 m1m2） lsi nt
2m1m2
yC
m1 sint
2m1 m2
vCy2m1m1m2lsi nt
py mvCy m1lsi nt
m aCm iai
miaiCFi(e)
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1. 投影形式： (1)直角坐标
ma
Cx
F (e) xi
ma
Cy
F (e) yi
ma
Cz
F (e) zi
或：
m ai C i x F xi ( e ) m i a C i y F yi ( e ) m i a Ci z F zi (e)
若存在 vCx0 0 则 xC 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变
质心运动定理可求解两类动力学问题： (1)已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。 (2)已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。
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[例6] 匀质杆长为l ,质量为m,当细绳被突然剪断时，杆子的角
理论力学 第11章 质点运动微分方程
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
《理论力学》课件 第11章
因此，力F的元功又可表示为 δW F cosds F cos Rd
由静力学可知， F cosR 即为力 F 对轴 Oz 的力矩 Mz (F) ，于是有
δW Mz (F )d
（11-16）
即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称 转矩）和微转角的乘积。
图11-5
当刚体在力 F 的作用下，绕轴转过 角时，力 F 所做的功为
v2 v1
d
1 2
mv2
M2 F dr
M1
或
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
（11-22）
这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改 变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功。
质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作 用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题， 应用动能定理是方便的。此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加 速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度。
则这种约束力所做功的总和为零。
图11-8
4．无重刚杆
如图 11-9 所示，无重刚杆 AB 连接两个物体，由于刚杆重量不计，因此其约束 力 FN 与 FN 应是一对大小相等、方向相反，作用线相同的平衡力。设 A，B 两点的 微小位移分别是 drA 和 drB ，则 FN 与 FN 元功之和为
δW FN drA FN drB FN | drA | cosA FN | drB | cosB FN (| drA | cosA | drB | cosB )
当力偶矩 M 常量时，上式可写为
（11-19）
W M
五、约束力的功与理想约束
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
理论力学：第11章 动量矩定理
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学：第11章 动量矩定理
·1·第11章 动量矩定理11.1 主要内容11.1.1 质点系动量矩计算质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩，即∑∑==⨯==n i n i i i i i O O m m 11)(iv r v M L质点系对于某轴，例如对z 轴的动量矩为∑==n i i i z z m M L 1)(v刚体对转动轴z 轴的动量矩为z z I L =质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩，即i i ni i C m v r L ⨯'=∑=1i r '为第i 个质点对质心的矢径。
质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。
C v r L L m C C O ⨯+=当刚体作平面运动时，又可表示为d mv L L C ±=C O其中d 为点至v C 的垂直距离，当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值，反之取负值， 11.1.2 质点系的动量矩定理（1）对固定点的动量矩定理质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即)(e O O dt d M L =在直角坐标系上的投影式为·2·⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F（2）质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。
即(e)C C M L =dt d 或 (e)C Cr M L =dt d式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。
(3) 动量矩守恒定律在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩为一常矢量，即()0=e OM ，常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质点系对该轴的动量矩为一常数，例如0)()(=∑e x M F ，L x =常数11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ，则刚体绕固定轴z 的微分方程为z z M tI =22d d ϕ 或z z M I =ε在工程中，常将转动惯量表示为2z z m I ρ=z ρ称为回转半径。