理论力学第11章习题答案
第十一章 轮系
第十一章 轮系一、学习指导与提示工程中实际应用的齿轮机构经常以齿轮系(简称轮系)的形式出现，它用来获得大传动比、变速和换向、合成或分解运动以及距离较远的传动。
轮系可分为定轴轮系和周转轮系两大类，所谓复合轮系只不过是既包含定轴轮系又包含周转轮系，或几部分周转轮系组成的复杂轮系。
因此，首要的是弄清定轴轮系和周转轮系的本质属性，并掌握它们各自的传动比计算方法，在此基础上，只要注意正确区分轮系，就可以将一个复杂的复合轮系分解为若干个单一周转轮系和定轴轮系，这是学习轮系传动比计算的一个总体原则，应当牢牢把握。
本章的主要内容是：（1）轮系的应用和分类；（2）定轴轮系及其传动比；（3）周转轮系及其传动比；（4）复合轮系及其传动比；（5）特殊行星传动简介。
1．定轴轮系一个轮系，若运动过程中，所有齿轮的几何轴线的位置都是固定不变的，则可判定该轮系为定轴轮系(亦称普通轮系)。
注意：这里指的是几何轴线位置固定，并不是该轴不能转动，无论该轴是转动的，或不转动的（与机架相联），只要几何轴线位置不变，就是定轴的。
定轴轮系传动比计算公式：()各主动轮齿数连乘积各从动轮齿数连乘积J G J G n n i mJ G GJ →→-==1 （11.1） 上述公式包含两方面的问题：传动比GJ i 的大小，以及主从动转速 n G 、n J 之间的转向关系（即传动比的正负号），m 为外啮合齿轮对数。
但需注意：① 只有在J G →传动路线中无空间齿轮，各轮几何轴线均互相平行的情况下，公式中()m 1-才有其特定意义，可以用其来表示n G 、n J 之间的转向关系。
若计算结果GJ i 为正，说明G 、J 两轮转向相同；若为负，则说明G 、J 两轮转向相反。
② J G →传动路线中有空间齿轮（如锥齿轮、蜗轮蜗杆），如图11.1所示，各轮转向只能用标注箭头法确定，()m 1-没有意义。
图11.12．周转轮系轮系中至少有一齿轮的几何轴线不固定，而是绕另一轴线位置固定的齿轮回转，这样的轮系，就是周转轮系。
理论力学(机械工业出版社)第十一章动量矩定理习题解答
习 题11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。
其中a 、b 和w 均为常量。
试求质点对坐标原点O 的动量矩。
t a xv x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-=)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω⨯+⨯= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω⨯+⨯= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω⨯+⨯= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2=11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。
如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。
（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。
图11-25(1)θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =⨯= θω22sin 2l m L z = (2)θθ2202sin 32d )sin (2ml x x lm J l z ==⎰杆 θ22sin 38ml J z = θω22sin 38l m L z =11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。
各物体质量均为m 。
图11-26(a) ω231ml L O =(b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω291ml L O -=(c) 2222452312121ml l m l m J O =⨯⨯+⨯⨯=ω2245ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω223mR L O =11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m ，高为h ，试求对底边的转动惯量J x 。
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
理论力学课后习题答案
第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)8. 如图所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。
理论力学：第11章 动量矩定理
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
理论力学练习册及答案
8-8.图示机构中，设当OA与水平线成450角的瞬时，曲柄OA有反时针方向的匀角速度ω＝25 rad/s，连杆AB水平，扇形板BD铅垂。求扇形板绕定轴D转动的角加速度ε。
解：将力系向A点简化，并过A点建立如图所示坐标系。
由矢量式可得力系简化的最终结果为力螺旋，
作用点为：
3-2.已知A（1，0，1），B（0，1，2）（长度单位为米），F= kN。求力F对x、y、z轴的矩？
解：
3-3.如图所示，长方体边长为a、b、c，力F沿BD，试计算力F对AC轴之矩MAC(F)
解：力F对C点的矩为：
4-3.置于铅垂面内的均质正方形簿板重P= 100kN，与地面间的摩擦系数f= 0.5，欲使簿板静止不动，求作用在点A的力F的最大值？
4-4.折梯放在水平地面上，其两脚与地面的摩擦系数分别为fA= 0.2，fB= 0.6，折梯一边AC的中点D上有一重为P= 500N的重物，折梯重量不计，问折梯能否平衡？如果折梯平衡。试求出两脚与地面间的摩擦力。
第六章 刚体基本运动
6-1．在如图所示中，已知ω、。在图上标示出A、B两的速度、加速度。
6-2．在如图所示的平面机构中，半径为r的半圆盘在A和B处与杆铰接，已知 ， ,曲柄O1A以匀角速度ω转动。求图示瞬时圆盘上M点的速度和加速度。
6-3．在如图所示的平面机构中，齿轮1紧固在杆AC上， ,齿轮1与半径为r2的齿轮2啮合，齿轮2可绕O2轴转动，。设 ， ，试确定 时，轮2的角速度和角加速度。
解：动点取曲柄OA上A点，
理论力学 动能定理
第11章动能定理即质点系的动能等于其随质心平BCθABθCPA2rOr C力的功2rOr CAP2rOr CAP2rOr CAPs汽车驱动问题能量角度：汽缸内气体爆炸力是内力，不改变汽车的动量，但使汽车的动能增加。
动量角度：地面对后轮的摩擦力是驱动力，使汽车的动量增加，但不做功，不改变汽车的动能。
内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可以改变能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变能量。
例题11-8水平悬臂梁AB，B端铰接滑轮B，匀质滑轮质量m1，半径r；绳一端接滚，轮C，半径r，质量m2视为质量集中在边缘；绳另端接重物D，质量m3。
求重物加速度。
CωDv BωCv 解：末位置是一般位置hconst 01==T T =2T 2321D v m 221B B J ω+221CP J ω+运动学关系rr v v B C C D ωω===2121rm J B =2222222rm r m r m J P=+=2321222121Dv m m m T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=gh m W 312=CωDv BωCv h1212W T T =−gh m T v m m m D 30232122121=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++对t 求导h g m vv m m m D D &&33210)221(=−++Dv h =&D D a v=&gm m m m a D 3213221++=例11-9匀质圆盘和滑块的质量均为m。
圆盘的半径为r。
杆平行于斜面，其质量不计。
斜面的倾斜角为θ。
圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为μ。
圆盘在斜面上作纯滚动。
试求滑块下滑加速度。
1212W T T =−01=T 2222212121mvJ mv T A ++=ω解()sF F mgs mgs W B A +−+=θθsin sin 12θμcos mg F F B A ==取导221,mrJ v r A ==ω2245mvT =()θμθcos sin 2452−=gs v a v v s==&&,()θμθcos sin 54−=g a F A 是静摩擦力，理想约束，不作功。
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四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
11.8 如图所示，重物 M 系于弹簧上，弹簧的另一端则固定在置于铅垂平面内的 圆环的最高点 A 上。重物不受摩擦地沿圆环滑下，圆环的半径为 20 cm ，重物的 质量为 5 kg ，如重物在初位置时 AM 20 cm ，且弹簧具有原长，重物的初速度 等于零，弹簧的重量略去不计，欲使重物在最低处时对圆环的压力等于零，弹簧 刚性系数应为多大？
11.5 计算图示各系统的动能 (1)如图(a)所示，质量为 m 、长为 l 的均质圆盘在自身平面内作平面运动，已知圆 盘上 A 、 B 两点的速度方向， B 点的速度为 vB ， 45 ； (2)如图(b)所示，质量为 m1 的均质杆 OA 、一端铰接在质量为 m2 的均质圆盘中心， 另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为 v ； (3)如图(c)所示质量为 m 的均质细圆环半径为 R ，其上固结一个质量也为 m 的质 点 A ，细圆环在水平面上纯滚动，图示瞬时角速度为 。
魏 魏 魏
泳
F ) 2
涛 涛 涛
解： 滚阻力偶： M N (mg 轮转动角度：
x R
将力 F 向 C 简化， F 对 C 主矩： M C Fr
F sin 60 x M C M
3 FR x F x 总功： Fx (mg ) 2 2 R 2 R Fx F x (1 3 ) (mg ) 2 2 R
涛 涛 涛
解：
1 l 2 (2m)l 2 2m ( ) 2 ml 2 12 3 3 滑块 A 的速度： vA l cos sin 滑块 B 的速度： vB l 1 2 1 2 1 2 5 2 2 系统动能： J D mvA mvB ml 2 2 2 6 l 重力功： (sin 0 sin ) 2mg l (sin 0 sin ) mg 2mgl(sin 0 sin ) 2 1 弹性力功： k[l 2 (1 cos 0 ) 2 l 2 (1 cos ) 2 ] 2 根据动能定理： 5 2 2 1 ml 0 2mgl(sin 0 sin ) k[l 2 (1 cos 0 ) 2 l 2 (1 cos ) 2 ] ( 1 ) 6 2 当 0 60 、 0 时，
魏
泳
涛
(1)
(2)
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11.9 滑轮重 FW ，半径为 R ，对轮轴 O 的回转半径为 ，一绳绕在滑轮上，绳的 另一端系一重为 FP 的物体 A 。滑轮上作用有一不变转矩 M ，使系统由静止而运 动。不计绳的质量，求重物上升距离为 s 时的速度和加速度。
魏 魏
V
泳 泳 泳
涛 涛
解： 设物体 A 的速度为 V (向上)，滑轮的角速度为 ，存在运动学关系 V R 1 FP 2 物体 A 动能： TA V 2 g 定滑轮动能： TO
1 1 FW 2 V 2 FW 2V 2 J O 2 2 2 2 g R 2 gR 2
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CD
泳 泳 泳
涛 涛 涛
解：
1 2 2 5.4422 J EA 动能： mEAlEA 6 CD 的速度瞬心位于 F 点，在 AE 方向上。
vB 14 rad s 0.3 3
由几何关系， CD 质心到 F 的距离为
3 3 m ，所以 CD 杆动能： 20
魏
1 1 3 3 2 2 [ mCDlCD mCD ( ) ] 7.5 J 2 12 20
魏 魏
初位置
泳 泳
末位置
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解： M 的初位置和末位置分别如图
末位置受力图
重力作功： mg 1.5mgr 1 1 2 1 弹性力做功： k (02 2 kS kr2 S) 2 2 2 根据动能定理： 1 2 1 mv 1.5mgr kr2 2 2 再根据末位置的受力图，有： v2 kr mg m r (1)、(2)联立求解： kr 2mg 2mg 490 N m 即： k r
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11.7 均质杆 CD 和 EA 分别重 50 N 和 80 N ， 铰接于点 B 。 若杆 EA 以 2 rad s 绕 A 转动，试计算图示位置两杆的动能。
魏 魏 魏
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涛 涛 涛
解： 1 1 3 1 (1) ml 2 2 ；(2) ( J C me2 ) 2 ；(3) mv2 (4) ml 2 2 sin 2 6 2 4 6
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11.3 重量为 FW 的鼓轮沿水平面做纯滚动，如图示，拉力 F 与水平面成 30 。轮 子与水平面之间的静摩擦系数为 f ，滚阻系数为 δ ，求轮心 C 移动距离为 x 的过 程中力的功。其中 R 2r 。
涛
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11.10 图 示 冲 床 冲 压 工 件 时 冲 头 受 的 平 均 工 作 阻 力 F 52kN ， 工 作 行 程 s 10 mm 。飞轮的转动惯量 J 40 kg m2 ，转速 n 415 r min 。假定冲压工件 所需的全部能量都由飞轮供给，计算冲压结束后飞轮的转速。
11.11 如图所示，均质杆 AB 长为 l ，质量为 2m ，两端分别与质量均为 m 的滑块 铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为 k ，且当 0 时，弹簧为原长。若 机构在 60 时无初速开始运动，试求当杆 AB 处于水平位置时的角速度和角加 速度。
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解：
3 3 两车轮动能为： 2 m1v 2 m1v 2 4 2 上面一段履带平动，下面一段静止；上面一段动能为 1 πR 1 m (2v) 2 mv2 2 4ππ 2 左右两段履带可视为纯滚动圆环，动能为 1 πR 2πR v2 1 [ mR2 mR2 ] 2 mv2 2 4ππ 4ππ R 2 总动能： 3 m1v 2 mv2 2
(1)
将(1)式对时间求导，有 dV 2 g ( M FP R) R d s a dt FP R 2 FW 2 dt
魏
2 g ( M FP R) R 1 FP R 2 FW 2 2 s
2 g ( M FP R) Rs g ( M FP R) R FP R 2 FW 2 FP R 2 FW 2
我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
11.1 用跨过滑轮的绳子牵引质量为 2 kg 的滑块 A 沿倾角为 30 的光滑槽运动。设 绳子拉力 F 20 N 。计算滑块由位置 A 至位置 B 时，重力与拉力 F 所作的总功。
魏 魏 魏
泳 泳 泳
涛 涛 涛
解： 绳子走过的距离： 6 2 6 sin 60 6 2 4 3 m 重心上升的高度： 0.5(6 6 tan 60 ) 0.5(6 2 3) m 总功： [20 (6 2 4 3 ) 0.5(6 2 3)] 2 9.8 6.29 J
魏 魏 魏
泳 泳 泳
涛 涛 涛
解： 根据动能定理 1 2 J (2 12 ) Fs 2 2πn1 60 60 2πn1 2 2 Fs n2 ( ) 412.13 r min 2π 60 J
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11.6 图示坦克的履带质量为 m ，两个车轮的质量为 m1 ，车轮可视为均质圆盘， 半径为 R 。两车轮轴间的距离为 πR 。设坦克前进速度为 v ，计算此质点系的动 能。
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11.2 质量为 3 kg 的质点以 5 m s 的速度沿水平直线向左运动。今对其施以水平向 右的常力， 此力的作用经 30 s 而停止， 这时质点的速度水平向右， 大小为 55 m s 。 求此力的大小及其所做的功。 解： 55 (5) 加速度大小为： a m s2 2 m s2 30 力 F 大小： F ma 6 N 1 位移： s 5t at 2 5t t 2 750 m 2 功： W Fs 4500 J