11理论力学
理论力学 第11章 质点运动微分方程
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
理论力学课后习题答案
第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)8. 如图所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
理论力学：第11章 动量矩定理
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学11梁的位移计算
dvM dxEI ( z x)
θ ( x) = = ∫
⎛ M ( x) ⎞ v( x) = ∫ dxEI ⎜∫ z
dx + C
dx ⎟dx + Cx + D C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定。 ⎝ EI z⎠ 挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得 到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积 分法。
本章小结
挠曲线、挠度、转角、挠曲线方程、转角方程
v = f ( x)
θ = θ ( x)
挠曲线微分方程
dv θ ≈ tgθ = dx
dv ±
2
2
dx dv 2 ⎤⎡ 1+ ( ) ⎥⎢ dx ⎦⎣
将b处约束去掉基本静定系静定基相当系统加上q及约束力变形协调条件marblqlvbeirb39梁的位移计算本章小结挠曲线挠度转角挠曲线方程转角方程dx挠曲线微分方程dxdv40梁的位移计算积分法求梁的位移边界条件和连续条件dvmdxdx叠加法求梁的位移梁的刚度条件4041梁的位移计算提高梁的刚度的主要措施增大截面惯性矩
23
梁的位移计算
24
梁的位移计算
25
梁的位移计算
思考：
应用叠加法求梁的位移，必须满足的条件是什么？ 答：小变形，材料符合胡克定律。
26
梁的位移计算
4 3
已知图1B点的挠度和转角分别为 ql / 8 EI ， ql / 6 EI ， 图2C截面的转角为多少？
q
A
l
B
ql / 8 EI
3
q
A B
3
16
例
３
求简支梁最大挠度，Ｆ已知，EI为常数。
解
１、建立挠曲线微分方程
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13.1 半径为R 的均质圆轮质量为m ，图a ，b 所示为圆轮绕固定轴O 转动，角速度为ω，图c 所示为圆轮在水平面上作纯滚动，质心速度为v 。
试分别计算它们的动能。
解：（a ）圆轮绕固定轴O 转动，动能为 22223,21mR mR J J J T C O O =+==ω导得 243mR T = （b ）圆轮绕固定轴O 转动，动能为2221,21mR J J T O O ==ω导得 241mR T = （c ）圆轮在水平面上作纯滚动，由König 定理，动能为22221,,2121mR J R v J mv T C C ==+=ωω导得 243mR T =13.2 图示均质杆长l ，质量m ，绕点O 转动的角速度为ω，均质圆盘半径为R ，质量m 与杆相同，求下列三种情况下系统的动能：（a ）圆盘固结于杆；（b ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω-；（c ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω。
解：（a ）圆盘固结于杆，则圆盘的运动为绕点O 转动，角速度为ω，则系统动能为 222221222121,121,2121ml mR ml J J ml J J J T A +=+==+=ωω导得 22212132121ωm l R T ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（b ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω-，则圆盘的绝对角速度等于零，则系统动能为l v ml J mv J T A A ωω==+=,121,212121221导得 222413ωml T = （c ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω，则圆盘的绝对角速度等于2ω，则系统动能为()l v mR J ml J J mv J T A A ωωω===++=,21,121,2212121222122221导得 2222121321ωm R l T ⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 13.3 输送器A 以10m/s 的速度沿轨道运动如图示，其上用轻杆吊一重450N 、半径为0.3m 的均质圆盘。
若圆盘以5rad/s 的角速度转动，试计算圆盘在此瞬时的动能。
解：均质圆盘作平面运动。
C （基点A ）：i v v v )(A CA A C l v ω+=+=圆盘动能：m N 5.62762121)(212121222A 2C 2C ⋅=++=+=ωωωr g W l v g W J mv T13.4 均质杆CD 和EA 分别重50N 和80N ，铰接于点B 。
若杆EA 以2rad/s =ω绕A 转动，试计算图示位置两杆的动能。
解：B （基点D ）：BD D B v v v +=m/s)(34.13B D ==v vm /s)(8.22B BD ==v v ，rad/s)(314CD =ωO 点为CD 杆的瞬心，)m/s (37.01CD C 1=ω=OC v则 )m N (44.5131212AE AE AE ⋅=ω=g W T )m N (50.79.012121212CD 2CD 2C CD CD 1⋅=ω+=g W v g W T13.5 图示机构中，曲柄OB 以r/min 0003=ω转动。
设m 6.03==r l ，杆AB 重2N ，求θ为任意位置时连杆AB 的动能，并计算 30=θ和 60时的数值。
解：设多余坐标ϕ，与θ存在以下关系θ=ϕcos sin r l 则有ωϕθ-=ϕ)cos /sin (r l 因 ϕ-θ=sin )2/(cos C l r x ，ϕ+θ=cos )2/(sin C l r y可得)sin()2/()(222C 2C 2C ϕ-θϕθ+ϕ+θ=+= rl l r y x v]cos /)sin(sin )cos /(sin 311[211212*********C AB ϕϕθθϕθωϕ--+=+=r g W l gW v g W Tm)N (91.9|30AB ⋅==θ Tm)N (92.5|60AB ⋅==θ T13.6 重量为W 的鼓轮沿水平面做纯滚动如图示，拉力F 与水平面成 30角。
轮子与水平面之间的静摩擦因数为s f 滚阻系数为δ，求轮心C 移动距离为x 的过程中力的功。
其中r R 2=。
解：受力分析：作用与鼓轮的外作用力系为重力、拉力、地面法向约束力、滑动摩擦力和滚阻力偶，如图所示。
因为0=C y ，所以 030sin N =+-F W F ()()30sin ,30sin ,30sin T N F W M F W f F F W F -=-=-=δ 拉力所做的功（将力向轮心简化，得到一力和一力偶）： R x Frx F A +⋅= 30cos F滑动摩擦力所做的功： 0T T F T =+-=R x RF x F A滚阻力偶所做的功： ()R x F W R x MA M 30sin --=-=δ13.7 图示机构水平放置。
均质杆AB 重量为20kg ，长为2m ，其两端铰接两质量为5kg 、半径为300mm 的相同齿轮G 和H （可看作均质圆盘）。
若在齿轮H 上作用一力偶m N 5⋅=M ，求系统由静止开始运动20s 后齿轮H 的角速度。
解：因2/B l r v ω'=ω=故 ω=ω'3.0系统：A T T =-0θ=ω+ω+ω''M r m mr l m ])(212121[21212122222 对上式求导，注意到ω=θ ，α=ω，导出 2rad/s 564.2=α齿轮H 的角加速度α为常值，则角速度ω为rad/s 28.51=α=ωt13.8 一复摆绕点O 转动如图示，点O 离开其质心O '的距离为x 为何值时，摆从水平位置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速度。
解：复摆：A T T =-0mgx J x m =ω+ω'2O 221)(21 解出)/(2O 22'+=ωJ mx mgx令 0)/()(2/2O 22O 2=+-=∂ω∂''J mx mx J mg x求得 2O O 2''ρ==m J mx即O 'ρ=x 时ω有极值：O /'ρ=ωg因为 0)/()3(4/3O 2O 2222<+--=∂ω∂''J mx J mx gx m x 此ω为最大角速度。
13.9 等长、等重的三根均质杆用理想铰链连接，在铅垂平面内摆动。
求自图示位置无初速释放时杆AB 中点C 的加速度，以及运动到平衡位置时C 的速度。
设杆长m 1=l 。
解：系统：A T T =-0)cos (cos 2)(21312120222θ-θ=θ+θ⋅mgl l m ml对上式求导并令 45=θ，解出2C m/s 316.8sin 56-=θ-=θ=g l a将0=θ， 450=θ代入动能定理，求得 m/s 625.25/)22(6C -=--=θ=gl l v13.10 绕水平轴O 转动的滑轮上放一软链如图示。
稍有扰动时，软链即下滑而带动滑轮转动。
求软链脱离滑轮时的速度。
设软链重G ；滑轮重W ，半径为R ，可看作均质圆盘。
解：系统：A T T =-0)22()(212121222R R G R v R g W v g G π+π=+由上式解得 )2/()22(4W G G gR v +π+π=13.11 均质杆长l 2，在光滑水平面上从铅垂位置无初速地倒下如图示。
求其重心C 离开平面的高度为h 时的速度。
解：水平方向杆不受力作用，质心C 将铅垂下落，P 为杆速度瞬心，杆角速度为22C C //h l v PC v -==ω （1）杆AB ：A T T =-0)()2(1212121222C h l mg l m mv -=ω+将式（1）代入，解得 )34/()(6)(22C h l h l g h l v -+-=13.12 将一均质半圆球放于光滑的水平和铅垂平面之间，并使其底面位于铅垂位置如图示。
今无初速地放开。
求半圆球转过 90，即当其底面位于水平位置时其质心C 的速度，并证明此后半圆球将继续侧转的最大角度)128/45arccos(=θ。
解：C （基点O ）：n CO CO O C a a a a ++=τϕ+ϕ+=τcos sin n CO CO O Cx a a a a半球在转过 90过程中，0Cx >a ，由N1Cx F ma =可知01N >F ，即在此过程中半球绕O 作定轴转动：半球：A T T =-0，r mg mr 83522122=ω r g 8/15=ω，8/158383C gr r v =ω=90=ϕ（即 0=θ）后，半球作平面运动，由于水平方向无外力作用，质心水平速度保持不变。
半球：A T T =-0θ=cos 83212C r mg mv ，（0=ϕ为初始状态）解得)128/45arccos(=θ13.13 均质杆AB 长l ，重1W ，上端B 靠在光滑墙上，下端A 铰接于车轮轮心。
车轮重2W ，半径为r （可视作均质圆盘），在水平面上只能作纯滚动，滚动阻力不计。
设系统有图示位置（45=θ）开始运动，试用能量守恒定律计算此瞬时轮心A 的加速度。
解：AB 杆的速度瞬心为P ，则有θ==θcos //A A l v PA v ，θ= )2/(C l v （1）系统：const =+V T （取A 为重力势能零点）const cos 221)(2121211212112A 22A 222C 1221=θ++++θl W v g W r v r g W v g W l g W将式（1）代入上式，对时间求导得 0tg 21cos 3sin )23cos 3(112A 41A 221=θ-θθ-+θW l v g W a W W g将 45=θ，0A =v 代入上式，解出)94/(3211A W W g W a +=13.14 长l 、重W 的三根相同的均质杆用理想铰链连接如图示，在铅垂平面内运动。
一质量不计、刚度系数为k 的弹簧，一端与BC 杆的中点E 连接，另一端可沿光滑铅垂导槽滑动。
杆AB 和CD 与墙垂直时，弹簧不变形。
求系统在此瞬时有静止释放时杆AB 的角加速度。
解：系统为一自由度，设θ为广义坐标。
系统：A T T =-0 202022022)]cos 1([21)sin (sin 2])()[(21)(31212θθθθθθθ---=-+-⋅l k Wl l l g W l g W将上式对时间求导，导出 θθ--θ=θsin )cos 1(cos 2352kl Wl l g W将 0=θ代入上式，解得l g 5/6=θ13.15 一台阶圆柱大、小圆半径分别为1.3m 和0.6m ，质量为36kg ，对于转动轴的回转半径为1m 。