《理论力学》第十一章动量矩定理习题解
理论力学第十一章-2
dr 而 mv v mv 0 , r F M O ( F ) , dt d d [ M O (mv )] M O ( F ) 故： (r mv ) r F , dt dt 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
[例4]：两小球质量皆为m,初始角速度 0 求：剪断绳后, 角时的 .
解: 取A、B小球为研究对象， 受力分析：作用于二小球 的外力对转轴的矩都为零。 运动分析： A、B二小球均 作圆周运动。
17
M z
(e)
0
A、B二小球对其转轴的动量矩守恒。
依动量矩守恒定理有：
0
时,
Lz1 2ma0 a 2ma20
1
, 2
,总体积流量V q
。
19
经△t 时间,水流动量矩改变为：
dLO Labcd LABCD LCDcd LABab
设叶片数为 n ,水密度为 ,有
1 LCDcd qV dt v2 r2 cos 2 n 1 LABab qV dt v1 r1 cos1 n 1 dLO qV dt (v2 r2 cos 2 v1r1 cos1 ) n dLO M O (F ) n qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos1 ) dt
7
2．定轴转动刚体
Lz M z (mi vi ) mi ri J z
2
定轴转动刚体对转轴的动量 矩等于刚体对该轴转动惯量 与角速度的乘积。 3．平面运动刚体 Lz M z (mvC ) J C 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动 量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该 轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
理论力学(盛冬发)课后习题问题详解ch11
第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。
11 动量矩定理题解
解得 1
式中 FT1 FT 1 ， FT2 FT2 ， 2
2( R2 M R1 M ' ) g 2 (P 1 P 2 ) R1 R2
即第一个带轮的角加速度 1
2( R2 M R1 M ' ) g 2 (P 1 P 2 ) R1 R2
FOy
r1
r2
O
FOx
m3 g vA
A B
vB m2 g
m1 g
解：设塔轮的角速度为，则 A 块速度为 v A r1 ，B 块速度为 vB r2 ， 系统对水平轴 O 的动量矩 LO m1v A r1 m2vB r2 J (m1r12 m2 r22 m3 2 ) 由动量矩定理，
l l cos , yC sin ， 2 2
注意到
得 aCx
d d d d d ， dt dt d dt d
O A (b)
r
2 解： LO J O ml
1 3
1 2 mr ml 2 2
1 2 (8l 3r 2 ) m 6
（c）图示滑轮组，重物 A 和 B 质量分别为 m1 和 m2；滑轮 O 的质量为 m3，半径为 r，可视 为均质圆盘。滑轮绕水平轴 O 的作定轴转动，角速度为。 （绳子不计质量和弹性。 ） r O
11.7 均质圆轮 A 重量为 P1，半径为 r1，以角速度 绕杆 OA 的 A 端转动，此时将轮放置 在均质轮 B 上；杆 OA 重量不计；均质轮 B 重量为 P2、半径为 r2，初始静止，但可绕 其中心自由转动。放置后轮 A 的重量由轮 B 支持。设两轮间的摩擦系数为 f ’；求自轮 A 放在轮 B 上到两轮间没有相对滑动时的时间。
理论力学(11.7)--动量矩定理作业解答
第11章作业答案
1、解 （1）轮A 绕O 定轴转动
（2）轮A 作平面运动
（3）轮A 绕O 作圆周曲线平移
2、解 分别取轮A、B 为研究对象，其受力和运动分析如图b、c 所示，根据刚体绕定轴转动的微分方程式，对轮A，B 分别有
分离变量并积分
3、解 取轮子为研究对象，轮子受力如图b 所示，根据刚体平面运动微分方程有
因轮子只滚不滑，所以有
上式对时间2 次积分
4、解 取均质圆柱体A 为研究对象，其受力如图b 所示，根据刚体平面运动微分方程有
由运动学公式知
5、解 以圆板和质点M 为系统，因为系统所受外力（包括重力和约束力）对轴z 的矩均为零，故系统对轴z 动量矩守恒。
设质点M 在M0 位置为起始位置，该瞬时系统对轴z 的动量矩
在任意时刻：
6、解 （1）取均质杆为研究对象，受力及坐标系Oxy 如图b 所示，杆AB 作平面运动，质心在点C。
刚体平面运动微分方程为
将其对间t 求2 次导数，且注意到
分离变量并积分得
（2）当杆脱离墙时F N A= 0。
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0 Fox m2l amgFOy
FOymgm2lam 4g
§11-4 刚体对轴的转动惯量
一．定义： Jz miri2
z
i
对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分
形式
Jz r2 dm
由定义可知，转动惯量不仅与 质量有关，而且与质量的分布有关；
ri
vi
mi
在国际单位制中，转动惯量的单位
是: kg·m2。同一刚体对不同轴的转
Jz mz2
回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集 中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该 点到轴的距离就等于回转半径的长度。
3、平行轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体 对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，
zC
z1
m
C
Jz1 JzC md2
dLO dt
MO(Fi(e))
若 Mz(F(e))0，则 Lz 常量。
dLz dt
Mz (Fi (e) )
例 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量 为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上
的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为a。
设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
O u
A
mg
mg
解：以系统为研究对象，受力如图。
由于SMO(F (e))＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。
设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为
va uv
v
LOmarvmv0 r
FOy
O
FOx
u
A mg mg
L Om (uv)rm v0r
理论力学(机械工业出版社)第十一章动量矩定理习题解答
习 题11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。
其中a 、b 和w 均为常量。
试求质点对坐标原点O 的动量矩。
t a xv x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-=)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω⨯+⨯= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω⨯+⨯= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω⨯+⨯= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2=11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。
如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。
（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。
图11-25(1)θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =⨯= θω22sin 2l m L z = (2)θθ2202sin 32d )sin (2ml x x lm J l z ==⎰杆 θ22sin 38ml J z = θω22sin 38l m L z =11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。
各物体质量均为m 。
图11-26(a) ω231ml L O =(b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω291ml L O -=(c) 2222452312121ml l m l m J O =⨯⨯+⨯⨯=ω2245ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω223mR L O =11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m ，高为h ，试求对底边的转动惯量J x 。
理论力学：第11章 动量矩定理
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学：第11章 动量矩定理
·1·第11章 动量矩定理11.1 主要内容11.1.1 质点系动量矩计算质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩，即∑∑==⨯==n i n i i i i i O O m m 11)(iv r v M L质点系对于某轴，例如对z 轴的动量矩为∑==n i i i z z m M L 1)(v刚体对转动轴z 轴的动量矩为z z I L =质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩，即i i ni i C m v r L ⨯'=∑=1i r '为第i 个质点对质心的矢径。
质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。
C v r L L m C C O ⨯+=当刚体作平面运动时，又可表示为d mv L L C ±=C O其中d 为点至v C 的垂直距离，当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值，反之取负值， 11.1.2 质点系的动量矩定理（1）对固定点的动量矩定理质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即)(e O O dt d M L =在直角坐标系上的投影式为·2·⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F（2）质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。
即(e)C C M L =dt d 或 (e)C Cr M L =dt d式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。
(3) 动量矩守恒定律在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩为一常矢量，即()0=e OM ，常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质点系对该轴的动量矩为一常数，例如0)()(=∑e x M F ，L x =常数11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ，则刚体绕固定轴z 的微分方程为z z M tI =22d d ϕ 或z z M I =ε在工程中，常将转动惯量表示为2z z m I ρ=z ρ称为回转半径。
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y第十一章 动量矩定理 习题解[习题11-1] 刚体作平面运动。
已知运动方程为：23t x C =，24t y C =，321t =ϕ，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。
设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。
解：)(1223|22m x t C =⨯==)(1624|22m y t C =⨯==t t dtddt dx v C Cx 6)3(2===)/(1226|2s m v t Cx =⨯==t t dtddt dy v C Cy 8)4(2===)/(1628|2s m v t Cy =⨯==2323)21(t t dt d dt d ===ϕω )/(6223|22s rad t =⨯==ω→→→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω →→-+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2ωρ→=→⨯-⨯+⨯⨯=k L t O ]1612121665.0[10|22→=→=k L t O 15|2 )/(2s m kg ⋅，→k 是z 轴正向的单位向量。
[习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。
解：gPl l g P J ABz 33122,=⋅⋅=平动)(a O 转动绕定轴C )(b 转动绕定轴1 )(Oc O 在圆弧上作纯滚动)(d gl R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=⋅+⋅⋅=圆盘ωω⋅+⋅=圆盘,,z AB z z J J Lω4)4(3[222g l R W g Pl L z ++=ω)4443(222g WR g Wl g Pl L z ++=ω)4333(222gWR g Wl g Pl L z ++=ω)433(22R gW l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。
解：)(a因为圆盘作平动，所以ωω211ml J L z O O ==解：)(b→→→→⨯+=p r L L C C O 1其中，质心C 的动量为0ωω2211mR J L Cz O == 解：)(cωω)21(2211ml mR J L z O O +==解：)(d因为圆盘作平面运动，所以：)(11→+=C Z O Cz O v m M J L ωv Bv )(2121l R mR mR L O +-=ωω ωω)21()21(2221l R mR m Rl R R L O -=--=[习题11-4] 均质直杆AB 长为l ，质量为m ，A 、B 两端分别沿铅垂和水平轨道滑动。
求该杆对质心C 和对固定点O 的动量矩C L 和O L （表示为ϕ和••ϕ的函数）。
解：(1) 求C Lϕcos l y A =ϕϕϕϕsin sin ••-=⋅-==l l dtdy v AAϕsin l x B =ϕϕϕϕcos cos ••=⋅==l l dtdx v BB••===ϕϕϕϕωcos cos l l BI v B AB（逆时针，转向如图所示） )(→+=C C AB C C v m M J L ω 0+=AB C C J L ω•=ϕ2121ml L C→•→=k ml L C ϕ2121（2）求O Lϕϕϕcos 2cos 24cos 222⋅⋅⋅-+=ll l l OC2lOC =ϕϕϕcos 2cos 24cos 222⋅⋅⋅-+=ll l l IC2lIC = ϕsin 2lx C =••-=ϕϕ43122ml ml L O ϕϕcos 2•==ldt dx v C Cx ϕϕcos 2)90sin(20ll y C =-=ϕϕsin 2•-==l dt dy v C Cy)(→+=C Oz AB Cz O v m M J L ωC Cy C Cx O x mv y mv ml L --=•ϕ2121ϕϕϕϕϕϕϕsin 2sin 2cos 2cos 21212l l m l l m ml L O ⋅⋅-⋅⋅-=•••ϕϕϕϕϕ22222sin 4cos 4121•••--=ml ml ml L O)sin (cos 41212222ϕϕϕϕ+-=••ml ml L O••-=ϕϕ412122ml ml L O•-=ϕ261ml L O→•→-=k ml L C ϕ261[习题11-5] 均质杆AB 长l 、重1P ，B 端刚连一重2P 的小球（小球可视为质点），杆上D 点连一刚度系数为k 的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。
设给小球B 一微小初位移0δ后无初速释放，试求AB 杆的运动规律。
解：以AB 杆为研究对象，其受力如图所示。
质点系的动量矩为：ωω22l m J L Oz O +-=ωω22213l gPg l P L O --= 外力矩为：R zl P lP l T F M D i O 2123)(--⋅=→l P l P l k F M i O 21233)(--⋅=→δl P l P l kl F M i O 21233)(--⋅≈→ϕl P lP kl F M i O 21229)(--≈→ϕ由动量矩定理得：)(→=i O OF M dtdLl P l P kl l g P g l P dt d 212222129)3(--=--ϕωω l P lP kl dt d l g P dt d g l P 2122221293++-=+ϕωω212129)3(P P kl dt d l g P g P ++-=+ϕωl gP g P P P kl dtd )3(292121+++-=ϕω l gP g P P P kl dtd )333(18181891822121+++-=ϕωg l P P P P kl dt d 3)3(18)1892(2121+++-=ϕωlP P gP P kl dt d )3(6)1892(2121+++-=ϕω l gP P kg dtd 23)3(32122++-=ϕϕ023)3(32122=-++l gP P kg dtd ϕϕ 令：)3(32120P P kg+=ω，则上式变为：lg 2320=+••ϕωϕ 通解为：)sin(0αωϕ+=t A0)0sin(|00=+⨯==αωϕA t 0sin =α[习题11-6] 两个重物A 、B 各重1P 、2P ，分别系在两条绳上，此两绳又分别围绕半径为1r 、2r 的鼓轮上，重物受重力影响而运动。
求鼓轮的角加速度α。
鼓轮和绳的质量均略去不计。
解：质点系的动量矩为：222111r v m r v m J L Oz O ++=ω ω)(222211r m r m J L Oz O ++=外力对O 点之矩为：22110)(r P r P F M i -=→由动量矩定理可知：)(→=i O OF M dtdL 2211222211])[(r P r P r m r m J dtdOz -=++ω 2211222211)(r P r P dtd r m r m J Oz -=++ω2211222211)(r P r P r m r m J Oz -=++α2222112211r m r m J r P r P oz++-=αOxF OyA22221122211021r g P r g P R r P r P ++⨯⨯-=αg r P r P r P r P 2222112211+-=α[习题11-7] 一倒置的摆由两根相同的弹簧支持。
设摆轴圆球与直杆组成，球重W ，半径为r ，杆重不计。
弹簧的刚度系数为k 。
问当摆从平衡位置向左或向右有一微小偏移后，是否振动？写出能发和振动的条件。
解：质点系的受力如图所示。
ω)21(22l gWr g W L O +⋅=ϕϕtan cos 2)(Wl b F F M A i O +-=→ϕϕWl b kb F M i O +-≈→)(2)( ϕ)2()(2kb Wl F M i O -=→由动量矩定理得：ϕω)2(])21[(222kb Wl l g W r g W dt d -=+⋅ ϕω)2(2)2(222kb Wl dtd g W l r -=+ϕϕW l r g kb Wl dt d )2()2(222222+-= 0)2()2(222222=+-+ϕϕW l r gWl kb dt d 令Wl r g Wl kb )2()2(222220+-=ω，则： 020=+••ϕωϕ上式的通解为：)sin(0αωϕ+=t A。