第十一章 动量矩定理
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11)动量矩定理
动量矩定理
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩
第十一章 动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
根据质点动量矩定理：
e i d M O mi vi M O Fi M O Fi dt e i d 对于质点系： M O mi vi M O Fi M O Fi dt i 内力总是成对出现： M O Fi 0
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
v
B
R
O
r
第十一章 动量矩定理
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： L J z z
Fn
d 根据动量矩定理： J z M z Fi dt d d 2 Jz J z J z 2 M z F dt dt
第十一章 动量矩定理
将 mi vi mvC 和 vi vC vir 代入： rC mi vi ri mi vi rC mvC ri mi vC vir rC mvC mi ri vC ri mi vir
C
A
e
r
P
第十一章 动量矩定理
3、相对于质心的动量矩定理
dLO d e ri rC ri rC mvC LC ri Fi dt dt e e 右边 rC Fi ri Fi drC dLC d 左边 mvC rC mvC dt dt dt e dLC vC mvC rC maC maC Fi dt e dLC rC Fi dt
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
11.动量矩定理
M
t 0 o 得D o 由
例二 . 电动绞车提升一质量为m 的物体 , 在其主动轴上作用有一个力偶其矩为 M . 已知主动轴齿轮和从动轴齿轮各自对其转轴的转动惯量分别为 J1 和 J2 . 传 动比 z2 : z1 = i ; 从动轮上的鼓轮半径为R . 不计绳索的质量和各处摩擦. 求: 重物的加速度.
v
O
解: 取整个系统为研究对象, 受力及运 动分析如图
θ
v
由对O点的动量矩定理 M d ( J O m 2 vR ) m 2 gR sin M Fy dt R ω a J O m 2 R a M m 2 gR sin R O Fx MR m 2 gR 2 sin M a J O m 2R 2 m1 g
θ
m2 g
FN
▲: 平动物体对任何一点的动量矩都很容易求得. 将若干个平动物体与一个转动物体作为一个系统 运用动量矩定理可以避免某一些未知力的出现 , 从而可简化解题的步骤.
§11 – 3 刚体绕定轴转动的微分方程
对绕定轴(不妨设为z轴)转动的刚体而言 , 对转轴的动量矩定理可 写为
n d (J zω) = ∑ M z (F i ) dt i =1
z
J z m i ri
i 1
n
mi
O
在如图示的坐标系下, 刚体对三个 坐标轴的转动惯量分别为:
y
zi
ri
Jx Jy Jz
2 2 m ( y z i i i) i 1 n 2 2 m ( x z i i i) i 1 n 2 2 m ( x y i i i) i 1
动量定理描述了物体的运动和力之间的关系,
但并不完整. 在运用动量定理时, 不能求力偶或
第11章 动量矩定理
M z Q(v1r1 cos1 v2r2 cos2 )
例 3 （书上例 11-7，动量矩守恒。）
质量为 m1 = 5kg，半径 r = 30cm 的均质圆盘，可绕铅直轴 z 转
动，在圆盘中心用铰链 D 连接一质量 m2 = 4kg 的均质细杆
AB，AB = 2r，可绕 D 转动。当 AB 杆在铅直位置时，圆盘的
三、 刚体 1. 平动刚体
11-1
LO r MvC
2. 转动刚体（对定轴或平面上定点）
Lz I z
LO IO
3. 平面运动刚体
对质心 C： LC IC
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
l 3g
而 aC
2
4
则
W 3g W
NA W g
4
4
IV. 绳子剪断前后 A 反力的变化：
WW W ΔN A N A N A0
42 4
例 2 例 11-5 （较典型题目）
作业：11-18
11.4 质点系相对动点的动量矩定理(*)
此部分较难，特别是公式推导不易理解。主要掌握两种：①对质心的动量矩定理；②平
m2 g
转速为 n = 90rpm。试求杆转到水平位置，碰到销钉 C 而相对
静止时，圆盘的转速。
解：系统对 z 轴动量矩守恒。
初时系统动量矩： Lz I z盘 1 m1r 2 4
末时系统动量矩： Lz Iz盘 Iz杆 1 m1r2 1 m2 (2r)2
4
12
Lz Lz
11-4
1 4
m1r 2
理论力学：第11章 动量矩定理
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
转动惯量
图 11-5
d 2ϕ ＋ g ϕ ＝0 dt 2 l 解此微分方程，得单摆作微小摆动时的运动方程为：
ϕ
＝ ϕ0 sin(
g ⋅t +α ) l
式中 ϕ0 为角振幅，α 为初位相，由初始条件确定，其周期为：
T＝2π l
g 这种周期与初始条件无关的性质，称为等时性。
三、质点系的动量矩定理
设质点系由
n
个质点组成，作用于每个质点的力分为内力
m0(F) O
mv F
M r
y
x 图 11-1
z
A
mv
α
m0(mv) θ
M
O
r
y
A΄
x
M΄ (mv)xy
图 11-2
二、质点系的动量矩
质点系对某点
O
的动量矩等于质点系内各质点的动量对该点的矩的矢量和。用
v L0
表
示。即
v L0
=
∑ mv 0 (mi vvi )
=
∑ rvi
× mi vvi
（11-4）
影 (mvv)xy 对于点 O 的矩，定义为质点动量对于 z 轴的矩,简称对于 z 轴的动量矩。对轴
的动量矩是代数量（图 11-2），即 m z (m vv ) = m 0 (m vvxy ) = ±2ΔOM A′ = x(mv y ) − y (mv x )
同样，质点对于点 O 的动量矩与对 z 轴的动量矩的关系，和力对点的矩与力对轴的
192
矩关系相似。动量 mvv 对通过点 O 的任一轴的矩，等于动量对点 O 的矩矢在轴上的投影。
即
故
mv
[ mv 0（m
ovv(m）=vvm)x](zm=mvv )z(ivm+vvm)y
动量矩定理
动量矩定理
问题引入
观 察 猫 的 自 由 下 落
问题：应用动量定理只能分析出其质心 加速度，如何分析猫的转体？
动量矩定理
问题引入
猫 下 落 的 分 解 镜 头
动量矩定理
问题引入
质点 动量定理： 质点系
动量的改变—外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢）
若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动
动量矩定理
动量矩定理
2、质点的动量矩守恒定律 质点对定点的动量矩守恒：
若 MO (F ) 0 若 M z (F ) 0
M O ( mv )=恒矢量
d M O ( mv ) M O ( F ) dt
质点对定轴的动量矩守恒：
M z ( mv )
d M z (mv ) M z (F ) dt =恒量
分析：研究整个系统。进行受力分析。
mO ( F ) m A gr m B gr 0
O RO
LO const 0 ,
即：质点系对轴O的动量矩守恒， 且等于零。
m Av Aa r m B v Ba r 0 v Aa v Ba
即：二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！
W LO J O vR g
JO W LO ( R )v R g
v R
O
FOx
M
(e)
WR
mg
应用动量矩定理
JO W dv ( R ) WR R g dt
dLO M(e ) dt
P WR2 a W 2 ( JO R ) g W
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(11-5) 即刚体对任一轴的转动惯量，等于该刚体对于过质心且与这一轴平行 的轴的转动惯量，加上该刚体的质量与两轴间距离的平方的乘积。这就是 转动惯量的平行轴定理。
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(11-5) 由这一定理可知，在所有相互平行的轴中，刚体对过其质心的轴的转动惯量 是最小的。
解析：复摆由一均质杆和均质圆盘组成，所以
质点系的动量为
外力对O点的合力矩为
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11-4 刚体定轴转动微分方程
上式即为刚体转动微分方程。
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例11-7 求如图所示悬挂在固定的水平 轴上的刚体（称为复摆或者物理摆）， 在微小摆动时的运动规律及周期。空气阻力及转动轴处的摩擦都不计。 所有外力对转轴的力矩之和为
解得
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三、动量矩守恒定理
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由于在这个过程中，没有力 或者说是ห้องสมุดไป่ตู้矩做功，则转动动量 （或者说动量矩）大小不变。
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11-5 如图所示，卷扬机鼓轮质量m1，半径r，可绕过鼓轮中 心的水平轴转动。鼓轮上绕一绳，绳的一端悬挂一质量为m2的重 物。鼓轮视为均质，今在鼓轮上作用一不变力矩M，试求重物上升 的加速度。
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分析主动轮，得 分析从动轮，得
解得:
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在剪断绳子的瞬间，受力情况如图 所示，所受力矩为
解得：
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当杆落至任意位置时，受力情况如图所示，所 受力矩为：
故切向加速度为：
对上式两边同时积分： 故法向加速度为：
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解得
L
r
x
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11-2 动量矩
对某一固定轴的动量矩为
二、质点系的动量矩
质点系中所有各质点的动量对于任选的固定点O的矩的矢量和，称为质 点系对固定点O的动量矩，记为
(11-8)
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三、定轴转动刚体对转轴的动量矩
而整个刚体对转轴z的动量矩为
即定轴转动刚体对于转轴的动量矩，等于刚体对于转轴的转动惯量与 角速度的乘积。
11-1 转动惯量
(11-1) 刚体对某一轴的转动惯量不仅与刚体的质量大小有关， 而且还与质量对轴的分布情况有关。
转动惯量是刚体转动惯性的度量。单位为：kg*m2。
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对于简单形状的刚体，若刚体的质量连续分布，则式(11-1)应改写为 (11-2)
工程上在计算刚体的转动惯量时，常应用下面的公式： (11-3)
例11-2 求半径为R，质量为m的均质等厚薄圆板对通过质心且与板面 垂直的z轴的转动惯量。
二、平行轴定理
从转动惯量的计算公式可见，同一刚体对不同的轴的转动惯量一般是不 同的。在工程手册中往往只能查出物体对于通过其质心的轴的转动惯量，但 在实际问题中，物体都常常绕不通过质心的轴的转动，而往往直接计算刚体 对这些轴的转动惯量又非常困难。因此需寻找求解转动惯量的方便途径。
例11-8 如图所示传动系统，主动轮半径为r1，对于其转轴的转动惯量为J01， 从动轮半径为r2，鼓轮半径为r。鼓轮与从动轮固结成为一个刚体，从动轮连同鼓 轮对于其转轴的转动惯量为Jo2。鼓轮外绕一绳，绳端系一质量为m的物体。 若 在主动轮上作用一不变力矩M，设轴承处摩擦及绳和胶带质量不计，求重物的加 速度。
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11-3 质点系的动量矩定理
一、质点系对固定点的动量矩定理
因为内力总是大小相等，方向相反，作用线相同地成对出现，所以内力 矩应为零，则有
由上式可知，质点系对于任一固定点O的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的所有外力对同一点的力矩的矢量和。
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将上式投影到固定的直角坐标轴上，得
注意，回转半径不是刚体某一部分的尺寸，它只是在计算刚体的转动惯 量时，假想地把刚体的全部质量几种在离轴距离为回转半径的某一圆柱面上 （或点上），这样在计算刚体对该轴的转动惯量时，就简化为计算这个圆柱 面或点对该轴的转动惯量。
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教师：袁方强
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度量力对绕某点或某轴转动的刚体的作用效果，不能仅用力的大小和方向， 还要用到力对该点或轴之矩。同样，度量绕某点或某轴转动的刚体的机械运动， 就不能仅用刚体的动量，还要用动量对该点或该轴之矩。例如，一刚体在外力系 作用下绕过质心的固定轴转动，无论刚体转动的快慢如何，也无论其转动的状态 变化如何，它的动量恒等于零。