《理论力学》第十一章动量矩定理习题解

y

x

第十一章 动量矩定理 习题解

[习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2

3t x C =，24t y C =，3

2

1t =

ϕ，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解：

)(1223|2

2m x t C =⨯== )(1624|22m y t C =⨯==

t t dt

d

dt dx v C Cx

6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =⨯==

t t dt

d

dt dy v C Cy

8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =⨯==

2323)21(t t dt d dt d ===

ϕω )/(622

3

|22s rad t =⨯==ω

→

→→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω →

→

-+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2

ωρ

→

=→

⨯-⨯+⨯⨯=k L t O ]1612121665.0[10|2

2

→

=→

=k L t O 15|2 )/(2

s m kg ⋅，→

k 是z 轴正向的单位向量。

[习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解：

g

Pl l g P J AB

z 3312

2,=⋅⋅=

平动

)(a O 转动

绕定轴C )(

b 转动

绕定轴1 )(O

c 1

O 在圆弧上作纯滚动

)(d g

l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=⋅+⋅⋅=圆盘

ωω⋅+⋅=圆盘,,z AB z z J J L

ω4)

4(3[222g l R W g Pl L z ++=

ω)4443(

2

2

2

g

WR

g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2

22g

WR g Wl g Pl L z ++=

ω)433(

2

2R g

W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a

因为圆盘作平动，所以

ωω211ml J L z O O ==

解：)(b

→

→→→⨯+=p r L L C C O 1

其中，质心C 的动量为0

ωω22

1

1mR J L Cz O =

= 解：)(c

ωω)2

1

(2211ml mR J L z O O +==

解：)(d

因为圆盘作平面运动，所以：

)

(11→

+=C Z O Cz O v m M J L ω

→

A v B

v )(21

21l R mR mR L O +-=

ωω ωω)2

1

()21(2221l R mR m Rl R R L O -=--=

[习题11-4] 均质直杆AB 长为l ，质量为m ，A 、B 两端分别沿铅垂和水平轨道滑动。求该杆对质心C 和对固定点O 的动量矩C L 和O L （表示为ϕ和•

•ϕ的函数）。 解：(1) 求C L

ϕcos l y A =

ϕϕϕϕsin sin ••-=⋅-==l l dt

dy v A

A

ϕsin l x B =

ϕϕϕϕcos cos •

•

=⋅==

l l dt

dx v B

B ••

===ϕϕ

ϕϕωcos cos l l BI v B AB

（逆时针，转向如图所示） )(→

+=C C AB C C v m M J L ω 0+=AB C C J L ω

•=ϕ2

121ml L C

→•→=k ml L C ϕ2

12

1

（2）求O L

ϕϕϕcos 2

cos 24cos 22

2

⋅⋅⋅-+=l

l l l OC

2

l

OC =

ϕϕϕcos 2cos 24cos 22

2

⋅⋅⋅-+=l

l l l IC

2l

IC = ϕ

sin 2

l

x C =

•

•-=ϕϕ43122ml ml L O ϕϕcos 2

•==l dt dx v C Cx

ϕϕcos 2

)90sin(20l

l y C =-=

ϕϕsin 2

•-==l dt dy v C Cy

)(→

+=C Oz AB Cz O v m M J L ω

C Cy C Cx O x mv y mv ml L --=

•

ϕ212

1

ϕϕϕϕϕϕϕsin 2

sin 2cos 2cos 21212

l l m l l m ml L O ⋅⋅-⋅⋅-=•••

ϕϕϕϕϕ222

22sin 4cos 4121•••--=ml ml ml L O

)sin (cos 41212222

ϕϕϕϕ+-=••ml ml L O

••-=ϕϕ4

12122

ml ml L O

•

-=ϕ261ml L O

→•→-=k ml L C ϕ26

1

[习题11-5] 均质杆AB 长l 、重1P ，B 端刚连一重2P 的小球（小球可视为质点），杆上D 点连一刚度系数为k 的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。设给小球B 一微小初位移0δ后无初速释放，试求AB 杆的运动规律。 解：以AB 杆为研究对象，其受力

如图所示。 质点系的动量矩为：

ωω22l m J L Oz O +-=

ωω22213l g

P

g l P L O --= 外力矩为：