习题 动量矩定理(2)
《理论力学》第十章--动量矩定理试题及答案
理论力学11章作业题解11-3 已知均质圆盘的质量为m ，半径为R ，在图示位置时对O 1点的动量矩分别为多大？图中O 1C=l 。
解 (a) 21l m l mv L c O w == ，逆时针转动。
(b) w w 2210||1mR J L v m r L c c c O =+=+´=rr ，逆时针转动。
(c ) )2(2221222121l R m ml mR ml J J c O +=+=+=w w )2(222111l R m J L O O +==，逆时针转动。
(d)ww mR R l mv R l R v mR l mv J l mv L v m r L c c c c c c c O )5.0()5.0(/||2211-=-=-=-=+´= r r，顺时针转动解毕。
v cv cv c11-5 均质杆AB 长l 、重为G 1，B 端刚连一重G 2的小球，弹簧系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。
设给小球B 一微小初位移0d 后无初速度释放，试求AB 杆的运动规律。
解 以平衡位置（水平）为0=j ，顺时针转为正。
平衡时弹簧受力为：)5.0(312G G F s +=弹簧初始变形量：k G G k F s st /)5.0(3/12+==d在j 角时弹簧的拉力为（小位移）：3/)5.0(3)3/(12l k G G l k F st s j j d ++=+=¢系统对A 点的动量矩：j j j&&&221233l gG G l l g G J L A A +=×+= 对点的动量矩定理)(/å=Ei A A F M dt dL r ：j j 93/5.033221221kl l F lG lG l g G G s -=¢-+=+&& 0)3(321=++j jG G gk &&，令)3(3212G G gkp +=则有02=+j jp &&，其解为： )cos()sin(pt B pt A +=j由初始条件0| ,/|000====t t l jd j &得l B A / ,00d ==。
理论力学课后习题答案
第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)8. 如图所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。
理论力学课后习题答案-第9章--动量矩定理及其应用)
习题9－2图习题20-3图习题20-3解图OxF Oy F gm Ddα第9章 动量矩定理及其应用9－1 计算下列情形下系统的动量矩。
1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。
2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。
（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。
解：1、2s m L O ω=（逆）2、（1）)1()(Remv e v m mv p A A C +=+==ωRv me J R e R mv J e R mv L A A A C C B)()()(22-++=++=ω（2）)(e v m mv p A C ω+==ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。
解：ω)(22r m R m J L B A O O ++=9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。
若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。
不计铰链摩擦。
解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565===l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0l mg lmg J O ⋅+⋅=22α222232)2(212131ml ml l m ml J O =+⋅⋅+=即mgl ml 2532=α2rad/s 17.865==g l α gl a D 362565t =⋅=α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=⋅33t4491211362533==-=mg g mmg F Oy N （↑） 0=ω，0n=D a ， 0=Ox F习题9－1图(a)v (b)（b ） 习题9－5解图习题9－5图J 9－4 卷扬机机构如图所示。
动量矩定理
思 考 题9-1. 质点系的动量按公式i i c m m ==∑I v v 计算，那么质点系的动量矩是否也可以按公式()()o o i i o c m m ==∑L M v M v 计算？为什么？9-2. 花样滑冰运动员利用手臂伸张和收拢来改变旋转速度，试说明其原因。
9-3. 坐在转椅上的人不接触地面，能否使转椅转动？为什么？9-4. 为什么直升飞机要有尾桨？如果没有尾桨，直升飞机飞行时将会怎样？ 9-5.传动系统中J 1、J 2为轮I 、轮II 的转动惯量，轮I 的角加速度按式1112M J J α=+对吗？9-6. 质量为m 的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，受力情况如图所示，设开始时，圆盘静止，图中R =2r 。
试说明各圆盘将如何运动。
思考题9-6图思考题9-5图习题9-4图习 题9-1 如图所示，已知均质杆的质量为M ，对1z 轴的转动惯量为1J ，求杆对2z 的转动惯量2J 。
9-2 均质直角折杆尺寸如图所示，其质量为3m ，求其对轴O 的转动惯量。
9-3 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：tb y ta x ωω2sin cos ==式中a 、b 和ω为常量。
求质点对原点O 的动量矩。
9-4 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。
（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
习题9-2图习题9-1图习题9-5图习题9-7图9-5如图所示水平圆板可绕z 轴转动，在圆板上有一质点M 作圆周运动，已知其速度的大小为常量，等于v 0，质点M 的质量为m ，圆的半径为r ，圆心到z 轴的距离为l ，M 点在圆板的位置由ϕ角确定，如图所示。
理论力学第十一章动量矩定理
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
理论力学(大学)课件22.2 动量矩定理
动量矩定理2、动量矩定理动量矩定理动量矩守恒定律若 则 常量。
(e)()0z M F ∑≡ z L =有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心. ()0O M F = ()M mv r mv =×= 常矢量若 (e)()0O M F ∑≡ O L = 则 常矢量,面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.(1) 与 必在一固定平面内,即点M 的运动轨迹是平面曲线.r v d (2)d r r mv r m b t×=×== 常量d d rr t ×=即 常量d 2d r r A×= d d A t=因此, 常量 人造卫星绕地球运动动量矩定理(e)sin OMM mg Rθ=−⋅R mg M mvR J t⋅−=+θωsin ][d d22sin mRJ mgR MR a +−=θRv m J L O +=ω解: R v =ωa tv =d d 由 ,得例1求：小车的加速度a 。
取小车和鼓轮为研究对象，受力如图所示。
高炉运送矿石的卷扬机如图所示。
已知鼓轮的半径为R ，转动惯量为J ，作用在鼓轮上的力偶矩为M 。
小车和矿石的总质量为m ，轨道的倾角为 。
设绳的质量和各处摩擦不计。
θ动量矩定理已知： , , , , , ,不计摩擦. m O J 1m 2m 1r 2r α求:（1）NF （2）O 处约束力 （3）绳索张力， 1T F 2T F例2动量矩定理)(222211r m r m J O ++=ω(e)1122()()O M F m r m r g∑=− 2222112211)(d d r m r m J g r m r m t O ++−==ωα 由 ,得(e)d ()d OO L M F t=∑ 222111r v m r v m J L O O ++=ω解：(1)分析系统，受力如图所示。
（2）由质心运动定理Cya m m m g m m m F )()(2121N ++=++−212211212211)(m m m r m r m m m m a m a m m y m y a ii i C Cy+++−=+++−=∑∑==αα1111T 11r m a m F g m ==−)(11T 1αr g m F −=)()(221121N r m r m g m m m F +−+++=α（3）研究1m α22222T 2r m a m g m F ==−2m（4） 研究求：剪断绳后, 角时的 。
3-2 定轴转动的动量矩定理
将上式变形后积分 Mdt d ( J ) dL
t2
t1
Mdt J2 J1 L2 L1
Mdt 表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累
t2
, 称为冲量矩.
t1
动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量 矩的增量.
三 动量矩守恒定律 若 M 0 则 L J 常量
解 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射入竿的过程系统角动量守恒
o
30
1 2 2 mva ( m l ma ) 3 3mva 2 2 m' l 3ma
a
m v
'
3mva 2 2 m' l 3ma
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
o
30
a
m v
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为 M、长为 2l、可绕中心转动的细杆，有一质量为m的小球以速度 v0与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速度。 解：在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒， L0 L
mlv0 mlv J
mvMl 2 6m(2 gh) 2 2 ml 12 ml 2 (m 6m)l
12
演员 N 以 u 起 跳, 达到的高度
u 2 l 2 2 3m 2 h ( ) h 2g 8g m 6m
例 一长为 l , 质量为 m 的竿可绕支点O自由 转动 . 一质量为 m、速率为 v 的子弹射入竿内距支 点为 a 处，使竿的偏转角为30º . 问子弹的初速率为 多少 ?
机械能守恒定律 条件：A外 0 A内非 0 （或只有保守力作功）
理论力学课后习题答案-第10章--动能定理及其应用-)
理论力学课后习题答案-第10章--动能定理及其应用-)(a)v ϕABC rv 1v 1v 1ωϕ(a)CCωCvωO第10章 动能定理及其应用10－1 计算图示各系统的动能：1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。
在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ = 45º（图a ）。
2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。
3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。
细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。
解：1．222222163)2(2121)2(212121BBB CCCmv r v mr v m J mv T =⋅+=+=ω 2．222122222214321)(21212121v m v m r v r m v m vm T +=⋅++= 3．22222222)2(212121ωωωωmR R m mR mR T =++=10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。
现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。
当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系统的动能。
解：图（a ） B AT T T +=)2121(21222211ωC CJ vgWv g W ++=21221121212211122]cos 22)2[(22ωϕωω⋅⋅+⋅++++=l gW l l v l v l g W v g W]cos 31)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。
齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。
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动量矩定理(2) 班级 学号 姓名
一、选择题
1、圆柱在重力作用下沿粗糙斜面下滚，角加速度 ；当小球离开斜面后，
角加速度 。
（1）等于零； （2）不等于零； （3）不能确定
2、OA 杆重P ，对O 轴的转动惯量为J ，弹簧的弹性系数为k ，当杆处于铅垂位置时弹
簧无变形，取位置角ϕ及其正向如图所示，则OA 杆在铅直位置附近作微振动的运动
微分方程为 。
(1) ϕϕϕ
Pb ka J --=2 ； (2) ϕϕϕ
Pb ka J 2+= ； (3) ϕϕϕ
Pb ka J +-=-2 ； (4)
二、填空题
1、在质量为M ，半径为R 的均质圆环上固接一质量为m 的均质细杆AB ，位置如图，切
有60=∠CAB °。
若系统在铅垂面内以角速度ω绕O 轴转动，则系统对O 轴的动量
矩的大小为 。
2、如图系统中，小球质量为m ，水平杆OA 质量不计，弹簧刚度系数为k ，图示为静
平衡位置， 则系统作微振动时的微分方程为 。
三、计算题（解题步骤：①取研究对象画受力图②运动分析③列动力学方程求解）
1、两个重物M 1和M 2的质量各为m 1与m 2，分别系在两条不计质量的绳上，如图所示。
此两绳又分别围绕在半径为r 1和r 2的塔轮上。
塔轮的质量为m 3，质心为O ，对轴O 的回转半径为ρ。
重物受重力作用而运动，求塔轮的角加速度。
ϕϕϕPb ka J -=-2
2、图示均质圆盘的半径R=180mm ，质量m=25kg 。
测得圆盘的扭转振动周期s 11=T ；当加上另一物体时，测得扭转振动周期为s 2.1
2=T 。
求所加物体对于转动轴的转动惯量。
3、一刚性均质杆重200N 。
A 、B 处为光滑铰链约束。
当杆位于水平位置时，C 处弹簧压缩了76mm ，弹簧刚度系数为8750N/m 。
试求当约束A 突然移走时，此瞬时支座B 的反力。