1.5循环群
循环群和有限域结构
国家重点实验室
六、有限域GF(2m)的性质(2)
• x4+x3+1在GF(2)上不可约，因此没有GF(2)上的
根，但它在GF(24)上有4个根
7 21
11
13
14
1
7 4 7 3
1 13 6 1
28 2 3 2 3
1 1 0
a q 1 1 a kn r a r
因此，a的级将小于n，与题设矛盾，故n必能整除q-1.
国家重点实验室
一、 有限域的乘法结构
结论1：域的乘法群必为某一个元素生成的循环群，即q元域 中必能找到一个，其级为q-1。
结论2：所有有限域元素都能表示成生成元的幂次的形式，
此时的生成元称为本原元。
• x3+x2+x+1是不可约多项式，但由于它能整除x5-1， 因此它不是本原多项式。
国家重点实验室
五、有限域GF(2m)的构造
m
定理5-3 GF(2)上的任意m次不可约多项式必整除 x 2 有限域GF(2m)的构造
1
1
假设p(x)是GF(2)上的m次本原多项式， 是p(x)的一个根，即
p 0
的最小多项式，且e
x x
2i
国家重点实验室
例
六、有限域GF(2m)的性质(8) 3 考虑GF(2 )，令 ，求 的最小多项式 x
4
2
2
3
2 2 3
2
2
3
x x x x x
元素阶的定义
2k
n
|k
0,1, 2,...n 1}
令
cos 2k isin 2k
n
n
则
Un {1,,2,...n1}
所以Un 是一个 n 阶循环群．直接验证可知当 (k,n) 1
时，k都是 Un 的生成元．
15
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例8 由例2可知，在 Z*5中， ord 2 ord 3 Z*5 4 ，
阶的，则记作 ord a ．
由此定义立即可得，在任何一个群中，单位元的
阶总是1 .
2
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例1 在 Z6中，计算每个元素的阶． 解 Z6 {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 因为 1 2 2,2 2 4,3 2 6 0, 所以 ord 2 3．类似地，可得 ord 0 1, ord 1 6, ord 3 2,
ord 4 3, ord 5 6.
3
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例2 在 Z*5中，计算每个元素的阶． 解 Z*5 {1, 2, 3,4}．直接计算可得：
11 1; 21 2; 22 4; 23 3; 24 1; 31 3; 32 4; 33 2; 34 1; 41 4; 42 1.
所以又有
r | mn． (1.5.2)
将式(1.5.1)和式(1.5.2)结合起来，得 r mn.
这就是所要证明的.
9
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定理1.5.2 设 G 是一个有限群，| G | n．则对
任意的 a G，a是有限阶的，且ord a | |G |．即：
有限群的任 何一个元素的阶都是群阶数的因子．
6
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二、群元素阶的性质
循环群的性质研究
淮北师范大学2012届学士学位论文循环群的性质研究学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数学生姓名潘帅学号***********指导教师姓名张波指导教师职称讲师2012年4月3日循环群的性质研究潘帅（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要设G是一个群，a G，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。
文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。
关键词：循环群，子群，同构，自同构群Study on the Properties of Cyclic GroupsPan Shuai(School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 )AbstractLet G be a group, a G∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application.The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group.Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group目录一、引言 (1)二、群的定义 (1)三、循环群的若干问题 (7)1、定义与性质 (7)2、循环群的性质 (8)3、循环群的判定 (9)四、循环群的同态，同构 (11)五、结论 (14)参考文献 (14)致谢 (15)一、引言当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术被广泛的应用。
循环群群的结构信息安全数学
• t = 0，gm＝(gs)q．
14
• H的任意元素都是gs的幂，则H = (gs)．
循环群与其子群
• 证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是
无限循环群．
• 证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n = qs+t，0t s，则e = gn = gqs+t，
•
bH=ah0H=a（h0H）=aH，
•反之，bH=aH，存在bh1=ah2，有b=ah2h1-1 ∈aH ，即b ∈aH （其中h0，h 1，h2∈H ）
•（3）若aH=bH，则存在h 1，h2∈H ,ah1=bh2，有
•a-1b=h1h2-1 ∈H ，反之，若a-1b ∈H ，有b ∈aH ,由（2）知，
（4）对任何a，b∈G有aH集=也bH成或立
aHbH
因而H的所有左陪集的集合{aH︱a ∈G}构成了G的
划分。
27
陪集的性质
•证明：
•（1） 若a∈H，aH={ah︱h ∈H}，显然有aH=H;反之，若aH =H，即任意h∈H，有ah ∈H,则有ah=e，a-1 ∈H，故a ∈H
•（2）若b ∈aH，则b=ah0 h0 ∈H ），
• 于是
• gt = (gqs)1H，
• s的最小性使得t = 0，所以
• n = qs，
• H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }．
15
• 当s = n时H = {e}．
循环群与其子群
• 上页不仅证明了H的阶q是n的正因子，而且给出n的正因子q阶子群．当q跑遍n的所有 正因子时，s也跑遍n的正因子，所以对于n的每一个正因子q，都有而且仅有一个q阶循 环子群．
2019年第循环群.ppt
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12
关于子群定理证明（续）
对于n的每个正因子d, 在G中有且仅有一个d阶子群.
n
(4) 设 d|n，则H a d 是 G 的 d 阶子群.
假若 H’=<am>也是 G 的 d 阶子群，其中 am 为最小正方 幂元.则
4
有关循环群的生成元的定理
定理 1 G=<a>是循环群
（1）若 G 是无限循环群，则 G 的生成元是 a 和 a-1;
（2）若 G 是 n 阶循环群，则 G 有(n)个生成元，
当 n=1 时 G=<e>的生成元为 e；
当 n>1 时，r(rZ+r<n)，ar 是 G 的生成元(n,r)=1.
例： 两个Z上的一一变换 f:ZZ,f(x) = x g:ZZ,g(x) = -x
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变换的乘法
定义17.10 设f，g是A上的两个变换, f和g的合成称为f与g的乘积， 记作fg。
如果f和g都是A上的一一变换，则fg也是A上的一一变换。
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n
a md e n | md n | m m n t a m (a d )t H
d
d
H’H, |H’|=|H|=d H’=H
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实例
例 1 (1) <Z12,>, 生成元为与 12 互质的数：1,5,7,11 12 的正因子为 1,2,3,4,6,12， 子群：<0>,<1>, <2>,<3>, <4>, <6>
循环群
例 1 整数加群 Z {n | n Z} {,3,2,1,0,1,2,3,} 中，每 个元素都是 1 的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个 例1 整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此 词） 。
群是加法运算，所以用“倍数”这个词）。事 事实上， 0 是 1 的零倍： 0 0 1 ；正数 m 是 1 的 m 的倍： 实上，是的零倍： m m 1，负数 m 是 1 的 m 倍: m (m) 1 。 ；正数是的的倍：，负数是的倍:。
这说明 a 5 也能生成 G ，即 : (a 5 ) {e, a, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 } . 最后可断 言：上例中的生成元只有 a 和 a 5 。
那么为什么说，只有 a 和 a 5 是 6 阶循环群 G (a) 的生成元 呢？
因为 | a | 6 ，同时例中也验证了 | a 5 | 6 . 这就是说， (a 5 )
的。
由定义 1 可知，例 1 和例 2 都是循环群，并且按习惯记为
Z (1) 和 Z n ([1]) 。其中， 1 和 [1] 分别是 Z 和 Z n 的生成元。
我们仔细观察下面两对群，它们元素之间存在着对应关系：
定理 2
设 G (a) 是由生成元 a 生成的循环群。 如果 | a | ，
同的 (a i ) n 恰有 n 个，所以 (a i ) G (a) 。
思考 3
当 G (a) {a 0 , a1 , a 2 ,, a n1} . 除了 a 自然是 G 的
思考 3 当. 除了自然是的生成元之外，还有其余生成元 生成元之外，还有其余生成元吗？ 吗？ 解 为了讨论的方便，现假设 .这时， n 6 .这时， 解 为了讨论的方便，现假设 ， 0 1 2 3 4 5 G (a) 可以验证也是的生成元 : {a , a , a , a , a , a }， . 可以验证 a 5 也是 G 的生成元: 这说明也能生成，即:. 最后可断言：上例中的生成元只 有和。 e (a 5 ) 0 ; a 5 ; 那么为什么说，只有和是阶循环群的生成元呢？因为， 同时例中也验证了 . 这就是说，中也含有个元素 .与 5 2 10 4 5 3 15 3 5 4 20 2 5 5 25 (a ) a .. a ; ( a ) a a ; (a ) a a ; ( a ) a a . 的一样多 也是生成元，而其他元素的阶都不是，所 以它们都不能成为生成元。
循环群子群讲解学习
例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而
G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么< G , ○ >必为一 个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
01,11 23,21 23.
（∵r<n）； r=0m=ngn|m.
性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2.
“”nmmng a m a n ga ng e g e .
性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为任 意整数．
证明 首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1, 则由于|a|=m,就有
（2）阶的计算方法 按照定义寻找使成立的最小正整数。 例1 乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中，[1]是单位元，显然
|[1]|=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，|[2]|=4,同理知 |[3]|=4,|[4]|=2。 例2 加法群<Z5 ,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]}中，[0]是单位元，
证明 由于a m=e ，这本身说明|a|<+∞，令|a|=k， 若k > m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k m 。 性质2 设aG, 且若存在mZ+使a m=e |a|=n <+∞, 且
n|m(但不能保证n=m)。 证明 由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r, r=0或者
0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾
(完整版)循环群讲义
§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题.先看一个简单的例子：{},10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.一、循环群的概念1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！） 【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】 【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st a a b a a b Zt s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为ra 当且仅当1),(=n r .【习题】 【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a aa vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G n a o rk k r r .】◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.二、循环群的种类1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n a o if Z a o if Z n)(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处! (1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略)【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e a a o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射.再证ϕ的同态性: )()()()()()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】(2)设n a o =)(【作用：k n e a k |⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a na o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ再证ϕ的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构. 证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k ex x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[构造定理] 设循环群)(a G =，则有{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .证明 由结构定理的证明过程即得.另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？◎3S 是不是循环群？◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则210)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n AU 是交换群但不是循环群.◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.。
循环群子群讲解学习
0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾
（∵r<n）； r=0m=ngn|m.
性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2.
性质10 设群G中元素a的阶是m，b的阶是n,则当ab=ba且 (m,n)=1时,|ab|=m。
证明 首先，由于|a|=m,|b|=n,ab=ba,则 (ab)mn=(am)n(bn)m=e;
其次,若有正整数s使得(ab)s=e,则 (ab) sm=(am)sbsm=bsm=e,
但|b|=n,则n|sm. 又因为(m,n)=1,所以n|s. 同理可得m|s,再根据(m,n)=1,故mn|s,从而|ab|=mn. 说明 值得注意的是:当元素a与b不满足定理中的假设条件 时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的阶 来作出判断。
定理2 证设明是由(1生)当成时元| a生| 成 ，的作循1环: G群。Z如,1果(ai，) 那i .么由.上如述果的，对 那么。
证明应关(1系)易当知时,，1 作是双.由射上. 述而 的对应关系易知,是双射.而
（2）当时，作1 ( ,a ，i a 由j ) 上 述1 ( a 对i j 应) 关i 系j 也易1 ( a 知i ) ,是2 双( a j 射). 而且
例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而
G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么< G , ○ >必为一 个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
01,11 23,21 23.
第循环群-精品文档
n r( n , r )
n n e | a || n | ( n , r ) 1 ( n , r ) ( n , r )
r
© Peking University 7
例：G=<a>是12阶循环群，(12)=4， 12互质的正整数是1,5,7,11，因此 a,a5,a7,a11是生成元
阶元矛盾.
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关于子群定理证明（续）
定理2 G=<a>是循环群，那么
(3) 若G是n阶的，则G的子群的阶是n的因子， 对于n的每个正因子d, 在G中有且仅有一个d阶子群.
n -1 （ 3） 设G = {e,a,… ,a }， H = {e}命 题 显 然 成 立 .
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6
生成元的定理的证明(续)
（2）若G是n阶循环群，则G有(n)个生成元， 当n=1时G=<e>的生成元为e； 当n>1时，r(rZ+r<n)，ar是G的生成元(n,r)=1.
（2）n=1结论为真.n>1 (n,r)=1 u,vZ(un+vr=1) a=aun+vr =(ar)v ar为生成元 ar为生成元
(4)
n 设d|n， 则H ad
是G 的d 阶 子 群 .
第3节 循环群
循环群的定义
循环群的分类
生成元
子群 循环群的实例
© Peking University
1
循环群的定义及其分类
定义： G = <a> = {ak | kZ}, aG 称 G 为循环群，a 为 G 的生成元. 分类： 生成元的阶无限，则 G 为无限循环群 生成元 a 为 n 阶元，则 G={e,a,a2,…,an-1}为 n 阶循环群 实例：<Z,+>为无限循环群 <Zn,>为 n 阶循环群
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例1 整数加群[Z, +],除单位元零元0外，每个元素都是 无限阶的.
例2 整数模 6 的剩余类加群 Z6, 计算每个元素的阶. 解： Z6= Z / (6) {0, 1, 2, 3, 4, 5} 因为 12=2, 22=4, 32=6=0, 所以元素2的阶是3， (2)= 3. 类似可得 (0)= 1，(1)= 6， (3)= 2， (4)= 3， (5)= 6.
x M , 有x pd r,0 r d 由于 M kd k 0，
由于d 为M的最小元，故r=0．所以 r x pd H ． H k d k 0,1,... kd k 0,1,... ，
由d的最小性可得，m Z , 使md n 故 H 0, d , 2d ,...,(m 1)d d , d / n
1.5 循环群
(1.5 Cyclic Group)
1.5.1 循环群(Cyclic Group)
循环群是一种代数结构特别简单，而在群论中颇有 代表性的群。 在前面我们曾讨论了一个群G的子集S生成的子群。 特别地，当S只含有一个元素，即S= {a}时，由S生成的 子群的构造特别简单，它的任意元素都是a的乘幂，这 样的群叫循环群。 Def：若一个群 G 是由其中的某个元素 a 生成的，即 G=〈a〉 则称G为循环群，而称a是G的生成元。
0,1,.....n 1，并约定它的 (2) G [Z/(n), +] 令 Z /(n) 每一元素的表达式唯一（又因为Ｇ =〈m〉无限， k1 k 2 , mk1 mk2 从而H=〈m〉），均为 k , k n
H km k Z m
0 令M k k H \ 0 ,k n 设 H Z /(n),且H 显然 M ，是自然集的子集，设M的最小元为d,
End
循环群是由一个元素生成的，由几个元素或一个子集 也可以生成一个子群。
def：设S是群G的一个非空子集，包含S的最小子群称 为S生成的子群，记作〈S〉 ，S称为它的生成元素
S a1 , a2 ...ak ai S, i Z , k 1,2,...
1
2
k
如果G =〈S〉，且任何S的真子集生成的子群均 不是G ，则称S是G的极小生成元素。 当G ＝n <∞（有限集）时，元素个数最小的 生成元集称为最小生成元素。
所以f是G → Z同构映射 G (Z, +) ． （2）设(a)= n，G=〈a〉=〈a1,a2, ,an〉 k : a k (G Z /(n)) 仿(1)不难证明 是G到Z/(n) 命 的双射． 且 (ak as ) (ak s ) k s k s (ak ) (as ) 保运算 所以 是G到Z/(n) 的同构映射 G [Z/(n), +].
证明:(1) 由Th1可知G (Z, +)，设H≤Z,若H≠{0}= {e} 令 M x x H且x 0 由于 x H x H，故 M 0 ，由自然数的良序 性知M有最小元，设为m． 于是，x M , 有x pm r,0 r m且r x pm M , 因而 M km k Z 由m的最小性得ｒ＝0，
2. x, y∈G , x≠y, x=a k1, y=a k2 k1≠ k2 f (x) ≠ f (y). （事实上，若k1=k2,则ak1-k2=a0与(a)= ∞ 矛盾） f单射 3. k∈Z ,则 x = ak ∈G , 使 f (x)= k f满射 4. x, y G, x a k1 , y a k2 xy a k1 k2 f ( xy) k1 k2 f ( x) f ( y) f保运算
注1.定理说明，从同构的意义上讲，循环群只有两类 Z和Z/(n). 注2.一般来说，对一个代数体系（代数结构）如果能够解 决其存在问题，数量问题和构造问题，那么这个代数体 系就清楚了．对循环群来说，上述三个基本问题都作了 肯定回答． 下面进一步研究循环群的子群性质 Th2: 循环群G =〈a〉的任意子群仍是循环群，且 （1）若G =〈a〉是无限循环群，则它的全部子群为 Hm=〈m〉, m=0,1…., 且除 {e} 外都是无限循环群． （2）若Ｇ =Hm=〈m〉, 则它的子群的阶是 n 的正因子， 全部子群为〈 〉和〈 〉 ，其中 d/n. d 0
下面给出循环群的构造定理，从同构的意义上，它 的结构是完全确定的． Th1.设G =〈a〉，则G的构造完全由a的阶确定: （1）若(a)= ∞ ，则G与整数加群同构: G (Z, +)，称G为无限循环群． （2）若(a)= n ，则G与模n同余加群同构： G [Z/(n), +]，称G为n阶循环群． 证明:(1) (a)= ∞ ,G =〈a〉 考虑f：ak →k , (G → Z) 1. x∈G , x=ak, f (x)=k ∈Z, 为G到Z的映射.
由循环群的定义容易得到：⑴ 〈a〉=〈a-1〉; ⑵ 如果G是n 阶循环群,则G={e,a,a2,…,an-1}; ⑶如果G是无 限阶循环群,则G={e,a,a-1,a2,a-2,…}. 例1.整数加群[Z, +] 显然，任意整数n都是1的倍数(乘幂)： n=1+1+1+…+1=1n，-1=(-1)1, 0=1+(-1). 所以，整数加群可以看作由1生成的。显然， 它也可以由（-1）生成，即 Z =〈1〉 =〈-1〉 例2.模 n 的剩余类加群 [Z/(n), +] 是一个 n 阶循环群， 1 是它的一个生成元，即 Z/(n) =〈 1 〉
例3. Klein四元群 (K4, ) 的=aa，c=ab 2. {a, b}的任何真子集的生成群均不是K4
K 4 a, b (a) (b) 2, ab ba
1.5.2 循环群的性质
首先给出元素的阶的概念 Def：设G是群，a∈G , 使 an=e 成立的最小整数n称 为a的阶。记作 (a)= n. 若没有这样的整数存在，称a的阶无限(a)= ∞ 显然，单位元的阶是1: e1=e