动量矩定理习题

动量矩定理 习 题

例1：单摆将质量为m 的小球用长为l 的线悬挂于水平轴上，使其在重力作用下绕悬挂轴O 在铅直平面内摆动。线自重不计且不可伸长，摆线由偏角0ϕ时从静止开始释放，求单摆的运动规律。

解：将小球视为质点。其速度为ϕ l v =且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为 ()ϕϕ

2ml l ml mv m o =⋅= 又 ()o T m o =，则外力对轴O 之矩为

()ϕsin mgl F m o -=

注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定

应一致（在本题中规定逆时针转向为正）。 根据动量矩定理，有

()ϕϕsin 2mgl ml t

x

-= d d 即 0sin =+ϕϕ

l g

(a)

当单摆做微幅摆动时，ϕϕ≈sin ，并令l

g

n =

2ω 则式（a ）成为 02=+ϕωϕ

n （b ）

解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时，0ϕϕ=，00=ϕ

，得单摆微幅摆动时的运动方程为

t

n ωϕϕcos 0=

©

由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为

g

l T n

π

ωπ

22==

例2：双轴传动系统中，传动轴Ⅰ与Ⅱ对各自转轴的转动惯量为1J 与2J ，两齿轮的节圆半径分别为1R 与2R ，齿数分别为1z 与2z ，在轴Ⅰ上作用有主动力矩1M ，在轴Ⅱ上作用有阻力矩2M ，如图所示。求轴Ⅰ的角加速度。 解：轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为 1111R P M J τε-= （a ） 2222R P M J τε+-= (b)

又

1

22112z z

R R i ===

εε

（c ）

以上三式联立求解，得 2

21211i J J i

M M +-=

ε

例3：质量为m 半径为R 的均质圆轮置放在倾角为α的斜面上，在重力的作用下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数分别为f 、f '，不计滚动摩阻。试分析轮的运动。

解：取轮为研究对象，根据平面运动微分方程有

F mg ma c -=αsin （a ） N mg +-=αcos 0 (b) FR J c =ε (c) 由式（b ）得 αc o s mg N = (d) 情况一： 设接触处绝对光滑。则F=0,由式（a ）、(c)得

αs i n

g a c = 0=ε 情况二：设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑，做纯滚动。F 为静滑动摩擦力。

εR a c = ααεαsin 3

1

sin 32

sin 3

2

g F g R

g a c =

=

=

∴

例4：均质滑轮A 、B 的质量为 与 ，半径分别为 与 ，物体C 的质量为 ；

求：重物的加速度，系统中各绳的张力，轴承O 的约束反力

解：设个物体的数度如图示，且：

对系统进行受力分析如图

则整个系统对O 点的动量矩为：

由动量矩定理得：

取分离体C ：

取分离体B ：

取分离体C ：

联合上述各式可求得各未知量

1

m 2m 1R 2R 3m

C A B 1

122232

1ωωR R v v ===()2

332222211R v m R v m J J L L L L OC

OB OA O +++=++=ωω211121R m J = 22

2221R m J =()323212342

1

v R m m m L O

++=∴()()

∑=e i

O O

F M t

L d d ()[]()2

32123232342R m m m gR m m M a +++-=g m T a m 3333-

=3

v C g m T T T a m 23212

2--+=222122R T R T J +-=

εB 2ω2

v 1

T Ox x F a m =11011=y a m 1211R T M J -=ε

A

2

例4．在提升设备中，一根绳子跨过滑轮吊一质量为1m 的物体，滑轮质量为2m ，并假设质量分布在圆周上。滑轮半径为r ，由电动机传递的力矩为M ，绳质量不计。求挂在绳上的重物的加速度。

解：取系统为研究对象。其对转轴的动量矩为 []

gr m M r v m r v m dt

d

i 11-=⋅+⋅∑

即 ()gr m M dt

dv

r m m 121-=+

∴ ()r

m m gr

m M dt d a 211+-==υ

211R )3232123v R m m ++)2

33222R v m R v m L OC +++