理论力学第十一章解析

F
dt
两边叉乘矢径
r, 有
r
d (mv )
dt
rF
左边可写成
r
d
(mv )
d
(r
mv )
dr
mv
而
dr
dt
mv
v
dt
mv
0
,
rF
dt
M O(F) ,
dt
故：
d
(r mv) r F,
dt
d
[M O (mv)] M O (F ).
dt
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质
点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
d
[M
O (mv)]
M
O (F).
dt
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
M O(F)
B
力对点O之矩在z轴上的投影：
F
[M O (F)]z xFy yFx
o x
r
A
y 力对轴 z的之矩：
M
z
(F)
xFy
yFx
Mz (F) [M O(F)]z
代数量
质点对点的动量矩 质点对点O动量矩：
质点的动量对点O之矩
M O(mv) r mv
z M O (mv)
o
质点的动量对点O之矩在z轴上的投影：
对点的动量矩与对轴的动量矩的关系: [LO ]z Lz
即 LO Lxi Ly j Lzk
刚体动量矩计算 1．平动刚体的动量矩： 1）平动刚体对固定点O的动量矩：
LO M O (mvC ) rC mvC
( ri mivi miri vC rC MvC )
2）平动刚体对轴 z 动量矩： Lz M z (mvC )
dt dt
例题 2
O
φ
v
A
例题
动量矩定理
例题 2
d (ml2 d ) mgl sin
dt dt
化简即得单摆的运动微分方程
d2
dt 2
g l
sin
0
微幅摆动时，sin ,
并令
wn2
g l
wn2 0
O
φ
v
A
解微分方程,并代入初始条件(t 0, 0,0 0) 则运动方程
0 cos
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3．平面运动刚体 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，
等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该 M z (mvC ) JC w
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例题
动量矩定理
例题 1
滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1， 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求: 系统对O轴的动量矩。
解：运动分析 A轮：定轴转动
C物：平动
B轮：平面运动
v3
v2
R2w 2
1 2
R1w1
LO LOA LOB LOC
J1w1 (J 2w2 m2v2 R2 ) m3v3R2
LO
(
J1 R2 2
J2 R2 2
m2
m3 )R22w1
逆时针
§11-2 动量矩定理
一．质点的动量矩定理
d
(mv )
物体在转动中运动的量与受力之间的关系－动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩
一．质点的动量矩
复习：力对点O之矩
MO(F) r F
M O(F)
(xi
yj
zk
)
(
Fxi
Fy
j
Fz
k
)
z
M O (F) [M O (F)]x i [M O (F)]y j [M O (F)]z k
gt l
，摆动周期
T 2
l g
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致 （本题规定逆时针转向为正）
质点动量矩定理的应用： 在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
物体在移动时运动与受力之间的关系 －动量定理。
A
F 例：匀质圆盘，质心 C 在转轴上。
C
vC 0, 动量：p MvC 0,
质心无运动
而：F (e) 0, 所以，动量不能反应转动的问题。
动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴） 的动量矩的改变与外力对同一点(轴）之矩两者之间的关系。
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对 该点（轴）的动量矩。
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2．定轴转动刚体 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量
与角速度的乘积。
Lz M z (mi vi ) mi vi ri
miw ri ri w mi ri2
转动惯量： J z mi ri2
Lz J zw
又设在任一瞬时质点 A 具有速度 v ，摆线 OA
与铅垂线的夹角是 。
对通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定轴
z 作为矩轴，应用质点的动量矩定理
dLOz dt
M Oz
由于动量矩和力矩分别是
和
LOz
mvl
m(lw)l
ml 2
d
dt
MOz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
[M O (mv)]z xmvy ymvx
A
mv
Q
r
y
2.质点对 轴 z 的动量矩
M
z
(mv )
xmv y
ymv
x
M z (mv) [M O (mv)]z
代数量
质点对点O动量矩在z轴上的投影，
x
等于对z轴的动量矩
M z ( m v )是代数量，从 z 轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱单。位：kg·ｍ2/s。
二．质点系的动量矩
质点系对点O动量矩：各质点对点O动量矩的矢量和。
LO
M
O
(mivi
)
ri mivi
质点系对轴 z 动量矩：各质点对同一z轴动量矩的代数和。
Lz Mz (mivi )
Lz Mz (mivi ) [LO ]z
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第十一章 动量矩定理 §11–1 质点与质点系的动量矩 §11–2 动量矩定理 §11–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §11–4 刚体对轴的转动惯量 §11–5 质点系相对于质心的动量矩定理 §11–6 刚体平面运动微分方程
质点 动量定理： 质点系 动量的改变
外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢）
若 M O (F) 0
若
(M z (F ) 0).
则
M O (mv) 常矢量
则
(M
z
(mv )
常量)
称为质点的动量矩守恒。
例题
动量矩定理
例题 2
试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。已知
单摆 m，l，t = 0 时 = 0，从静止开始释放。
O
φ
v
A
例题
动量矩定理
解：把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 A，。