极坐标与参数方程经典练习题 带详细解答

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高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系解答题1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解答:解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为:,曲线C的参数方程为:(α为参数).(I)写出直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.解答:解:(1)∵直线l的极坐标方程为:,∴ρ(sinθ﹣cosθ)=,∴,∴x﹣y+1=0.(2)根据曲线C的参数方程为:(α为参数).得(x﹣2)2+y2=4,它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的距离为:d=,∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=.3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.解答:解:(1)把曲线C1:(t为参数)化为普通方程得:(x+4)2+(y﹣3)2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心(﹣4,3),半径1的圆;把C2:(θ为参数)化为普通方程得:+=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴为8,短半轴为3的椭圆;(2)把t=代入到曲线C1的参数方程得:P(﹣4,4),把直线C3:(t为参数)化为普通方程得:x﹣2y﹣7=0,设Q的坐标为Q(8cosθ,3sinθ),故M(﹣2+4cosθ,2+sinθ)所以M到直线的距离d==,(其中sinα=,cosα=)从而当cosθ=,sinθ=﹣时,d取得最小值.4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.(Ⅰ)求圆心的极坐标;(Ⅱ)求△PAB面积的最大值.解答:解:(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入可得:圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0,即(x﹣1)2+(y+1)2=2.∴圆心坐标为(1,﹣1),∴圆心极坐标为;(Ⅱ)由直线l的参数方程(t为参数),把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程:,∴圆心到直线l的距离,∴|AB|=2==,点P直线AB距离的最大值为,.5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.解答:解:将化为普通方程为(4分)点到直线的距离(6分)所以椭圆上点到直线距离的最大值为,最小值为.(10分)6.在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+).(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.解答:解:(1)直线I的参数方程为(t为参数),消去t,可得,3x+4y+1=0;由于ρ=cos(θ+)=(),即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ,则有x2+y2﹣x+y=0,其圆心为(,﹣),半径为r=,圆心到直线的距离d==,故弦长为2=2=;(2)可设圆的参数方程为:(θ为参数),则设M(,),则x+y==sin(),由于θ∈R,则x+y的最大值为1.7.选修4﹣4:参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线C的极坐标方程为.(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;(Ⅱ)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最小值.解解(1)∵P点的极坐标为,答:∴=3,=.∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入可得,即∴曲线C的直角坐标方程为.(2)曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设,则线段PQ的中点.那么点M到直线l的距离.,∴点M到直线l的最小距离为.8.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解答:解:(I)圆C的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x﹣1)2+y2=1.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化简得:ρ=2cosθ,即为此圆的极坐标方程.(II)如图所示,由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=.可得普通方程:直线l,射线OM.联立,解得,即Q.联立,解得或.∴P.∴|PQ|==2.9.在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.解答:解:(1)由曲线C1:,可得,两式两边平方相加得:,即曲线C1的普通方程为:.由曲线C2:得:,即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y﹣8=0,即曲线C2的直角坐标方程为:x+y﹣8=0.(2)由(1)知椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为,∴当时,d的最小值为,此时点P的坐标为.10.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.解答:解:(I)∵,∴,∴圆C的直角坐标方程为,即,∴圆心直角坐标为.(5分)(II)∵直线l的普通方程为,圆心C到直线l距离是,∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是(10分)11.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为,(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)直线l与直线C2交于A,B两点,若|AB|≥2,求实数a的取值范围.解答:解:(1)根据题意,得曲线C1的直角坐标方程为:x2+y2﹣4y=12,设点P(x′,y′),Q(x,y),根据中点坐标公式,得,代入x2+y2﹣4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为:(x﹣3)2+(y﹣1)2=4,(2)直线l的普通方程为:y=ax,根据题意,得,解得实数a的取值范围为:[0,].12.在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos ()=2.(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.解答:解:(I)圆C1,直线C2的直角坐标方程分别为x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0,解得或,∴C1与C2交点的极坐标为(4,).(2,).(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,∴,解得a=﹣1,b=2.13.在直角坐标系xOy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线;在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(Ⅰ)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若曲线C与直线相交于不同的两点M、N,求|PM|+|PN|的取值范围.解答:解:(I)直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4.(II)把直线l的参数方程为(t为参数)代入圆的方程可得:t2+4(sinα+cosα)t+4=0.∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N,∴△=16(sinα+cosα)2﹣16>0,∴sinαcosα>0,又α∈[0,π),∴.又t1+t2=﹣4(sinα+cosα),t1t2=4.∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=,∵,∴,∴.∴|PM|+|PN|的取值范围是.14.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解答:解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴ρ2=2,化为x2+y2=,配方为=3.(II)设P,又C.∴|PC|==≥2,因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).15.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ,曲线C2的极坐标方程为θ=(p∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.(Ⅰ)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(Ⅱ)求弦AB的长度.解答:解:(Ⅰ)曲线C2:(p∈R)表示直线y=x,曲线C1:ρ=6cosθ,即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即(x﹣3)2+y2=9(Ⅱ)∵圆心(3,0)到直线的距离,r=3所以弦长AB==.∴弦AB的长度.16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,圆C的参数方程为,(θ为参数,r>0)(Ⅰ)求圆心C的极坐标;(Ⅱ)当r为何值时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.解答:解:(1)由ρsin(θ+)=,得ρ(cosθ+sinθ)=1,∴直线l:x+y﹣1=0.由得C:圆心(﹣,﹣).∴圆心C的极坐标(1,).(2)在圆C:的圆心到直线l的距离为:∵圆C上的点到直线l的最大距离为3,∴.r=2﹣∴当r=2﹣时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.17.选修4﹣4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x﹣2)2+y2=4.(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.解答:解:(I)由,x2+y2=ρ2,可知圆,的极坐标方程为ρ=2,圆,即的极坐标方程为ρ=4cosθ,解得:ρ=2,,故圆C1,C2的交点坐标(2,),(2,).(II)解法一:由得圆C1,C2的交点的直角坐标(1,),(1,).故圆C1,C2的公共弦的参数方程为(或圆C1,C2的公共弦的参数方程为)(解法二)将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1,C2的公共弦的参数方程为.。

典型极坐标参数方程练习题带答案

典型极坐标参数方程练习题带答案

极坐标参数方程练习题1在直角坐标系xOy 中,直线C i : x = — 2,圆C 2: (x — 1)2+ (y — 2)2= 1以坐标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求C i , C 2的极坐标方程;n(2) 若直线C 3的极坐标方程为 A —(卩€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”,求厶C 2MN 的 面积.解:(1)因为x = p cos 0, y = p in 0,所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2,C 2 的极坐标方程为 p — 2 pcos 0— 4 psin 0+ 4 = 0.(2)将 0= 4 代入 p — 2 pcos 0— 4 psin 0+ 4 = 0,得 p — 3.2p+ 4 = 0,解得 p = 2 2, p2= 2.故 p i — p= .2,即 |MN|= 2.1由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为4. (2014辽宁,23, 10分,中)将圆x 2 +『=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标 变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C 的参数方程;⑵设直线1: 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1, P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系,求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.由 x i + y 2= 1 得 x 2 + 2 = 1. 即曲线C 的方程为x 2+彳=1.x = cos t ,⑵由解得或2x + y — 2 = 0 y = 0y= 2.解:(1)设(x 1, y 1)为圆上的点,经变换为C 上点(x , y),依题意,得x = X 1 ,y = 2y 1,故C 的参数方程为 y = 2sin t(t 为参数).x+ / = 1, x = 1, x = 0,1 1不妨设P1(1, 0), P2(0, 2),则线段P1P2的中点坐标为2,1,所求直线斜率为k=21 1于是所求直线方程为y- 1 = 2 x-2 •化为极坐标方程,并整理得2 pcos 0—4 p in 0= —3,34sin 0—2cos 0⑵(2015吉林长春二模,23, 10分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴n为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为p os 0 —"3 = 1,M , N分别为曲线C与x 轴,y轴的交点.①写出曲线C的直角坐标方程,并求M , N的极坐标;②设M , N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解析】(1)将 2 p os20= sin 0两边同乘以p,得2( p os 0)2= p in 0,化为直角坐标方程为2x2= y,①C2:p os 0= 1化为直角坐标方程为x= 1,②x= 1,联立①②可解得y=2,所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1, 2).⑵①••• QOS 0— 3 =1,n n「•pcos 0cos^ + p in 0sing =1.x= pcos 0, 1 3又・/私=1,y= psin 0,即曲线C的直角坐标方程为x+ 3y — 2 = 0.令y= 0,则x=2;令x= 0,则y=穿.2血•M(2, 0), N 0,亏.••M的极坐标为⑵0), N的极坐标为罕②M , N连线的中点P的直角坐标为1,撐,P的极角为0= 6.•••直线OP的极坐标方程为0= 6(p€ R)・注:极坐标下点的坐标表示不唯【点拨】解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法;题(2)先转化为直角坐标问题求解,再转化为极坐标.x= 4+ 5cost,(2013课标I , 23, 10分)已知曲线C i的参数方程为(t为参数),以坐y= 5+ 5sin t标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为p= 2sin 0 .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(p》0, 0W 0 V 2n ).x —4 + 5cos t【解析】⑴将’消去参数t,化为普通方程为(x —4)2+ (y—5)2—25, y—5+ 5si n t即C1:x2+ y2—8x—10y+ 16—0.x—pcos 0,将代入x2+ y2—8x—10y+ 16—0,得y—psin 02p —8 p cos 0—10 p in 0+ 16—0.所以C1的极坐标方程为p2—8 pcos 0—10 p sin 0+ 16—0.⑵C2的普通方程为x2+ y2—2y—0.2 2x2+ y —8x—10y+ 16—0,联立C1, C2的方程2 2x + y —2y—0,x—1, x—0,解得或y— 1 y— 2.n n所以C l与C2交点的极坐标分别为羽,4 , 2, 2 .【点拨】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系,解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.(2012 辽宁,23, 10 分)在直角坐标系xOy 中,圆C i:x2+ y2= 4,圆C2:(x—2)2+ y2 =4.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C i, C2的极坐标方程,并求出圆C i,C2的交点坐标(用极坐标表示);⑵求圆C i与C2的公共弦的参数方程.x= p os 0,解:(1 )由y= p in 0,知圆C i的极坐标方程为尸2,圆C2的极坐标方程为4cos 02,2 2x + y = P尸2,n解得p= 2, 0= ±3,p= 4cos 0、. 、. n n故圆C i与圆C2的交点坐标为2 一,2 —一.2,32,3注:极坐标系下点的表示不唯一.x= p os 0,(2)方法一:由得圆C i与C2交点的直角坐标分别为(1,〔3), (1,—. 3).y= p in 0x= 1,故圆C i与C2的公共弦的参数方程为(一•. 3<3).y= tx= 1 ,或参数方程写成—,3<y< .3y= y,x= pcos 0, 方法二:将x= 1代入y= psin 0,1得p os 0= 1 ,从而p= .cos 0于是圆C i与C2的公共弦的参数方程为5. (2015河北邯郸二模,23, 10分)已知圆C 的极坐标方程为 尸2cos 0,直线I 的Q.(1) 写出圆C 的直角坐标方程; (2) 求 |AP| |AQ|的值.解:(1)因为圆C 的极坐标方程为 尸2cos 0, 所以 p= 2 p os 0,将其转化成直角坐标方程为x 2 + y 2^ 2x , 即(x — 1)2+ y 2= 1.⑵由点A 的极坐标乎,寸得直角坐标为A1, 1.V 3—i i i设t i , t 2为方程t 2— 2—t —2_0的两个根,贝u t i t 2_ — ^, i所以 |AP| |AQ|_ |t i t 2|_^.x _ tcos a ,2. (2015课标U, 23, 10分,中)在直角坐标系xOy 中,曲线C 仁(t 为y _ tsin a ,参数,t 丰0),其中0Wa<n .在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2:p_ 2sin 0 , C 3: 尸 2.3cos 0 .X= 1,y= tan 0 nn—3=0<3 .参数方程为x =1 + 爭,(t 为参数),点A 的极坐标为¥,~4,设直线i 与圆C 交于点P , 将直线l 的参数方程x 」+二2 1 ? 1 1 尸 2+2t(t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x — 1)2+ y 2= 1, 1_20.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;⑵若C 1与C 2相交于点A , C 1与C 3相交于点B ,求|ABI 的最大值. 解:(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+ y 2— 2y = 0, 曲线C 3的直角坐标方程为x 2 + y 2 — 2 .3x = 0.x 2 + y 2 — 2y = 0, x 2 + y 2 — 2 3x = 0,x = 0, 解得 或 y = 0所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0, 0)和 今,3⑵曲线C 1的极坐标方程为 A a p€ R ,卩工0),其中0W a n . 因此A 的极坐标为(2sin a, a, B 的极坐标为(2 3cos a, a - 所以 |AB A |2sin a — 2 3cos a3. (2015陕西,23, 10 分,易)在直角坐标系xOy 中,直线I 的参数方程为(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,O C 的极坐标方程为PA 2 3 sin 9 .(1) 写出O C 的直角坐标方程;(2) P 为直线I 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.解:(1)由尸2 3sin 9,得p 2= 2^3 psin 9,从而有x 2 +寸=2 3y , 所以 X + (y —: ,;3)?= 3.x ==4 sin7ta —35 n当百时,AB|取得最大值,最大值为4.x = 3+ft ,⑵设P 3+ gt, ~23t,又C(o, 3),则|PC|= , 3+ ;t2+ jt —,:32= 't2+ 12,故当t = 0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3, 0).5.(2014课标U, 23, 10分,中)在直线坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正n半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为P= 2cos 9 , 9 € 0,㊁.(1)求C的参数方程;⑵设点D在C 上, C在D处的切线与直线I: y= . 3x+ 2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解:(1)C的普通方程为(x—1)2+ 卄1(0<y< 1).x= 1 + cos t,可得C的参数方程为(t为参数,0W t<冗).y= sin t(2)设D(1 + cos t, sin t).由(1)知C是以G(1, 0)为圆心,1为半径的上半圆•因为 C- n 在点D处的切线与I垂直,所以直线GD与I的斜率相同,tan t = .3, t=g故D的直角坐标为1 + cos —, sin§,即2,.x= 2cos t,7. (2013课标U , 23, 10分,中)已知动点P, Q都在曲线C: . (t为参数)y= 2s in t上,对应参数分别为t= a与t= 2a0<a<2n ), M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;⑵将M到坐标原点的距离d表示为a的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解:(1)依题意有P(2cos a, 2sin a), Q(2cos 2a, 2sin 2 a),因此M(cos a+ cos 2a, sin a+ sin 2 0). M的轨迹的参数方程为X= cos a+ cos 2a,(a为参数,0<a<2冗). y= sin a+ sin 2a⑵M点到坐标原点的距离d= ‘x2+ y2= '2+ 2cos a(0< a<2 t).当a=n时,d = 0,故M的轨迹过坐标原点.2 2(2014课标I , 23, 10分)已知曲线C: ^4 +卷=1.直线I : x= 2 +1,y= 2 —2t (t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线I的普通方程;⑵过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线, 交I于点A,求|PA|的最大值与最小值.【思路导引】(1 )由基本关系式可消参求出普通方程; (2)把|PA|用参数B来表示,从而求其最值.x= 2cos 0,【解析】(1)曲线C的参数方程为(0为参数).y= 3sin 0直线I的普通方程为2x+ y-6= 0.⑵曲线C上任意一点P(2cos 0, 3sin B)到I的距离为d胡4cos 0+ 3sin 0- 6|.d 2^/5则|FA|= = —|5sin(0+ a) —6|,其中a为锐角,且tansin 30°54 a= 3.当sin(0+ c) = —1时,|PA|取得最大值,最大值为一5-. 当sin(0+ c) = 1时,|PA取得最小值,最小值为255.(2013辽宁,23, 10分)在直角坐标系xOy中,以O为极点, X轴正半轴为极轴建立(1)求C l 与C 2交点的极坐标;⑵设P 为C 1的圆心,Q 为C 1与C 2交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为x =t 3 + a ,b 3 ‘(t € R 为参数),求a , b 的值. y =2+ 1【解析】(1)圆C i 的直角坐标方程为x 2 + (y —2)2= 4, 直线C 2的直角坐标方程为x + y — 4 = 0.x 2+( y — 2) 2= 4,X 1= 0, 解得x + y — 4= 0y 1 = 4,注:极坐标系下点的表示不唯一.方程为x — y + 2= 0.bb ab由参数万程可得 y = 2(x — a ) +1= ^x —2 +1, b = 12 ', 所以 「ab ,小—兀 + 1 = 2, 解得 a = — 1, b = 2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用,即把极坐标化为直角坐标,把参 数方程化为普通方程求解问题.x = 2C0S a , 2011课标全国,23, 10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为y = 2+ 2sin a(a 为参数),M 是C 1上的动点,P 点满足OP = 2OM , P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程;n⑵在以0为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线B=§与C 1的异于极点的X 2= 2, y 2= 2.所以C 1与C 2交点的极坐标为4n ,2 2,⑵由(1)可得,P 点与Q 点的直角坐标分别为(0, 2), (1, 3).故直线PQ 的直角坐标交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB|.解:⑴设P(x , y).x 2— 2C0S a,由于M 点在C i 上,所以y .2— 2 + 2si n a, x —4cos a,即y — 4 + 4si n ax —4cos a,从而C 2的参数方程为 (a 为参数).y —4 + 4si n a⑵C i 化为普通方程为x 2+ (y - 2)2 — 4,故曲线C i 的极坐标方程为 尸4sin 9 ,同理可 得曲线C 2的极坐标方程为p — 8sin 9n射线9— 3与C i 的交点A 的极径为P 1 —n射线9— 3与C 2的交点B 的极径为p 2— 8扁—W3.所以 |AB|— | p — p |— 2 3.5. (2014辽宁锦州一模,23 , 10分)已知圆的极坐标方程为 p — 4.2p os(A~4)+ 6 —0.(1)将极坐标方程化为普通方程;⑵若点P(x , y)在该圆上,求x + y 的最大值和最小值.解:⑴原方程变形为 p — 4p cos 9— 4psin 9+ 6 — 0 ,化直角坐标方程为 x 2 + y 2— 4x — 4y + 6— 0,即(x — 2)2 + (y — 2)2 — 2.x — 2+ 2cos a ,x则由条件知M 2,y-2 4sin§ — 2 . 3 , (2)设圆的参数方程为 (a 为参数),点P(x , y)在圆上,y—2+ 2sin an则 x + y = 4+ 2sin a +_ .所以x + y 的最大值为6,最小值为2.6. (2015山西太原联考,23, 10分)已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点,x 轴的n非负半轴为极轴建立极坐标系,点 P 的极坐标为2.3,百,曲线C 的极坐标方程为P 2+ 2 3 p sin B = 1.(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程;小值.解:(1)点P 的直角坐标为(3,3). 由 p + 2 3 psin 1,得 x 2 + y 2 + 2 3y = 1,即卩 x 2 + (y + , 3)2 = 4,•••曲线C 的直角坐标方程为x 2+ (y + ,3)2= 4.(2)曲线C 的参数方程为x = 2cos 0,厂(0为参数),直线I 的普通方程为x — 2y — 7= 0.y =— .3 + 2sin 0 设 Q(2cos 0, — V 3+ 2sin 0),3则M 2+ cos 0, sin 0,那么点M 到直线I 的距离为3+ cos 0— 2s in 0— 7cos 0— 2si n 0—5/sin (0-® + 号.一 11 —_5+1 =山 ,5 = 10 —', ⑵若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线I :x = 3 + 2t , y = — 2+1(t 为参数)距离的最•••点M到直线I的最小距离为儒一1.。

极坐标与参数方程大题及答案

极坐标与参数方程大题及答案

极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。

首先,根据极坐标到直角坐标的转换公式:$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式,得到:$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子,得到直角坐标方程为:$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。

首先,我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2,从而得到:r2+y2−4x=0然后,将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$,得到:$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简,得到极坐标方程为:$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。

使用极坐标到直角坐标的转换公式,将$r = \\sin(\\theta)$代入,得到:$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子,得到直角坐标方程为:$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。

极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

高考极坐标参数方程(经典39题)在极坐标系中,以点(2,)2C π为圆心,半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.(1)求圆C 及直线l 的普通方程. (2)求弦长AB .2.在极坐标系中,曲线2:sin 2cos L ρθθ=,过点A (5,α)(α为锐角且3tan 4α=)作平行于()4R πθρ=∈的直线l ,且l 与曲线L 分别交于B ,C 两点. (Ⅰ)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L 和直线l 的普通方程; (Ⅱ)求|BC|的长.3.在极坐标系中,点M 坐标是)2,3(π,曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=;以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1-的直线l 经过点M .(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ,并求||||MB MA ⋅的值.4.已知直线l的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==,圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=.(1)求圆心C 的直角坐标;(2)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值.5.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为()为参数t t y ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标极轴)中,圆C 的方程为θρcos 4=. (Ⅰ)求圆C 在直角坐标系中的方程;(Ⅱ)若圆C 与直线l 相切,求实数a 的值.6.在极坐标系中,O 为极点,已知圆C 的圆心为(2,)3π,半径r=1,P 在圆C 上运动。

(I )求圆C 的极坐标方程;(II )在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点O 为原点,以极轴为x 轴正半轴)中,若Q 为线段OP 的中点,求点Q 轨迹的直角坐标方程。

7.在极坐标系中,极点为坐标原点O ,已知圆C 的圆心坐标为)4,2(C π,半径为2,直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若圆C 和直线l 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.8.平面直角坐标系中,将曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 4y x (α为参数)上的每一点纵坐标不变,横坐标变为原来的一半,然后整个图象向右平移1个单位,最后横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C .以坐标原点为极点,x 的非负半轴为极轴,建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=,求1C 和2C 公共弦的长度.9.在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=,直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=.21, 233t y t x (t 为参数).求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标;若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点,求MN 的最小值。

(完整版)极坐标与参数方程高考习题练习含答案

(完整版)极坐标与参数方程高考习题练习含答案

欢迎阅读极坐标系与参数方程高考题练习2014年一.选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的对称中心( B ).A.C 2.ρ4=A.ρ=C.ρ= 0sin cos 2ρθθθ∴=≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以选A 。

二.填空题1. (2014湖北)(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2=ρ,则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 2. (2014湖南)直角坐标系中,倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩:,(α为参数)交于A 、B 两点,且2AB =,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32(t 为参数),以坐标原点为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-,则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ,则C 与极轴的交点到极点的距离是 。

【答案】 31【解析】.C (2014陕西)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是C5 (2014天津)在以O 为极点的极坐标系中,圆θρ4sin =和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若ΔAOB 是等边三角形,则a 的值为___________. 解:3 圆的方程为2224x y ,直线为y a .因为AOB 是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得3a .6. (2014广东)(坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为__三.解答题1. (2014新课标I)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C :22149x y +=,直线l :222x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(Ⅰ).直线ld =则||PA =当(sin θ当(sin θ2. (20142cos ρθ=,0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (Ⅰ)求C 的参数方程;(Ⅱ)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线:2l y +垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.3. (2014辽宁)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【答案】 (1) π∈[0,θθsin 2,θcos ,==y x (2) 03θsin ρ4-cos θ 2ρ=+ 【解析】(1)(2)4(2014 (I (II 解:圆C (2)故圆(2013)A . C .=()cos=12R πθρρ∈和 D .=0()cos=1R θρρ∈和(2013天津数学(理))已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则|CP | =1(2013上海卷(理))在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_____152+_____ 解析:2(2013北京卷(理))在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____. 3重庆数学(理))在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 【答案】1642013广东(理))(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为 , 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程为 .【答案】x+y=2 ;sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5(2013陕西(理))C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为______ .【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 26(2013江西(理))(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2cos sin 0ρθθ-=7(2013湖南卷(理))在平面直角坐标系xoy中,若,3cos, :(t)C:2sin x t xly t a yϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,则常数a的值为________.【答案】38(2013湖北(理))在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩()0a bϕ>>为参数,.)中,(2013α与β=(Ⅰ(Ⅱ9(20132C(I)12(II)设P为1C的圆心,Q为1C与2C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为()3312x t at Rby t⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b的值【答案】10(2013福建(理))坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos(4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点)4A π在直线cos(4a πρθ-=上,可得a =(Ⅱ)11(2013程为.【答案】0 ①12(2013新课标1(理))选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】将45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩消去参数,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为(2,4π),(2,)2π. 【2012新课标文23】已知曲线C 1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正三角形ABC 的顶点都在C 2上,且A 、B 、C 以逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,) (Ⅰ)求点A 、B 、C 的直角坐标;(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围. 解析:【2012辽宁文23】在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=。

极坐标与参数方程经典练习题 带详细解答

极坐标与参数方程经典练习题 带详细解答

1.极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.(Ⅰ)求C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求弦长||AB .2.已知直线l 经过点1(,1)2P ,倾斜角α=6π,圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程,并把圆C 的方程化为直角坐标方程;(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之积. 3.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==,圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=.(I )求圆心C 的直角坐标;(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值. 4.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合,且两坐标系有相同的长度单位,圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数),点Q的极坐标为7)4π。

(1)化圆C 的参数方程为极坐标方程;(2)直线l 过点Q 且与圆C 交于M ,N 两点,求当弦MN 的长度为最小时,直线l 的直角坐标方程。

5.在极坐标系中,点M 坐标是)2,3(π,曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=;以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1-的直线l 经过点M . (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ,并求||||MB MA ⋅的值.6.(本小题满分10分) 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ,(α为参数) M 是曲线1C 上的动点,点P 满足2=,(1)求点P 的轨迹方程2C ;(2)在以D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与曲线1C ,2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7.在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭,M ,N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点. (1)写出曲线C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标;(2)求直线OM 的极坐标方程. 8.在直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为:2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C 2是极坐标方程为:cos ρθ=, (1)求曲线C 2的直角坐标方程;(2)若P ,Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点,求PQ 的最小值.9.已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数),点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭,设直线l 与圆C 交于点P 、Q .(1)写出圆C 的直角坐标方程;(2)求AP AQ ⋅的值.10.已知动点P ,Q 都在曲线C :2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩(β为参数)上,对应参数分别为t α=与2t α=(0<α<2π),M 为PQ 的中点。

极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)

极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)

专题:极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数),直线l 经过定点(3,5)P ,倾斜角为3π. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=,过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 交于,M N 两点.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程;(2)求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线:23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l :(cos sin )6ρθθ-=.(1)求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值;(2)与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点,若||2AB =,求1l 的方程.4、在平面直角坐标系xOy 中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程;(2)设P 为曲线1C 上一点,Q 为曲线2C 上一点,求||PQ 的最小值.5.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭,半径为1的圆.(1)求曲线1C 的普通方程,2C 的直角坐标方程;(2)设M 为曲线1C 上的点,N 为曲线2C 上的点,求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数),曲线2C :2220x y y +-=,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,射线():0l θαρ=≥与曲线1C ,2C 分别交于,A B (均异于原点O ).(1)求曲线1C ,2C 的极坐标方程; (2)当02πα<<时,求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 过点(,1)P a ,其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数,a R ∈),以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点,且||2||PA PB =,求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=,若射线6πθ=,3πθ=,分别与l 交于,A B两点.(1)求||AB ;(2)设点P 是曲线2219y x +=上的动点,求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+12t ,y =32t ,(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =tcos α,y =tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3+12t ,y =32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2-2x +y 2=0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标; (2)设P 是椭圆x 23+y 2=1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+12t ,y =32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1+sin 2θ)ρ2=2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2+1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=. (1)若2a =,求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值.7. 在直角坐标系xOy 中,直线1C :y =,曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩(ϕ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程; (2)把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ,3C 与2C 交于A ,B 两点,求||AB .8.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解:(1)∵曲线C的参数方程为(θ为参数),消去参数θ,得曲线C的普通方程:(x﹣1)2+(y﹣2)2=16;∵直线l经过定点P(3,5),倾斜角为,∴直线l的参数方程为:,t为参数.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程,得t2+(2+3)t﹣3=0,设t1、t2是方程的两个根,则t1t2=﹣3,∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3.2.【解答】解:(1)曲线C:ρsin2θ=2cosθ,即ρ2sin2θ=2ρcosθ,∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x;直线l:(t为参数),消去t,可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0;(2)将直线l:代入曲线C的标准方程:y2=2x得:t2﹣4t﹣6=0,∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=(t1﹣t2)2+2t1t2=32.3、【解答】(1)直线l :(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=.曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为(2)设直线1l 的方程为0x y λ-+=, (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】(1)由曲线C 1的参数方程为(θ为参数),消去参数θ得,曲线C 1的普通方程得+=1.由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得,曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…(2)设P (2cos θ,2sin θ),则点P 到曲线C 2的距离为d==,当cos (θ+45°)=1时,d 有最小值0,所以|PQ|的最小值为0.5.【解答】解:(1)消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1,∵曲线C2是圆心为(3,),半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3),∴C2的直角坐标方程为x2+(y﹣3)2=1;(2)设M(2cosφ,sinφ),则|MC2|====,∴﹣1≤sinφ≤1,∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4,由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1,最大值为4+1=5,∴|MN|的取值范围为[1,5]6.【解答】解:(1)∵,∴,由得曲线C1的极坐标方程为,∵x2+y2﹣2y=0,∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ;(2)由(1)得,|OB|2=ρ2=4sin2α,∴∵,∴1<1+sin2α<2,∴,∴|OA|2+|OB|2的取值范围为(2,5).7.【解答】解:(1)曲线C1参数方程为,∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0,由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0,∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0,即曲线C2的直角坐标方程y2=4x.(2)设A、B两点所对应参数分别为t1,t2,联解得要有两个不同的交点,则,即a>0,由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|,|PB|=2|t2|,又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|,即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时,有t1+t2=3t2=,t1t2=2t22=,∴a=>0,符合题意.当t1=﹣2t2时,有t1+t2=﹣t2=,t1t2=﹣2t22=,∴a=>0,符合题意.综上所述,实数a的值为或.8.【解答】解:(1)直线,令,解得,∴,令,解得ρ=4,∴又∵,∴,∴|AB|=2.(2)∵直线,曲线,∴=当且仅当,即时,取“=”,∴,∴△ABP面积的最大值为3.极坐标与参数方程——练习参考答案1.【解答】解:由,由②得,代入①并整理得,.由,得,两式平方相加得.联立,解得或.∴|AB|=.2.【解答】解:(1)曲线C2:ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,即x2+y2=2y,①C 3:ρ=2cosθ,则ρ2=2ρcosθ,即x2+y2=2x,②由①②得或,即C2与C3交点的直角坐标为(0,0),(,);(2)曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx,则极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤a<π.因此A得到极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin(α)|,当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.3.【解答】解:(1)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴ρ2=2,化为x2+y2=,配方为=3.(2)设P,又C.∴|PC|==≥2,因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).4.【解答】解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的直角坐标方程为y=x,联立方程组,解得或,所以点M,N的极坐标分别为(0,0),(,).(2)由(1)易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点,设P点坐标为(cosθ,sinθ),则P到直线y=x的距离d=,所以S△PMN==≤1,当θ=kπ﹣,k∈Z时,S△PMN取得最大值1.5.【解答】解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0,曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2,化成直角坐标方程为x2+2y2=2,即+y2=1.(2)将直线l的参数方程代入曲线C:x2+2y2=2,得7t2+4t﹣4=0.设A,B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=﹣,t1t2=﹣,∴+=+==.6.【解答】解:(1)当a=2时,ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为:x2+(y﹣1)2=1直线的参数方程(t为参数).转化成直角坐标方程为:4x+3y﹣8=0 (2)圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为:直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍,所以:2|3a﹣16|=5|a|,利用平方法解得:a=32或.7.【解答】解:(1)∵直线,∴直线C1的极坐标方程为,∵曲线C2的参数方程是(θ为参数),∴消去参数θ,得曲线C2的普通方程为.(2)∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3,∴C3的极坐标方程为,化为直角坐标方程为.圆C2的圆心(,2)到直线C3:的距离:.∴.8.【解答】解:(1)在曲线C上任意取一点(x,y),由题意可得点(x,)在圆x2+y2=1上,∴x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1,化为参数方程为(0≤θ<2π,θ为参数).(2)由,可得,,不妨设P1(1,0)、P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(,1),再根据与l垂直的直线的斜率为,故所求的直线的方程为y﹣1=(x﹣),即x﹣2y+ =0.再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0,即ρ=.。

极坐标及参数方程高考题练习含答案

极坐标及参数方程高考题练习含答案

极坐标系与参数方程高考题练习2014年一.选择题1. (2014)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕的对称中心〔 B 〕.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取一样的长度单位。

直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数),圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为〔 D 〕〔A 〕14 〔B 〕214 〔C 〕2 〔D 〕223(2014) (2).〔坐标系与参数方程选做题〕假设以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为〔 〕 A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭所以选A 。

二.填空题1. (2014)〔选修4-4:坐标系与参数方程〕曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2=ρ,则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014)直角坐标系中,倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩:,〔α为参数〕交于A 、B 两点,且2AB =,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是________. 3 (2014)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32〔t 为参数〕,以坐标原点为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-,则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014)曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ,则C 与极轴的交点到极点的距离是。

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1.极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.(Ⅰ)求C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求弦长||AB .2.已知直线l 经过点1(,1)2P ,倾斜角α=6π,圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程,并把圆C 的方程化为直角坐标方程;(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之积. 3.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==,圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=.(I )求圆心C 的直角坐标;(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值. 4.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合,且两坐标系有相同的长度单位,圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数),点Q的极坐标为7)4π。

(1)化圆C 的参数方程为极坐标方程;(2)直线l 过点Q 且与圆C 交于M ,N 两点,求当弦MN 的长度为最小时,直线l 的直角坐标方程。

5.在极坐标系中,点M 坐标是)2,3(π,曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=;以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1-的直线l 经过点M . (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ,并求||||MB MA ⋅的值. 6.(本小题满分10分) 选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ,(α为参数) M 是曲线1C 上的动点,点P 满足OM OP 2=,(1)求点P 的轨迹方程2C ;(2)在以D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与曲线1C ,2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7.在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭,M ,N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点. (1)写出曲线C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标;(2)求直线OM 的极坐标方程.8.在直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为:2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C 2是极坐标方程为:cos ρθ=, (1)求曲线C 2的直角坐标方程;(2)若P ,Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点,求PQ 的最小值.9.已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数),点A的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,设直线l 与圆C 交于点P 、Q . (1)写出圆C 的直角坐标方程;(2)求AP AQ ⋅的值.10.已知动点P ,Q 都在曲线C :2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩(β为参数)上,对应参数分别为t α=与2t α=(0<α<2π),M 为PQ 的中点。

(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

11.已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C 上的点按坐标变换1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '.(1)求曲线C '的普通方程;(2)若点A 在曲线C '上,点B (3,0),当点A 在曲线C '上运动时,求AB 中点P 的轨迹方程.12.已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=,直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253(t 为参数).(I )将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点,求MN 的最大值. 13.已知曲线C:ρsin(θ+)=,曲线P:ρ2-4ρcos θ+3=0,(1)求曲线C,P 的直角坐标方程.(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A,B,求|AB|.14.极坐标与参数方程: 已知点P 是曲线2cos ,:(3sin ,x C y θθπθπθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩为参数,2)上一点,O 为原点.若直线OP 的倾斜角为3π,求点P 的直角坐标. 15.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=2cos 3sin 32θαy x ,(其中α为参数,R ∈α),在极坐标系(以坐标原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,曲线2C 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=.(1)把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程; (2)若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为32,求曲线2C 的直角坐标方程. 16.已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为33cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数),以Ox 为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos()06πρθ+=.⑴写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程;⑵求圆C 截直线l 所得的弦长. 17.圆O 1和O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-,. (1)把圆O 1和O 2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O 1和O 2交点的直线的直角坐标方程. 18.已知曲线C 1的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 19.极坐标系的极点是直角坐标系的原点,极轴为x 轴正半轴。

已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 2=,曲线2C 的参数方程为)),0[(sin 3cos 2παααα∈⎩⎨⎧+=+=为字母常数且为参数,其中t t y t x 求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程;当曲线1C 和曲线2C 没有公共点时,求α的取值范围。

20.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为:=2cos()3πρθ-,曲线C 2的参数方程为:4cos cos 3(0)2sin sin 3x t t y t πααπα⎧=+⎪⎪>⎨⎪=+⎪⎩为参数,,点N 的极坐标为(4)3π,.(Ⅰ)若M 是曲线C 1上的动点,求M 到定点N 的距离的最小值;(Ⅱ)若曲线C 1与曲线C 2有有两个不同交点,求正数t 的取值范围.21.以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐极系,并在两种坐极系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为4πθ=(R ∈ρ),它与曲线⎩⎨⎧+=+=ααsin 22,cos 21y x (α为参数)相交于两点A 和B,求AB 的长. 22.选修4-4:极坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x ,(α为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ.(1)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程;(2)设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到2C 上点的距离的最小值. 23.已知曲线1C 的极坐标方程为82cos 2=θρ,曲线2C 的极坐标方程为6π=θ,曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点. (R ρ∈)(Ⅰ)求A 、B 两点的极坐标; (Ⅱ)曲线1C 与直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231(t 为参数)分别相交于N M ,两点,求线段MN 的长度.24.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:22,4x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于,M N(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值. 25.设直线l 过点P (-3,3),且倾斜角为56π. (1)写出直线l 的参数方程;(2)设此直线与曲线C :24x cos y sin θθ⎧⎨⎩=,= (θ为参数)交于A ,B 两点,求|PA |·|PB |.26.平面直角坐标系中,直线l的参数方程是x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=.(Ⅰ)求直线l 的极坐标方程;(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求||AB .27. 已知直线l的参数方程为12(1x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数), 曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P . (1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)求11PA PB+的值. 28.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=,曲线2C 的参数方程为4,5325x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t为参数).(1)判断1C 与2C 的位置关系;(2)设M 为1C 上的动点,N 为2C 上的动点,求MN 的最小值.29.已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数),当0t =时,曲线1C 上对应的点为P ,以原点O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为ρ=(1)求证:曲线1C 的极坐标方程为3cos 4sin 40ρθρθ--=;(2)设曲线1C 与曲线2C 的公共点为,A B ,求PA PB •的值.30.已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为5212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设曲线C 与直线l 相交于P Q 、两点,以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形,求该矩形的面积.31.已知直线l 过点(0,4)P -,且倾斜角为4π,圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. (1)求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和圆C 相交于A 、B ,求||||PA PB ⋅及弦长||AB 的值.32.在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的方程为ρθ=. (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程;(Ⅱ)若点P 的直角坐标为(1,0),圆C 与直线l 交于,A B 两点,求||||PA PB +的值. 33.以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知:直线l 的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数), 曲线C 的极坐标方程为(1+sin 2θ)ρ2=2.(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求2211APBP+34.在直角坐标系xoy 中,以原点o 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+,直线l 的极坐标方程为ρ=.(Ⅰ)写出曲线1C 与直线l 的直角坐标方程;(Ⅱ)设Q 为曲线1C 上一动点,求Q 点到直线l 距离的最小值. 35.在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为:2cos (sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数,其中0)2πα<<,椭圆M 的参数方程为2cos (sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数),圆C 的标准方程为()2211x y -+=.(1)写出椭圆M 的普通方程;(2)若直线l 为圆C 的切线,且交椭圆M 于,A B 两点,求弦AB 的长.36.已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数).(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系,并说明理由;(2)若直线l 和曲线C 相交于,A B两点,且AB =l 的斜率.37.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为为参数)t t y t x (,2,22⎩⎨⎧+-=+=,在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 的方程为θρ2sin 312+=.(1)求曲线1C 、2C 的直角坐标方程;(2)(2)若A 、B 分别为曲线1C 、2C 上的任意点,求AB 的最小值. 38.已知在直角坐标系x y O 中,曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系x y O 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(Ⅰ)求曲线C 在极坐标系中的方程;(Ⅱ)求直线l 被曲线C 截得的弦长.39.已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数).(1)写出曲线C 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14=AB ,求直线l 的倾斜角α的值. 40.在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x C :(α为参数); 直线4)sin (cos =+θθρ:l . (Ⅰ)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.41.在直角坐标系xoy 中,直线l的参数方程为12 (1x t t y ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数),曲线C 的参数方程为2cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数).(Ⅰ)将曲线C 的参数方程转化为普通方程;(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,试求线段AB 的长.42.在平面直角坐标系中,以为极点,轴非负半轴为极轴建立坐标系,已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为: (为参数),两曲线相交于两点. 求:(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若求的值.43在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系 的点为极点,为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线的极坐标方程为.直线与曲线交于两点,求线段AB 的长.xoy O x C 2sin 4cos ρθθ=l 24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩t ,M N C l (2,4)P --PM PN +xoyl 12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t xOy O Ox C 2cos()4πρθ=-l C ,A B本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

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