原子物理学 第4章 原子的精细结构
原子物理讲义 第四章 原子的精细结构
第四章 原子的精细结构：电子的自旋（YCS ）玻尔理论考虑了原子主要的相互作用即核与电子的静电作用，较为有效地解释了氢光谱。
不过人们随后发现光谱线还有精细结构，这说明还需考虑其它相互作用即考虑引起能量变化的原因。
本章在量子力学基础上讨论原子的精细结构。
本章先介绍原子中电子轨道运动引起的磁矩，然后介绍原子与外磁场的相互作用，以及原子内部的磁场引起的相互作用。
说明空间量子化的存在，且说明仅靠电子的轨道运动不能解释精细结构，还须引入电子自旋的假设，由电子自旋引起的磁相互作用才是产生精细结构的主要因素。
§4-1原子中电子轨道运动的磁矩1.经典表示式在经典电磁学中载流线圈的磁矩为n iS ˆ=μ 。
(若不取国际单位制，则n S ci=μ)（S 为电流所围的面积，n 是垂直于该积的单位矢量。
这里假定电子轨道为圆形，可证明，对于任意形状的闭合轨道，其结果不变。
）电子绕核的运动必定有一个磁矩，设电子旋转频率为rv πν2=，则原子中电子绕核旋转的磁矩为：L m e n vr m m e n r rv en r e S i ee e22222-=-=-=-==ππνπμ定义旋磁比上式是原子中电子绕核运动的磁矩与电子轨道角动量之间的关系式。
磁矩μ与轨道角动量L反向，这是因为磁矩的方向是根据电流方向的右手定则定义的，而电子运动方向与电流反向之故。
从电磁学知道，磁矩在均匀外磁场中不受力，但受到一个力矩作用，力矩为B⨯=μτ 力矩的存在将引起角动量的变化，即B dtL d⨯==μτ 由以上关系可得B dt d⨯-=μγμ，可改写为μωμ⨯=dtd 拉莫尔进动的角速度公式表明：在均匀外磁场B 中高速旋转的磁矩不向B 靠拢，而是以一定的ω 绕B作进动。
ω 的方向与B 一致。
进动角频率（or2.量子化条件此前的两个量子数中，主量子数n 决定体系的能量，角动量量子数l 决定轨道形状。
轨道平面方向的确定：当有一个磁场存在时，磁场B的方向即为参考方向，轨道平面的方向也才有意义。
原子物理学 课后答案
目录第一章原子的位形 (2)第二章原子的量子态：波尔模型 (8)第三章量子力学导论 (12)第四章原子的精细结构：电子的自旋....................... 错误！未定义书签。
第五章多电子原理：泡利原理 (23)第六章X射线 (28)第七章原子核物理概论.......................................... 错误！未定义书签。
1.本课程各章的重点难点重点:α粒子散射实验公式推导、原子能量级、氢原子的玻尔理论、原子的空间取向量子化、物质的波粒二象性、不确定原则、波函数及其物理意义和薛定谔方程、电子自旋轨道的相互作用、两个价电子的原子组态、能级分裂、泡利原理、电子组态的原子态的确定等。
难点：原子能级、电子组态、不确定原则、薛定谔方程、能级分裂、电子组态的原子态及基态的确定等。
2.本课程和其他课程的联系本课程需在高等数学、力学、电磁学、光学之后开设，同时又是理论物理课程中量子力学部分的前导课程，拟在第三学年第一学期开出。
3.本课程的基本要求及特点第一章原子的位形：卢瑟福模型了解原子的质量和大小、原子核式模型的提出；掌握粒子散射公式及其推导，理解α粒子散射实验对认识原子结构的作用；理解原子核式模型的实验验证及其物理意义。
第二章原子的量子态：玻尔模型掌握氢原子光谱规律及巴尔末公式；理解玻尔原子模型的基本假设、经典轨道、量子化条件、能量公式、主量子数、氢能级图；掌握用玻尔理论来解释氢原子及其光谱规律；了解伏兰克---赫兹实验的实验事实并掌握实验如何验证原子能级的量子化；理解索菲末量子化条件；了解碱金属光谱规律。
第三章量子力学导论掌握波粒二象性、德布罗意波的假设、波函数的统计诠释、不确定关系等概念、原理和关系式；理解定态薛定谔方程和氢原子薛定谔方程的解及n,l,m 三个量子数的意义及其重要性。
第四章 原子的精细结构：电子的自旋理解原子中电子轨道运动的磁矩、电子自旋的假设和电子自旋、电子量子态的 确定；了解史特恩—盖拉赫实验的实验事实并掌握实验如何验证角动量取向的量子化；理解碱金属原子光谱的精细结构；掌握电子自旋与轨道运动的相互作用；了解外磁场对原子的作用，理解史特恩—盖拉赫实验的结果、塞曼效应。
原子的精细结构.
《原子物理学》第四章 原子的精细结构：电子的自旋
为使氢原子束在磁场区受力，则要求磁场在Å的线度 范围内是非均匀磁场（实验的困难所在）。 在外加非均匀磁场中原子束产生分裂。是对原子在外 磁场中取向量子化的首次直接观察，是原子物理学中最 重要的实验之一。
12
《原子物理学》第四章 原子的精细结构：电子的自旋
分析矢量μ的进动。图（b）取自与B 垂直的、μ进动平面上的一小块扇面。 μ与B的垂直距离即为扇面半径 显然：d sin d d d sin sin 于是： dt dt d d d dt sin d 由此知 即为角速度。 （ b） dt 6
3
《原子物理学》第四章 原子的精细结构：电子的自旋
§4-1 原子中电子轨道运动的磁矩
1.经典表示式
由经典电磁理论，载流 线圈的磁矩： iSn 电子绕核运动等效于一 载流线圈,必有一个磁矩。
i
n
r
i
n
L
r
v 设电子旋转频率: 2r
则原子中电 子绕核旋转 的磁矩为：
e
电子与自旋相联系的 磁矩类似于电子轨道 运动的磁矩。可写出 电子自旋的磁矩为：
3 s s ( s 1) B B 2 m 1 s B B sz 2
但这两个式子与实验不符，为此乌仑贝 克与古兹米特进一步假设：电子的磁矩 为一个玻尔磁子，即为经典数值的2倍。
（*如果视电子为带电小球，半径为0.01nm，它绕自身 1 的轴线旋转，则当其角动量为 时，表面处的切向线速 2 度大大超过光速！）
电子自旋假设受到各种实验的支持，是对电子认识的一 个重大发展。狄拉克于1928年找到一种与狭义相对论相融 洽的理论，可由狄拉克相对量子力学严格导出电子自旋的 自然结果。
《原子物理学》部分习题解答(杨福家)
gJ
2
z g J B
氢原子基态 氯原子基态
2
3 2 3
S1/ 2 P3 / 2
1 S ( S 1) L ( L 1) 2 2 J ( J 1)
两束
四束
2
gJ
1 S ( S 1) L ( L 1) 4 2 2 J ( J 1) 3
pc
E k ( E k 2m0c ) E k
2
所以
E k m in p m in c 6 2 M eV
4－2 解： 原子态
2
D3/2
1 2 , J 3 2
可得
gJ 3 2
L 2, S
mJ
1 2
,
3 2
1 S ( S 1) L ( L 1) 4 2 J ( J 1) 5
Ek Ek
3.1keV 0.0094keV
3－3 解：
Ek m0 c 0.511MeV
2
若按非相对论处理
Ek 1 2 m0 v ，有
2
1 2
m0 v m0 c
2
2
v 2c
显然不合理，需要用相对论来处理。
E Ek m0 c 2m0c
2 2
又E mc m0 c
有磁场
m mg
1 2
3
S
1
0
1
0
2
g 2
h 0
3
P0
0
0
m 2 g 2 m1 g 1
2
0
2
相邻谱线的频率差
c
原子物理学杨福家第四版课后答案
原子物理学杨福家第四版课后答案原子物理学作为物理学的一个重要分支，对于理解物质的微观结构和性质具有至关重要的意义。
杨福家所著的《原子物理学》第四版更是众多学子深入学习这一领域的重要教材。
然而，课后习题的解答往往成为学习过程中的关键环节，它有助于巩固所学知识，加深对概念的理解。
以下便是对该教材课后答案的详细阐述。
首先，让我们来看第一章“原子的位形：卢瑟福模型”的课后习题。
其中，有一道关于α粒子散射实验的题目，要求计算α粒子在与金原子核发生散射时的散射角。
解答这道题，需要我们深刻理解库仑散射公式以及相关的物理概念。
我们知道，α粒子与金原子核之间的相互作用遵循库仑定律，通过对散射过程中动量和能量的守恒分析，可以得出散射角与α粒子的初始能量、金原子核的电荷量以及散射距离之间的关系。
经过一系列的数学推导和计算，最终得出具体的散射角数值。
第二章“原子的量子态：玻尔模型”中的课后习题，重点考察了对玻尔氢原子模型的理解和应用。
比如，有一道题让我们计算氢原子在不同能级之间跃迁时所发射光子的波长。
这就要求我们熟练掌握玻尔的能级公式以及光的波长与能量之间的关系。
根据玻尔的理论，氢原子的能级是量子化的，当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会释放出一定能量的光子。
通过计算两个能级之间的能量差，再利用光子能量与波长的关系式，就可以求出相应的波长。
在第三章“量子力学导论”的课后习题中，常常涉及到对波函数和薛定谔方程的理解和运用。
例如，有一道题给出了一个特定的势场，要求求解在此势场中粒子的波函数和可能的能量本征值。
解答此类问题，需要我们将给定的势场代入薛定谔方程，然后通过数学方法求解方程。
这个过程可能会涉及到一些复杂的数学运算，如分离变量法、级数解法等，但只要我们对量子力学的基本概念和方法有清晰的认识，就能够逐步推导得出答案。
第四章“原子的精细结构：电子的自旋”的课后习题，则更多地关注电子自旋与原子能级精细结构之间的关系。
比如，有题目要求计算在考虑电子自旋轨道耦合作用下，某原子能级的分裂情况。
原子物理第四章
= r
dt
dt
L r p r m v
d
d L d（ r m v ） d r
（m v ）
=
m v + r
dt
dt
dt
dt
d
r
因为：
m v =0
dt
பைடு நூலகம்
dL
B
dt
将
L
代入
dL
1. 史特恩-盖拉赫实验；
2. 碱金属双线实验；
3. 塞曼效应；
为什么这三个实验促使电子自旋假设三大点的提出
第一节：原子中电子轨道运动磁矩
本节介绍原子中电子轨道运动引起的磁矩，先从电
磁学定义出发，得到磁矩与轨道角动量的关系式，然
后利用量子力学中的轨道角动量公式，原子的轨道角
动量是量子化的，得到电子轨道运动磁矩的量子表达
取向，造成最终可测值为
ml
B
B
；
磁量子数是
空间量子化
的标志。
LZ ml
L l l 1
角动量空间量子化
第一节知识点：
•磁矩与轨道角动量的关系;
•电子轨道角动量的表达式;
•角动量在外磁场中的空间量子化;
•拉莫尔进动公式，物理图像.
第二节：史特恩—盖拉赫实验
1921年史特恩和盖拉赫从实验上直接观察到原
可得
在 Z 方向的投影表达式为
e
lZ LZ
ml
2me
（8）
原子物理学杨福家1-6章_课后习题答案
原子物理学课后前六章答案（第四版）杨福家著(高等教育出版社)第一章：原子的位形：卢瑟福模型第二章：原子的量子态：波尔模型第三章：量子力学导论第四章：原子的精细结构：电子的自旋第五章：多电子原子：泡利原理第六章：X射线第一章习题1、2解速度为v的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4rad.要点分析: 碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动).注意这里电子要动.证明：设α粒子的质量为Mα，碰撞前速度为V，沿X方向入射；碰撞后，速度为V'，沿θ方向散射。
电子质量用me表示，碰撞前静止在坐标原点O处，碰撞后以速度v沿φ方向反冲。
α粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有：（1）（2）（3）作运算：（2）×sinθ±(3)×cosθ,得（4）（5）再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与v，化简上式，得（６）若记，可将（６）式改写为（７）视θ为φ的函数θ（φ），对（7）式求θ的极值，有令，则 sin2(θ+φ)-sin2φ=0 即 2cos(θ+2φ)sinθ=0若 sinθ=0, 则θ=0（极小）（8）（2）若cos(θ+2φ)=0 ,则θ=90º-2φ（9）将（9）式代入（7）式，有由此可得θ≈10-4弧度（极大）此题得证。
（1）动能为的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大（2）如果金箔厚μm，则入射α粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几要点分析:第二问是90°～180°范围的积分.关键要知道n, 注意推导出n值.,其他值从书中参考列表中找.解：（1）依和金的原子序数Z2=79答：散射角为90º所对所对应的瞄准距离为.(2)解: 第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.(问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出)从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197, ρAu=×104kg/m3依:注意到：即单位体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数。
原子物理学第4章
价电子的轨道：n ≥ 2
Li： Z=3=212+1 Na：Z=11=2(12+22)+1 K： Z=19=2(12+22+22)+1 Rb：Z=37=2(12+22+32+22)+1 Cs：Z=55=2(12+22+32+32+22)+1 Fr：Z=87=2(12+22+32+42+32+22)+1
3、Na原子的能级与能级跃迁
主线系：从l=1的p态→n=3, l=0的3s态, n=3,4… 锐线(二辅)系：从l=0的s态→n=3, l=1的3p态, n=4,5… 漫线 (一辅)系：从l=2的d态→n=3, l=1的3p态, n=4,5… 基线(柏格曼)系：从l=3的f态→n=3, l=2的3d态, n=4,5,6…
Rhc En 2 (n D l )
-e
●
r Rnl
●
2
2
21
20
n=2
r r1
图4-5、轨道的贯穿
0
4
r Rnl
2
2
32
31
30
n=3
r r1
0 9
l 越小，电子波 函数靠近核的概率 越大，贯穿的几率 越大，能量越低
小结：碱金属原子光谱
1、实验规律:
所有的碱金属原子的光谱，具有相仿的结构，实验观 察的谱线一般分为四个线系。
~D相同而n不同的光谱 和
R R 2、碱金属原子的光谱项： Tnl 2 n (n D l ) 2
• 量子数亏损：D l
nn
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2
§4-1 原子中电子轨道运动的磁矩
1.经典表示式
电子绕核运动等效于一载流线圈,必有磁矩.
eˆn
iSeˆn
e t
Seˆn
e
2r /
v
r 2eˆn
e 2me
mevreˆn
e 2me
L
iS
eˆn
i
(电子)旋磁比
def
8
量子数与状态的关系、简并
量子数与状态的关系
对给定的 n ,有 l 个不同形状的轨道（ l ）; 确定的轨道有（2 l +1）个不同的取向（ m l ）.
简并和简并度
简并:被当作同一较粗糙物理状态的两个或多个不同的较精细 物理状态. 简言之,能量相同的状态称为简并态.
简并度:简并态的数目. 例如原子中的电子,由其能量确定的同一能级状态,可以有两种 不同自旋的状态.所以该能级是两种不同自旋状态的简并态.
本章引进电子自旋假设,对磁矩的合成以及磁场对磁矩的作用 进行分析,进而考察原子的精细结构.
本章还介绍史特恩-盖拉赫实验、碱金属双线和塞曼效应,它 们证明了电子自旋假设的正确性.
由电子自旋引起的磁相互作用是产生精细结构的主要因素.
到现在为止,我们的研究还只限于原子的外层价电子,其内层电 子的总角动量被设为零.
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轨道角动量取向量子化
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
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§4-2 史特恩-盖拉赫实验(1921)
实验原理:从射线源O逸出的具有磁矩的氢原子束,经狭缝S1 和S2后,以速度v沿x方向运动. 进入一个在z方向存在梯度的非均 匀的强磁场Bz. 原子在Bz的作用下将偏离x轴,而落到屏上距x轴距 离z2处.实验结果:在屏上有两条对称的沉积痕迹.
若μ的空间取向是量子化的,z2的数值就会是分立的.因而z2的分 立取值即可验证μ的空间的量子化.
z
d
S1 S2
S
O
N
接真空泵
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
P
z1
D
z2
x 实验的困难:要求 磁场在Å的线度范 围内是非均匀磁场.
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第四章 原子的精细结构：电子的自旋
第四章
原子的精细结构
Atomic fine structure
教材:原子物理学,杨福家,高教社,2008第四版 Manufacture: Zhu Qiao Zhong
玻尔理论较为有效地解释了氢光谱.但人们随后发现光谱线还 有精细结构.说明在此之前建立的原子模型还很粗糙,还需考虑 其它相互作用,即考虑引起能量变化的原因.
e
Ze
e
d
2me
L
电子绕核 旋转的磁矩
L
表明电子的磁矩与轨道角动量反向.
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
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3
磁矩在均匀外磁场中受到一个力矩作用:
B
由理论力学知,此力矩将引起角动量的变化:
dL
B
考虑到
L
d
dL
dt
B
dt
dt
拉摩进动:力矩将使磁矩绕外磁场的方向旋进.
4
ω的意义
分析μ的进动:在右图中与B垂直的μ进动平面
上取一小扇面,扇面半径即μ至B的垂直距离.
z
d
d
sin
sin
B
d
dt
显然: d sind
d sin d sin
dt
dt
d
dt
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
e
dL L
dt
磁矩绕外磁场进动示意图
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5
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
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6
2.量子化条件
磁矩的量子表示式与经典表达式相同.即为:
L
本质的区别是角动量L应取由量子力学计算所得的结果:
L l(l 1) 轨道角动量量子数l 0,1, , n 1
角动量L是量子化的,包括它的大小和空间取向都呈量子化.L 相对z(B)的角度α决定了轨道平面的方向). 将角动量量子化条件 代入磁矩及其在z方向投影的表达式,有:
L 2(2 1) 6,(l 2)
磁量子数:
ml 0,1,(l 1) ml 0, 1, 2,(l 2)
L在z方向的投影:
Lz 0, ,(l 1)
Lz
0, , 2,(l 2)
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
Z
Z
2 L 2
0
0
L 6
2
l 1
l2
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拉摩进动的角速度: B
表明:在均匀外磁场中,一个高速旋转的磁矩并不向B方向靠拢, 而是以一定的角速度ω绕B进动, B的方向与ω的方向一致.(详见 下页图示)
[约瑟夫.拉摩,Larmor,英,(1857-1942)]
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氢原子的能级只与n有关,而碱金属原子的能级与n、l 有关,可
见相应的碱金属原子的简并度比氢原子要低.
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
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例:对于l=1和l=2,电子角动量的大小及空间取向？
解:依题意知L 的大小:
L 1(1 1) 2,(l 1)
z(B)
L z Lz
l(l ml
1) B
B
L
轨道磁量子数ml 0,1, ,l
L相对于z轴的取向
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
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玻尔磁子
B
e 2me
5.788 105 eV
/T
Bohr磁矩是轨道磁矩的最小单元,重要常数之一.
B
1 2
ke 2 c
2 me ke 2
ec
1 2
c(ea1
)
原子的磁偶极矩的量度
原子电偶 极矩的量度
电场振幅与磁场振幅的关系为: Em cBm
磁相互作用与电相互作用之比为: BmB 1
Emea1 2
上式说明磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级.
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
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z2 的计算
问题:氢射线束经不均匀强磁场后有两条沉积痕迹,说明它发 生了偏转.为什么会发生偏转呢？
分析:
氢射线束在强磁场中会偏转,说明它的磁
矩µ与磁场发生相互作用.其相互作用能为:
U
B
B cos