信号与系统-33-图解法求卷积和例

信号与系统卷积计算

卷积计算说明：连续时间信号卷积及MATLAB 实现连续时间信号f 1(t)和f 2(t)的卷积积分定义为：τττd )t (f )(f )t (f *)t (f )t (f 21-==⎰∞∞-用MATLAB 实现卷积积分的过程如下：1）将连续信号f 1(t)和f 2(t)以时间间隔△进行取样，得到离散序列f 1(k△)和f 2(k△)；2）构造与f 1(k△)和f 2(k△)相对应的时间向量k1和k2；3）调用conv()函数计算卷积积分f(t)的近似向量f(n △)；4）构造f(n △)对应的时间向量k 。

下面是利用MATLAB 实现连续信号卷积的通用函数sconv()，该程序在计算出卷积积分的数值近似的同时，还绘出f(t)的时域波形图。

建立如下的m 文件：function [f,k]=sconv (f1,f2,k1,k2,p)%计算连续信号卷积积分f(t)=f1(t)*f2(t)%f ：卷积积分f(t)对应的非零样值向量%k ：f(t)的对应时间向量%f1：f1(t)的非零样值向量%f2：f2(t)的非零样值向量%k1：f1(t)的对应时间向量%k2：f2(t)的对应时间向量%p ：取样时间间隔f=conv(f1,f2);%计算序列f1和f2的卷积和ff=f*p;k0=k1(1)+k2(1);%计算序列f 非零样值的起点位置k3=length(f1)+length(f2)-2;%计算卷积和f 的非零样值的宽度k=k0:p:k3*p;%确定卷积和f 非零样值的时间向量%在第一个子图画图f1(t)的波形subplot(2,2,1);plot(k1,f1);title(‘f1(t)’);xlabel(‘t’);ylabel(‘f1(t)’);%在第二个子图画图f2(t)的波形subplot(2,2,2);plot(k2,f2);title(‘f2(t)’);xlabel(‘t’);ylabel(‘f2(t)’);%画卷积f(t)的波形subplot(2,2,3);plot(k,f);%将第三个子图的横坐标范围扩为原来的2.5倍h=get(gca,’position’);h(3)=2.5*h(3);set(gca,’position’,h);title(‘f(t)=f1(t)*f2(t)’);xlabel(‘t’);ylabel(‘f (t)’);例1：1()t t-1f t εε=（）-（），21()()t t-22f t R t εε=*【（）-（）】，利用matlab 绘出其卷积波形。

卷积计算(图解法)

(1) n<0
x(m) m 0 4 h(n-m) m n-6 n0
y(n) = x(n) ∗ h(n) = 0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4
∴ y(n) = ∑ x(m)h(n − m) = ∑1⋅ a
m=0 n m=0
n
n
n−m
=a
n
m=0
∑a
−m
1− a =a −1 1− a
n
−( n+1)
1− a =1− a
1+n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
m 0 4 h(n-m) m n-6 0
1+n
∴ y(n) = ∑x(m)h(n − m)
m=0
4
= ∑1⋅ a
m=0 n
4
n−m
=a
n
m=0
∑a
n−4
4
−m
4 6 n
1− a a −a =a = −1 1− a 1− a
−(1+4)
x(m) m 0 4 h(n-m) m 0 n-6
7
(4)在6<n≤10区间上
∴ y(n) = =
m=n−6
∑x(m)h(n − m)
=a
n m=n−6 −( 4+1)
n
m=n−6
∑1⋅ a
n
n
n−m
∑a
=
4
−m
6
n
10
=a
a
−( n−6)
−a −1 1− a
a
n−4
−a 1− a
综合以上结果，可归纳如下：综合以上结果，y(n)可归纳如下：可归纳如下

信号与系统卷积分析法

2
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.1 冲激函数与冲激响应
2.1.1 冲激函数 2.1.2 冲激函数的性质 2.1.3 冲激响应
3
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.1.1 冲激函数(1)
工程定义
0 t 0 (t ) t 0
(1)
且
x(t ) lim x(n) g(t n)y(t ) lim
0
n
0
n
x(n)h

(t n)
y(t ) x()h(t )d y(t ) x(t ) * h(t ) 卷积积分
2.3 卷积的图解和卷积积分限的确定
2.3.1 卷积的图解 2.3.2 卷积积分限的确定
24
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.3.1 卷积的图解(1)

按如下步骤进行：
y(t ) x(t ) * h(t ) x()h(t )d

（1）改换变量：x(t)x()， h(t)h()
(t )(t ) (0)(t ) (0)(t )
(t )(t t0 ) (t0 )(t t0 ) (t0 )(t t0 )
(t )(t )dt (0) (t )(t t )dt (t ) ()(t )d(t )(t t ) (t )U (t t )
0
0 h(t )dt 1 4[h(0) h(0)] 1 h(t)为有限值 h(0) 0 4h(t ) |
0 0
0
h(0) 1 / 4 1e t / 4 h(t ) t 0 4 1e t / 4 h(t ) U (t ) 4

信号与系统——卷积

卷积积分与卷积和初步分析一、摘要：近十年来，由于电子技术和集成电路工艺的飞速发展，电子计算机已为信号的处理提供了条件。

信号与系统分析理论应用一直在扩大，它不仅应用于通信、雷达、自动控制、光学、生物电子学、地震勘探等多种领域，而且对社会和自然学科也具有重要的指导意义。

卷积运算是线性时不变系统的一个重要工具，随着信号与系统理论研究的深入，卷积运算得到了更广泛的应用。

卷积运算有很多种解法，对于一般无限区间而言，可用定义法直接求解。

而本文通过图解法、卷积性质法、简易算法对有限区间卷积积分和卷积和分别进行求解，最后进行了相关的比较。

二、关键词：信号与系统；卷积；图解法；卷积性质法；简易算法三、正文：卷积在信号与系统理论分析中，应用于零状态响应的求解。

对连续时间信号的卷积称为卷积积分，定义式为：∞f(t)=∫f1(τ)f2(t−τ)dτ≜f1(t)∗f2(t)−∞对离散时间信号的卷积称为卷积和，定义式为：∞f(n)=∑f1(m)f2(n−m)≜f1(n)∗f2(n)m=−∞1、卷积积分的解法（1）图解法图解法适合于参与卷积运算的两函数仅以波形形式给出,或者已知函数的波形易于画出的情况。

利用图解法能够直接观察到许多抽象关系的具体情况，而且容易确定卷积积分的上、下限，是一种极有效的方法。

如果给定f 1(t )和f 2(t)，要求这两个函数的卷积积分f (t )=f 1(t)∗f 2(t),首先要改变自变量，即将f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ)，这时函数图形与原来一样，只是横坐标变为了t ，然后再经过以下四个步骤：（1）反褶，即将f 2(τ)进行反褶，变为f 2(−τ)；（2）时移，即将f 2(−τ)时移t ，变为f 2(t −τ)=f 2[−(τ−t)]，当t >0时，将f 2(−τ)右移t ，而当t <0时，将f 2(−τ)左移t ；（3）相乘，即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ)；（4）积分，即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分，积分的关键是确定积分限。

信号与系统第9次课(卷积和)

若n个函数t构成一个函数集当这些函数在区间t内满足则称此函数集为在区间tt之外不存在任何函数t0满足则称此函数集为完备正交函数集
3.3 卷积和
• 一、卷积和 • 二、卷积和的图示 • 三、卷积和的性质
复习:卷积和的定义
• 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k)和 f2(k)，则定义和
与(k) 卷积和:
x(n) x(n) x(n)
h 1 (n) h 2 (n)
x1 (n) x2 (n) h 1 (n) * h 2 (n)
h 2 (n) h 1 (n)
y(n) y(n) y(n)
• 三个LTI系统响应相同
例子
• 例：一个LTI离散时间的输入输出关系如下图所：
x(n)
(1)
1
求和公式：S n
a0 an * q 1 q
再计算y(k)*x(k)，同样考虑到u(k)的特性，可得
y (k ) x(k )
i k
y (i ) x(k i ) 1 (3) ( k i ) (k i )
i

i
(3)
系统输出为
y(n) x(n) * (n) x(n)
恒等系统
本章小结
1、LTI离散系统的响应 2、单位序列和单位序列响应 3、卷积和
• • • •
作业 3.11 （1） 3.18 熟悉并掌握例题3.3-3；3.3-4
第四章傅里叶变换和系统的频域分析
本章提要信号分解为正交函数傅里叶级数和傅里叶级数的形式傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析抽样定理序列的傅里叶分析

信号与系统的卷积运算

信号与系统的卷积运算信号与系统是电子工程和通信工程等领域中的重要学科，它研究信号在系统中的传输和处理过程。

其中，卷积运算是信号与系统中的一种重要数学运算，它在信号处理和系统分析中得到广泛应用。

一、卷积运算的定义卷积运算是一种基于积分的数学运算，用于描述两个函数之间的相互作用。

在信号与系统中，卷积运算可以理解为将两个信号进行线性加权叠加的过程。

在时域中，给定两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积运算表示为h(t) = f(t)*g(t)，其中"*"代表卷积运算符号。

卷积运算的公式为：h(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ其中，τ代表一个积分变量，它与t无关。

卷积运算的结果h(t)是一个新的函数，描述了信号f(t)和g(t)之间的相互作用。

二、卷积运算的性质卷积运算具有多种性质，使其成为信号处理和系统分析中的重要工具。

下面介绍几个常用的卷积运算性质：1. 交换律：f(t)*g(t) = g(t)*f(t)2. 结合律：f(t)*(g(t)*h(t)) = (f(t)*g(t))*h(t)3. 分配律：f(t)*(g(t)+h(t)) = f(t)*g(t) + f(t)*h(t)这些性质使得卷积运算可以方便地应用于信号处理和系统建模中。

三、卷积运算的应用卷积运算在信号与系统领域有着广泛的应用，下面介绍几个典型的应用场景：1. 系统响应计算：在系统分析中，可以使用卷积运算来计算系统对输入信号的响应。

假设系统的冲激响应为h(t)，输入信号为x(t)，那么系统的输出可以表示为y(t) = h(t)*x(t)。

通过卷积运算，可以方便地计算系统的输出。

2. 信号滤波:在信号处理中，卷积运算可以实现信号的滤波功能。

通过选择合适的滤波器函数，可以对信号进行频率域的加权叠加，实现滤波的效果。

例如，可以使用低通滤波器对信号进行平滑处理，去除高频噪声。

3. 信号复原与恢复：在通信领域中，卷积运算可以用于信号的复原与恢复。

卷积积分及其性质 ppt课件

d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)

t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t

f (t0)

'(t) f (t) d t f '(0)

PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t

f

(t0 )
16
第2-16页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。