浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期高考适应性考试数学试卷答及答案解析.

绝密★启用前浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期高考适应性考试数学试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则M N ⋃=（ ） A.{}1,2,3,4B.{}3,4C.{}1,4D.{}2,32.已知复数z 满足()1210z i +-=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ）A.12 B.12- C.12i D.12i -3.在△ABC 中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.若0a >，0b >，且11a b+=，则22a b +的最小值为（ ） A.2B. C.4D.5.设m ，n 是两条异面直线，则下列命题中正确的是（ ） A.过m 且与n 垂直的平面有且只有一个 B.过m 且与n 平行的平面有且只有一个C.过空间一点P 与m ，n 都平行的平面有且只有一个D.过空间一点P 与m ，n 都垂直的平面有且只有一个 6.已知数列{}n a 满足11a =，24a =，且11112(2,)n n n n n a a a n n N n n-+-+=+≥∈，则n a n 的最大值为（ ）答案第2页，总19页A.4924B.1C.2D.537.一条直线把平面分成两部分，两条直线把平面最多分成4部分，若n 条直线把平面分成最多()f n 部分，则1n +直线把平面分成最多()1f n +为（ ） A.()2f n n +-B.()1f n n +-C.()f n n +D.()1f n n ++8.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱上有一点P ，满足1||||PB PD +=则这样的点共有（ ） A.6个B.9个C.12个D.18个9.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（ ） A.14+B.2C.14D.410.若实数a ，b 满足22ln(2)l 422n a b a b +≥+-，则（ ）A.14a b +=B.124a b -= C.23a b +> D.241a b -<第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11.一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是________．12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与正方体的各条棱相切，P 为球O 上一点，Q 是1AB C 的外接圆上的一点，则线段PQ 长的取值范围是__________．13.设O 为ABC 的外心，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，且032OA BC OB CAOC AB ⋅⋅++⋅=，则cos B 的最小值为_________________． 三、解答题（题型注释）14.已知箱子中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球．现从该箱子中取球，每次取一个球（无放回，且每球取到的机会均等）．………○…………线…__________………○…………线…（Ⅰ）若连续取两次，求取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率；（Ⅱ）若取出的球的标号为奇数则停止取球，否则继续取，求取出次数X 的分布列和数学期望()E X ． 15.如图，22AB BE BC AD ====，且AB BE ⊥，60DAB ∠=︒，//AD BC ，（1）若BE AD ⊥，求证：面ADE ⊥面BDE ; （2）若CE =AD 与平面DCE 所成角的正弦值．16.已知数列{}n a 满足11a =，*11(2,)n n n a a n n n--≥∈=N ， （1）求n a ;（2）若数列{}n b 满足113b =，*121()n n n b b n a ++∈=N ，求证：2512n b <． 17.已知椭圆22221x y a b +=，()1,1P 是椭圆上一点，直线13y x m =+与椭圆交于A ，B 两点（B 在A 的右侧且不同于P 点） （Ⅰ）求椭圆方程;（Ⅱ）若直线P A 的斜率为1，求直线PB 的斜率; （Ⅲ）求||||PA PB 的取值范围． 18.已知函数2l ()n n l f x x a a a =-+； （Ⅰ）求证：2()3f x a ≤-；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得只有唯一的正整数a ，对于(0,)x ∈+∞恒有：()f x ea k ≤+，若存在，请求出k 的范围以及正整数a 的值;若不存在请说明理由．（下表的近似值供参考）答案第4页，总19页……订…………○……………○※※内※※答※※题※※……订…………○…………○四、新添加的题型19.28(1)()x x x x-++的展开式的各项系数和为__________;常数项为__________． 20.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________．21.已知点()4,4A 在抛物线22(0)y px p =>上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作直线:2p x =-的垂线，垂足为B ，则p =__________，BAF ∠的平分线所在的直线方程为__________22.某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有__________种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有__________种不同的排法．（用具体数字作答）参考答案1.A【解析】1.根据并集定义计算． 由题意{1,2,3,4}M N ．故选：A ． 2.B【解析】2.由复数的综合运算求出z 后可得其虚部． 由题意210i iz +-=，21(1)112222i i i z i i i --===--，其虚部为12-．故选：B ．3.【解析】3.试题解析：必要性在△ABC 中，“cosA＞cosB”，由余弦函数在（0，π）是减函数，故有A ＜B ，若B 不是钝角，显然有“sinA＜sinB”成立， 若B 是钝角，因为A+B ＜π，故有A ＜π-B ＜2π，故有sinA ＜sin （π-B ）=sinB 综上，“cosA＞cosB”可以推出“sinA＜sinB”： 充分性：由“sinA＜sinB”若B 是钝角，在△ABC 中，显然有0＜A ＜B ＜π，可得，“cosA＞cosB” 若B 不是钝角，显然有0＜A ＜B ＜2π，此时也有cosA ＞cosB 综上，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”成立 故，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的充要条件 4.C【解析】4.已知等式应用基本不等式得到ab 的最小值，然后再在待求式应用基本不等式可得结论． ∵0,0a b >>，∴11a b +=≥2ab ≥，当且仅当a b =，即a b ==∴2224a b ab +≥≥，当且仅当a b =时等号成立，答案第6页，总19页综上22a b +的最小值是4． 故选：C ． 5.B【解析】5.根据异面直线的概念、线面平行的判定、线面垂直的性质逐项判断.A 选项，设过m 的平面为β，若n β⊥，则n m ⊥，故若m 与n 不垂直，则不存在过m 的平面β与n 垂直，故不正确；B 选项，过m 上一点P 作n 的平行直线l ，则m 与l 确定一平面α，由l α⊂，n α⊄，故//n α，正确；C 选项，当点P 在m 或n 上，满足条件的平面不存在，故错误；D 选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，则//m n ，与m ，n 是两条异面直线矛盾，错误. 故选：B 6.C【解析】6.首先根据题意和递推公式，可知()()11211(2,)n n n na n a n a n n N -+=-++≥∈,，由此即可证明数列{}n na 是以1为首项，7为公差的等差数列，求出76n na n =-，进而求出276,*n a n nn N n =-∈，再根据二次函数的性质和数列的特点，即可求出最值. 因为11112(2,)n n n n n a a a n n N n n-+-+=+≥∈， 所以()()11211(2,)n n n na n a n a n n N -+=-++≥∈,所以数列{}n na 是等差数列，又11a =，24a =，所以数列{}n na 是以1为首项，212721a a -=-为公差的等差数列，所以76n na n =-，所以22276761749=6+,*1224n n n N n n n a n n -⎛⎫==---∈ ⎪⎝⎭， 所以当2n =时，n a n 取最大值，最大值为76224-=. 故选：C .7.D【解析】7.只要考虑第1n +条直线与前n 条直线的交点个数即可得．第1n +条直线与前n 条直线的交点个数最多是n ，这n 个交点把第1n +条直线分成1n +个部分（有两条射线，其余都是线段），每个部分把它所在原来的区域分成两部分，因此共多了1n +个部分，即(1)()1f n f n n +=++．故选：D ． 8.A【解析】8.P 应是椭圆体与正方体与棱的交点，满足条件的点应该在棱111111,,,,,A B AA CD CC B C AD 的中点满足条件，由此能求出结果．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，1BD ∴=1||||PB PD +=∴点P 是以2c =为焦距，以a =2为短半轴的椭圆体，P 在正方体的棱上，P ∴应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱111111,,,,,A B AA CD CC B C AD 上的中点． 故选：A.…………○…………线…………○※※答※※题※※…………○…………线…………○9.A【解析】9.设1PF x=，2PF y=，不妨设P在第一象限，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2a'，122F F c=，由椭圆与双曲线的定义用,a a'表示出,x y，然后用余弦定理得出,,a a c'的关系即12,e e的关系式，然后由基本不等式求得最小值．设1PF x=，2PF y=，不妨设P在第一象限，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2a'，122F F c=，则22x y ax y a'+=⎧⎨-=⎩，解得x a ay a a=+⎧⎨='-'⎩，在12PF F△中由余弦定理得222121212122cosF F PF PF PF PF F PF=+-∠，∴22222114242c x y xy x y xy=+-⨯=+-，1cea=，2cea='，222221354()()()()222c a a a a a a a a a a'''''=++--+-=+，∴2212358e e+=，∴()22222212121222221221531351888e ee e e ee e e e⎛⎫⎛⎫+=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1188188⎛≥+=+=+⎝2212222153e ee e=时等号成立．答案第8页，总19页所以2212e e +的最小值为14+． 故选：A ． 10.A【解析】10.由题得2ln 220a b -≥，构造函数()ln 2(0)g x x x =->，求出函数()g x 最大值即得解.由题得2222+84+84ln ln ln(2),2222b b a a b a a b -≥∴≥≥-+，所以2ln 220a b -≥ 当且仅当28a b =时取等.令()ln 2(0)g x x x =->，则()0g x ≥， 所以11()g x x x '==， 所以函数在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 所以()(1)0g x g ≤=，所以()0g x =，所以221a b =， 又28a b =，所以1,4b a == 所以14a b +=+.故选：A. 11.2平方厘米【解析】11.利用扇形的弧长公式以及面积公式求解即可. 设扇形的半径为r 厘米，弧长为l 厘米答案第10页，总19页1l r r ∴=⨯=（厘米）扇形的周长是6厘米2236r l r r r ∴+=+==（厘米），即2r （厘米）1122222S lr ∴==⨯⨯=（平方厘米）故答案为：2平方厘米 12.,2222-+⎣⎦【解析】12.先求出与正方体的各条棱都相切的球半径22r和正方体的外接球半径R ，在根据题意即可求解.解：设与正方体的各条棱都相切的球的球心为O ，其半径2r，正方体的外接球的球心为'O ，则1AB C 的外接圆为正方体的外接球的一个小圆，且正方体的外接球半径R = ，又因为点P 在与正方体的各条棱都相切的球面上运动，点Q 在1AB C 的外接圆上运动，所以线段PQ 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去与正方体的各条棱都相切的球的半径，线段PQ 长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各条棱都相切的球的半径，由此可得线段PQ 的取值范围是2222-+⎣⎦. 故答案为：22⎣⎦【解析】13.先证明221=)2BC OA c b -（，221()2OB CA a c -=，221()2OC AB b a =-，再利用余弦定理和基本不等式即得解.由平面向量数量积的定义可知，211||||cos ||||||22AB AO AB AO BAO AB AB AB =∠==， 同理可得，21||2AC AO AC =，∴221()(||||2)BC AO AC AB AO AC AB =-=-，所以22221(||||1)=)22BC AB AC OA c b -=-（，同理：22221(||12|)()|2BC OB CABA a c =-=-，22221(||1)()||22OC AB CA CB b a -==-.由题得2360OA BC OB CA OC AB ⋅+⋅+⋅=，所以2222223()3()02c b a c b a -+-+-=， 所以2223144b ac =+，由余弦定理得222221344cos 22a c a c b B ac ac ++-==≥=. 当且仅当a =时取等. 所以cos B 故答案为：414.（1）25；（2）分布列见解析，期望为32．【解析】14.（1）用列举法写出所有基本事件，确定所求概率事件所含有的基本事件，计数后可得概率． （2）X 的可能值1，2，3，分别计算概率得分布列，由期望公式可计算出期望．（1）连续取两次，求取出的两球上标号可能是12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共10个，其中都是奇数或都是偶数的有13,15,35,24共4个，所求概率为42105P ==； （2）由题意X 的所有可能值是1,2,3，13153(1)5C P X C ===，233(2)5410P X ⨯===⨯，2231(3)54310A P X ⨯===⨯⨯，答案第12页，总19页所以X 的分布为()123510102E X =⨯+⨯+⨯=．15.（1）见解析，（1【解析】15.（1）由2,60AB AD DAB =∠=︒，可得AD DB ⊥，结合BE AD ⊥可得AD ⊥平面BDE ，再利用面面垂直的判定可证明；（2）由余弦定理求出AC =B 为原点，BA 为x 轴，BE 为y 轴，过B 作平面ABE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值． 解：证明：因为22AB BE BC AD ====，且AB BE ⊥，60DAB ∠=︒，//AD BC ， 所以BD ==，所以222AD BD AB +=，所以AD DB ⊥， 因为BE AD ⊥，BE BD B ⋂=, 所以 AD ⊥平面BDE ， 因为AD ⊂平面ADE ， 所以面ADE ⊥面BDE ;（2）解：因为22AB BE BC AD ====，且AB BE ⊥，60DAB ∠=︒，//AD BC ， 所以AC =，以B 为原点，BA 为x 轴，BE 为y 轴，过B 作平面ABE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)B A E ,设(,,)(0)C x y z z >， 因为2AC CE BC ===,…外…………○…………学校:___________…内…………○…………所以222222222(2)12(2)64x y z x y z x y z ⎧-++=⎪+-+=⎨⎪++=⎩，解得11,,2x y z =-==，所以11,,22C ⎛- ⎝⎭， 因为2BC AD =,//AD BC , 所以111(,2244AD BC ==-， 151(,224DC DA AB BC AB BC =++=+=-,3(1,,2CE =，设平面DCE 的法向量为(,,)n a b c =，则5102443022n DC a b n CE a b ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩，令1c =，则11(,,1)84n =，设直线AD 与平面DCE 所成角为α，因为//AD BC ，所以直线BC 与平面DCE 所成角为α， 所以211sin 119n BC n BCα⋅==所以直线AD 与平面DCE16.（1）n a n =；（2）证明见解析．【解析】16.答案第14页，总19页（1）用累乘法求得通项n a ；（2）求出23,b b 满足不等式，从43b b -开始用放缩法，然后利用累加法求和可证结论． （1）由题意11n n a n a n -=-（2n ≥）， ∴321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-，11a =也适合． 所以n a n =（*n N ∈）；（2）由已知1125312b =<，214251312b b =+=<，32214119252341212b b =+=+=<， 当3n ≥时，121111(1)1n n b b n n n n n+-=<=---， 因此1343541()()()n n n b b b b b b b b ++=+-+-++-1911111125125()()()12233411212n n n <+-+-++-=-<-， 则1212512n n b b n +=-<综上，2512n b <．17.（Ⅰ）223144x y +=（Ⅱ）12-（Ⅲ）(1,)+∞【解析】17.（Ⅰ）根据椭圆的性质，列出方程，求解即可；（Ⅱ）求出点A 的坐标，确定直线AB 的方程，再得出点B 的坐标，由斜率公式，即可得出直线PB 的斜率;（Ⅲ）联立直线AB 与椭圆方程，结合韦达定理得0PA PB k k +=，进而得出121||||1x PA PB x -=-，由判别式大于0确定m 的范围，讨论m 的值，确定2x 的值，由2212123x x x x ++=，得出||||PA PB 的取值范围．（Ⅰ）由题意可知22222111c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得242,,33a b c ===所以椭圆方程为223144x y +=（Ⅱ）直线:PA y x =，联立椭圆方程得2234x x +=，解得1x =（舍）或1x =-，即(1,1)A --113m -=-+，23m ∴=-，12:33AB y x ∴=-联立直线AB 与椭圆方程得出220x x --=，解得1x =-或2x =，即(2,0)B 所以011212PB k -==-- （Ⅲ）先证0PA PB k k +=，设()()1122,,,A x y B x y 直线AB 与椭圆联立得22469120x mx m ++-=所以21212394,212m x x m x x -+=-=①()()()()122112121211111111331111PA PBx m x x m x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=---- ()()()121212242(1)3311x x m x x m x x ⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭=-- ()()212343332(1)232011m m m m x x --⎛⎫--+⋅- ⎪⎝⎭==-- 所以121||||1x PA PB x -=- 又因为直线AB 椭圆有两异于P 的交点，所以21081920113m m ⎧∆=-+>⎪⎨≠+⎪⎩答案第16页，总19页解得4233m -<<或2433m << 当4233m -<<时，212x <≤，由①得12,x x 满足2212123x x x x ++=② 记121||||1x PA k PB x -==-，则121x k kx =+-，代入② 得()222221(12)(1)220k k x k k x k k -++-+++-=，所以222221k k x k k +-=-+所以2222121k k k k +-<≤-+，解得1k >当2433m <<时，211x -<<，此时记121||||1x PA t PB x -==-，则121x t tx =-+ 代入②得()222221(12)(1)220t t x t t x t t ++++-+--=，所以222221t t x t t --=++所以2222111t t t t ---<<++，解得1t >故||(1,)||PA PB ∈+∞ 18.（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）[5ln 442,6ln552)k e e ∈----，此时4a =【解析】18.（Ⅰ）利用导数证明函数()f x 的单调性求出最值，所证不等式转化为ln 1a a ≤-，再次利用导数证明函数()1ln h a a a =--的单调性及最值，由()()1ln 1h a a a h =--≥即可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）知所求不等式等价于(1)ln 2k a a ea ≥+--，利用导数证明函数()(1)ln 2g a a a ea =+--的单调性，再推出(3)(5)(4)g g g >>即可求得k 的范围及a 的值.（Ⅰ）111(),()0()0f x x f x x f x x a a'''=-=<>><，，， 所以()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，所以()()11ln 2f x f a a a ⎛⎫≤=+-⎪⎝⎭， 下面证明：()21ln 23a a a +-≤-，等价于证明：ln 1a a ≤-， 设()1ln h a a a =--，则()11h a a'=-，令()0h a '=，解得1a =， 当()0,1a ∈时，()0h a '<，()h a 单调递减；当()1,a ∈+∞时，()0h a '>，()h a 单调递增， 所以()()1ln 10h a a a h =--≥=，则ln 1a a ≤-. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()max 1ln 2f x a a =+-，所以不等式(1)ln 2a a ea k +-≤+只有唯一的正整数解，即(1)ln 2k a a ea ≥+--， 设()(1)ln 2g a a a ea =+--，1()ln a g a a e a+'=+-， 10,(1)20g g e e ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，又22111()a g a a a a -''=-=，所以()g a '在0,1上单调递减，在1,上单调递增，结合()()4050g g ''<>，知存在0(4,5)a ∈满足()00g a '=， 所以()g a 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在01,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,a +∞上单调递增， (3)4ln 332g e =--，(4)5ln 442g e =--，(5)6ln 552g e =--，因为(3)(5)(4)g g g >>，所以[5ln 442,6ln552)k e e ∈----，此时4a =. 19.256 126【解析】19.令1x =，即可得出展开式的各项系数和，由二项式的展开式的通项，即可得出常数项. 令1x =，则281(1)()x x x x-++的展开式的各项系数和为()288111(11)2256-++== 81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()818288r r r r rC x x C x ---= 令820r -=，解得4r =，此时0x 的系数为488765704321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯答案第18页，总19页装…………○………※※要※※在※※装※※订※※线装…………○………令821r -=-，解得92r =，由于[]0,8r ∈且r Z ∈，则92r =不成立 令822r -=-，解得=5r ，此时2x -的系数为58876545654321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯所以281(1)()x x x x-++的展开式的常数项为170156126⨯+⨯= 故答案为：256；126 20.64332+【解析】20.根据三视图还原几何体为四棱锥，利用棱锥的体积公式可求得该几何体的体积，四个直角三角形面积与一个正方形面积和为此几何体的表面积.该几何体为图中四棱锥B CDEF -，其中底面EFCD 是边长为4的正方形，4BE =，所以该几何体的体积为164444=33⨯⨯⨯， 表面积为1144244243222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ 故答案为：643；32+21.2 240x y -+=【解析】21.代入A 点坐标可求得p ，BAF ∠的平分线据直线即为直线AF 的倾斜角的平分线所在直线，由此易得其斜率．∵点()4,4A 在抛物线22(0)y px p =>上，∴2424p =⨯，∴2p =，则(1,0)F ，44413AF k ==-，设直线AF 的倾斜角为θ，则22tan42tan 31tan 2θθθ==-，解得1tan 22θ=（tan 22θ=-舍去）， 因为AB l ⊥，所以//AB x 轴，所以AF 的倾斜角的平分线所在直线即为BAF ∠的平分线所在的直线，所以其方程为14(4)2y x -=-，即240x y -+=． 故答案为：2；240x y -+=． 22.720 288【解析】22.根据语文、数学、英语、物理、化学、体育的全排列得出第一空； 分类讨论体育所在节数，由分类加法计数原理得出第二空.某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有66720A =种不同的排法当体育在第一节时，在第三，四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有234312672A A =⨯=种不同的排法当体育在第二节时，在第四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A ⋅=⨯=种不同的排法当体育在第三节时，在第一，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A ⋅=⨯=种不同的排法当体育在第四节时，在第一，二，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A ⋅=⨯=种不同的排法当体育在第五节时，在第一，二，三节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A ⋅=⨯=种不同的排法当体育在第六节时，在第一，二，三，四节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有234312672A A =⨯=种不同的排法则若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有722364288⨯+⨯=种不同的排法 故答案为：720；288。