正弦余弦函数性质

正弦、余弦函数的性质
要点回顾. 正弦函数、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法
2)正弦曲线、余弦曲线
y
1 (0,0) -4 -3 -2 - -1
( ,1)
2
五点法
正弦曲 线
3 4
o y
(0,1) 1
( ,0)
( 2 ,0) 2
5
6
3 ( ,-1) 2
x
-4
x
5 3 1 1 3 x , , , , 对称轴： 2 2 2 2 2 x

2
k , k Z
对称中心： ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)
( k ,0) k Z
余弦函数的图象
3 5 2
' P 2 3
-1
o
2
3
4
5
6
x
y=cosx的图象对称中心为： ( k ，0 )， k Z . y 2 1
-4 -3 -2 -
x k， k Z ；
2
3 4
o
-1

5
6
y cos x( x R)
x
练习
为函数 y sin(2 x

3
2
) 的一条对称轴的是（ ）

R
3 { x | 2 k x 2 k , k Z} 2 2
[0,1]
观察下列正弦曲线和余弦曲线的规律， 你有什么发现？ y 1 y=sinx
-6π -4π -5π -3π -1
2
-2π
-π
O
π 2π y
3π 4π
5π 6π
x
2
2 2
y
1
2
O

2

2
1
3 2
2
P
5 2
3
x
对称轴： x ,0, , 2
x k , k Z
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2 (



2
k ,0) k Z
正弦、余弦函数的对称性
y
1 -4 -3 -2 -
讲授新课 正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形， 说出函数图象关于有怎样的对称性？其特点 是什么？ y
正弦函数的图象
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
y
1
O

2
余弦函数的图象
3 5 2
2 3
2

函数 y A sin(x ), x R 及函数 y A cos(x ), x R 的周期
两 个 函 数
y A sin(x ), x R y A cos(x ), x R
T 2

（其中
A, ,
为常数且A≠0)
的周期仅与自变量的系数有关，那么如何 用自变量的系数来表述上述函数的周期？
cos x 是以2π 为周期的周期函数.
(2)
sin(2 x) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) , y sin 2 x 是以π 为周期的周期函数.
1 1 (3) 2sin( x ) 2sin( x 2 ) 2 6 2 6 1 2sin ( x 4 ) , 6 2 1
1
1
3 2
2
5 2
3
x
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
(2) f ( x ) cos x , x R 任意x R f ( x ) cos( x ) cos x f ( x ) f ( x ) cos x , x R 为偶函数
注意: 1.定义是对定义域中的每一个x值来说的, 只有个别的x值满足:f ( x T ) f ( x ) 不能说T 是y f ( x )的周期. 例如 : sin(

4


2
) sin

4 但是 sin( ) sin .
3 2 3
,



就是说 不能对x在定义域内的每一个值使 2 sin( x ) sin x ,因此 不是y sin x的周期. 2 2
课堂练习：
P36 练习1 练习2：求下列函数的周期
3 (1) y sin x, x R 4 (2) y cos4 x, x R 1 (3) y cos x, x R 2 1 (4) y sin( x ), x R 3 4
2 4 8 T 2 3 3 3 4
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都是指的最小正周期。
求下列函数的周期：
(1) y 3 cos x, x R (2) y sin 2 x, x R 1 (3) y 2 sin( x ), x R 2 6
解:(1) ∵对任意实数 x 有
f ( x) 3 sin x 3 sin(x 2 ) f ( x 2 )
o y x o 6π 12π 8π x
3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数)
概 念
1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零 的常数T，使得当x取定义域内的每一个值 时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做
周期函数
非零常数T叫做这个函数的周期 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小 的正数就叫做f(x)的最小正周期。
C.x
4 A. x 3
B. x

y

12
D. x 0
1

2
3 5 2
2 3
2


2
O

1
3 2
2
5 2
3
x
解：经验证，当
x
x

12
时
2x

3


2

12
为对称轴
求 y sin(2 x

3
例题
) 函数的对称轴和对称中心
y
1

2
3 5 2
2 3
2


2
O

1
3 2
2
5 2
3
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1
例求下列函数的定义域和值域。
定义域
值域
[2,4]
(1) y 3 sin x
(2) y cos x
判断下列说法是否正确
（1） x 时， 3 的周期
y sin x
2 2 则 )一定不是 sin( x sin x 3 3
（ √）
2 3
7 （2）x 时， 6
的周期 y sin x
2 sin( x 则 ) 一定是 sin x 3
（ ） ×
(2) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少?
(2) y cos z 的对称中心为 1 z k ,
2
1 x k x 2k , k Z 2 4 2 解得：对称轴为 x 2k , k Z 2
( k ,0), k z 2
x k 2 2 4 x 2k , k Z 2 对称中心为 (2k ,0), k Z 2

3
解（1）令
z 2x
则
y sin(2 x

3
) sin z
y sin z
2x
的对称轴为 z

3

2
k , k Z

2
k
x
解得：对称轴为
(2) y sin z

12
k

2
,k Z
的对称中心为 ( k ,0) , k Z
2x
z k
x
结合图像：在定义域内任取一个 ， 由诱导公式可知： sin(x 2k ) sin x
x
f ( x 2k ) f ( x) 正弦函数y sin x( x R)是周期函数，周期是 2k
即
三角函数的周期性: y
-2
y 4π
y=sinx(x∈R)
0
X
2
x
X+2π
4
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
2 T 4 2 2 T 2 1 2 T 2 3 6 1 3
当堂检测
1 A、y sin x 2 x B、y cos 2 D、y cos2 x
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）
C、y cos x
2 。 （2）函数 y sin x 的最小正周期为_____

3
k
x

6
k

2
对称中心为 (

6
k

2
,0) , k Z
1 • 求 y cos( x ) 函数的对称轴和对称中心 2 4 1 1 解（1）令 z x 则 y cos( x ) cos z 2 4 2 4 y cos z 的对称轴为 z k
y sin x( x R)

y=sinx的图象对称中心为： ( k ，0 )， k Z . 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期； 对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期. y=cosx的图象对称轴为：
y=sinx的图象对称轴为： x k ， k Z ； 2
1 2
O
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
正弦函数的性质1
(1)正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； (2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者说每 隔2k，kZ重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说 明.
y 2sin( x ) 2 6
是以４π 为周期的周期函数．
函数
周期
y 3 cos x y sin 2 x 1 y 2 sin( x ) 2 6
1 y 2 sin( x ) 2 6
T 2
2 1
2 2
2 1 2 2
1 2
T
T 4 T 4

（3）已知函数 y sin(x ), 0 的周期为 3 ，则 3 ___ 6
(4)函数
y cos (1 x ) 的最小正周期是 2
4
周期求法：
1.定义法：
2.公式法： 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ)
及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数， 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1
3 ( ,0)
( 2 ,1) 2 3 4
余弦曲 线
5 6

2
( ,-1)
x
定义域和值域
y 1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数 y sin x
定义域：R 值域：[-1，1]
T 2
• 3.图象法:

( 0)
二.奇偶性
3 5 2
2 3
2
y
1


2
O来自百度文库

2

(1) f ( x ) sin x , x R 任意x R f ( x ) sin( x ) sin x f ( x ) f ( x ) sin x , x R y 为奇函数
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个 值时，都有：f (x＋T)＝f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做 这个函数的周期.
问题：
(1) 对于函数y sin x , x R有
2 sin( ) sin , 6 3 6 2 能否说 是它的周期? 3

2

1
3 2
2
5 2
3
x
中心对称：将图象绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合。
轴对称：将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合。
正弦函数的图象
3 5 2
2 3
2
y
1
P

2

P
' 2

O

1
3 2
2
5 2
3
(3) 若函数f ( x)的周期为T , 则kT , k Z 也是f ( x)周期吗?为什么?
*
结论：对于周期函数f(x)，如果在它 的所有周期中存在一个最小的正数，那 么这个最小的正数就叫做它的最小正周 期
正弦函数 y
sin x( x R)
y
-2
· ·
-
o

· · · ·
2 3 4