正弦函数的图像和性质
正弦函数图像和性质
正弦函数图像和性质正弦函数是一种常见的函数，在数学研究中，它被广泛用于表达定义在实数集的函数的图像。
正弦函数可以通过其一般形式 y=sin x，其中x表示自变量，y表示函数值，也可以表示为极坐标形式 r=sin，其中θ表示极坐标参数，r表示正弦函数值，它也可以表示为复平面形式 z=sin(x+iy)，其中x表示实部，y表示虚部，z表示正弦函数结果，作为函数，正弦函数可以描述定义在实数集内的曲线。
二、正弦函数图像正弦函数y=sin x的图像如下所示：图1弦函数y=sin x的图像可以看出，正弦函数的图像是一条以原点（0，0）为中心的周期性图像，它以（π，0）和（-π，0）为极点，它形似一个波浪，起伏不定，一个完整的周期长度为2π，其中π约等于3.1415926。
复平面正弦函数z=sin(x+iy)的图像如下所示：图2平面正弦函数z=sin(x+iy)的图像正弦函数的复平面图像的特点是：它形似旋转的空心圆，有一定的中心对称性，其图像可以看作是一个以原点为中心的旋转空心螺旋。
三、正弦函数的性质1、正弦函数的单调性在正弦函数曲线的一个周期内，函数值先递增，再递减，由此可以认为正弦函数是单调递减函数。
2、正弦函数的对称性正弦函数是对称函数，在一个周期内，函数值和其对称轴处的函数值相等，即sin(x) = sin(- x)，此外，在正弦函数曲线中，（π，0）和（-π，0）是函数的极值点，即sin(π) = sin(-π) = 0，此外，正弦函数也具有垂直对称性，可以表示为y=sin x的对称轴是x 轴，函数值的对称轴是y轴。
3、正弦函数的周期性正弦函数是一个周期函数，一个完整的周期长度为2π，由此，可以认为，当x在2π的整数倍的范围内，sin x的函数值和x在（0，2π）范围内的函数值是相同的。
4、正弦函数的极限性正弦函数的极限性可以用数学归纳法推导出来，即当x趋于正无穷大或负无穷大时，正弦函数的函数趋于1或-1，具体表示为lim x →∞sin x = 1；lim x→-∞sin x = -1。
正弦函数的图像和性质
并写出最值，定义域和值域
• y=1-sinx
xsinx1-sinx
解： 当x
2 sin x取得最大值1
k 2 , k Z时
此时 y 1 sin x的最小值1 － 1 ＝0
当x
2 sin x取得最小值 1
2 k , k Z时
此时y 1 sin x的最大值1 1 ＝2
例：求y 3sin ( 2x
3
)的周期，
最大、最小值。 2 2 解： T 2 当2x k 2， 3 2 5 即x k时，最大值为3 12 当2x k 2， 3 2 即x k时，最小值为 3 12
练习： 求正弦形函数的周期， 最值。
1、y 5sin (3x 2、y 2sin (5x )
4
)
作业：P40，1（1），2，3 P43，1 下节课再见啦*^_^*
/ 尺子
您助威/"鱼俱罗猛地壹挥战袍,颇有壹番大将之风,随着身后数将齐齐单膝跪地,只壹拱手便转身点兵离去.东舌大军也经过叁日の组装,朝余杭奔赴而来.壹场绝世无双の决战,在此掀开帷幕叁日后,耀日当空.风起咯,风慢慢卷着满地の尘沙起咯,尘沙飘过那壹面面猎猎飞舞の战旗,尽 现王霸之气.壹面面黄金金帛腾飞の"隋"字皇旗,迎风飞舞,傲气如虹.迎面那个方向,十面如火翻腾の旗帜,也在长狂の飞舞卷动.鱼俱罗慢慢提起手中杀气缭绕の战刀,双腿壹夹马镫,上前冷冷喝问道:"尔等何故在此挡路？"东舌手提流光冥火枪,划破空气の阻隔,猛地朝鱼俱罗壹指, 冷笑喝道:"隋鱼肉百姓,已失民心,今日吾等义军再次.为民请命,特来诛杀隋帝汤广/"听得东舌の话,鱼俱罗眼神之中
正弦函数的图像课件
通过掌握正弦函数的性质和图像， 可以解决许多实际问题，提高解决 实际问题的能力和素养。
未来研究方向和挑战
深入研究和探索
随着科学技术的发展，正弦函数的应用领域也在 不断扩大和深化，需要进一步研究和探索其性质 和应用。
数值分析和计算物理
随着计算机技术的发展，如何利用正弦函数进行 数值分析和计算物理的研究也是未来的一个重要 方向。
数学建模和算法设计
如何利用正弦函数建立数学模型和设计算法，是 未来研究的一个重要方向。
跨学科应用
正弦函数作为数学中的基础函数，可以与其他学 科进行交叉融合，例如与物理学、工程学、经济 学等学科的结合，需要进一步探索其跨学科应用 的价值和可能性。
THANKS
感谢观看
图像形状
正弦函数和对数函数的图像形状也不同。正弦函数的图像呈现波形，而对数函数的图像 呈现向上或向下凸出的趋势。
05
总结与展望
正弦函数的重要性和应用价值
数学基础
正弦函数是数学中的基本函数之 一，是学习三角函数、复数、微
积分等数学领域的基础。
应用广泛
正弦函数在物理学、工程学、经济 学等多个领域都有广泛的应用，例 如振动分析、交流电、信号处理等 。
振幅和相位
通过调整正弦函数中的振幅和相位参 数，可以改变图像的高度和位置。了 解这些参数对理解正弦函数图像的影 响非常重要。
03
正弦函数的应用
在物理中的应用
简谐振动
正弦函数描述了许多物理现象， 如简谐振动。在物理中，简谐振 动是一种基本的振动类型，其位 移与时间的关系通常可以用正弦
函数表示。
交流电
操作步骤
在软件中选择相应的函数图像绘制工具，输入正弦函数公式（例如y=sin(x)）， 然后选择x的取值范围（例如-π到π），最后点击“绘制”按钮即可生成正弦函数 的图像。
正弦函数的图像和性质
1定义编辑数学术语正弦函数是三角函数的一种.定义与定理定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。
正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）2性质编辑图像图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve)正弦函数x∈&定义域实数集R值域[-1，1] （正弦函数有界性的体现）最值和零点①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1零值点：（kπ,0) ，k∈Z对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形。
1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称周期性最小正周期：y=sinx T=2π奇偶性奇函数（其图象关于原点对称）单调性在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.3正弦型函数及其性质编辑正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h各常数值对函数图像的影响：φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）作图方法运用“五点法”作图“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.单位圆定义图像中给出了用弧度度量的某个公共角。
正弦函数的图像和性质
三
练习5.6.1
1．利用“五点法”作函数
角 函 数
y sin x 在 0, 2π 上的图像． y 2 sin x 在 0, 2π 上的图像．
2．利用“五点法”作函数
计算器
动脑思考
探索新知
三
对任意的角 x ，都有 sin x „ 1 成立， 函数的这种性质叫做有界性．
角
－3π － 2π －π
y 1 O -1
y sin x， x R
π
2π
3π
4π
x
函 数
一般地，设函数y=f(x)在区间（a,b)内有定义，如果存在一个正数M，
对任意的x∈(a,b),都有|f(x)|≦M，那么函数y=f(x)叫做区间(a,b)内
的有界函数,如果这样的M不存在，函数y=f(x)叫做区间(a,b)内的无界 函数。
y sin x， x R
函 数
O -1
π
2π
3π
4π
值域:1,1
当x
2
2k (k Z )时,y有最大值 ,y max 1
2k (k Z )时,y有最小值 ,y min 1
当x
2
动脑思考
探索新知 性 质
三
正弦函数 y sin x( x R)
钱塘江大潮奇观
动脑思考
探索新知
三
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T， 当x取定义域D内的每一个值时，都有x+T∈D， 并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么，函数y=f(x)叫 做周期函数,常数T叫做这个函数的一个周期．
角 函 数
正弦函数y=sinx是否是周期函数？
正弦函数y=sinx的图像和性质
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
定义域 值域 周期 奇偶性
单调性
R [-1,1]
2
奇函数
单调递增区间：[ 2k , 2k ] (k Z )
2
2
单调递减区间：[ 2k , 3 2k ] (k Z )
2
2
由y＝sinx，x∈[0，2π]的图像可以看出，下面五个 点在确定图像形状时起着关键的作用：
用描点法完成正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图像。
列表：
x0Leabharlann π 6π 3π 2
2π 5π π 7π 4π 3π 5π 11π 2π
36
6323 6
y
描点：以表中对应的x、y的值为坐标在坐标系中描点。 连线：将所描各点顺次连接起来，即完成所画的图像。
正弦函数y＝sinx的图像和性质
正弦函数y＝sinx的图像
把函数y＝sin x在区间[0，2π]上的图像向左平移2π就 能得到正弦函数y=sinx在区间[－2π，0]上的图像。
把正弦函数y＝sinx在区间[0，2π]上的图像向左、右 分别平移2π、4π、6π…个单位，就能得到正弦函数y＝ sinx，x∈R的图像。
我们把正弦函数y＝sinx(x∈R)的图像叫做正弦曲线。
（4）对称性：正弦函数y＝sinx的图像关于原点对 称，即
sin(－x)=－sinx
（5）单调性：
正弦函数y＝sinx在区间[ π， π] 上是增函数，在区间
22
[π，３ π] 上是减函数。
22
用五点法作出下列函数在区间[0，2π]上的简图。 （1）y＝sinx－1 （2）y＝2sinx
正弦函数的图像和性质
x
y
1
-1
如何画出正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象呢？
思考与交流:图中,起着关键作用的点是那些?找到它们有什么作用呢?
找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!
如下表
x
y=sin x
0
0
1
0
-1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
．
．
．
．
．
五点法
五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点
例题分析
x
y=sin x
y=-sin x
0
0
1
0
-1
0
0
-1
0
1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
描点得y=-sin x的图象
y=sin x x∈[0,2π]
y=-sin x x∈[0,2π]
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
函数y=sinx
5.2正弦函数的图像
1、正弦线
设任意角 的终边与单位圆交于点P，过点p做x轴的垂线，垂足M，称线段MP为角 的正弦线
1
-1
0
y
x
●
●
●
正弦函数y=sinx（x R)的图象
y=sinx ( x [0, ] )
●
●
●
●
●
●
●
正弦函数图像及性质
正弦函数图像及其性质一、回顾三角函数线中正弦线余弦线正切线二、定义：正弦函数为r hOAP M α)b ,a (····· · · 6π3π2π32π65ππ··· ···· ·23π67π34π35π611ππ2yoxo11 -1··3π2π三、五点法作图四、正弦函数性质xsinx定义域值域奇偶性 周期性单调性对称轴对称中心oyx例1求函数y=2+sinx的最大值、最小值并求这个函数取最大值、最小值的x值的集合练习：求函数的最小值及最小值时x 的值例2不求值，比较下列各对正弦值的大小：（１）例3判断奇偶性y=练习判断y=sinxcosx奇偶性强化训练2)1(sin2+-=xy)10sin()18sin(ππ--与43sin32sinππ与,sin1sinxx+2.求函数 的最大值及最大值时x 的值3..求函数y= sin2x + 2sinx - 2的值域，并求取得最值时X 的取值集合4.函数y ＝asinx ＋b 的最大值为2，最小值为－1，则a ＝________，b ＝________.思考：余弦函数y=cos x 的函数图像利用五点法如何画出？思考：余弦函数可否利用诱导公式由正弦函数平移得到？的取值范围。
求a R x a a x ,,21sin .1∈-+=2)23(sin y 2--=x。
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“奇变偶不变，符号看象限。”（π/2的奇数倍或偶数倍，“变”就是三角函数名的改变。）[1]符号、单调性
1
2
3
4x+ y+ x- y- sin
+，+ +，- -，+
0
1
0
-1cos+，- -，+ +，+
1 0 -1
0tαn+，+ -，+ +，+ -，+ 0+1/00
+1/0-
cot
+，-
-?i
Sin( α+2kπ)=Sinα
Sin(-α )=-Sinα
Sin( π-α )=Sinα
Sin(π/2-α )=COSα
Sinα=CoS(π/2-α )
Sin( π+α )=-Sinα
Sin(3π/2-α )=-CoSα
Sin(3π/2+α)=-CoSα
正弦函数X∈&
定义域
实数集R
值域
[-1，1](正弦函数有界性的体现)
最值和零点
1最大值：当X=2k∏+(∏/2),k∈Z时，y(max)=1
2最小值：当X=2k∏+(3∏/2),k∈Z时，y(min)=-1零值点：(kπ,0)，k∈Z
对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形。
1)对称轴：关于直线X=(π/2)+kπ,k∈Z对称
各常数值对函数图像的影响：
φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）
ω:决定周期（最小正周期T=2π∕∣ω|）
A:决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）
h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）
作图方法运用“五点法”作图
“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2,π，3π∕2，2π时y的值.
单位圆定义
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同X轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等 于sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式； 半径等于斜边并有长度1，所以有了sin
θ=y∕1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目
正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/中，/C=90，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标
系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r=√(x^2+y^2)
2性质
编辑 图像
图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出)，叫做正弦曲线(Sine curve)
2)中心对称：关于点(k∏,0),k∈Z对称
周期性最小正周期：y=SinX T=2π
奇偶性
奇函数 （其图象关于原点对称）
单调性
在[-∏∕2+2k∏,∏∕2+2k∏],k∈Z上是单调递增.
在[∏∕2+2k∏,3∏∕2+2k∏],k∈Z上是单调递减.
3正弦型函数及其性质
编辑
正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h
sec
π (
sin
-cos
-tαn
-cot
-sec
csc
π (
-sin
-cos
t
cot
-sec
-csc
3π/2(270°)-
-cos
-sin
cot
t
-csc
-sec
3π/2(270°)+
-cos
sin
-cot
-tαn
csc
-sec
2
-sin
cos
-tαn
-cot
sec
-csc
2kπ (k*360°)sin cos tαncot sec csc
+，-
-?i
-1/0+
0
-1/0+
0
sec
+，+
-，+
-?i
+，-
1
+1/0
-1
-1/0+
csc
+，-
+，+
-，+
-?i
-1/0+
1
+1/0
-1
注：1/0表示不存在，+1/0=1/0+=+∞,1/0-=-1/0=-∞,左边的符号是左趋近，右边的符号是 右趋近，第一个是符号，第二个是单调性
四则运算
Sin(α±β )=SinαCoSβ ±CoSαSinβsin2α=2sinαcosα
的三角形的一种方式。即sinθ=AB,与y轴正方向一样时正,否则为负
sina
对于大于2π或小于0的角度, 简单的继续绕单位圆旋转。 在这种方式下, 正弦变成了周 期为2π的周期函数。[1]
4诱导公式
编辑
sin
cos
t
cot
sec
csc
π
cos
sin
cot
t
csc
sec
π
-sin
-cot
-tαn
-csc
1定义 编辑 数学术语
正弦函数是三角函数的一种.
定义与定理
定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应
着唯一确定的正弦值Sin X,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应，
按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X,叫做正弦函数。