正弦型函数的图像与性质
中职数学课件6.3正弦型函数的图像和性质
就得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像，
这里 A>0, ω>0．
6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图 像可用五点法作出，也可由函数 y=sinx的图像经过平移、伸缩得到．
利用正弦函数的性质及正弦型 函数的图像，可以得到关于正弦型 函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0, ω>0)的 一些结论．
例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图．
（1）y=sinx；（2）
y=sin2x
；（3）
y=sin(2x+
π 4
)
；（4）
y=2sin(2x+
π 4
)
．
解
（2）因为T=2ωπ=
2π 2
=π，所以函数y=sin2x的周期为π．作函数y=sin2x在
[0,π]上的简图．
描点作图，得到函数y=sin2x，x∈[0,π]的简图．
（2） y=sin
x+
π 3
；
（3）y=2sin
2x+
π 6
；
（4）y=2sin
1 2
x−
π 4
．
6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
2.说明怎样由函数y=sinx的图像得到下列函数的图像．
（1）y=13 sinx ；
（2） y=sin
x−
(2x+
π 4
)的周期为π．作函数
令2x+ π4= 0，π2，π， 32π， 2 π，并列表．
教案正弦型函数的图像和性质
教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦函数的定义与图像1.1 引入正弦函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的单位圆定义：在一个单位圆上，正弦函数表示的是圆上一点的y 坐标值1.2 绘制正弦函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等1.3 分析正弦函数的性质周期性：正弦函数的图像每隔2π重复一次振幅：正弦函数的最大值为1，最小值为-1相位：正弦函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第二章：余弦函数的定义与图像2.1 引入余弦函数的概念解释余弦函数的定义：y = cos(x)说明余弦函数的单位圆定义：在一个单位圆上，余弦函数表示的是圆上一点的x 坐标值2.2 绘制余弦函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = cos(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等2.3 分析余弦函数的性质周期性：余弦函数的图像每隔2π重复一次振幅：余弦函数的最大值为1，最小值为-1相位：余弦函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第三章：正切函数的定义与图像3.1 引入正切函数的概念解释正切函数的定义：y = tan(x)说明正切函数的定义域：正切函数在除原点以外的所有实数上都有定义3.2 绘制正切函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = tan(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等3.3 分析正切函数的性质周期性：正切函数的图像每隔π重复一次振幅：正切函数没有振幅限制，可以无限增大或减小相位：正切函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第四章：正弦型函数的图像与性质4.1 引入正弦型函数的概念解释正弦型函数的定义：y = A sin(Bx C) + D说明正弦型函数的参数：A表示振幅，B表示周期，C表示相位，D表示垂直平移4.2 绘制正弦型函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = A sin(Bx C) + D的图像观察图像的特性：振幅、周期、相位、对称性等4.3 分析正弦型函数的性质振幅：正弦型函数的最大值为A，最小值为-A周期：正弦型函数的图像每隔B个单位重复一次相位：正弦型函数的图像向左或向右平移C个单位垂直平移：正弦型函数的图像向上或向下平移D个单位第五章：正弦型函数的实例分析5.1 分析y = sin(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质5.2 分析y = cos(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = cos(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质5.3 分析y = tan(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = tan(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质第六章：正弦型函数的应用6.1 简谐运动解释简谐运动的定义和特点利用正弦函数表示简谐运动的位移、速度、加速度等物理量6.2 电磁波解释电磁波的产生和传播利用正弦函数表示电磁波的振荡电流或电压6.3 音乐信号处理解释音乐信号的振幅和频率特性利用正弦函数表示音乐信号的波形和频谱第七章：正弦型函数的积分与微分7.1 积分讲解正弦型函数的不定积分和定积分利用积分公式计算正弦型函数的定积分值7.2 微分讲解正弦型函数的导数利用导数公式求解正弦型函数的导数值7.3 应用案例利用积分和微分方法解决实际问题，如计算物体的位移、速度、加速度等第八章：正弦型函数的复合与变换8.1 复合函数讲解正弦型函数的复合方法利用复合函数的性质分析复合后的函数图像和性质8.2 函数变换讲解正弦型函数的平移、缩放、反转等变换利用变换公式分析变换后的函数图像和性质8.3 应用案例利用复合和变换方法解决实际问题，如设计电子电路的滤波器、振荡器等第九章：正弦型函数的极限与连续性9.1 极限讲解正弦型函数的极限概念和性质利用极限公式求解正弦型函数的极限值9.2 连续性讲解正弦型函数的连续性概念和性质利用连续性定理判断正弦型函数的连续性9.3 应用案例利用极限和连续性方法解决实际问题，如信号处理、物理现象分析等第十章：正弦型函数的综合应用10.1 正弦型函数在数学领域的应用讲解正弦型函数在几何、代数、微积分等数学领域的应用10.2 正弦型函数在自然科学领域的应用讲解正弦型函数在物理学、生物学、地球科学等领域的应用10.3 正弦型函数在工程与技术领域的应用讲解正弦型函数在电子工程、通信技术、机械工程等领域的应用重点和难点解析重点环节一：正弦函数的定义与图像重点关注内容：正弦函数的单位圆定义，正弦函数的图像特点，如周期性、振幅、相位、对称性等。
正弦型函数的图像性质
y
2
2
1
0
π
2π x
-1
-2
A的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。
你能得到y=Asinx与y=sinx 图象的关系吗？
1.y=Asinx（A>0, A1)的图象是由y=sinx的图 象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长 (当A>1 时)或压缩（当0<A<1时)A倍而成.
2.值域 【 -A, A 】最大值A,最小值-A
3、 的作用：研究 y=sin(x+ )与y=sinx 图象的关系
先观察y = sin（x+ ）、y = sin（x － ）
2
2
与 y=sinx 的图象间的关系
y
1
0
π
2π
x
-1
的作用：使正弦函数的图象发生位移变化。
你能得到y=sin(x+ )与y=sinx 图象的关系吗？
y sin(x ) ( 0)的图象，可以看
正弦型函数 y = A sin(ωx+ )
的图象
今日提问
正弦函数 y = sinx 的图象、定义域、值域、周期
y
1 x
0
π
-1
2π
3π
4π
x
0
3
2
2
2
sinx 0
1
0
-1
0
复习
正弦函数 y = sinx 的图象、定义域、值域、周期
y
1 x
0
π
2π
3π
4π
-1
定义域：R 当x 值2 域 2:[-时1，，y1m]ax 1 周期： 2π
当x
正弦函数图像与性质
正弦函数图像的作出
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图 象，因为sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z)，所以正弦函 数y=sinx在x∈[－2π，0]，x∈[2π，4π]， x∈[4π，6π]时的图象与x∈[0，2π]时的形状 完全一样，只是位置不同。 现在把上述图象沿着x轴平移±2π， ±4π，……就得到y=sinx，x∈R的图象。 叫做正弦曲线．
若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为
周期函数（如f (x0+T)f (x0)）； (3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2k都是周 期,最小正周期是2π.）
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数,
2
＋2kπ，k∈Z时，正弦函数
2
取得最大值1；
②当且仅当x＝－ 数取得最小值－1 ＋2kπ，k∈Z时，正弦函
正弦函数y=sinx性质
(3) 周期性: 由sin(x＋2kπ)＝sinx (k∈Z)知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取 得的这种性质称为三角函数的周期性。
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，
2
2
(2)sin(－
sin(－
0
23 5
)＝－sin
)＝－sin
2 5
17 4
2 5
4
4
2
0,
函数y=sinx在区间( ∴sin(－
23 5
2
)内为增函数,
17 4
)－sin(－
正弦型函数的图像性质
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会 改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意 味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相 同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相 同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对 称
通过调整A、ω、φ的值，可以获 得不同振幅、周期和相位偏移的 正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中， 以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单 位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的 值等于点的纵坐标和横坐标的比 值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用， 例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是 偶函数。虽然它的图像关于原点 和y轴都有对称性，但它不符合奇 偶函数的严格定义。
振幅与图像高度
正弦函数图像及性质
正弦函数图像及性质
正弦函数是经典的三角函数，是一种双曲线形式的函数。
它表示某一Angle的正弦值，在数学中有很重要的地位。
在几何图表中，正
弦函数图像是一条波浪状线，也可用多边形方式表示正弦函数图像，
正弦函数图像的性质如下：
1. 正弦函数的自变量范围是从0到2π，即[0,2π]，正弦函数的值的范围是从-1到+1，即[-1,1]。
2. 正弦函数在(0,π/2)和(π,3π/2)之间单调递增，在(-
π/2,0)和(3π/2,2π)之间单调递减。
3. 正弦函数在(0,π/2)和(π,3π/2)之间为凸函数，在(-
π/2,0)和(3π/2,2π)之间为凹函数。
4. 正弦函数在(0,π/2)和(π,3π/2)之间的极值点是(π/2,1)
和(3π/2,-1)，在(-π/2,0)和(3π/2,2π)之间的极值点是(-π/2,-1)和(3π/2,1)。
5. y=sin x曲线是一个周期性的曲线，其中一个周期的长度为
2π。
正弦函数的几何图形表示的不仅是某一角度的正弦值，而且还有象征时间周期性变化的潮汐效应。
正弦函数可以解释声音波动，电磁
波动，水波动，电子信号等各种自然现象，其在数学、物理、工程等
领域有着重要作用，因此，深入理解正弦函数图像及其性质，对我们
有重要意义。
正弦函数y=sinx的图像和性质
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
定义域 值域 周期 奇偶性
单调性
R [-1,1]
2
奇函数
单调递增区间：[ 2k , 2k ] (k Z )
2
2
单调递减区间：[ 2k , 3 2k ] (k Z )
2
2
由y＝sinx，x∈[0，2π]的图像可以看出，下面五个 点在确定图像形状时起着关键的作用：
用描点法完成正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图像。
列表：
x0Leabharlann π 6π 3π 2
2π 5π π 7π 4π 3π 5π 11π 2π
36
6323 6
y
描点：以表中对应的x、y的值为坐标在坐标系中描点。 连线：将所描各点顺次连接起来，即完成所画的图像。
正弦函数y＝sinx的图像和性质
正弦函数y＝sinx的图像
把函数y＝sin x在区间[0，2π]上的图像向左平移2π就 能得到正弦函数y=sinx在区间[－2π，0]上的图像。
把正弦函数y＝sinx在区间[0，2π]上的图像向左、右 分别平移2π、4π、6π…个单位，就能得到正弦函数y＝ sinx，x∈R的图像。
我们把正弦函数y＝sinx(x∈R)的图像叫做正弦曲线。
（4）对称性：正弦函数y＝sinx的图像关于原点对 称，即
sin(－x)=－sinx
（5）单调性：
正弦函数y＝sinx在区间[ π， π] 上是增函数，在区间
22
[π，３ π] 上是减函数。
22
用五点法作出下列函数在区间[0，2π]上的简图。 （1）y＝sinx－1 （2）y＝2sinx
§4.4.7正弦型函数的图象与性质(1)
2
（2）正弦型函数的图象
函数y=Asin(x+) 的图象：
用“五点法”作图。
利用变换关系作图。
结论：函数y=sin(wx)（w>0）的值域[-1，1]， 最大值1，最小值－1；最小正周期2π /w。
函数y=sin(x+）的图象
例3、作函数y=sin(x+ π /3 ）的简图
设X＝ x+π/3，则X的取值为
0、π/2、 π 、 3π/2、2π 由X＝ x+π/3，得x＝X－ π/3，可 求得对应的x的值。
X
x
0 -π/3
π/2
π/6
π
2π/3
3π/2
7π/6
2π
5π/3
y
0
1
0
-1
0
yes
no
y
（π/6，1）
（-π/3，0） （2π/3，0） （5π/3，0） 0 π/3 7π/3 （7π/6，-1）
x
y=sin(x-π/3）的图象可用类似方法 得到。
向左 y=sin(x+） y=sinx ＜0 向右
例2、作y=sin(0.5x)（蓝线）和 y=sin(2x)（黑线）的简图。 y=sinx（红线）
y=sin(0.5x)（蓝线）
y=sin(2x)（黑线）
从简图可知：
y=sinx的最大值1，最小值－1；最小正周期2π； y=sin(0.5 x)的最大值1，最小值－1；最小正周期4π；
y=sin(2x)的最大值1，最小值－1；最小正周期π。
在[2kπ＋0.5π，2kπ＋1.5π]上是减函数
问题：什么是正弦型函数？它的 图象和性质如何?
新课：4、正弦型函数图象与性质
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第三章 第4讲
第3页
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2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三 角函数解决一些简单的实际问题.
第三章 第4讲
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x值，列表如下：
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(1)用五点法作函数 y＝sin(x＋π6)在一个周期内的
图象时，主要确定的五个点是 (－6π，0)，(3π，1)，(56π，0)，(43π，－1)，(161π，0) ．
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[判一判] 判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或
“× ”)．
(1)将 y＝sin2x 的图象向左平移4π个单位，得到 y＝sin2x＋4π的 图象．(×)
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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考点 2 变换作图法作 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
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当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个
简谐振动时，则A叫做振幅，T＝
2π ω
叫做周期，f＝
1 T
叫做频率，
ωx＋φ叫做相位，x＝0时的相位φ叫做初相．
第三章 第4讲
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[填一填]
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(2)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中 A>0，|φ|<π2，ω>0)的图 象如图所示，则函数 f(x)的解析式为 y＝sin(2x＋π3) ，它的振幅
1
π
为 1 ，频率为 π ，初相为 3 .
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01抓住2个必备考点
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1个特别提醒——图象平移时必须注意的一个问题 由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单 位数应为|ωφ |，而不是|φ|.原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
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3种必会方法——由函数图象求解析式的方法 (1)如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝ Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一零点”(即五点作图法 中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一 点是“第一零点”)求得φ. (2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω， φ.依据是五点法． (3)运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数.
第4讲 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
第三章 第4讲
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1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．
第三章 第4讲
第5页
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2个熟知变换——平移变换与伸缩变换 (1)平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平 移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换：①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1) 为原来的ω1 倍(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变)．
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由此可得五个关键点；
(3)描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别
扩展，从而得到y＝Asin(ωx＋φ)的简图．
第三章 第4讲
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2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义
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第三章 三角函数、解三角形
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考点1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图及物理意义
1.五点法作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线
与x轴的交点．其步骤为：
(1)先确定周期T＝2ωπ，在一个周期内作出图象；
(2)令X＝ωx＋φ，令X分别取0，2π，π，32π，2π，求出对应的